ON THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 12

Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

PHẦN I. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
(5 tiết)
VẤN ĐỀ I: ĐẠO HÀM
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm
( )
( ) ( )
x
y
x
xfxxf
xfy
xx
x
∆
∆
=
∆
−∆+
=
′
=
′
→∆→∆ 0
00
0
0
limlim
0

2. Các quy tắc tính đạo hàm
3. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và hệ quả
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm và phương trình tiếp tuyến
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số
a)
3 2
3 3 2y x x x= + + −
; b)
4 2
4 1y x x= + −
; c)
2 1
2
x
y
x
−
=
+
;
d)
2
2 3
1
x x
y
x
− −
=

−
; e)
3
sin (2 1)y x= +
; f)
cos .lny x x=
;
g)
2 1x
y e
+
=
; h)
2
2
1
x
x
y
e
−
=
+
.
Bài 2. Chứng minh rằng:
a. Với hàm số y = x.sinx, ta có xy – 2(y’ – sinx) + xy” = 0;
b. Với hàm số y = ln(sinx), ta có
' "sin tan 0
2
x

y y x+ + =
.
Bài 3. Cho hàm số
( )
2
32
−
−
=
x
x
xf
có đồ thị là (C).
a. Tính đạo hàm của hàm số tại x
0
= 3;
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Bài 4. Cho đường cong (C) có phương trình
( )
x
xfy
3
==
. Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến
này:
a. Có hệ số góc bằng -3;
b. Song song với đường phân giác thứ hai của góc toạ độ.
VẤN ĐỀ II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Nắm được định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số.

2. Định lý. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.
+ Nếu
( )
' 0,f x x I≥ ∀ ∈
và
( )
0' =xf
chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến trên I
+ Nếu
( )
' 0,f x x I≤ ∀ ∈
và
( )
0' =xf
chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f nghịch biến trên I
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y = x
3
– 3x
2
+ 2 b) y = -x
4
+ 4x
2
– 3 c)
1
2
x
y

x
+
=
−
d)
2
75
2
−
+−
=
x
xx
y
e)
3
2
xy =
f)
( )
π
2x0 sin2 <<−= xxy
g) y = x – e
x

Trần Văn Chung
1
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

Bài 1. Cho hàm số

( ) ( )
3 2
1
2 2 2 2 5
3
m
y x m x m x
−
 
= − − + − +
 ÷
 
a. Đònh m để hàm số luôn luôn đồng biến
b. Đònh m để hàm số luôn luôn nghòch biến
Bài 2. Đònh m để hàm số
mx
mmxx
y
2
32
22
−
+−
=
đồng biến trong từng khoảng xác đònh của nó.
Bài 3. . Tìm m để hàm số
( ) ( )
3
1
231

3
2
3
+−+−−= xmxm
mx
y
luôn luôn đồng biến trên tập xác đònh
VẤN ĐỀ III: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm cực trị của hàm số
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý. Giả sử hàm số f đạt cực trị tại
x
o
. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại
x
o
thì
'( ) 0f x =
o
.
2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý. Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng
( )
,a b
chứa điểm
x
o
. Khi đó
a. Nếu

( )
'( ) 0, ;f x x a x< ∀ ∈
o
và
( )
'( ) 0, ;f x x x b> ∀ ∈
o
thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm
x
o
.
b. Nếu
( )
'( ) 0, ;f x x a x> ∀ ∈
o
và
( )
'( ) 0, ;f x x x b< ∀ ∈
o
thì hàm số f đạt cực đại tại điểm
x
o
.
3. Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số:
a. Quy tắc 1:
+ Tìm
( )
xf
′
.

+ Tìm các x
i
(i = 1,2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng khơng có đạo hàm.
+ Xét dấu
( )
xf
′
. Nếu
( )
xf
′
đổi dấu khi x đi qua điểm x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i

b. Quy tắc 2:
+Tính
( )
xf
′
.
+ Tìm các nghiệm x
i
(i = 1,2,…) của phương trình
( )
0=
′
xf
.

