phương pháp giải hình oxyz

Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Phần một: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG
Dạng 1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với mặt phẳng
α

cho trước
PP: Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (
)
α
nên VTPT của (P) chính là VTPT của
mặt phẳng (
)
α
. Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) qua M có VTPT là
α
nn

=
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(-1;2;3) song song với mặt phẳng (Q):
01232 =−+− zyx
Giải: Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên VTPT của mặt phẳng (P) là
)2;3;2( −n

022320)3(2)2(3)1(2:)( =++−⇔=−+−−+⇒ zyxzyxPmp
Dạng 2) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với 2 mặt phẳng (Q) và
mặt phẳng (R)
PP: Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) nên
[ ]

21
2
1
,nnn
nn
nn



=⇒



⊥
⊥
với
21
,, nnn

lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) ;(Q); (R)
Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) qua M có VTPT
n

.
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;-1;2) và vuông góc với 2 mặt phẳng
(Q) :
;013 =+− zx
(R ):2x+y-z+1=0
Giải: Gọi
21

,, nnn

lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) ;(Q); (R)
Vì



⊥
⊥
⇒



⊥
⊥
2
1
)()(
)()(
nn
nn
RmpPmp
QmpPmp


[ ]
( )
1;5;3,
21
−==⇒ nnn


Phương trình mặt phẳng (P) :
010530)2(1)1(5)1(3 =−+−⇔=−++−− zyxzyx
Dạng 3) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A;B và vuông góc với mặt
phẳng (Q)
PP: Gọi
1
,nn

lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)
Vì mặt phẳng (P) đi qua A,B và mp(P) vuông góc với mặt phẳng (Q) nên
[ ]
BAnn
BAn
nn





,
1
1
=⇒



⊥
⊥
Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P)

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(0;1;0) và B(1;2;-2) và vuông
góc với mặt phẳng (Q): 2x-y+3z+13=0
Giải:
Gọi
1
,nn

là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q ) có
)3;1;2(
1
−=n

và
)2;1;1( −=BA

vì mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q ) và mặt phẳng (P) đi qua
AB nên
[ ]
)3;7;1(,
1
−−== BAnn


1
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
073703)1(7:)( =+−−⇔=−−−⇒ zyxzyxPmp
Dạng 4) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B,C cho trước
PP: Gọi
n


là VTPT của mặt phẳng (P). Vì mặt phẳng (P) đi qua A,B,C nên
[ ]
CABAn
CAn
BAn







,=⇒





⊥
⊥
Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) qua M có VTPT là
n

Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A (1;0;1); B(0;2;0); C(0;1;2)
Giải: Gọi
n

là VTPT của mặt phẳng (P) . Vì mặt phẳng (P) qua A, B, C nên
[ ]
CABAn

CAn
BAn







,=⇒





⊥
⊥
. Ta có
)1;1;1(
)1;2;1(
−
−−
CA
BA


⇒⇒ )1;2;3(n

Phương trình mặt phẳng
(P): 3(x-1)+2y+1(z-1)=0

⇔
3x+2y-z-4=0
Dạng 5) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua diểm M và giao tuyến của 2 mặt
phẳng (Q); (R)
PP:
- Mọi điểm thuộc giao tuyến có toạ độ là nghiệm của phương trình gồm 2 phương
trình của mặt phẳng (P) và (R)
- Từ hệ chọn ra 2 điểm A, B thuộc giao tuyến sau đó viết phương trình mặt phẳng
qua điểm A, B, M như dạng 4.
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(2;0;1) và giao tuyến 2 mặt phẳng:
(R): x+2y+z-4=0
(Q): 2x+y+z-4=0
Giải: Mọi điểm thuộc giao tuyến có toạ độ là nghiệm của hệ



=−++
=−++
042
042
zyx
zyx
Cho z=4
)4;0;0(
0
0
02
02
A
y

x
yx
yx
⇒



=
=
⇒



=+
=+
⇒
thuộc giao tuyến
Cho x=1



=+
=+
⇒
2
32
yx
yx




=
=
⇒
1
1
z
y

)1;1;1(B⇒
thuộc giao tuyến
⇒
mặt phẳng (P) đi qua M,A, B.(Dạng 4)
[ ]
)2;3;3(,)0;1;1();3;0;2( −−−==⇒−− BMAMnVTPTBMAM





. Mặt phẳng (P) qua M nên
có phương trình: -3(x-2)-3y-2(z-1)=0
⇔
3x+3y+2z-8=0.
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) hợp với mặt phẳng (Q) một góc
α
cho
trước
PP: Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0 (a
2

+b
2
+c
2

≠
0). Dựa vào giả thiết để
tìm mối liên hệ a, b, c, d sau đó đưa mặt phẳng về dạng có ít tham số nhất (thông thường
chứa nhiều nhất là 2 tham số trong 4 tham số a, b, c, d)
Giả sử mặt phẳng (Q): kx+my+nz+q=0. Vì (P) tạo với (Q) góc
α
nên
α
cos,cos(
1
=nn


Với
1
,nn

lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) .
Từ giả thiết
1
1
.
nn
nn



⇒
=
α
cos
. Từ đó tìm các giá trị tham số thay vào ta có phương trình
mặt phẳng.
2
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt phẳng (Q):
2x-y+
11
z+3=0 một góc
0
60=
α
Giải: Vì mặt phẳng (P) chứa Oz nên (P) có dạng: ax+by=0(a
2
+b
2

)0≠
VTPT mặt phẳng (P):
n

(a;b;0)
VTPT mặt phẳng (Q):
)11;1;2(
1
−n


Có
[ ]
0
1
0
60cos,cos(60)(),( =⇒= nnQP

222222
2222
444422
2
1
11)1(2.
11.02
baabbababa
ba
ba
+=−+⇔+=−⇔=
+−++
+−
⇔




−=
=
⇔=+⇔
ab

b
abb
3
4
0
043
2
TH1: b=0 chọn a=1
⇒
mặt phẳng (P): x=0
TH2: b=
a
3
4
−
chọn a=3
⇒
b=-4
⇒
mặt phẳng (P): 3x-4y=0
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1;0;0), B(0;-2;0) và tạo với mặt phẳng
(Q): y-z+7=0 một góc
α
=60
0
Giải: mặt phẳng (P) có dạng: ax+by+cz+d=0. mặt phẳng (P) qua A, B nên
0
2
:)(
2

02
0
=+++−⇒





=
−=
⇒



=+−
=+
dczy
d
dxPmp
d
b
da
db
da
⇔
-2dx+dy+2cz+2d=0 (*) (d
2
+c
2

)0≠
VTPT mp(P):
n

(-2d;d;2c)
VTPT mp(Q):
)1;1;0(
1
−n

Vì mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc 60
0
0
1
60cos),cos( =⇒ nn

2
1
)1(144
2
22222
=
−+++
−
⇔
cdd
cd
22
4522 cdcd +=−⇔
. Bình phương 2 vế ta

được: 2d
2
+8c
2
-8dc=5d
2
+4c
0384
22
=−−⇔ ddcc
coi c là ẩn ta có:















