Đề và đáp án thi HSG Toán Vòng 3

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 3
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN 9
Thời gian:150 phút(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: Giải các phương trình sau
a)
11
2
−=+ xx

b)
112
3
=−+− xx
Câu 2:
a)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x,y thoả mãn:
531531 −+−+−=+++++ yyyxxx
b)Tìm tất cả các số dương x,y,z thoả mãn:





=++
≤++
3
941
12

zyx
zyx
Câu 3: Mỗi cô gái trong nhóm 50 cô gái có tóc nâu hay tóc vàng và mắt xanh
hay mắt nâu.Nếu có 14 cô tóc nâu mắt xanh,31 cô gái tóc vàng và 18 cô gái mắt
nâu thì có bao nhiêu cô gái tóc vàng mắt nâu.
Câu 4: For a, b, c are positive numbers satisfying: a + b + c = 3. Prove that:
2
3
22
3
22
3
22
3
≥
+
+
+
+
+ ac
c
cb
b
ba
a
.
Câu 5: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh a vẽ một đường thẳng cắt cạnh
BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I.Chứng minh rằng
222
111

aAIAM
=+
Câu 6:
Một tam giác có số đo các đường cao là những số nguyên và bán kính đường
tròn nội tiếp bằng 1.Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN 9
Câu Nội dung trình bày Điểm
1
a
( )
( )
( )






=−−+
−≤≥
⇔
−=+
≥−

⇔−=+
011
1;1
11
01
11
2
2
2
2
2
xxxx
xx
xx
x
xx

1
−=⇔
x
hoặc
2
51+
=x
0.75đ
b
ĐK:
1
≥
x

;Đặt



−=
−=
1
2
3
xv
xu

Khi đó ta có:












=
−=




=
=



=
=



⇔
=+
=+
3
2
0
1
1
0
1
1
23
v
u
v
u
v
u
vu
vu

Trở lại cách đặt ta được:
1/
⇔



=
=
1
0
v
u
2
11
02
3
=⇔



=−
=−
x
x
x
2/
⇔




=
=
0
1
v
u
1
01
12
3
=⇔



=−
=−
x
x
x
3/
⇔



=
−=
3
2
v
u

10
31
22
3
=⇔



=−
−=−
x
x
x
0.25
0.25
0.25
2
a
ĐK:
5;1 ≥−≥ yx
+)Nếu x+1>y-5 => x+3>y-3;x+5>y-1.Khi đó VT>VP
+)Nếu x+1<y-5 => x+3<y-3;x+5<y-1.Khi đó VT<VP
Từ đó ta suy ra x+1=y-5 hay x-y=-6 (1)
Nghiệm nguyên tổng quát của (1) có dạng
Zt
ty
tx
∈




+=
=
;
6
với điều kiện
5;1 ≥−≥ yx
,để nghiệm của phương trình đã cho là
nghiệm nguyên dương thì ta phải có
1≥t
.Vậy nghiệm nguyên dương
của phương trình đã cho có dạng
1,;
6
≥∈



+=
=
tZt
ty
tx
.
0.25
0.25
0.25
0.25
b
Từ giả thiết ta suy ra

6
4
941
≤
++
+++
zyx
zyx
(1)
Mặt khác ta có:
1
4
.
1
2
4
1
=≥+
x
x
x
x
;
2
4
4
≥+
y
y
;

3
4
9
≥+
z
z
Do đó ta có
6
4
941
≥
++
+++
zyx
zyx
(2)Do vậy để (1) xảy ra thì ta phải
có:
6
4
941
=
++
+++
zyx
zyx
hay






=
=
=
⇔









=
=
=
6
4
2
4
9
4
4
4
1
z
y
x
z

z
y
y
x
x
0.25
0.25
0.25
0.25
3
Mỗi cô gái trong 50 cô gái phải thuộc 1 trong 4 nhóm sau:
1.tóc nâu mắt xanh
2.tóc nâu mắt nâu
3.tóc vàng mắt xanh
4.tóc vàng mắt nâu.
Gọi x,y,z,t là số cô gái thuộc các nhóm 1,2,3,4.Khi đó ta có hệ
phương trình







=+
=+
=
=+++
18
31

14
50
ty
tz
x
tzyx
13=⇒ t
1.5
4
We have:
22
2
22
2
22
3
b
a
ab
ab
a
ba
ab
a
ba
a
BCS
−=−≥
+
−=

+
.
Similarly we have.:
2
;
2
22
3
22
3
a
c
ac
cc
b
cb
b
−≥
+
−≥
+
Thus we have.:
2
3
2
22
3
22
3
22

3
=
++
≥
+
+
+
+
+
cba
ac
c
cb
b
ba
a
.
Sign "=" occurs if and only if a = b = c = 1.
0.5
0.5
0.5
5
Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt DC
kéo dài tại K.
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác AKI ta có:
222
111
AIAKAD
+=
.

Mặt khác do
AMBAKD ∆=∆
(cạnh góc vuông,góc nhọn) do đó suy ra
AMAK =
.
Do vậy ta có
222
111
AIAMa
+=
0.5
0.5
0.5
0.5
6
Gọi x,y,z lần lượt là các đường cao tương ứng vứi các cạnh a,b,c của
tam giác ABC.Ta có:S
ABC
=
( )
1 1 1 1
ax
2 2 2 2
by cz a b c r= = = + +
.Thay r=1 ta
được ax=by=cz=a+b+c. (*)
Từ ax=a+b+c
1 2
a b c b c
x

a a
+ + +
⇒ = = + >
.Chứng minh tương tự ta
được y>2,z>2.Mặt khác từ:
ax
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1
by cz a b c
a b c a b c
a b c
x y z x y z
a b c
x y z a b c
= = = + +
+ +
⇒ = = = = + +
+ +
+ +
⇒ + + = =
+ +
.
Không mất tính tổng quát giả sử
x y z≤ ≤
.Khi đó
1 1 1 3
1 3z
x y z z
= + + ≤ ⇒ ≤

.Mà z>2 nên z=3.Thay z=3 vào hệ thức
( ) ( )
1 1 1 1 1 2
1 2 3 2 3 9
3
x y
x y z x y
+ + = ⇒ + = ⇒ − − =
.Vì x,y nguyên nên ta có:
2 3 3 3
2 3 3 3
2 3 1 2
2 3 9 9
x x
y y
x x
y y
 
− = =
 
 
 
− = =
 
 
⇔
 
− = =
 
 

 
− = =
 
 
 
Trường hợp x=2;y=9 bị loại nên ta có x=y=z=3.Do đó a=b=c (theo *)
Vậy tam giác ABC đều.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25