Đáp án đề thi HSG tỉnh Gia Lai (2006-2007)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
GIA LAI Năm học : 2006 -2007
Môn : Toán
ĐỀ DỰ BỊ Thời gian : 150 phút (không kể phát đề )

Bài 1: (3 điểm)
Tìm chữ số đơn vị của số 3
1001
.7
1002
.13
1003 ?
Bài 2 : (3 điểm)
Cho hai số thực 0 < a < b thỏa mãn: 3a
2
+ 3b
2
= 10ab.
Tính giá trị của biểu thức :
P =
ba
ba
+
−
.

Bài 3 : ( 3 điểm)
Cho các số thực x, y, z khác không và thỏa mãn điều kiện :
x + y + z = xyz , x
2

= yz . Chứng minh rằng : x
2
≥ 3 .

Bài 4 : (3 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một đường thẳng vuông góc với trục hoành chia tam
giác có ba đỉnh (0 ; 0 ) ; (1 ; 1) và ( 9 ; 1 ) thành hai miền có diện tích bằng nhau .
Hãy viết phương trình của đường thẳng đó.
Bài 5 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M trên cung BC không
chứa A. Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, CA, AB.
Chứng minh rằng :
BC CA AB
 =  +  .
MH MI MK
.
Bài 6: (3 điểm)
Cho số x = 0,123456789101112 998999 , trong đó ta viết các số từ 1 tới 999 liên
tiếp nhau. Hỏi chữ số thứ 2007 ở bên phải dấu phảy là bao nhiêu?
Bài 7 : (2 điểm)
Cho dãy số u
1
, u
2
, được xác định bởi công thức:
u
n +2
= u
n +1
+u

n
( n = 1 ,2 ,3 , ) và u
1
= 1 , u
2
= 1 . Các số u
1
, u
2
, được gọi là
số Fibonacci. Chứng minh rằng :
Mọi số Fibonacci có thể biểu diễn dưới dạng : u
n
=
5
2
51
2
51
nn








−
+









+
Họ tên thí sinh : Số báo danh :