+
=
+
=









−
=
−
=
⇔=∆
′
⇒=+−=∆
′
d
dd
c
d
dd
c
dddd
2
72
4
724
2
72
4

724
722812)4(
222
TH1: c=
( )
2 7
2
d
−
chọn d=2
72 −=⇒ c
thay vào (*) có
mặt phẳng (P): -4x+2y+2(2-
7
)z+4=0
⇔
-2x+y+(2-
7
)z+2=0
TH2: c=
d








+

2
72
chọn d=2
⇒
c=2+
7
thay vào (*)
3
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
mặt phẳng (P): -2x+y+(2+
7
)+2=0
Dạng 7) Tìm hình chiếu vuông góc của M(x
0
;y
0
;z
0
) lên mặt phẳng (P):
ax+by+cz+d=0.
PP:
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P)
⇒
M là giao điểm của mp(P) và
đường thẳng(



⊥
∆

)(
:)
Pmp
quaM
Viết phương trình tham số (
);;(:)
000
0
0
0
ctzbtyatxH
ctzz
btyy
atxx
+++⇒





+=
+=
+=
∆
Vì H thuộc mp(P) thay vào phương trình mp(P)
Ht ⇒⇒
Cách 2: Vận dụng khi a, b, c
0≠
. H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P)
HM


⇒

cùng phương với VTPT
n

(a;b;c) của mp(P)
Giả sử H(x
1;
y
1;
z
1
)
⇒
ax
1
+by
1
+cz
1
+d=0(1)
);;(
010101
zzyyxxHM −−−⇒

(2)
Có
1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0

1
2 2 2
1
( ) ( ) ( )
. . .
x
x x y y z z a x x b y y c z z d ax by cz
y
a b c a a b b c c a b c
z

− − − − + − + − − − − −

= = = = ⇒

+ + + +


Ví dụ: Tìm hình chiếu vuông góc của M(3;6;2) lên mặt phẳng (P): 5x-2y+z+25=0
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P)
⇒
H là giao điểm của mp(P) và
đường thẳng



⊥
∆
mp(P)
A

)(
qua
uPVTPTuVTCPPmp

⇒≡⇒⊥∆
∆
)()()(
(5;-2;1)
∆
qua M(3;6;2)





+=
−=
+=
∆⇒
tz
ty
tx
PTTS
2
26
53
:)(
H
)2;26;53()( tttH +−+⇒∆∈
H

∈
mp(P)
⇒
5(3+5t)-2(6-2t)+2+t+25=0
)1;8;2(13030 −⇒−=⇒−=⇒ Htt
Cách 2: Giả sử H(x
1;
y
1
;z
1
), H
∈
(P) nên 5x
1
-2y
1
+z
1
+25=0
HMzyxHM

),2;6;3(
111
−−−
cùng phương với
n

1
30

300
30
302525
1.1)2.(25.5
)2()6(2)3(5
1
2
2
6
5
3
111111111
−=
−
=
−++−
=
+−−
=+−−−
=
−
=
−
−
=
−
⇔
zyxzyxzyx
)1;8;2(1;8;2
111

−⇒==−=⇒ Hzyx
Dạng 8) Tìm điểm M
1
đối xứng với M qua mp(P)
PP: Tìm hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) là H (Dạng 7)
M
1
đối xứng với M qua mp(P)
⇒
H là trung điểm của MM
1
4
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
1
2
2
2
1
1
1
M
zzz
yyy
xxx
MHM
MHM
MHM
⇒






−=
−=
−=
⇒
Dạng 9) Viết phương trình mp(P) qua M chứa đường thẳng
∆
.
PP: Trên
∆
chọn điểm M
0

∆∈
⇒
M
0
)(P∈
Gọi
,n

u

lần lượt là VTPT của mp(P) và VTCP của
)(∆
[ ]
0
0

, MMun
MMn
un



=⇒



⊥
⊥
⇒
Từ đó viết phương trình mp(P):



nVTPT
quaM

Ví dụ: Cho M(2;3;1) và đường thẳng
51
2
2
1
:)(
zyx
=
−
−

=
−
∆
. Viết phương trình mp(P)
chứa (
∆
) và đi qua M.
Giải: Gọi
un

,
lần lượt là VTPT của (P), VTCP của
)(∆
.
Dễ thấy M
0
(1;2;0)
PM ∈⇒∆∈
0
)(
. Ta có MM
0
(-1;-1;-1),
)5;1;2( −u

.
Vì mp(P) qua M chứa
)(∆
nên




⊥
⊥
0
MMn
un



[ ]
0
, MMun


=⇒
=(6;-3;-3)
⇒
PT(P): 6(x-2)-3(y-3)-3(z-1)=0
⇒
2x-y-z=0.
Phần hai: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1) Viết phương trình đường thẳng
)(∆
đi qua 2 điểm A, B
PP: Gọi
u

là VTCP của
BAu



=⇒∆)(
. Từ đó viết pt (



∆
uVTCP
quaA

)
Dạng 2) Phương trình đường thẳng giao tuyến của 2mp(P),(Q)
PP:
- Xét hệ gồm 2 phương trình của mp(P),(Q)
- Chọn 2 điểm A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B
;y
B
;z
B
) thoả mãn hệ
⇒
A, B thuộc giao tuyến.

- Viết phương trình đường thẳng (
)∆
qua A, B.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của (P): 3x+y+z-5=0
(Q): x+2y+z-4=0
Giải: Mọi điểm thuộc giao tuyến có toạ độ là nhgiệm của hệ



=−++
=−++
042
053
zyx
zyx
Cho x=0
⇒



=+
=+
⇒
42
5
zy
zy
∈⇒




=
−=
)6;1;0(
6
1
A
z
y
giao tuyến
Cho x=1
)1;1;1(
1
1
32
2
B
z
y
zy
zy
⇒



=
=
⇒




=+
=+
⇒
5
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
(
)∆
là giao tuyến
)(∆⇒
đi qua AB
)(
56
1
AB(1;0;-5)uVTCP
A(0;1;6)
:)( Rt
tz
y
tx
PTTS
qua
∈





−=
=

=
⇒



≡
∆⇒

Dạng 3) Phương trình đường thẳng
)(∆
đi qua M vuông góc với mp(P).
PP:
nVTPTuVTCPPmp

≡⇒⊥∆
∆
)()(
của mp(P). Từ đó viết pt



∆
uVTCP
quaA

)(
Ví dụ: Cho A(1;-2;3) và mp(P): 3x-y+z-1=0. Viết phương trình đường thẳng
)(∆
qua A
và vuông góc với mp(P).

