CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN ppsx

Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ
I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN
ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ
CƠ CỔ ĐIỂN
II. CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ
HỌC LƯỢNG TỬ
III. GI Á TRỊ TRUNG BÌNH CỦA
BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC
IV. TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH
V. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ
SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ
PHỔ LIÊN TỤC
VI. TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG
LƯỢNG
VII. NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ
DẠNG CÁC TOÁN TỬ KHÁC
VIII. S Ự ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN
SỐ ĐỘNG LỰC
IX. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH
HEISENBERG
Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ
I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG
TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN
TOP
Ta biết rằng các hạt vi mô có tính chất sóng
rất rõ rệt, do đó khái niệm chuyển động của
chúng trong cơ lượng tử khác nhiều so với khái
niệm chuyển động trong cơ cổ điển. Trong cơ

học lượng tử không có khái niệm qũy đạo.
Ta hãy xét sự khác nhau về khái niệm
chuyển động trong cơ học cổ điển và cơ lượng
tử.
* Với cơ học cổ điển, hạt chuyển động theo
một qũy đạo xác định. Các biến số động lực như
tọa độ, năng lượng, xung lượng được xác
định chính xác đồng thời tại từng điểm và từng
thời điểm trên qũy đạo.
* Với cơ học lượng tử thì chuyển động của
hạt được coi như một bó sóng định xứ trong một
miền của không gian và bó sóng này thay đổi
theo thời gian (một sóng bất kì có thể phân tích
thành tổ hợp tuyến tính các sóng điều hòa-bó
sóng). Còn các biến số động lực nói chung
không được xác định chính xác đồng thời, mà
khi nói về chúng, ta chỉ có thể nói xác suât để
biến số động lực ấy có giá trị nằm trong khoảng
nào là bao nhiêu mà thôi.
Vì sự khác biệt đó, các biến số động lực
trong cơ học lượng tử không mô tả bằng số như
cơ cổ điển mà phải mô tả chúng bằng các toán
tử. Ta thừa nhận một số giả thuyết như những
tiên đề.
II. CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ
TOP
Mỗi biến số động lực được mô tả bằng một
toán tử tuyến tính xác định.
Tính chất tuyến tính là phản ánh nguyên lí

chồng chất rằng: Nếu hệ lượng tử có thể ở các
trạng thái mô tả bằng các hàm sóng thì hệ
cũng có thể ở trạng thái mô tả bằng hàm sóng
.
Trong đó là các hằng số bất kì và nói
chung là phức.
Tiên đề 2:
Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta
chỉ thu được những giá trị bằng số là các trị
riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực ấy.
Từ tiên đề này ta suy ra các toán tử biểu
diễn biến số động lực là những toán tử hecmit
(vì trị riêng là thực) và có đầy đủ các tính chất
của toán tử hecmit.
Tiên đề 3:

Nghĩa là các hệ số phân tích cũng được
chuẩn hóa.
Công thức
là điều kiện chuẩn hóa của hệ số phân tích. Với
ý nghĩa là tổng xác suất các trạng thái có thể
phải bằng một.
Nếu

III. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN
SỐ ĐỘNG LỰC
TOP
Ta định nghĩa giá trị trung bình của biến số
động lực L biểu diễn bằng toán tử như sau:

.
Từ đó ta suy ra:
Với các đã chuẩn hóa thì :


(3.1).
Còn các chưa chuẩn hóa thì:

(3.2).
Các công thức (3.1) và (3.2) là dùng để tính
giá trị trung bình theo hệ số phân tích. Sau đây
ta hãy xét biểu thức giá trị trung bình theo trạng
thái (tức theo hàm sóng) của hệ lượng tử. Ta sẽ
chứng minh giá trị trung bình có biểu thức:
.
(3.3).

Trong đó là hàm sóng mô tả trạng thái
của hệ và ta lưu ý rằng (x) là tập hợp các biến
số nào đó chứ không riêng gì tọa độ x.
Ta xét có phổ gián đoạn ( trị riêng là gián
đoạn ).
a/ Trường hợp chưa chuẩn hóa:
Ta hãy thay
Tử số của (3.3) là:


Trong đó
.