+ Tìm
( )
xf
′′
và tính
( )
i
xf
′′
.
* Nếu
( )
0
i
f x
′′
<
thì hàm số đạt đại tại điểm x
i
* Nếu
( )
0
i
f x
′′
>
thì hàm số đạt tiểu tại điểm x
i
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Dùng quy tắc 1, tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 3x
2
– 2x
3
b)
3
2
2
4
+−= x
x
y
c)
2
1
2
−
−−
=
x
xx
y
d)
3
152
2
−
−−
=
x

xx
y
Bài 2. Dùng quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x
4
– 2x
2
+ 3 b) y = 3x
5
– 125x
3
+ 2160x c) y = sin2x – x
Bài 3. Định m để hàm số
1
2
2
−
+−
=
x
mxx
y
có cực đại và cực tiểu (ĐS m < 3)
Trần Văn Chung
2
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

Bài 4. Định a, b để hàm số
bax
x

y +−=
2
4
2
đạt cực trị bằng -2 tại x = 1
Bài 5. Cho hàm số:
4 2
(1 ) 2 1
4 2
x mx
y m x m= + + + + −
(m là tham số)
a. Đònh m để hàm số có 1 cực trò;
b. Đònh m để hàm số có 3 cực trò.
Bài 6: Tìm m để hàm số
2
3 2 1
1
mx mx m
y
x
+ + +
=
−
(m là tham số) có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trị trái
dấu
Bài 7: Cho hàm số y = x
4
- 2mx
2

+ m
4
+ 2m (m là tham số). Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời
các điểm cực đại và cực tiểu lập thành 1
∆
đều.
VẤN ĐỀ IV: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
2. Quy tắc tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
[ ]
;a b

+Tìm các điểm
1 2
, , ,
n
x x x
thuộc đoạn
( )
;a b
tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.
+ Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
, , , , ,
n
f x f x f x f a f b
.
+ So sánh các giá trị tìm được.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn
[ ]
;a b
, số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên
đoạn
[ ]
;a b
.
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm só :
a)
22
2
−+= xxy
b)
,
1
2
x
xx
y
++
=
trên
( )
0;∞−

c)
52
24

+−= xxy
trên [-3;2] d)
2
100 xy −=
trên [-8;6]
e) y = x
2
.e
x
trên [-3;2] f)
1sinsin
1sin
2
++
+
=
xx
x
y
VẤN ĐỀ V: ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Cơng thức chuyển hệ toạ độ
Giả sử
( )
;I x y Oxy∈
o o
. Cơng thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI
uur
x x X

y y Y
= +


= +

o
o
2. Phương trình đường cong đối với hệ toạ độ mới
Trần Văn Chung
3
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

Phương trình đường cong
( )y f x=
đối với hệ toạ độ IXY là:
( )Y f X x y= + −
o o
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho đường cong (C) có phương trình
1
2
x
y
x
+
=
−
và điểm
(2;1)I

. Viết công thức chuyển hệ toạ độ
trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI
uur
và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra
I là tâm đối xứng của (C)
Bài 2. Cho đường cong (C) có phương trình
2
3 1
1
x x
y
x
+ +
=
−
và điểm
(1;5)I
. Viết công thức chuyển hệ toạ
độ trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI
uur
và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy
ra I là tâm đối xứng của (C)
Bài 2. Chứng minh đường cong (C) có phương trình
2
3 1
1
x x
y

x
+ +
=
−
có tâm đối xứng I và tìm tâm đối xứng
đó. Viết công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI
uur
và viết phương trình của đường cong (C)
đối với hệ toạ độ IXY.
VẤN ĐỀ VI: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hàm số y = f(x)
1. Nếu
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
lim
lim
lim
lim
x x
x x
x x
x x

f x
f x
f x
f x
−
−
+
+
→
→
→
→
= +∞


= −∞

⇒

= +∞


= −∞


đường thẳng x = x
0
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )y f x=
.