Giải: Gọi
nu

,
lần lượt là VTCP của
)(∆
và VTCP của(P),
)1;1;3()()( −≡⇒⊥∆ nuPmp

)(
3
2
31
)(
uVTCP
A
:)( Rt
tz
ty
tx
PTTS
qua
∈





+=
−−=

+=
∆⇒



∆

Dạng 4) Phương trình đường thẳng (
)∆
qua M
⊥
với 2 đường thẳng
21
,∆∆
cho
trước.
PP: Gọi
21
,, uuu

lần lượt là VTCP của
21
,, ∆∆∆
. Vì
[ ]
21
2
1
uuu


=⇒



∆⊥∆
∆⊥∆
từ đó viết phương trình



∆
uVTCP
A
)(

qua
Ví dụ: Cho M(2;3;-1) và 2 đường thẳng





+=
−=
+=
∆
+
=
−
=

−
∆
tz
ty
tx
zyx
51
2
31
:
2
3
31
2
:
2
1
viết phương trình đường thẳng (
)∆
qua M vuông góc với
21
,∆∆
Giải: Gọi
21
,, uuu

là VTCP của
21
,, ∆∆∆
có

)5;1;3(
)2;3;1(
2
1
−
−
u
u


Vì
[ ]
)8;1;13(,
21
2
1
2
1
−⇒⇒⇒



⊥
⊥
⇒



∆⊥∆
∆⊥∆

uuuu
uu
uu








+−=
+=
−=
∆⇒



∆⇒
tz
ty
tx
PTTS
qua
81
3
132
)(
(-13;1;8)u VTCP
A

)(

Dạng 5) Viết phương trình đường thẳng
∆
qua M cắt đường thẳng
1
∆
và vuông góc
với đường thẳng
2
∆
6
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
PP: Chuyển đường thẳng
1
∆
về dạng tham số (nếu
1
∆
cho ở dạng chính tắc):





+=
+=
+=
∆
ctzz

btyy
atxx
1
1
1
1
:
Gọi
21
,, uuu

là VTCP của
21
,, ∆∆∆
.
Giả sử
⇒=∆∩∆ H
1
H(x
1
+at;y
1
+bt;z
1
)
2
2
( ): . 0
quaMH
MH u t


∆ ⇒ = ⇒

⊥ ∆



. Từ đó tìm được toạ độ điểm H. Ta có
HMu


≡
viết PTTS



∆
u VTCP
A
)(

qua
Ví dụ: Cho M(3;2;-1) và
1
3
21
3
:
51
3

2
1
:
2
1
+
=
−
=
−
−
∆
−
=
+
=
−
∆
zyx
zyx
Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua M vuông góc với
1
∆
và cắt
2
∆
.
Giải: Gọi

21
,, uuu

lần lượt là VTCP của
21
,, ∆∆∆
.
Giả sử
)2;22;()3;2;3(
2
−−−−⇒+−−−⇒=∆∩∆ tttNMtttNN

.
Vì
1 1
. 0MN u∆ ⊥ ∆ ⇒ = ⇔


2.(-t)+1(-2t-2)-5(t-2)=0
⇒
9 8t
=
t=
9
10
;
9
2
;
9

8
(
9
10
;
9
2
;
9
8
(
9
8 −−−
⇒
−−−
⇒ uNM


)
)(
9
10
1
9
2
2
9
8
3
:)( Rt

tz
ty
tx
PTTS ∈









−−=
−=
−=
∆⇒
Chú ý: Cách viết phương trình đường thẳng
∆
qua M cắt
1
∆
và vuông góc với một
véctơ
a

cho trước cũng tương tự .
Dạng 6. Viết phương trình đường thẳng
∆
qua M cắt hai đường thẳng

1
∆
và
2
∆
.
PP. Cách 1:
- Gọi
21
,,
→→→
UUU
lần lượt là VTCP của
21
;; ∆∆∆

- Gỉa sử
⇒=∆∩∆=∆∩∆ BA
21
;
M,A,B thẳng hàng
- Lấy A
1
∆∈
; B
2
∆∈
là các điểm có toạ độ bằng tham số t ; t’
- Tính
→→

MBMA,
- M, A, B thẳng hàng
BMkMA

=⇔
→
Tìm t,t’
7
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
- Viết phương trình



=
∆
AMuVTCP
quaM


PP: Cách 2:
∆
qua M và cắt
21
;∆∆
∆⇒
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) ; (Q).
Trong đó: (P) qua M chứa
1
∆

(Q) qua M chứa
2
∆
Viết pt
)(∆
là giao tuyến của (P) và (Q) (Dạng2)
Chú ý: Trong 1 số bài toán thay vì viết
∆
qua M cắt
21
,∆∆
có thể là: Viết đường thẳng
∆
qua M cắt
21
,∆∆
tại A, B mà
BMkAM


.=
.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng
∆
qua M(1;-1;1) cắt cả 2 đường thẳng






′
−=
′
+=
′
−−=
∆





−=
+−=
+=
∆
tz
ty
tx
tz
ty
tx
33
2
:;
2
1
22
:
21

Giải:
Cách 1: Giả sử
);33;2(
)2;1;22(
2
1
tttBB
tttAA
′
−
′
+
′
−−⇒=∆∩∆
−+−+⇒=∆∩∆
Ta có
)1;34;3();1;;21( tttBMtttAM
′
−−
′
+
′
−−−+


.
Vì
∆
qua A, M, B
. ,A M B⇔

thẳng hàng
AMkBM


.=⇔





−=
′
+
=
′
+
+=
′
−−
⇔





−=
′
+
=
′

+
+=
′
−−
⇔
)3(1
)2(34
)1(23
)1(1
34
)21(3
kktt
ktt
ktkt
tkt
ktt
tkt
Từ (2) và (3)
kt
=
′
+⇒
23
Từ (1) và (3)
4
19
335
−
=
′

⇒=
′
−−⇒ tkt
)
9
5
;
9
6
;
9
13
()
9
5
;
9
6
;
9
13
(
−−
≡⇒
−−
⇒ BMuBM



. Chọn

)5;6;13( −−u

PTTS





+=
−−=
−=
∆
tz
ty
tx
51
61
131
)(
Cách 2: Gọi (P) là mp qua M chứa
1
∆
, (Q) là mp qua M chứa
2
∆
:)(
1
∆
qua M
1

(2;-1;2) có VTCP
)1;1;2(
1
−u

,
)(
2
∆
qua M
2
(-2;3;0) có VTCP
)1;3;1(
2
−−u

.
(*)mp(P) qua MM
1
chứa
[ ]
11
1
1
1
,)( MMun
un
MMn
P
P

P




=⇒



⊥
⊥
⇒∆

có
)1;3;1()1;0;1(
1
−−⇒
P
nMM


)1(0330)1(1)1(3)1(1:)( =−−−⇔=−−+−−⇒ zyxzyxPm p
(*)mp(Q): qua MM
2
chứa
2
∆
[ ]
22
2

2
, MMun
MMn
un
Q
Q
Q





⇒





⊥
⊥
⇒
8
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
)2(04520)1(5)1(2)1(1:)()5;2;1()1;4;3(
2
=−++⇒=−+++−⇒⇒−− zyxzyxQmpnMM
Q


(*)Đường thẳng

∆
là giao tuyến của (P) và (Q)
Mọi điểm thuộc
∆
có toạ độ là nghiệm của hệ



=−++
=−−−
0452
033
zyx
zyx
Cho z=0
)()0;
5
1
;
5
18
(
5
1
5
18
42
33
AA
y

x
yx
yx
∈⇒







=
=
⇒



=+
=−
⇒
Cho x=0
)
13
18
;
3
19
;0(
13
18

3
19
452
33
−
⇒







=
−
=
⇒



=+
=−−
⇒ B
z
y
zy
zy
∆
qua AB










=
−=
−=
∆⇒
−−
≡⇒
tz
ty
tx
PTTSBAu
13
18
15
149
5
1
5
18
5
18
)()
13

18
;
15
149
;
5
18
(


Chú ý: Việc tìm ra
∆
có 2 cách khác nhau về mặt hình thức nhưng bản chất đó là 1
phương trình. Bạn đọc tự suy nghĩ tại sao?
Dạng 7)
- Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng
∆
- Tìm điểm M
1
đối

xứng với M qua đường thẳng
∆
PP:
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
⇒∆∈⇒∆ )()( H
toạ độ H theo
phương trình tham số của
)(∆
.

