Bài toán hay về phương pháp tính potx

Bài 4.b/
Công thức tính sai số phương pháp:
|R
n
(x)| = | f
(n+1)
(c).(x-x
0
)
n+1
)/(n+1)! | với x
0
≤ c ≤x
Ta có e = f(1) với f(x) = e
x
. Nếu dùng công thức xấp xỉ:
e ~ 1+x/1! +x
2
/2! + +x
n
/n!, với x=1 và x
0
=0 thì sai số mắc phải là:
∆
e1
= |R
n
(1)| = | e
c
/(n+1)! | với 0≤ c ≤1.
Do đó |R

n
(1)| < 3/(n+1)!. Để đạt độ chính xác với 4 chữ số lẻ thập phân đáng tin
∆
e1
≤ 0.5.10
-4
. Vậy chỉ cần xác định n sao cho: 3/(n+1)! < 0.5.10
-4
.
Thử trực tiếp thấy chỉ cần lấy n= 8. Khi đó ∆
e1
= 8.10
-6
.
Tính trực tiếp từng số hạng của tổng cùng sai số tính toán do quy tròn số. Có:
1/1! = 1 Θ
1
= 0 1/5!=0.00833 Θ
5
= 3.10
-6
1/2! = 0.5 Θ
2
= 0 1/6!=0.00139 Θ
6
= 1.10
-6
1/3!= 0.16667 Θ
3
= 4.10

-6
1/7!=0.00020 Θ
7
= 2.10
-6
1/4!=0.04167 Θ
4
= 4.10
-6
1/8!=0.00002 Θ
8
= 5.10
-6
=> ∆
e2
= Θ
1
+Θ
2
+Θ
3
+Θ
4
+Θ
5
+Θ
6
+Θ
7+
Θ

8
= 19.10
-6
.
=> ∆
e
= ∆
e1
+∆
e2
= 19.10
-6
+8.10
-6
= 2.7.10
-5
.
=> e ~ 1+1+0.5+0.16667+0.04167+0.00833+0.00139+0.00020+0.00002 =
= 2.71828.
Có thể viết: e = 2.71828 ± 2.7.10
-5
, làm tròn tiếp đến 4 chữ số lẻ thập phân:
e = 2.7183 ± (2.10
-5
+2.7.10
-5
) = 2.7183 ± 0.47.10
-4
.
Kết quả này có sai số tổng hợp = 0.47.10

-4
< 0.5.10
-4
nên thỏa mãn bốn chữ số
lẻ thập phân là đáng tin.
Bài 5:
1. Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình:
Đặt f (x)= x-sinx-0.25.
Có f’(x)=1-cosx, mà -1≤ cosx≤ 1 hay 0≤ 1-cosx≤ 2,
=> 0<=f’(x)<=2.
Hàm cosx là hàm tuần hoàn với chu kì 2π nên ta lập bảng biến thiên của hàm số
trên đoạn: [-π; π] như sau:
x -π 0 +π
f’(x) 2 + 0 + 2
f (x)
-0.25 π-0.25
-π-0.25 -0.25

Có f (π/4) = π/4-√2/2-0.25 ~ -0.1717< 0
f (π/2)= π/2-1-0.25 ~ 0.3208 > 0
=> f (π/4).f (π/2)< 0
Vậy một khoảng phân ly nghiệm của phương trình là: [π/4;π/2]
2. Chọn hàm lặp:
Từ phương trình đầu => x= sinx+0.25.
Chọn φ(x)= sinx+ 0.25 thì x= φ(x) và φ’(x)= cosx.
Trong đoạn [π/4;π/2] có 0≤ φ’(x)≤ √2/2 = q<1, nên phương pháp lặp hội tụ.
1
Do φ’(x)≥0 nên ta chọn giá trị khởi đầu x
0
= π/4.

Tóm lại: x
0
= π/4
x
n
= φ(x
n-1
) = sin(x
n-1
)+ 0.25.