Suy ra tử số của (3.3) là
.
Tương tự, mẫu số tính được là . Từ
đó công thức (3.3) trở thành:


.
Ðây chính là công thức định nghĩa (3.2) mà
ta đã biết.
b/ Trường hợp đã chuẩn hóa thì mẫu số
của (3.3) bằng 1 và ta dễ dàng tính được
. Cũng là công thức định nghĩa (3.1) mà
ta đã biết. Vậy công tức (3.3) đã được chứng
minh.
IV. TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH
TOP
Như trên ta đã thấy, muốn tính được xác
suất hay giá trị trung bình của biến số động lực
thì ta phải biết được các hệ số phân tích. Ta hãy
tìm cách để tính chúng.
Nếu các hàm sóng chưa chuẩn hóa thì các
sẽ sai khác nhau một hằng số. Thông thường
ta phải chuẩn hóa các hàm sóng để biểu thức
xác suất được đơn giản.
V. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN
TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN
TỤC
TOP
Ðối với toán tử có phổ liên tục thì hàm sóng
là:

.
Trong đó L là trị riêng của toán tử có phổ
liên tục. Ta hãy tìm biểu thức xác suất, giá trị
trung bình và hệ số phân tích trong trường hợp
này.
a/ Biểu thức xác suất:
Vì các giá trị L là liên tục nên ta không thể
nói xác suất để biến số động lực có giá trị L là
bao nhiêu được mà chỉ có thể nói xác suất để L
có giá trị nằm trong khoảng từ L đến (L+dL) là
bao nhiêu mà thôi. Xác suất này thì tỉ lệ với dL
và có biểu thức:
.
là mật độ xác suất để biến số động lực
có giá trị L. Như vậy, với toán tử có phổ liên tục,
tiên đề thứ Ba được phát biểu như sau:
Mật độ xác suất để biến số động lực có giá
trị L tỉ lệ với . Tức là tỉ lệ với khi C(L)
chưa chuẩn hóa. Còn nếu C(L) đã chuẩn hóa thì
=
Nếu các hệ số C(L) được chuẩn hóa sao
cho:
b/ Giá trị trung bình:
Biểu thức giá trị trung bình của biến số động
lực L vẫn là:


.
Thật vậy,ta hãy chứng minh cho trường hợp
tổng quát là hàm sóng chưa chuẩn hóa như

sau:
Thay
thì tử số sẽ là
.
=

.
Tương tự, mẫu số là .Ta suy ra

là công thức định nghĩa. Vậy ta đã chứng minh
xong.
c/ Hệ số phân tích:
VI TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG
LƯỢNG
TOP
a/ Toán tử tọa độ:
Xét hạt chuyển động trên trục ox, trạng thái
của hạt được mô tả bởi hàm sóng ; giả sử
đã chuẩn hóa. Toán tử tọa độ phải có dạng thế
nào để hệ thức của giá trị trung bình được thỏa
mãn. Tức là:

(3.4).
Mặt khác, nếu là mật độ xác suất để hạt
có tọa độ là x và lưu ý rằng tích của tọa độ với
các hàm sóng là giao hoán được thì ta có:

(3.5).
Như vậy trong biểu diễn tọa độ (sau này ta
sẽ nói rõ) thì toán tử tọa độ chỉ là phép nhân với

tọa độ mà thôi.
b/ Toán tử xung lượng:
Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E,
xung lượng thì tương ứng với một sóng phẳng
có dạng:
.
Trong đó hình chiếu của xung lượng là
xác định nên hàm sóng là hàm
riêng của toán tử . Do đó ta có phương trình
trị riêng:
Hai vế của phương trình bằng nhau .Vậy
.
Tương tự