uuHMHM


(0.)( =⇒∆⊥
là VTCP của
)(∆
).
Từ đó giải phương trình tìm giá trị tham số
H⇒
.
- Gọi M
1
là điểm đối xứng với M qua
⇒∆)(
H là trung điểm của MM
1


⇒





−=
−=
−=
⇒
MHM
MHM

MHM
zzz
yyy
xxx
2
2
2
1
1
1
toạ độ M
1
Ví dụ: Tìm hình chiếu vuông góc của M(1;0;2) lên đường thẳng
2
1
2
3
1
2
:
−
−
=
−
=
+
∆
zyx
từ đó suy ra toạ độ điểm M
1

đối xứng với M qua
)(∆
.
Giải: Đường thẳng
∆
có VTPT
)2;2;1( −u

đi qua M
0
(-2;3;1)





−=
+=
+−=
∆⇒
tz
ty
tx
PTTS
21
23
2
)(
9
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
)21;32;2()()( tttHH −++−⇒∆∈⇒∆
)12;32;3( −−+−⇒ tttHM

có
0)12(2)32(2)3(10.)( =−−−++−⇔=⇒∆⊥ tttuHMHM


)1;5;1(1 −−⇒=⇔ Ht
M
1
đối xứng với M qua
⇒∆)(
H là trung điểm của MM
1





−=−=
=−=
−=−=
⇒
42
102
32
1
1
1

MHM
MHM
MHM
zzz
yyy
xxx
)4;10;3(
1
−−⇒ M
Dạng 8) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
∆
lên mp(P)

PP: Tìm giao điểm của(
1
∆
) và mp(P). Nếu (
IP =∩∆ )()
1
ta làm như sau:
- Chọn 1 điểm M trên
)(
1
∆
(M không trùng với I)
- Tìm hình chiếu
⊥
của M lên mp(P) .Gọi là điểm H
-
∆

cần tìm là đường thẳng đi qua I và H
• Nếu
=∩∆ )(P
⇒∆⇒ P//
1
φ
Đt (
∆
)cần tìm là đường thẳng // với
1
∆∆
≡⇒∆ UU

- Chọn 1 điểm M bất kì
1
∆∈
- Tìm hình chiếu
⊥
của M lên (P) là H
-
∆

cần tìm là : + đường thẳng đi qua H
+ có VTCP
U

• Nếu
⊥∆
1
(P) thì hình chiếu vuông góc của

1
∆
lên (P) là giao điểm I
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
1
2
32
1
:
+
=
−
=
−
∆
zyx
và mp (P) : x + y – 3z – 3 = 0
Viết phương trình hình chiếu
⊥
của (
∆
) lên mp (P)
Giải: Gỉa sử
=∩∆ )(P
I
⇒
I
)(∆∈
PTTS (
∆

)
)2;3;21(
2
3
21
tttI
tz
ty
tx
+−−+⇒





+−=
−=
+=
I
∈
(P)
⇔
1 + 2t + ( -3t ) - 3 ( -2 + t ) – 3 = 0

4−⇔
t = -4
⇔
t = 1
⇒
I ( 3 ; -3 ; -1 )

Xét M ( 1 ; 0 ; -2 )
)(∆∈
Gọi H là hình chiếu
⊥
của M lên (P)
⇒
H là giao điểm của của
đường thẳng
1
∆
(qua M (1;0;-2) vuông góc với mp(P)) và mp(P) Gọi
nu

,
1
là VTCP của
đường thẳng
1
∆
và VTPT của mp(P)
)3;1;1(
1
−=⇒ nu






−−=

=
+=
∆⇒
'32
'
'1
)(
1
tz
ty
tx
PTTS
⇒
H (1 + t’; t’ ;-2-3t’)
H
∈
( P )
⇒
1 + t’ + t – 3 ( -2 – 3t’)-3=0
11
4
'4'11
−
=⇒−=⇒ tt
)
11
10
;
11
4

;
11
7
(
−−
⇒ H
10
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
⇒
2
∆VTCP
là






−
==
11
1
;
11
29
;
11
26
2
HIu



chọn
)1;29;26(
2
−u






+−=
+−=
−=
∆⇒
tz
ty
tx
PTTS
1
293
263
)(
2
Ví dụ 2: Cho
2
2
12
1

:
1
+
==
−
∆
zyx
và mp(P): x+4y-3z+1=0. Viết phương trình đường
thẳng
∆
là hình chiếu vuông góc của
1
∆
lên (P)
Giải: PTTS





+−=
=
+=
∆
tz
ty
tx
22
21
:

1
.
Giả sử
)22;;21()()()(
11
tttIIIP +−+⇒∆∈⇒=∩∆
(0801)22(3421)( =⇔=++−−++⇔∈ tttPI
vô lý)
)(
1
∆⇒
không cắt (P)
)(
1
∆⇒
//(P)
)(∆
là hình chiếu vuông góc của
1
∆
lên (P) thì
∆
//
1
∆
VTCP
⇒
của
∆
là

)2;1;2(u

Xét M(1;0;-2)
1
∆∈
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P)
⇒
H là giao tuyến
của mp(P) và đường thẳng
2
∆
(đi qua M vuông góc với (P))
Phương trình
:
2
∆
qua M(1;0;-2)
Có VTCP
≡
u

VTPT của mp(P)
)3;4;1( −⇒ u

PTTS






′
−−=
′
=
′
+=
∆
tz
ty
tx
32
4
1
:
2
.
Có H
H⇒∆∈
2
(
)32;4;1 ttt
′
−−
′′
+
H
)
13
14
;

13
16
;
13
9
(
13
4
82601)32(34.41)(
−−
⇒
−
=
′
⇒−=
′
⇒=+
′
−−−
′
+
′
+⇒∈ HtttttP
.
Vì
∆
cần tìm đi qua H










+
−
=
+
−
=
+=
∆⇒
tz
ty
tx
PTTS
2
3
14
13
16
2
13
9
:)(
Dạng 9) Viết phương trình đường thẳng
∆
đối xứng với đường thẳng

1
∆
qua mp(P).
PP: Tìm giao điểm của
)(
1
∆
và (P)
Trường hợp 1:
- Nếu
IP =∩∆ )(
1
.
- Xét 1 điểm M
.
1
∆∈
Tìm hình chiếu vuông góc của M lên (P).
- Tìm
M
′
đối xứng với M qua mp(P)
⇒
H là trung điểm của MM
’

⇒
toạ độ M
’
- Viết phương trình

)(∆
đi qua I và M
’

là đường thẳng cần tìm.
Trường hợp 2:
11
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
- Nếu
1
∆
không cắt (P)
)(
1
∆⇒
//(P)
⇒
đường thẳng
∆
cần tìm song song với
1
∆

11
)()( uuVTCPVTCP

≡⇒∆≡∆⇒
.
- Xét 1 điểm M
1

∆∈
. Tìm hình chiếu vuông góc của M lên mp(P)
- Tìm điểm M đối xứng với M qua (P)
- Viết phương trình đường thẳng
)(∆
qua M
’
có VTCP
u

.
Ví dụ 1: Cho
1
2
32
1
:
1
+
==
−
∆
zyx
và mp(P): x+y-3z-3=0. Viết phương trình
∆
đối
xứng với
1
∆
qua mp(P).

