Toán_11 Thi HK II số 9

KIỂM TRA HỌC KÌ II
Họ và tên: Lớp 11
Lớp: 11 Môn: Toán
Thời gian: 90 phút
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1(0,75 đ) Tính giới hạn :
2
2 4 2
lim
1
+ + +
+
n
n
.
Câu 2(0,75 đ) Tính giới hạn :
2
2
5 3
lim
2
→
 
+ −
 ÷
 ÷
−
 
x
x
x

Câu 3(1,5 đ) Cho hàm số
2
7 6
, khi x 1
f(x) =
1
2 1, khi x 1

+ +
≠ −

+


− = −

x x
x
a
(a là tham số).
Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên tập xác định của nó.
Câu 4(1,5 đ) Cho hàm số
1
= +y x
x
, có đồ thị là (C).
a) Chứng minh rằng:
" 2 ' 2 0.+ − =xy y
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng

3
4
y x=
.
Câu 5(2,5 đ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), SA = AB = a.
a) Chứng minh rằng: CB vuông góc với mặt phẳng (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,0 đ) Tính đạo hàm của hàm số
2
2
+
=
+
x x
y
x
.
Câu 7a (1,0 đ) Chứng minh rằng phương trình :
5 3
10 100 0− + =x x
có ít nhất một nghiệm âm.
Câu 8a (1,0 đ) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng C’D’ và CB’
(Vẽ hình: 0,25 đ).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (1,0 đ) Tính đạo hàm của hàm số

2
sin sin 1= + +y x x
.
Câu 7b (1,0 đ) Cho a, b, c là các số khác 0.Chứng minh rằng phương trình :
0+ + =
− − −
a b c
x a x b x c
có ít nhất một nghiệm.
Câu 8b (1,0 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông tâm O, AB = a, SO vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SO =
2
3
a
. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng AB và SC
(Vẽ hình: 0,25 đ).
 HẾT 
ĐÁP ÁN
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1
(0,75 đ)
2
2 4 2
lim
1
+ + +
+
n

n
=
2
( 1)
lim
1
n n
n
+
+
0,25
=
2
1
1
lim
1
1
n
n
+
+
0,25
= 1 0,25
2
(0,75 đ)
2
2
5 3
lim

2
→
 
+ −
 ÷
 ÷
−
 
x
x
x
=
2
2
2
4
lim
( 2)( 5 3)
→
 
−
 ÷
 ÷
− + +
 
x
x
x x
0,25
=

2
2
2
lim
5 3
→
 
+
 ÷
+ +
 
x
x
x
0,25
=
2
3
0,25
3
(1,5 đ)
2
7 6
, khi x 1
f(x) =
1
2 1, khi x 1

+ +
≠ −


+


− = −

x x
x
a
TXĐ: D = R. Khi x ≠ -1 thì
2
7 6
f(x)=
1
+ +
+
x x
x
liên tục trên R\{-1} 0,25
Hàm sô liên tục trên R khi hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -1,
tức là
1
lim ( ) ( 1)
→−
= −
x
f x f
0,25
2
1

7 6
lim
1
→−
+ +
+
x
x x
x
= 2a - 1 0,25
1
lim( 6)
→−
+
x
x
= 2a - 1 0,25
5 = 2a - 1 0,25
a = 3 0,25
4
1
= +y x
x
a
(0,75 đ)
y’ = 1 -
2
1
x
0,25

y" =
3
2
x
0,25
xy" + 2y’ – 2 =
2
2
x
+ 2(1 -
2
1
x
) – 2 = 0 0,25
b
(0,75 đ)
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3/4. Hoành độ tiếp điểm là
nghiệm của phương trình: y’ = 3/4
0,25
⇔ x = ±2
Khi x = 2 thì tung độ tiếp điểm là y = 5/2 ta được tiếp tuyến: y =
3/4x + 1
0,25
Khi x = -2 thì tung độ tiếp điểm là y = -5/2 ta được tiếp tuyến: y
= 3/4x - 1
0,25
5
S
A
C

B
H
0,5
a
(1,0 đ)
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên SA vuông góc với CB. 0,25
Tam giác ABC vuông tại B nên ta có AB vuông góc với CB 0,25
Vậy CB vuông góc với mặt phẳng (SAB). 0,5
b
(1,0 đ)
Dựng AH vuông góc với SB thì H là trung điểm của SB 0,25
Ta lại có CB vuông góc với mp(SAB) nên AH vuông góc với
CB.
0,25
Suy ra AH ⊥ mặt phẳng(SBC) nên khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng(SBC) là AH =
2
2
a
0,5
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
6a
(1,0 đ)
2
2
+
=
+

x x
y
x
y' =
2
2
(2 1)(2 ) ( )
(2 )
+ + − +
+
x x x x
x
0,5
y' =
2
2
4 2
(2 )
+ +
+
x x
x
0,5
7a
5 3
10 100 0− + =x x
(1,0 đ)
Đặt f(x) =
5 3
10 100− +x x

Hàm số f(x) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [-4; -3].
0,25
Và ta có f(-4).f(-3) = -36068 < 0 0,5
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm âm 0,25
8a
(1,0 đ)
B'
O
A'
B
D
D'
C'
C
A
0,25
Ta có: C’D’ ⊥ (CBB’C’) ⇒ C’D’ ⊥ OC’
0,25
Tứ giác CBB’C’ là một hình vuông nên CB’ ⊥ OC’
0,25
OC’ là đường vuông góc chung cần tìm và OC’ =
2
2
a
là
khoảng cách giữa hai đường thẳng C’D’ và CB’
0,25
2. Theo chương nâng cao
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
6b

(1,0 đ)
2
sin sin 1= + +y x x

2
2
(sin )'
' cos
2 sin 1
= +
+
x
y x
x
0,5
2
sinx.cos
' cos
sin 1
= +
+
x
y x
x
0,5
7b
(1,0 đ)
0+ + =
− − −
a b c

x a x b x c
(1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )f x a x b x c b x c x a c x a x b= − − + − − + − −
liên tục trên
R.
0,25
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
0 3 0f a f b f c f a b c a b b c c a= − − − − <
0,25
( ) ( ) ( ) ( )
0 hoÆc 0 0f a f b f c f< <
. Do đó phương trình f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm.
0,25
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm 0,25
8b
(1,0 đ)
N
I
O
A
J
D
C
B
S
H

M
0,25
Gọi I và J là trung điểm của AB và CD thì O là trung điểm của
IJ và
( )CD SIJ⊥
Dựng IH vuông góc với SJ thì IH vuông góc với mặt phẳng
(SCD) và IH vuông góc với SC.
0,25
Qua H dựng đường thẳng song song với CD cắt SC tại M
Qua M dựng đường thẳng song song với IH cắt AB tại N.
Ta có MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và
SC.
0,25
Vậy khoảng cách là:
4
.
5
a
MN IH= =
0,25