Từ đó ta suy ra :
.
VII. NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ
DẠNG CÁC TOÁN TỬ KHÁC
TOP
Cơ học cổ điển là trường hợp riêng của cơ
học lượng tử. Trong cơ học cổ điển, các biến số
động lực liên hệ với nhau bằng các công thức
đã biết như:

Trong cơ học lượng tử thì các biến số động
lực được biểu diễn bằng các toán tử và chúng
cũng liên hệ với nhau bằng các công thức
tương tự như thế. Ðó là nội dung của nguyên lí
tương ứng trong cơ học lượng tử. Từ nguyên lí
tương ứng và dạng các toán tử đã biết, ta có thể

suy ra được các toán tử khác.
a/ Toán tử năng lượng:
Trong cơ học cổ điển ta có công thức:
.
Theo nguyên lí tương ứng ta có dạng của
toán tử là:
.
Thay dạng của các toán tử đã biết vào biểu
thức ta được:
.
(3.6)
b/ Toán tử mô men động lượng:
Trong cơ học cổ điển ta có:




Thay dạng các toán tử dã biết ta được:
.
(3.7)

Ba toán tử trên là ba toán tử hình chiếu của
toán tử mô men động lượng có dạng là

(3.8)

VIII. SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ
ĐỘNG LỰC
TOP
Xét hệ lượng tử có hàm sóng và hai biến

số động lực L,M của hệ, chúng được biểu diễn
bằng hai toán tử .
Theo tiên đề Ba (trường hợp riêng), muốn
thì hàm sóng (x) phải trùng với hàm riêng
. Nghĩa là
Nếu đo đồng thời M với L và muốn M cũng
có giá trị xác định thì (x) cũng trùng với hàm
riêng của . Tức là là hàm riêng chung
của hai toán tử . Vậy, muốn đo chính xác
đồng thời hai biến số động lực L, M của hệ
lượng tử ở cùng một trạng thái thì hai toán tử
biểu diễn chúng phải có chung hàm riêng. khi đó
ta có:

Ta sẽ chứng minh điều kiện cần và đủ để
hai toán tử có chung hàm riêng là hai toán tử
phải giao hoán với nhau. Tức là giao hoán tử
của chúng bằng không.
a/ Ðiều kiện cần (hai toán tử có chung hàm
riêng thì giao hoán):
b/ Ðiều kiện đủ (hai toán tử giao hoán thì có
chung hàm riêng):
IX. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH
HEISENBERG
TOP
Xét hệ lượng tử ở trạng thái và hai biến
số động lực L và M , chúng được biểu diễn bằng
hai toán tử .
Ta biết rằng nếu giao hoán thì ta đo
được chính xác đồng thời cả L và M. Nếu chúng

không giao hoán thì không đo chính xác đồng
thời được.
Giả sử không giao hoán. Ta hãy xét
xem khi đo chúng đồng thời thì độ chính xác đạt
đến mức độ nào?
Vì biến diễn hai biến số động lực nên
chúng là các toán tử hecmit. Nên ta có:

với là toán tử hecmit.
Gọi là giá trị trung bình của hai biến số
động lực L và M thì độ lệch khỏi giá trị trung
bình của L và M là:

.
Bây giờ ta hãy tính:

.
Thực hiện phép tính ở vế phải ta tính được:
.
Ðể tìm mối liên hệ giữa , ta dùng một
thủ thuật sau:
Nếu đo đồng thời hai đại lượng này thì độ chính
xác phải tuân theo hệ thức bất định sau:
. Hay
Ý nghĩa vật lí của hệ thức này ta phải hiểu
như sau:
Khi quan sát một hệ lượng tử (electron
chẳng hạn), ta phải chiếu vào nó một bức xạ có
bước sóng ngắn, tức có xung lượng lớn (xung
lượng P = ). Khi foton va chạm với