Giải: giải như ví dụ 1 dạng 8.
⇒
giao điểm của
1
∆
và
∆
là I(3;-3;-1)
Hình chiếu vuông góc của M(1;0;-2)
1
∆∈
lên (P) là H(
)
11
10
;
11
4
;
11
7 −−
.
Gọi M
’
là điểm đối xứng với M qua (P)










=−=
−
=−=
=−=
⇒
′
′
′
11
2
2
11
8
2
11
3
2
MHM
MHM
MHM
zzz
yyy
xxx
;

∆

là đường thẳng qua I, M
’
:
MIu
′
≡











+−=
+−=
−=
∆⇒
−
tz
ty
tx
PTTS
11
13
1
11

25
3
11
30
3
:)()
11
13
;
11
25
;
11
30
(
Ví dụ 2: Cho
2
2
12
1
:
1
+
==
−
∆
zyx
và mp(P): x+4y-3z+1=0. Viết phương trình
)(∆
đối

xứng với
1
∆
qua (P)
Giải: giải như ví dụ 2- dạng 8
⇒
Hình chiếu vuông góc của M(1;0;-2) thuộc
1
∆
lên mp(P) là H
)
13
14
;
13
16
;
13
9
(
−−
Gọi M
’
là điểm đối xứng với M qua (P)
⇒
H là trung điểm của MM
’
.
)
13

2
;
13
32
;
13
5
(
13
2
2
13
32
2
13
5
2
−−
′
⇒









−

=−=
−
=−=
−
=−=
⇒
′
′
′
M
zzz
yyy
xxx
MHM
MHM
MHM
Gọi VTCP của
∆
là
)2;1;2(
1
uuu

≡⇒
12
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
∆
qua










+
−
=
+
−
=
+=
⇒
′
tz
ty
tx
PTTSM
2
13
2
13
32
2
13
5
:
Dạng 10) Viết phương trình đường vuông góc chung

∆
của 2 đường thẳng chéo
nhau
21
,∆∆
.
PP: Xét M
NMN

⇒∆∈∆∈
21
;
theo tham số.
- Giả sử MN là đường vuông góc chung của
21
,∆∆
.
- Gọi
21
,, uuu

lần lượt là VTCP của
21
,, ∆∆∆
⇒






=
=
⇒



∆⊥
∆⊥
0.
0.
2
1
1
1
uNM
uNM
MN
MN




giá trị tham số
⇒
toạ độ của M và
⇒NM

phương trình
đường vuông góc chung
:

∆



NMu
quaM


≡
Ví dụ: Cho





=
−=
+=
∆





−−=
=
+=
∆
1
'1

'2
22
_2
1
:
21
z
ty
tx
tz
ty
tx
Chứng minh
1
∆
và
2
∆
chéo nhau . Viết phương trình đường thẳng(
∆
) là đường vuông
góc chung của
1
∆
và
2
∆
Giải : - Gọi
21
,, uuu


lần lượt là VTCP của
21
,, ∆∆∆
Ta có:
1
∆
qua M
1
( 1; 2 ;-2 ) có VTCP
1
u

( 1; 1; -2 )

2
∆
qua M
2
( 2; 1; 1 ) có VTCP
2
u

( 1; -1; 0 )
21
MM

( 1; -1; -3 )
Ta có
[ ]

21
;uu

. M
1
M
2
= -2
≠
0
21
∆∆⇒
chéo nhau.
- Giả sử MN là đoạn thẳng vuông góc chung; M
21
, ∆∈∆∈ N
)1;1;2();22;2;1( ttNtttM
′
−
′
+−−++⇒
)23;1;1( tttttNM +−
′
−−−
′
+

. Vì MN là đoạn vuông góc chung nên:




−=
′
−=
⇔



=+
′
=−−
⇔



=++
′
++−
′
+
=+−−
′
−−−
′
+
⇔






=
=
⇔



∆⊥
∆⊥
1
1
022
066
0011
0)23(211
0.
0.
2
1
2
1
t
t
t
t
tttt
ttttt
uNM
uNM
MN

MN




)0;1;0(M⇒
và
)1;1;1(−NM

Ta có
∆
đi qua M(-1;1;1) có VTCP
)1;1;1(−=u

PTTS





=
+=
−=
∆
tz
ty
tx
1
13
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

PHẦN BA: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP
(Học sinh cần nắm chắc các vấn đè sau )
- Cho M (
00
,, zyx
o
) và mặt phẳng (P): ax + bx + cz + d = 0
Khoảng cách từ M đến mp (P) là : d
M/(P)
=
0 0 0 0
2 2 2
ax bx cz d
a b c
+ + +
+ +
- Cho M (x
0
; y
0
; z
0
) và đường thẳng
∆
qua M’ có VTCP
U

Khoảng cách từ M đến
∆
là :d

M/(
∆
)
=
[ ]
u
MMu



',
* Cho đường thẳng :
1
∆
: đi qua M
1
có VTCP
1
u


2
∆
: đi qua M
2
có VTCP
2
u

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng

21
,∆∆
là : d
(
)/
21
∆∆
=
[ ]
[ ]
21
2121
,
,
uu
MMuu



Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-1=0 và hai
đường thẳng:
1 2
1 9 1 3 1
: ; :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z+ + − − +
∆ = = ∆ = =
−
. Xác định toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng

1
∆
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
2
∆
và khoảng cách từ
M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Giải:
∆
qua A(1;3;-1) và cóVTCP
u

(2;1;-2)
M
1
∈∆
M(-1+t;t;-9+6t)
2
(2 ;3 ;8 6 ), , (8 14;20 14 ; 4) , 3 29 88 68MA t t t MA u t t t MA u t t
   
= − − − = − − − ⇒ = − +
   
uuu uuu  uuu 
Khoảng cách từ M đến
2
2 2
,
: ( , ) 29 88 68
MA u
d M t t

u
 
 
∆ ∆ = = − +
uuu 

.
Khoảng cách từ M đến (P): d(M,(P))=
2 2 2
1 2 12 18 1 11 20
3
1 ( 2) 2
t t t t− + − + − − −
=
+ − +
.
2 2
11 20
29 88 68 35 88 53 0
3
t
t t t t
−
− + = ⇔ − + = ⇔
t=1 hoặc t=
53
35
.
t=1
53 18 53 3

(0;1; 3); ( ; ; )
35 35 35 35
M t M⇒ − = ⇒
14
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:
1 2
2 1 2
x y z− −
= =
1. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
2. Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến
( )
α
lớn
nhất.
Giải:
1. Đường thẳng d có VTCP
(2;1;2)u

.Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên , suy
ra H(1+2t;t;2+2t) và
AH
uuu
=(2t-1;t-5;2t-1).
Vì AH
⊥

d nên
. 0AH u = ⇔
uuu 
2(2t-1)+t-5+2(2t-1)=0
1t
⇔ =
. Suy ra H(3;1;4).
2. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mp
( )
α
. Ta có d(A,(
)
α
)=AK
≤
AH(tính
chất đường vuông góc và dường xiên). Do đó khoảng cách từ A đến
( )
α
lớn nhất khi và
chỉ khi AK=AH hay K
≡
H.
Suy ra
( )
α
qua H và nhận
AH
uuu
=(1;-4;1) làm VTPT.