Công thức tính sai số: |x-x
n
| ≤ q/(1-q). |x
n
-x
n-1
| = 1/(√2-1). |x
n
-x
n-1
| .
Quá trình tính cho ta kết quả với hai chữ số lẻ thập phân đáng tin là:
x
n
|x-x
n
|
x
1

= 0.957106781 |x-x
1
| ≤ 0.414541273
x
2
= 1.067528823 |x-x
2
| ≤ 0.266582391
x
3
= 1.126011355 |x-x
3
| ≤ 0.141189322
x
4
= 1.152703205 |x-x
4
| ≤ 0.064439826
x
5
= 1.163864829 |x-x
5
| ≤ 0.026946544
x
6
= 1.168339637 |x-x
6
| ≤ 0.010803141
x
7

= 1.170101535 |x-x
7
| ≤ 0.004253599
Quy tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết:
x-1.17 = x- x
7
+ x
7
- 1.17
|x-1.17| ≤ |x-x
7
| + |x
7
-1.17| = 0.004253599 + 0.000101535
|x-1.17| ≤ 0.004355134
Có thể viết: |x-1.17| ≤ 0.4.10
-2
< 0.5.10
-2

=> cả 2 chữ số lẻ thập phân trong kết quả này là đáng tin.
Vậy có: x = 1.17 ± 0.004.
Bài 6:
1. Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình:
Đặt f (x)= 1.8x
2
– sin10x.
Có f’(x)= 3.6x – 10cos10x.
f’’(x)= 3.6x + 10sin10x.
Có hàm số y= 1.8x

2
đồng biến trong khoảng (π/20; π/10) còn
Hàm số y = sin10x nghịch biến trong khoảng này và ta có:
f (π/20)= 1.8π
2
/400 -1 ~ -0.955< 0,
f (π/10)= 1.8π
2
/100 ~ 0.178> 0,
Hay f (π/20).f (π/10) < 0
Vậy [π/20; π/10] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình.
2. Quá trình tính:
Trên đoạn [π/20; π/10] có f’’(x)> 0 do đó để phương pháp hội tụ thì ta chọn
x
0
= π/10 vì khi đó f(x
0
)> 0 cùng dấu với f’’(x). Ta có công thức lặp:
2
x
0
= π/10.
x
n
= x
n-1
- f(x
n-1
)/f’(x
n-1

) = x
n-1
– (1.8x
2
n-1
– sin10x
n-1
)/( 3.6x
n-1
– 10cos10x
n-1
)
Với sai số tuyệt đối không vượt quá 10
-5
quá trình tính cho ta kết quả như sau:
x
n
|x-x
n
|
x
1
= 0.29820 |x-x
1
| ≤ 1.596.10
-2
x
2
= 0.29810 |x-x
2

| ≤ 1.093.10
-4
x
3
= 0.29810 |x-x
3
| ≤ 9.363.10
-6
Có |x-x
3
| ≤ 9.363.10
-6
< 10
-5
nên quá trình tính dừng lại.
Vậy có thể viết nghiệm dương của phương trình là: x= 0.29810 ± 10
-5
.
Bài 7:
1. Tìm khoảng phân ly nghiệm:
Đặt f (x)= x
3
- x - 1000.
Có f’(x)= 3x
2
– 1
f’(x) = 0  x = ±1/√3.
Bảng biến thiên:
x -∞ -1/√3 1/√3 +∞
f’(x) + 0 - 0 +

f(x)
CĐ +∞
-∞ CT
f(CĐ) = f(-1/√3) = -( 2/3√3 + 1000) < 0.
f(CT) = f(1/√3) = 2/3√3 – 1000 < 0.
Nhận xét: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số chỉ cắt trục dương Ox
tại một điểm trên đoạn [1/√3; +∞].
Xét f(10) = -10 <0,
f(11) = 320 >0 => f(10).f(11) < 0
Do đó [10;11] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình đã cho.
2. Chọn hàm lặp:
Từ phương trình đã cho rút ra được: x=
3
√(x+1000) = φ(x).
Có φ’(x) = 1/(3.
3
√(x+1000)
2
).
Trên đoạn [10;11] có: 0 < 1/(3.
3
√1011
2
) ≤ φ’(x) ≤ 1/(3.
3
√1010
2
) = q <1
Nên phương pháp lặp hội tụ.
Do φ’(x) ≥ 0 nên ta chọn giá trị khởi đầu x

0
= 10
3
Tóm lại:
x
0
= 10

x
n
= φ(x
n-1
) =
3
√(x
n-1
+1000)