electron thì ta xác định được vị trí của electron.
Nếu lúc đó ta muốn xác định đồng thời cả xung
lượng thì phép đo xung lượng kém chính xác. Vì
do xung lượng của foton lớn nên xung lượng
của electron bị biến đổi nhiều, không còn như cũ
nữa, do đó ta không đo được chính xác đồng
thời cả xung lượng và tọa độ của hạt.
Ðiều này chứng tỏ các hạt vi mô khác với
các vật vĩ mô thông thường. Các hạt vi mô vừa
có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt, đó là
một thực tế khách quan. Việc không đo được
chính xác đồng thời cả tọa độ và xung lượng
của hạt là do bản chất của sự việc chứ không
phải do trí tuệ của con người bị hạn chế. Kĩ
thuật đo lường của ta có tinh vi đến mấy đi nữa
cũng không đo được chính xác đồng thời cả tọa
độ và xung lượng của hạt. Hệ thức bất định
Heisenberg là biểu thức toán học của lưỡng tính
sóng hạt của vật chất.
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Bài 3-1. Cho hạt chuyển động tự do trên
một đường thẳng.
1/ Chứng minh rằng có thể đo được một
cách chính xác đồng thời xung lượng và
năng lượng của hạt.
2/ Nếu hạt chuyển động trong một trường
có thế năng V(x) ( 0 thì sao?
Bài 3-2. Hạt chuyển động trong không
gian. Chứng minh rằng có thể đo được
chính xác đồng thời bình phương của xung

lượng
Bài 3-3. Toán tử năng lượng của một hạt
có thể viết dưới dạng:
. Hãy tìm độ bất định của năng lượng
đối với thời gian (t).
Bài 3-4. Hạt chuyển động trên trục x trong
khoảng (-a, a) và hàm sóng có dạng:
1/ Chuẩn hóa hàm sóng này.
2/ Tìm xác suất tìm thấy hạt trong khoảng
(a/2 , a)
Bài 3-7. Ðộng năng của electron trong
nguyên tử Hydro có giá trị cỡ 10 eV. Hãy
dùng hệ thức bất định Heisenberg tìm kích
thước nhỏ nhất (đường kính d) của nguyên
tử.
Bài 3-8. Dùng hệ thức bật định đánh giá
năng lượng nhỏ nhất E
min
của electron
trong nguyên tử Hydro có kích thước là d.
Bài 3-9. Hạt vi mô có độ bất định về xung
lượng là 1% xung lượng của nó . Tính tỷ
số bước sóng De Broglie và độ bất định về
tọa độ x của hạt.


Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER.

I. PHƯ ƠNG TRÌNH SCHRODINGGER
KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER MỘT CHIỀU
1. Tính chất chẵn lẻ của nghiệm
2. Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm
của nó:
III. HỐ THẾ CÓ CHIỀU SÂU VÔ HẠN
IV. HỐ THẾ CÓ BỀ SÂU HỮU HẠN
V. THẾ BẬC THANG
VI. HÀNG RÀO THẾ VÀ HIỆU ỨNG ĐƯỜNG
NGẦM
VII. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER.
I. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGGER
KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
Xét hạt chuyển động trong trường thế có thế
năng phụ thuộc vào tọa độ . Hạt có năng
lượng E và hàm sóng phụ thuộc tọa độ là .
Phương trình trị riêng của toán tử năng lượng
(toán tử Hamilton) sẽ là:
Phương trình này mang tên là phương trình
Schrodinger không phụ thuộc thời gian, là
phương trình đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính.
Nó có nghiệm với bất kì giá trị nào của E. Song
không phải nghiệm nào cũng ứng với một trạng
thái vật lí. Chỉ có những nghiệm thỏa mãn
đơn giá, liên tục và hữu hạn mới biểu diễn một
trạng thái vật lí và mới chấp nhận được. Các
nghiệm không thỏa mãn điều kiện trên thì không
chấp nhận được. Người ta chứng minh rằng chỉ

có những giá trị đặc biệt của E mới cho nghiệm
theo quan điểm vật lí. Thường những giá trị ấy
là những giá trị gián đoạn và một dải những giá
trị liên tục của E.