Phương trình của
( )
α
là: 1(x-3)-4(y-1)+1(z-4)
⇔
x-4y+z-3=0.
Ví dụ 3: Trong không gian hệ toạ độ Oy, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương
trình
1
.
1 1 2
x y z −
= =
−
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng dsao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.
Giải:
1. VTCP của đường thẳng d là
(1; 1;2)u −

. Do (P)
⊥
d nên (P) có VTPT là
P
n

=(1;-1;2).
Phương trình mp(P) là: 1(x-1)-1(y-1)+2(z-3)
⇔
x-y+2z-6=0.

2. M
∈
d
⇒
M(t;-t;1+2t)
MOAV
cân tại điểm O
⇔
OM=OA và M, O, A không thẳng hàng.
OM=OA
⇔
2 2 2
(2 1) 11 1t t t t+ + + = ⇔ =
hoặc t=
5
3
−
với t=1 ta có M(1;-1;3); với t=
5
3
−
ta có M(
5 5 7
; ; )
3 3 3
− −
Thử lại thấy cả hai điểm M tìm được đều thoả mãn điều kiện M, O, A không thẳng hàng.
Vậy có hai điểm M thoả mãn yêu cầu bài toán là
1
(1; 1;3)M −

và
2
5 5 7
( ; ; )
3 3 3
M − −
Ví dụ 4: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2)và hai đường thẳng
1 2
1
1 1
: ; : 1 2
2 1 1
2
x t
x y z
d d y t
z t
= +

− +

= = = − −

−

= +

.
1. Viết phương trình mp(P) qua A đồng thời song song với
1

d
và
2
d
.
2. Tìm toạ độ các điểm M thuộc
1
d
và N thuộc
2
d
sao cho 3 điểm A, M, N thẳng
hàng.
Giải:
1. VTCP của
1
d
và
2
d
là:
(2;1; 1)u = −

và
2
(1; 2;1)u = −
uu

15
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

VTPT
⇒
của (P) là:
2 1 2
. ( 1; 3; 5)n u u
 
= = − − −
 
uu uuu
Vì (P) qua A(0;1;2)
⇒
(P): x+3y+5z-13=0.
Do B(0;1;-1)
1 2
, (1; 1;2)d C d∈ − ∈
, nhưng B, C
∈
(P) nên
1 2
,d d P
(P).
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là (P): x+3y+5z-13=0
2. Vì M
1 2
,d N d∈ ∈
nên M(2m;1+m;-1-m), N(1+n;-1-2n;2+n)
(2 ; ; 3 ); (1 ; 2 2 ; )AM m m m AN n n n⇒ = − − = + − −
uuuu uuu
, ( 2 6 6; 3 3 3; 5 5 )AM AN mn m n mn m n mn m
 

⇒ = − − − − − − − − − −
 
uuuu uuu
A, M, N thẳng hàng
, 0 0, 1 (0;1; 1), (0;1;1)AM AN m n M N
 
⇔ = ⇔ = = − ⇒ −
 
uuuu uuu 
.
Ví dụ 5: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho mp(P):x-2y+2z-5=0 và hai điểm
A(-3;0;1) và B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P). Hãy viết
phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Giải:
Gọi
∆
là đường thẳng cần tìm,
∆
nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P).
Phương trình (Q): x-2y+2z+1=0
K, H là hình chiếu của B trên
∆
, (Q). Ta có BK
≥
BH nên AH là đường thẳng cần tìm.
Toạ độ H=(x;y;z)thoả mãn:
1 1 3
1 11 7 26 11 2
( ; ; ); ( ; ; ).
1 2 2

9 9 9 9 9 9
2 2 1 0
x y z
H AH
x y z
− + −

= =

⇒ = − = −
−


− + + =

uuu
Vậy phương trình
∆
:
3 1
.
26 11 2
x y z+ −
= =
−
Ví dụ 6: Trong các mặt phẳng đi qua A(1;2;-1) và B(-1;1;2). Viết phương trình mặt
phẳng (P) tạo với mặt phẳng (xoy) góc nhỏ nhất.
Giải: Giả sử phương trình mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0 (
2 2 2
0)a b c+ + ≠

.
(P) đi qua A, B nên
2 0 3 2 0 3 2
2 0 2 0 5 3
a b c d b c d c b d
a b c d a b c d a b d
+ − + = + + = = − −
  
⇔ ⇔
  
− + + + = − + + + = = − −
  
⇔
mp(P): (-5b-3d)x+by-(3b+2d)z+d=0
⇔
(5b+3d)x-by+(3b+2d)z+d=0(*)
VTPT của (P) là:
n

(5b+3d);-b;3b+2d), mặt phẳng (Oxy) có VTPT là:
1
n
u
(0;0;1).
Góc tạo bởi (P) và Oxy nhỏ nhất khi cos
[ ]
( ),(Oxy)P
max
1
1

.
.
n n
n n
⇔
 u
 
max. Kí hiệu
[ ]
cos ( ),(Oxy) cosP
ϕ
=

2 2 2 2 2
2 2
ax
2 2
3 2 3 2
cos
(5 3 ) (3 2 ) 35 42 13
9 12 4
cos max
35 42 13
m
b d b d
b d b b d b bd d
b bd d
f
b bd d
ϕ

ϕ
+ +
⇔ = =
+ + + + + +
+ +
⇔ =
+ +
Nếu d=0 thì f=
2
2
9 9 3
cos (1)
35 35
35
b
b
ϕ
= ⇔ =
16
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Nếu b=0 thì f=
2
2
4 4 4
cos (2)
13 13 13
d
d
ϕ
= ⇔ =

Nếu
0d ≠
đặt
b td=
thay vào hàm f ta có
2
( )
2
9 12 4
35 42 13
t
t t
f
t t
+ +
⇒ =
+ +
. Gọi y
0
là 1 giá trị của f
(t)
2
2
0 0 0 0
2
2
0 0 0
2
0 0 0 max
9 12 4

(35 9) (42 12) 13 4 0
35 42 13
' 0 (21 6) (35 9)(13 4) 0
5 5
14 5 0 0 cos (3)
14 14
t t
y y t y t y
t t
y y y
y y y
ϕ
+ +
⇒ = ⇔ − + − + − =
+ +
∆ ≥ ⇔ − − − − ≥
⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇔ =
Từ (1)(2)(3) chọn cos
max
5
14
ϕ
=
khi y
0
=
5
14
. Khi đó t=
0

0
(42 12)
3 3
2(35 9) 7 7
y
b d
y
− −
= − ⇔ = −
−
chọn d=7
3b
⇒ = −
thay vào (*) ta có phương trình mặt phẳng (P) là:
6 3 5 7 0x y z+ + + =
Ví dụ 7) Cho đường thẳng
1
1
: 0
x t
y
z t
= +