2. Nếu
( )
( )
0
0
lim
lim
x
x
f x y
f x y
→+∞
→−∞
=

⇒

=

đường thẳng y = y
0
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )y f x=
.
3. Nếu
( )
( )
lim ( ) 0
lim ( ) 0
x

x
f x ax b
f x ax b
→+∞
→−∞

− + = 
 

⇒

− + =
 
 

đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
( )y f x=
.
* Chú ý: Cách tìm các hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax + b

( )
( )
( )
( )
x
x
lim ,b lim
lim ,b lim
x
x

f x
a f x ax
x
f x
a f x ax
x
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞

= = −
 

 


= = − 

 


II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm các tiệm cận của các đường cong sau:
a)
1
52
−
−
=
x
x

y
b)
23
532
2
2
+−
+−
=
xx
xx
y
c)
1
52
2
++
+
=
xx
x
y
d)
2
33
2
−
+−
=
x

xx
y
Bài 2. Tìm các tiệm cận của các đường cong sau:
Trần Văn Chung
4
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

a)
12
2
++= xxy
(ĐS: tiệm cận xiên của nhánh phải:
( )
xy 21+=
, tiệm cận xiên của nhánh trái:
( )
xy 21−=
)
b)
2
1
.
x
exy =
(ĐS: Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng, đường thẳng y = x là tiệm cận xiên
VẤN ĐỀ VII: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Xét sự biên thiên của hàm số.

a. Tìm giới hạn tại vơ cực và giới hạn vơ cực (nếu có) của hàm số.
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả
vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số
+ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ. Chỉ ra trục và tâm
đối của đồ thị (khơng cần chứng minh).
II. MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ.
Bài tốn 1. Giao điểm của hai đồ thị
Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).
Hãy tìm các giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
Cách giải: * Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có nghiệm x
0
* Thay x
0
vào một trong hai hàm số ta có y
0
.
* Tọa độ giao điểm là M(x
0

,y
0
).
Nhận xét: Số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) bằng số nghiệm phương trình f(x) = g(x) .
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong
Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm và
nghiệm của hệ phương trình trên là hồnh độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
Giả sử hai hàm số lần lượt có hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết:
1) Đường thẳng d tiếp xúc (C) tại M(x
0

;y
0
).
Cách giải: Tìm f’(x) và áp dụng công thức tiếp tuyến:
y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
).
2) Đường thẳng d có hệ số góc k.
Cách giải: Giải phương trình f’(x) = k có nghiệm x
0
là hoành độ tiếp điểm áp dụng câu 1)
3) Đường thẳng d đi qua A(x
A
;y
A
).
Cách giải: *Viết phương trình đường thẳng d qua A là: y = k(x – x
A
) + y
A
*Điều kiện để d tiếp xúc (C) là hệ:



=
+−=

k)x('f
y)xx(k)x(f
AA
Phải có nghiệm và nghiệm chính là hoành độ tiếp điểm và hệ số góc k.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Trần Văn Chung
5
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

Bài 1: Cho hàm số: y =
2
36
2
+
−+−
x
xx

1) Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số
2) Tìm m đđể đường thẳng y = -x + m cắt đồ thò (C) tại hai điểm phân biệt.ø
Bài 2: Cho hàm số: y = -x
3
- 3x
2
+ 2.
1)Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2)Biện luận bằng đồ thò số nghiệm của phương trình: x
3
+3x
2

+ 1 + m = 0 (1).
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn. Chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc lớn nhất .
Bài3. Cho hàm số f(x) =
2
2
x
x
−
+
1) Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số
2)Tìm điểm thuộc đồ thò có toạ độ nguyên
Bài 4: Cho hàm số y= x
4
+2(m-2)x
2
+m
2
-5m+5 . (C
m
), m là tham số
1)Khảo sát và vẽ đồ thò (C
1
) của hàm số khi m=1
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C
1
), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 1).
3)Tìm m để đồ thò của hàm số cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt ;
Bài 5: Cho hàm số
)(
12

22
m
C
mx
mmxx
y
−
++−
=
, (m là tham số)
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C
1
) của hàm số khi m = 1
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C
1
) tại điểm A(2; 2)
4) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. Cho hàm số
1
)2(
2
−
−
=
x
x
y
(C)
a. Đường thẳng (