Công thức tính sai số: |x-x
n
| ≤ q/(1-q). |x
n
-x
n-1
| .
Quá trình tính cho ta kết quả với sai số tuyệt đối không vượt quá 10
-5
là:
x
n

|x-x
n
|
x
1
= 10.03322284 |x-x
1
| ≤ 1.1.10
-4
x
2
= 10.03333284 |x-x
2
| ≤ 3.65.10
-7
Quy tròn đến 5 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết:
x-1.17 = x- x
2
+ x
2
- 1.17
|x-1.17| ≤ |x-x
2
| + |x
2
-1.17| = 0.00000284 + 3.65.10
-7
|x-1.17| ≤ 3.205.10
-6
< 10

-5
Vậy x = 10.03333 ± 10
-5
.
Bài 10:
1. Lập bảng các tỉ hiệu:
Vì ta cần tính ln2 mà hàm đã cho có dạng y=e
x
 x = lny, nếu đổi vai trò của x
và y thì ta có y = lnx, do đó ta đi tìm đa thức nội suy Newton tiến P
5
(y).
Trước tiên ta lập bảng tỉ hiệu:
y
i
x
i
THC1 THC2 THC3 THC4 THC5
1.91554 0.65
0.496376451
2.11700 0.75
2.33965 0.85
2.58571 0.95
2.85765 1.05
3.15819 1.15
Đa thức nội suy Newton tiến thu được là:
P
5
(y) = 0.65 +
+ (y-1.91554).0.496376451 +

+(y-1.91554).(y-2.11700).(-0.111388642) +
+ (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).0.03017511 +
+ (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).(y-2.58571).(-8.38.10
-3
) +
+ (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).(y-2.58571).(y-2.85765).2.87.10
-3
.
Thay y=2 vào ta tính được:
ln2 ~ P
5
(2) = 0.693147268.
Làm tròn đến 6 chữ số thập phân ta được ln2 ~ 0.693147.
Bài 11:
1. Công thức hình thang:
a. Tính I
T
:
4
Có h= (b-a)/n = (1-0)/10 =0.1.
Do đó có bảng:
=> I
T
= 0.1((1+1/2)/2 +1/1.1+1/1.2+1/1.3+ +1/1.9) = 0.693771403.
b. Tính | I- I
T
|:
Có f’’(x)= 2/(1+x)
3
,

=> M= max
[0;1]
|f’’(x)| = max
[0;1]
(2/(1+x)
3
) = f’’(0) = 2.
Vậy ta có sai số là:
| I- I
T
| ≤ M.h
2
(b-a)/12 = 2.0.1
2
.(1-0)/12 = 1.67.10
-3
.
Nếu làm tròn I
T
= 0.69377 thì sai số mắc phải là:
| I- I
T
| ≤ 0.0000071403+1.67.10
-3
< 1.68.10
-3
Vậy có thể viết I = 0.69377 ± 1.68.10
-3
2. Công thức Simson:
a. Tính I

S
:
h= (b-a)/(2.n) = (1-0)/20 =0.05.
Do đó có bảng:
Có h
=> I
S
= 0.05.[(1+1/2) +4.(1/1.05+1/1.15+ +1/1.95) + 2.(1.1+1.2+ +1.9)]/3 =
= 0.693147374
b. Tính | I- I
S
|:
Có f
(4)
(x)= 24/(1+x)
5
,
=> M= max
[0;1]
|f’’(x)| = max
[0;1]
(24/(1+x)
5
) = f’’(0) = 24.
Vậy ta có sai số là:
| I- I
T
| ≤ M.h
4
(b-a)/180 = 24.0.05

4
.(1-0)/180 = 8.3.10
-7
.
Nếu làm tròn I
S
= 0.69315 thì sai số mắc phải là:
| I- I
T
| ≤ 0.00005-0.000047374+8.3.10
-7
< 3.5.10
-6
Vậy có thể viết I = 0.69315 ± 3.5.10
-6
.
*Chú ý *
Ở đây tính hoàn toàn bằng máy tính, không làm tròn mỗi kết quả đơn lẻ (như
1/1.05 chẳng hạn) do đó sai số tính toán của kết quả tính được là nhỏ hơn rất
nhiều so với đáp án trong sách Giáo khoa.
5
x
i
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y
i
1 1/1.1 1/1.2 1/1.3 1/1.4 1/1.5 1/1.6 1/1.7 1/1.8 1/1.9 1/2
x
i
0 0.05 0.1 0.15 0.2 … 0.80 0.85 0.90 0.95 1

y
i
1 1/1.05 1/1.1 1/1.15 1/1.2 … 1/1.8 1/1.85 1/1.9 1/1.95 1/2