∆ =


= −


và hai điểm A(2;1;-1), B(-1;2;0). Viết phương
trình đường thẳng
∆
qua B cắt
1
∆
sao cho khoảng cách từ A đến
∆
là nhỏ nhất? lớn
nhất?
Giải: Gọi
1
,u u
 u
lần lượt là VTCP của
1
,∆ ∆
.
Ta có
1
∆
qua N(1;0;0) có VTCP
1
(1;0; 1)u −
u
Giả sử
1
(1 ;0; ); : (2 ; 2; )M M t t VTCP u BM t t∆ ∩∆ = ⇒ + − ≡ = + − −
 uuuu
V

( ) ( )
3; 1; 1 ; 2 ; 2;BA u BA t t
 
⇒ = − − ⇒ = + − −
 
uuu  uuu
( )
/
,
A
u BA
d
u
∆
 
 
⇒ =
 uuu

=
( )
2
2 2
2 2
2 (2 2 ) (4 )
(2 ) 4
t t t
t t
− + + + −
+ + +

=
2 2
2 2
3 10 12 3 10 12
ax y= ax
2 4 2 4
t t t t
dm m
t t t t
− + − +
⇔
+ + + +
. Gọi y
0
là
một giá trị của hàm số
⇔
0
y =
2
2
3 10 12
2 4
t t
t t
− +
+ +
( )
2
0 0 0

3 (2 10) 4 12 0y t y t y⇔ − + + + − =
( )
2
0 0 0
' 0 5 ( 3)(4 12) 0y y y⇔ ∆ ≥ ⇔ + − − − ≥
2
0 0 0
1
3 34 11 0 11
3
y y y⇔ − + − ≥ ⇔ ≤ ≤
Từ đó suy ra
0
0
0
2 10
ax= 11 11 2
2( 3)
y
dm y t
y
− −
⇔ = ⇒ = = −
−
17
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
1
(0; 2;2) ( ): 2 2
2
x

u PTTS y t
z t
= −


⇔ − ⇒ ∆ = −


=


0
1 1
min 2
3 3
d y t= ⇔ = ⇔ =
1 4
(4; 2;2) ( ): 2 2
2
x t
u PTTS y t
z t
= − +


⇒ − ⇒ ∆ = −


= −



Ví dụ 8) Cho đường thẳng
1
1 4
: ; (1; 1;2); ( ) : 1 0
2 1 3
x y z
A mp P x y z
+ −
∆ = = − + − + =
−
Trong các đường thẳng đi qua A song song với mặt phẳng (P) hãy viết phương trình
đường thẳng
∆
sao cho khoảng cách giữa
∆
và
1
∆
là lớn nhất
Giải: Gọi
1
,u u
 u
,
n

lần lượt là VTCP của
1
;∆ ∆

và VTPT của mặt phẳng (P) .Giả sử
( ; ; )u a b c

2 2 2
( 0)a b c+ + ≠
Vì
//
∆
mặt phẳng (P)
. 0 0 ( ; ; )u n a b c c a b u a b a b⇒ = ⇔ + − = ⇔ = + ⇒ +
  
Ta có
: (1; 1;2), ( ; ; )quaA VTCPu a b a b∆ − +


1 1
( 1;0;4) (2;1; 3)quaB VTCPu∆ − −
u
,
( 2;1;2)AB −
uuu
,
1
, ( 4 ;5 2 ; 2 )u u a b a b a b
 
= − − + −
 
 u
( )
1

1
( / )
2 2 2
2 2
1
,
2( 4 ) 5 2 2( 2 ) 9 6
27 24 24
,
4 (5 2 ) ( 2 )
u u AB
a b a b a b a b
d
a ab b
u u
a b a b a b
∆ ∆
 
− − − + + + − +
 
= = =
 
+ +
− − + + + −
 
 u uuu
 u
+ Nếu a=0 thì
6
24

d =
(1)
+ Nếu b=0 thì
3
3
d =
(2)
+ Nếu
, 0a b ≠
Chọn b=1
2 2
2
2 2
81 108 36 27 36 12
27 24 24 9 8 8
a a a a
d y
a a a a
+ + + +
⇒ = = =
+ + + +
.
Xét y=
2
2
27 36 12
9 8 8
a a
a a
+ +

+ +
⇔
( )
2
9 27 (8 36) 8 12 0y a y a y− + − + − =
có
( )
2
' 0 4 18 (9 27)(8 12) 0y y y∆ ≥ ⇔ − − − − ≥
2
45
56 180 0 0
14
y y y⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ≤
45
ax=
14
dm⇒
(3)
Từ (1) (2) (3) Chọn
45
ax=
14
dm
khi đó
(8 36) 8
2(9 27) 3
y
a
y

− −
= =
−
8 11
;1;
3 3
u
 
⇒ =
 ÷
 

Chọn
( )
8;3;11u =


1 8
( ) 1 3
2 11
x t
PTTS y t
z t
= +


⇒ ∆ = − +


= +


18
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088
Bài 1) Trong không gian cho mặt phẳng (P):
0423
=+−+
zyx
và hai điểm A( 4; 0; 0);
B(0; 4; 0). Gọi I là trung điểm AB
a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và (P)
b) Tìm toạ độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời K cách đều
gốc toạ độ O và mặt phẳng (P)
Bài 2) Trong không gian Oxyz cho A( 1; 2; 0); B(0; 4;0) C(0;0;3)
a) Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua O vuông góc với mặt phẳng (ABC)
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA sao cho khoảng cách từ B đến mặt
phẳng (P) bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) .
Bài 3) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 6x+3y-4z=0 và các điểm A(0;0;4);
B(2;0;2)
a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Bài 4) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 4x-3y+11z-26=0
Và 2 đường thẳng d1:
3
1
2
3

1
+
=
−
=
−
zyx
d2:
2
3
11
4
−
==
−
zyx
Chứng minh d1 và d2 chéo nhau và viết phương trình đường thẳng
∆
nằm trên (P) đồng
thời cắt d1 và d2.
Bài 5) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình
d1:





=
+−=
=

uz
uy
ux
4
32
2
d2:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
21
2
1
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2
b) Cho M(2; 1;4). Tìm toạ độ H thuộc d2 sao cho MH có độ dài nhỏ nhất
Bài 6) Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d1





=

−−=
+=
2
1
1
z
ty
tx
và d2:
12
1
1
3 zyx
=
−
=
−
−
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và song song với d2
b) Tìm A trên d1 và B trên d2 sao cho AB ngắn nhất
Bài 7) Trong không gian Oxyz cho A(0;0;0) và B(2;0;0), C(0;2;0); A’(0;0;2)
a) Chứng minh A’C vuông góc với BC. Viết phương trình mặt phẳng (ABC’)
b) Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’C’ trên
(ABC’)
19
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Bài 8) Trong không gian Oxyz cho A(1;1;0); B(0;2;0); C(0;0;2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC. Tìm
toạ độ giao điểm AC và mặt phẳng (P)
b) Chứng minh ABC là tam giác vuông.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