∆
) qua A(-1;0) có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của (C) và (
∆
);
b. Gọi M là điểm di động trên (C). CMR: Tích số các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C)
không đổi.
Bài 2. Cho hàm số: y = -x
3
- 6x
2
- 9x +4 (C). Đường thẳng (
∆
) qua A(4;0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k
số giao điểm của (
∆
) và (C).
Bài 3. Cho hàm số y = x
3
- 6x
2
+ 9x (C), đường thẳng (
∆
): y=k(x-4) + 4
Tìm k để (
∆
) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 4. Cho hàm số
x
xx
y

−
+−
=
1
44
2
(C), đường thẳng (
∆
) qua A(0;3) có hệ số góc k. Đònh k
a. (
∆
) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của (C);
b. (
∆
) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng 1 nhánh của (C).
Bài 5. Cho hàm số
1
1
2
−
−+
=
x
xx
y
(C).
Trần Văn Chung
6
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

Với những giá trò nào của m thì đường thẳng (D): y = m - x cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. CMR: Khi đó cả 2 giao
điểm đều thuộc 1 nhánh của (C).
Bài 6. Cho hàm số y = x
3
- 6x
2
- 2(m-4)x + 2m + 8 (C
m
). Đònh m để (C
m
):
a. Cắt Ox tại 1 điểm duy nhất;
b. Cắt Ox tại 3 điểm phân biệt;
c. Cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 7. Cho hàm số y = x
3
- mx
2
- m (C
m
). Đònh m để:
a. (C
m
) tiếp xúc Ox;
b. (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm A, B, C sao cho AB = BC.
Bài 8. Cho hàm số
22
43

2
−
+−
=
x
xx
y
(C). Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
Bài 9. Cho hàm số y = -x
3
+ 3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp:
a. Tại giao điểm của (C) với trục Ox;
b. Tiếp tuyến song song đường thẳng y = -9x +1.
Bài 10. Cho hàm số y = -x
3
+ 3x - 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a. Tại giao điểm của (C) và đường thẳng y = -2;
b. Tiếp tuyến kẻ từ A(2;-4).
Bài 11. Cho hàm số:
1
1
3
−
+−=
x
xy
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc đường thẳng
2
3
1

+= xy
.
Bài 12. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
1
2
2
−
+−
=
x
xx
y
xuất phát từ A(2;2).
Bài 13. Cho (Cm) y=1/3 x
3
-mx
2
+(2m-1)x-m+2 ;
1)Khảo sát và vẽ (C2) với m=2;
2)Tìm các điểm cố đònh của (Cm);
3)Tìm m để hàm số có 2 cực trò có hoành độ dương;
4)Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) đi qua điểm A(4/9;4/3);
5)Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi (C2); y=0;x=1;x=0 quay quanh
trục O x.
Bài 14: Cho hàm số y=
1
12)1(2
2
+
−+++

x
mxmx
(Cm) . Tìm m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác
đònh
Bài 15. Cho hàm số y= x
4
+2(m-2)x
2
+m
2
-5m+5 (m là tham số).
1. Tìm m để đồ thò của hàm số cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt;
Trần Văn Chung
7
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

2. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m=1.
Trần Văn Chung
8
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

PHẦN II. PHƯƠNG TRjNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRjNH MŨ VÀ LÔGARIT
(2 tiết)
A. PHƯƠNG TRjNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRjNH MŨ
Các kiến thức cần nhớ:
1) Hàm số mũ y = a
x
: - TXĐ: R, a
x
> 0 với mọi x.

- Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
- Các tính chất của lũy thừa.
2) Dạng cơ bản:
)x(glog)x(f
0)x(g,1a0
)x(ga
);x(g)x(f
1a0
aa
a
)x(f)x(g)x(f
=⇔



>≠<
=
=⇔



≠<
=



<
<<
∨




>
>
⇔>
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f
3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ:
- Đưa về cùng cơ số - Lôgarít hai vế (dạng:
cba,ba
)x(g)x(f)x(g)x(f
==
)
- Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản - Đoán nghiệm và dùng tính đơn điệu chứng minh duy
nhất
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
a)
5
1
5.25.3
1x1x2
=−
−−
b)
2655

x1x1
=+
−+
c)
3x4x2x1x
5353.7
++++
−=−
d)
82.124
5x1x5xx
22
−=−
−−−−−
e)
09.66.134.6
xxx
=+−
f)
016,0.25,62.1225
xxx
=−−
Bài 2: Giải các phương trình:
a)
1x2x2
2
x
92
+−+
=

b)
1008.5
1x
xx
=
+
c)
502.5
1x
1x2
x
=
+
−
Bài 3: Giải các phương trình:
a)
2
3 2.3 15 0
x x
− − =
b)
1 3
5 5 26 0
x x− −
+ − =
c) 3
3.4 2.10 25 0
x x x
− − =

