Hướng dẫn bài 1/30 hình 9 (basan)

hình 1
/
/
T
I
K
E
N
M
C
B
A
HƯỚNG DẪN GIẢI 1/30 BÀI TOÁN HÌNH ÔN TẬP
(Đề bài đã gứi vào 19/03/2010 trên violet hay tìm ở trang riêng)
Bài 1:
1. Chứng minh
·
µ
0
90
2
C
AIB = +

·
·
·
0
180AIB BAI ABI= − −
(định lí tổng ba góc của tam giác)

I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI
là phân giác các góc BAC và ABC.
Do đó
·
·
·
·
;
2 2
BAC ABC
BAI ABI= =
.
Vậy:
·
·
·
0
180
2 2
BAC ABC
AIB = − −
.Thay
0
180
bằng tổng ba góc của tam giác ABC và chú ý

µ
µ µ
2 2
C C

C = +
ta được
·
µ µ
µ
·
·
2 2
BAC ABC
AIB A B C= + + − −
=
µ
µ
µ
µ
µ
2 2
A B
A B C
   
− + − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

=
µ µ
µ µ µ µ
0
0

180
90
2 2 2 2 2
A B C C C C
 
+ +
+ = + = +
 ÷
 ÷
 
2. Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn:
Do M, E là các tiếp điểm trên các cạnh AB, AC của đường tròn ( I) nên
·
·
0
90AMI AEI= =
(*)
Ta cần chứng minh
·
0
90AKI =
, nghĩa là chứng minh tứ giác AEKI nội tiếp, nghĩa là cần
chứng minh
·
·
AIK NEC=
.
Ta có: CE = CN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên tam giác CEN cân ở C.
Suy ra:
·

µ µ
0
0
180
90
2 2
C C
CEN
−
= = −
(1)

·
·
µ
0 0 0
180 180 90
2
C
AIK AIB
 
= − = − +
 ÷
 ÷
 
=
µ
0
90
2

C
−
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
·
·
CEN AIK=
. Do đó tứ giác AEKI nội tiếp. Suy ra
·
·
0
90AEI AKI= =
(**)
Từ (*) và (**) suy ra 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính AI.
3. Chứng minh KT. BN = KB. ET
Đẳng thức cần chứng minh gợi ý chứng minh tỉ lệ thức
BN ET
KB KT
=
, tuy nhiên hai tam giác
KBN và KET không thể đồng dạng được (quan sát hình vẽ ), tìm hai tỉ số này bằng hai tỉ
số tương ứng khác , với chú ý
TEK∆

TIA∆
, tính chất tia phân giác AI của
·
BAT
và hai
tam giác KBA và NBI đồng dạng thì mới giải quyết được đpcm.

TKE∆
và
TIA∆
có
µ
T
chung ,
·
·
TKE IAT=
(chứng minh trên) nên
TKE∆

TIA∆
(góc góc)
Do đó:
TE TI
TK TA
=
. (4)
Tam giác ABT có AI là phân giác của
·
BAT
nên
TI BI
AT AB
=
(5)

KBA∆
và
NBI∆
có
·
·
AKB INB=
=
0
90
,
·
·
ABK IBN=

⇒

KBA∆

NBI∆
(gg)
BI NB
AB KB
⇒ =
(6)
Từ (4), (5), (6) suy ra:
BN ET
KB KT
=
hay KT. BN = KB. ET (đpcm)

Lưu ý: Hướng dẫn chỉ có tính chất tham khảo- Lần sau hướng dẫn bài 2 và 3-Hãy tìm cách giải hay hơn