OABC.
Bài 9) Trong không gian Oxyz cho M(5;2;-3) và mặt phẳng (P): 2x+2y-z+1=0
a) Tìm hình chiếu vuông góc M1 của M trên mặt phẳng (P) và tính độ dài MM1
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng
6
5
2
1
2
1
−
−
=
−
=
−
zyx
Bài 10) Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d1:
211
zyx
==
và d2:





+=
=
−−=

tz
ty
tx
1
21
Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. Tìm toạ độ M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường
thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x – y + z =0 và độ dài MN=
2
Bài 11) Trong không gian Oxyz cho A(-3;5;-5); B(5;-3;7) và mặt phẳng (P) x +y +z =0
a) Tìm giao điểm I của AB và mặt phẳng (P)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho
22
MBMA +
nhỏ nhất
Bài 12) Trong không gian Oxyz cho A(-1;3;-2);B(-3;7;-18) và mặt phẳng(P):2x-y+z+1=0
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất
Bài 13) Cho M (1;2;-1) và d:
2
2
2
2
3
1
−
=
−
−
=
+

zyx
a) Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của M trên d và tìm điểm đối xứng với M
qua d
b) Lập phương trình đường thẳng d1 đối xứng với d2 qua d biết d2:





−=
=
=
tz
ty
x
1
2
t
R
∈
Bài 14) Cho M(1;0;2) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0
a) Tìm điểm đối xứng với M qua (P)
b) Viết phương trình đường thẳng
∆
đối xứng với d qua mặt phẳng (P) biết
d:
1
1
1
1

2
1
−
=
−
=
+
zyx
Bài 15) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x –y + z + 1 =0 và A(1;2;-1)
B(1;0;-1); C(2;1;-2). Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho
222
2 MCMBMA
−+
nhỏ nhất.
Bài 16) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x -3y +3z -11=0
Và các điểm A(3;-4;5) ; B(3;-3;-3). Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho
MBMA
−
lớn
nhất.
20
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Tel: 0988844088
Bài 17) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
∆







+=
+=
+=
tz
ty
tx
31
21
1
và hai điểm A(2;-1;1) và
B(1;-1;0). Tìm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.
Bài 18) Trong các mặt phẳng đi qua A(1;2;-1) và B(-1;1;2) viết phương trình mặt phẳng
(P) tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất
Bài 19) Cho đường thẳng
∆
:
Rt
tz
y
tx
∈





−=

=
+=
0
1
và các điểm A(2;1;-1), B(-1;2;0). Trong
các đường thẳng đi qua B và cắt
∆
, Viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách
từ A đến nó là lớn nhất? Nhỏ nhất?
Bài 20) Cho các đường thẳng
∆
1:
1
1
1
1
2
1
−
=
+
=
−
zyx
;
∆
2:
321
1 zyx
==

−
+
Trong các đường thẳng đi qua A(2;-1;2) và cắt đường thẳng
∆
1 hãy viết phương trình
đường thẳng
∆
sao cho khoảng cách giữa
∆
và
∆
2 là lớn nhất
Bài 21) Cho mặt phẳng (P) x +y –z +1=0 và đường thẳng
∆
:





−=
=
+−=
tz
ty
tx
34
21
Trong các
đường thẳng đi qua A(1; -1:2) và song song với (P) viết phương trình đường thẳng

∆
1
sao cho khoảng cách
∆
1 và
∆
là lớn nhất
Bài 22) Cho đường thẳng
∆
:
t
tz
y
tx





−=
+−=
+=
1
21
1
và các điểm A(2;1;-1), B(3;-2;1). Trong các
đường thẳng đi qua B và cắt
∆
, Viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ
A đến nó là lớn nhất? Nhỏ nhất?

Bài 23) Cho hai đường thẳng
1
10
1
6
2
8
:2;
2
4
1
2
1
:1
−
−
=
−
=
++
=
−
−
=
zyx
d
zyx
d
Chứng minh d1 và d2 chéo nhau Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d1 và d2 mà bán
kính mặt cầu đó bé nhất

Bài 24) Trong các mặt cầu đi qua A(1;2;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0
Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất
Bài 25) Cho mặt cầu (S)
0422
222
=−+−++ zxzyx
và mặt phẳng (P): 2x-2y+z+8=0
21
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
Tìm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất?Nhỏ
nhất.
Bài 26)Cho đường thẳng
3
2
1
3
2
1
:
−
+
=
−
=
+
∆
zyx
và hai điểm M(2;1;-4) ,N(-2;3;6). Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
∆

và cách đều hai điểm MN
Bài 27) Cho đường thẳng





+−=
+=
+=
∆
tz
ty
tx
21
2
31
:
và 2 điểm A(2;0;4) , B(-1;2;2). Tìm điểm C
thuộc
∆
để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất
Bài 28) Cho đường thẳng
∆
:
321
zyx
==
và mặt phẳng (P): x+y+z-6=0
a) Viết phương trình đường thẳng (

∆
′
) hình chiếu của (
∆
) xuống (P)
b) Gọi A
)()( P∩∆∈
. Tìm toạ độ điểm B(khác với gốc toạ độ) nằm trên (
∆
) sao cho
AB=
14
c) Cho điểm M
)(∆
′
∈
. Đặt
2
22
AM
BMAB
q
+
=
Tìm M để q nhỏ nhất
Bài 29) Mặt phẳng
)(
α
: x+y-z+1=0 và đườngthẳng
∆

:
3
4
12
1
−
−
==
+ zyx
. Trong các
đường thẳng
1
∆
đi qua A(1;-1;2) và song song với
( )
α
. Hãy viết phương trình đường
thẳng mà khoảng cách giữa
∆
và
1
∆
bé nhất.
Bài 30) Trong các mặt phẳng đi qua A(1;1;-1) và vuông góc với mặt phẳng
( )
α
có
phương trình:2x-y+z+2=0. Hãy viết phương trình mặt phẳng tạo với đường thẳng Oy một
góc lớn nhất.
Bài 31) Cho mặt cầu (S) có phương trình :

0422
222
=−+−++ zxzyx
và mặt phẳng
(P) :2x-2y+z+8=0. Tìm điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
lớn nhất.
Bài 32) Cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
-2x+2z-2=0 và các điểm A(0;1;1), B(-1;-2;-3),
C(1;0;-3). Tìm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất.
Bài 33) Cho mặt cầu (S) có phương trình : x
2
+y
2
+z
2
-2x+4y-2z+5=0. Tìm toạ độ điểm M
thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
( )
∆
đạt giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất nếu
22
Created by NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
a)






−=
=
−=
∆
1
1
z
ty
tx
b)





+−=
−=
=
∆
tz
ty
x
1
2
2
c)






−=
−=
+=
∆
2/1
2
1
z
ty
tx
Bài 34) Cho các đường thẳng





=
=
=
∆
−
=
−
=
−

∆
2
2
:2;
1
3
1
2
1
1
:1
z
ty
tx
zyx
và
1
6
21
:
−
=
−
=∆
zyx
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng
∆
tiếp
xúc với
2;1 ∆∆

Bài 35) Đường thẳng
∆
đi qua M(1;2;-1) và cắt 2 đường thẳng
1
1
1
1
2
1
:2
11
1
2
1
:1
−
=
−
=
−
−
∆
=
−
−
=
+
∆
zyx
zyx

tại A,B. Tính tỷ số
MB
MA
23