Bài 4: Giải các phương trình:
a)
1x3xx
250125
+
=+
b)
8
2
537
7
2
537
xx
=








−
+









+
c)
( ) ( )
1 2
2 1
10 3 10 3
x x
x x
− −
+ +
− = +
Bài 6: Giải các bất phương trình:
a)
077.649
xx
<−−
b)
1x
x
1x
1x
32.25,04
++
−
≤
c)
0273.43

2x2x2
>+−
++
d)
x
x
x
5.210.72.5 −<
e)
04.66.139.6
xx2xx2xx2
222
<+−
−−−
Bài 7: Giải các bất phương trình:
a)
06,1)4,0.(2)5,2(
xx
<+−
b)
09.93.83
4x
4x
xx2
>−−
+
++
Trần Văn Chung
9
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

d)
x
1x
6x6
)12()12(
−
+
−
−≤+
Trần Văn Chung
10
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

B. PHƯƠNG TRjNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRjNH LÔGARIT
Kiến thức cơ bản:
- Định nghĩa:
y
a
axxlogy =⇔=
- Hàm số: y = log
a
x có tập xác định: x > 0,
1a0
≠<
. Tập giá trị: R
- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu
1a0 ≠<
- Các công thức biến đổi:
1alog

a
=
01log
a
=
xa
xlog
a
=
log
a
(N
1
.N
2
)= log
a
|N
1
| + log
a
|N
2
|
2a1a
2
1
a
NlogNlog
N

N
log −=
blog.clogblog
caa
=
alog
1
blog
b
a
=
c
a
c
log b
log b
log a
=
|N|logNlog
aa
α
α
=
Nlog
1
Nlog
a
α
=
α

a
- Phương trình và bất phương trình cơ bản:



>=
≠<
⇔=
0)x(g)x(f
1a0
)x(glog)x(flog
aa










>>
>



<<
<<
⇔>

0)x(g)x(f
1a
)x(g)x(f0
1a0
)x(glog)x(flog
aa
- Phương pháp giải thường dùng:
+ Đưa về cùng cơ số
+ Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
a)
[ ]
{ }
4 3 2 2
log 2log 1 log (1 3log ) 1x+ + =
b)
log ( 6) 3
x
x + =
c)
1
log (3 5) 3
x
x
+
+ =

Bài 2: Giải các phương trình:
a) log

2
(x
2
+ 3x + 2) + log
2
(x
2
+ 7x + 12) = 3 + log
2
3
b) log
3
(2 - x) - log
3
(2 + x) - log
3
x + 1 = 0
c)
3 2
1
log( 8) log( 4 4) log(58 )
2
x x x x+ − + + = +
d)
1
log 10 1 log3 log( 1)
2
x x+ − = − −

e)

2
2 1
2
log ( 1) log ( 1)x x− = −
f)
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = +

Bài 2: Giải các phương trình:
a)
3 4 12
log log logx x x+ =
b)
2 3 6
log log logx x x+ =

c) log
5
(5
x
- 1). log
25
(5
x + 1
- 5) = 1 d) log
x
(5x
2
).log

5
2
x = 1
e)
)x8(log
)x4(log
)x2(log
xlog
16
8
4
2
=
Bài 2: Giải các bất phương trình:
a) log
3
(x + 2) > log
x+2
81 b)
2)
4
1
x(log
x
≥−
Trần Văn Chung
11
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

c)

15
2
3
<
−
x
x
log
d)
13
2
3
>−
−
)x(log
xx
Trần Văn Chung
12
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

