Đề thi HSG huyện Yên Bình năm 2009

Phòng GD&ĐT
Huyện Yên Bình
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện vòng I
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 3,0 điểm)
Chứng minh rằng nhếu a là một số nguyên lẻ không chia hết cho 3 thì a
2
- 1
chia hết cho 6.
Câu 2: ( 5,0 điểm)
Cho biểu thức:
2
: 1
1
1 1
x y x y
x y xy
P
xy
xy xy

+

+ +
= + +
ữ
ữ
ữ

+


a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với
2
2 3
x =
+
c) Tính giá trị lớn nhất c ủa P
Câu 3: ( 4,0 điểm)
a) Cho a, b, c, x, y, z là những số khác o thỏa mãn
0
a b c
x y z
+ + =
và
1
x y z
a b c
+ + =
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
b) Tìm các cặp số nguyên (a;b) thỏa mãn đẳng thức: a + b + ab = 4
Câu 4: ( 3,0 điểm)

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi mỗi đờng
chéo của tứ giác chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Câu 5: ( 5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có hai trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau.
Chứng minh:
a) cotgB + cotgC
2
3

b) AB
2
+ AC
2
= 5BC
2