Đáp án đề thi HSG tỉnh hệ bổ túc môn toán học

Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007 - 2008
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: Toán lớp 12 - bổ túc THPT
----------------------------------------------
Câu Nội dung
Biểu
điểm
Bài 1:
5,0
a.
Với m = 0 : y =
2
x 2x 2
(C)
x 1
+ +
+
2,5
D = R\ {- 1}
0,5
y
/
=
2
2
x 2x
(x 1)
+

+
; y
/
= 0 <=> x
2
+ 2x = 0 <=>
x 0
x 2
=


=

0,5
x



2

1 0
+
y
/
+ 0



0 +
C C

CT CT
x 2; y 2
x 0 ; y 2
Đ Đ
= =


= =

Hàm số đồng biến trên ( - ; - 2) và (0; + )
Hàm số nghịch biến trên (- 2; - 1) và (-1; 0)

x
lim y

=
;
x 1
lim y

=
0.5
Tiệm cận đứng : x = -1
Ta có: y = x + 1+
1
x 1+
=>
[ ]
x
y (x 1)

lim

+
=
x
1
x 1
lim

+
= 0
=> tiệm cận xiên y = x.
Bảng biến thiên:
0,5
x



2

1 0
+
y
/
+ 0



0 +
y

2
+ +

-
2
Trang / 41
Đồ thị:
(C) Oy = (0; 2).
(C) có tâm đối xứng: I(-1; 0).
0,5
b.
2,5
y
/
=
( )
2
2
(2x m 2)(x 1) x m 2 x 3m 2
(x 1)

+ + + + + + +

+
=
2
2
x 2x 2m
(x 1)

+
+
0,5
y
/
= 0 <=> x
2
+ 2x - 2m = 0 (*)
0,5
Hàm số có cực đại, cực tiểu <=> phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
<=>
/
> 0 <=> 1 + 2m > 0 <=> m > -
1
2
.
1,5
Bài 2
4,5
a.
ĐK:
x 0
x 1 0
>


>

<=> x > 1.
0,5

log
2
x + log
2
(x - 1) = 1 <=> log
2
x(x - 1) = 1
0,5
<=> x(x - 1) = 2 <=> x
2
- x - 2 = 0
0,5
<=>
x 1
(do a b c 0)
x 2
=

+ =

=

0,5
Đối chiếu điều kiện ta đợc x = 2
0,5
b.
y = x +
2
2 x
ĐK: 2 - x

2
0 <=>
2 x 2
0,5
y
/
= 1 -
2
x
2 x
, y
/
= 0 <=>
2
2 x
= x
<=>
2 2
x 0
2 x x




=


<=> x = 1.
1,0
<=> y(-

2
) = -
2
; y(1) = 2 ; y(
2
) =
2
Vậy
Max y 2
Min y 2
=



=


0,5
Bài 3
4,0
Trang / 4
-2
-1
0
y
x
-1
-2
1
2

2
a.
•
3
6
sin2x.cos2xdx
π
π
∫
=
1
2
3
6
sin4xdx
π
π
∫
0,5
=
1
8
3
6
sin4xd4x
π
π
∫
=
1

8
−
3
6
cos4x
|
π
π
=
1
8
−
(
1
2
−
+
1
2
) = 0
1,5
b.
L =
3
x 0
x 1 x 1
sin x
lim
→
+ − +

=
x 0
x 1 1
sin x
lim
→
+ −

−

3
x 0
x 1 1
sin x
lim
→
+ −
0,5
•
x 0
x 1 1
sin x
lim
→
+ −
=
x 0
x
sin x
lim

→
.
1
x 1 1+ +
=
1
2
.
0,5
•
3
x 0
x 1 1
sin x
lim
→
+ −
=
x 0
x
sin x
lim
→
.
2
3
3
1
(x 1) x 1 1+ + + +
=

1
3
.
0,5
=> L =
1
2
-
1
3
=
1
6
.
0,5
Bµi 4
2,5
• Gäi I = d
1
∩ d
2
Ta cã:
2x y 2 x 1
I(1;0)
x y 1 y 0
− = =
 
<=> =>
 
+ = =

 

0,5
• Gäi d
1
/
lµ ®êng th¼ng qua M, song song víi d
1

=> ph¬ng tr×nh d
1
/
: 2x - y + 1 = 0 0,5
• Gäi J = d
1
/
∩ d
2

Ta cã:
2x y 1 x 0
x y 1 y 1
− = − =
 
<=>
 
+ = = −
 
=> J(0; 1)
0,5

• M lµ trung ®iÓm AB <=> J lµ trung ®iÓm BI
=> to¹ ®é B
B J I
B J I
x 2x x 1
y 2y y 2
= − = −


= − =

=> B(-1; 2).
0,5
• Ph¬ng tr×nh ∆ qua B, M :
x 1 y 2
1 1 3 2
+ −
=
+ −
<=> x - 2y + 5 = 0.
0,5
Trang / 4
B
d
2
d
1
A
J
M

I
∆
3
Bµi 5
4,0
a.
• 4x
2
+ 9y
2
= 36 <=>
2 2
x y
1
9 4
+ =
.
0,5
• a
2
= 9, b
2
= 4 =>
2 2
a 3
b 2
c a b 5

=



=


= − =


0,5
F
1
F
2
= 2
5
; e =
5
3
; A
1
A
2
= 6 ; B
1
B
2
= 4.
0,5
b.
• Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é cña d vµ (E): 4x
2

+ 9(x + m)
2
= 36.
<=> 13x
2
+ 18mx + 9m
2
- 36 = 0 (*) 0,5
• d vµ (E) cã ®iÓm chung <=> (*) cã nghiÖm
0,5
<=> ∆
/
≥ 0 <=> 81m
2
- 13(9m
2
- 39) ≥ 0
1,0
<=> 36(13 - m
2
) ≥ 0
<=> m
2
- 13 ≤ 0 <=>
m 13≤
.
0,5
Trang / 44