PHẦN III. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
(3 tiết)
I. NGUYÊN HÀM
A.KI Ế N TH Ứ C C Ầ N NH Ớ
1. Đònh nghóa: Hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F được gọi là của f trên K nếu
'( ) ( ),F x f x x K= ∀ ∈
.
Chú ý
( ) ( )f x dx F x C= +
∫

: Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K.
2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
1)
0dx C=
∫
;
∫
+= Cxdx
2)
1
. ( 1)
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫

3)
ln . ( 0)
dx
x C x
x
= + ≠
∫

4) Với k là hằng số khác 0.
a.
cos
sin
kx
kxdx C
k
= − +
∫
; b.
sin
cos
kx
kxdx C
k
= +
∫
;
c.
kx
kx
e
e dx C
k
= +
∫
; d.
(0 1)
ln

x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
;
5. a.
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫
; b.
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
.
3. Các phương pháp tính nguyên hàm
a.Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè:
[ ] [ ]

( ) '( ) ( )f u x u x dx F u x C= +
∫

a.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần:
.udv u v vdu= −
∫ ∫

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1.
3 2
( ) 2 3 2f x x x x= − + −
; 2.
2
( ) 3 3f x x x x= + + +
; 3.
( ) sin 2cos( 1) 3f x x x= + + +
;
4.
2
2 1
( )
3
x
f x
x x
+
=
+ +
; 5.

3 2
( ) (2 1) 5f x x x x= + + +
; 6.
5
( ) sin .cosf x x x=
;
7.
( ) .sinf x x x=
; 8.
2
( ) .sinf x x x=
; 9.
2
( ) .cosf x x x=
;
10.
( ) (2 1).cos(3 2)f x x x= + −
; 11.
( ) .cos
x
f x e x=
; 12.
2
( ) lnf x x=
.
II. TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa
( ) ( ) ( )
b
a

f x dx F b F a= −
∫
2. Tính chất Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có:
1)
∫
a
a
dx)x(f
= 0; 2)
∫
a
b
dx)x(f
= -
∫
b
a
dx)x(f
;
Trần Văn Chung
13
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

3)
( )
b
a
f x dx
∫
+

( )
c
b
f x dx
∫
=
( )
c
a
f x dx
∫
; 4)
∫
±
b
a
dx)]x(g)x(f[
=
∫
b
a
dx)x(f
±
∫
b
a
dx)x(g
;
5)
∫

b
a
dx)x(f.k
= k.
∫
b
a
dx)x(f
; k
R∈
2. Các phương pháp tính tích phân
a.Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè:
[ ]
( )
( )
( ) '( ) ( )
u b
b
a
u a
f u x u x dx f u du=
∫ ∫
a.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần:
( )
( ) '( ) ( ) ( ) | ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx= −

∫ ∫
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
∫
3
1. (x +11) dx
;
∫
2 2
2. (2x - 3)(x - 3x + 1) dx
;
3.
∫
x x 3
e (3e + 1) dx
;
∫
3
1
4. (x + 4)dx
;
∫
2
-2
5. x(x -1)dx
;
6.
∫
1
2 x

0
(x + e )dx
;
7.
∫
2
2
2
1
3x + x
dx
x
;
∫
2
3
1
x + 4x
8. dx
x
;
∫
1
x
3
0
9. ( x - e )dx
.
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
π

π
∫
-
1. (2sinx - cosx)dx
;
π
∫
3
2
0
1
2. (sinx + )dx
cos x
;
3.
π
∫
4
0
cosx(1 + 2tgx)dx
;
π
π
∫
3
4
2
6
1 - sin x
4. dx

sin x
;
π
∫
2
0
cos2x
5. dx
sinx + cosx
;
π
∫
2
4
0
x
6. cos dx
2
.
π
∫
2
4
0
7. tg xdx
;
π
π
∫
4

2 2
6
dx
8.
cos xsin x
;
∫
5
9. sin xcosxdx
;
π
∫
3
2
0
10. (1 + sinx) cosxdx
;
π
π
∫
4
2
6
1
11. cotgx(1 + )dx
sin x
;
π
π
∫

3
2
2
6
cos x
12. dx
sin x
.
Bài 3. Tính các tích phân sau
∫
2
1. 2x x + 1dx
;
∫
2 3
2. 5x x - 1dx
;
∫
2
3
3x + 1
3. dx
x + x + 2
;
∫
2
4x + 2
4. dx
x + x
;

∫
2
2
0
3 3
3x
5. dx
1 + x
;
∫
2
2
1
2x -1
6. dx
x - x + 6
;
Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
π
∫
0
1. xsinxdx
;
π
∫
0
2. xcosxdx
;
∫
e

1
3. xlnxdx
;
∫
2
x
1
4. xe dx
;
π
∫
2
0
5. (x + 1)sin3xdx
;
π
∫
2
0
6. xsin xdx
;
π
∫
2
0
7. xcos xdx
;
π
π
∫

3
2
4
xdx
8.
sin x
;
π
∫
4
2
0
xdx
9.
cos x
;
π
∫
2 2
2
0
10. x cos xdx
;
π
∫
2 2
2
0
11. x sin xdx
;

∫
e
2
1
12. ln xdx
.

Trần Văn Chung
14
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
a. Hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số
( )y f x=
, trục hoành và đường thẳng
,x a x b= =
là
| ( ) |
b
a
S f x dx=
∫
b. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số
( )y f x=

,
( )y g x=
liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
và hai
đường thẳng
,x a x b= =
là:
| ( ) ( ) |
b
a
S f x g x dx= −
∫
2. THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
a. Hàm số
( )y f x=
liên tục, không âm trên đoạn
[ ]
;a b
. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số
( )y f x=
, trục
hoành và hai đường thẳng
,x a x b= =
, quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:
2
( )
b
a

V f x dx
π
=
∫
b. Hàm số
( )x g y=
liên tục, không âm trên đoạn
[ ]
;c d
. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số
( )x g y=
, trục
tung và hai đường thẳng
,y c y d= =
, quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:
2
( )
b
a
V g x dy
π
=
∫
BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1. TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cđa hµm sè y = 2 - x
2
víi ®êng th¼ng (d): y = x.
Bài 2. Cho hµm sè y =
( )
3

x 1+
(C) . TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph¬ng tr×nh tiÕp tun
cđa nã t¹i A(0,1).
Bài 3. Cho hµm sè y =
3x 5
2x 2
+
+
(C) . TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trơc Ox; Oy vµ ®-
êng th¼ng x = 2.
Bài 4. TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng (C):
y x=
vµ c¸c ®êng th¼ng (d): x + y - 2 = 0 ;
y = 0.
Bài 5. TÝnh thĨ tÝch vËt trßn xoay t¹o nªn bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = 2x - x
2
, y = 0 khi ta
quay quanh:Trơc Ox.
Bài 6. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®ỵc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi y =
lnx
, x = 2 vµ y =
0 khi ta quay quanh (D) quanh Ox.
Bài 7. TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng (P): y = x
2
- 2x + 2 ;tiÕp tun (d) cđa nã t¹i ®iĨm
M(3;5) vµ Oy.
Bài 8. Cho hµm sè y =
2
3x 5x 5
x 1

− +
−
(C) . TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) ; tiƯm cËn cđa nã vµ
x = 2 ; x= 3.
Bài 9. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®ỵc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :
y =
x
, y = 2 - x vµ y = 0 khi ta quay quanh (D) quanh Oy.
Bài 10. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®ỵc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :
y =
x
xe
, x = 1 vµ y = 0 (
0 x 1≤ ≤
) khi ta quay quanh (D) quanh Ox.
Trần Văn Chung
15
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

PHẦN IV: SỐ PHỨC
(1 tiết)
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Tập hợp số phức: C
2. Số phức (dạng đại số) :
z = a + bi (a, b
R∈
, i là đơn vị ảo, i
2
= -1); a là phần thực, b là phần ảo của z
• z là số thực

⇔
phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo
⇔
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3. Hai số phức bằng nhau:
a + bi = a’ + b’i
)',',,(
'
'
Rbaba
bb
aa
∈



=
=
⇔
4. Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b
)R∈
được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi
);( bau =
→
trong mp(Oxy) (mp phức) y
M(a+bi)

0 x
5. Cộng và trừ số phức :

. (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
. (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
)R∈
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b
)R∈
• z biểu diễn
→
u
, z’ biểu diễn
→
'u
thì z + z’ biểu diễn bởi
→→
+ 'uu
và z – z’ biểu diễn bởi
→→
− 'uu
6. Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’
)R∈
.
7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
biaz −=
−
a)
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
b) z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
8. Môđun của số phức : z = a + bi

a)
OMzzbaz ==+=
22
b)
00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''.
9. Chia hai số phức :
a) Số phức nghịch đảo của z (z
)0≠
:
z
z
z
2
1
1
=
−
b) Thương của z’ chia cho z (z
)0≡
:
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'

'
2
1
===
−
c) Với z
.'
'
,0 wzzw
z
z
=⇔=≠
,
z
z
z
z
z
z
z
z
'
'
,
''
==







Trần Văn Chung
16
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

10. Căn bậc hai của số phức :
z là căn bậc hai của số phức
ω

ω
=⇔
2
z
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi







=
++
=
⇔



=

=−
⇔
x
b
y
baa
x
bxy
ayx
2
2
2
22
2
22
(a, b, x, y
)R∈
a) w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
b) w
0≠
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
* Hai căn bậc hai của a > 0 là
a±
* Hai căn bậc hai của a < 0 là
ia.−±
11. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A
0
≠

).
ACB 4
2
−=∆
a)
0
≠∆
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
A
B
2
δ
±−
, (
δ
là 1 căn bậc hai của
)∆
b)
0
=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
A
B
2
−
12. Dạng lượng giác của số phức :
* z =
)sin(cos
ϕϕ
ir +

(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b
)0, ≠∈ zR









=
=
+=
⇔
r
b
r
a
bar
ϕ
ϕ
sin
cos
22
+
ϕ
là một acgumen của z.
+
),( OMOx=

ϕ
13. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cos
)'sin'(cos'',)sin
ϕϕϕϕ
irzi +=+
thì :
a)
)'sin()'[cos('.'.
ϕϕϕϕ
+++= irrzz
]
b)
)]'sin()'[cos(
''
ϕϕϕϕ
−+−= i
r
r
z
z
14. Công thức Moa-vrơ :
*
Nn∈
thì
)sin(cos)]sin(cos[
ϕϕϕϕ
ninrir
nn
+=+

15. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Căn bậc hai của số phức z = r(cos
)sin
ϕϕ
i+
(r > 0) là
)]
2
sin()
2
[cos()
2
sin
2
(cos
π
ϕ
π
ϕϕϕ
+++=+± irir
B. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : 1 và 1
Trần Văn Chung
17
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

b) (1 + i)
2
– (1 – i)

2
ĐS: 0 và 4
c) (2 + i)
3
– (3 – i)
3
ĐS: -16 và 37
d)
i
i
i
i −
−
+
− 2
1
3
ĐS :
2
33 −
và
2
3122 −−
Bài 2: Cho số phức z = x + yi. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức :
a) z
2
– 2z + 4i ĐS: x
2
– y
2

– 2x và 2(xy – y + 2)
b)
1−
+
iz
iz
ĐS:
22
)1(
2
++
−
yx
xy
và
22
122
)1( ++
−
−
yx
xy
Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z):
a)
i
i
z
i
i
+

+−
=
−
+
2
31
1
2
ĐS:
i
25
4
25
22
+
b)
0)
2
1
](3)2[( =+++−
i
izizi
ĐS: -1 + i ; 1/2
c)
izz 422 −=+
ĐS: 2/3 + 4i
d)
0
2
=+ zz

ĐS: 0, i, -i
e)
0
2
2
=+ zz
ĐS: bi (b
)R∈
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều
kiện sau: a)
43 =++ zz
ĐS: x = 1/2 và x = -7/2
b)
izz −+− 1
= 2 ĐS: y =
2
31±
c) 2|z – i| =
izz 2+−
ĐS: y =
4
2
x
Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn :
1
4
=







−
+
iz
iz
ĐS: 0, 1 , -1
Bài 6: Phân tích ra thứa số :
a) a
2
+ 1 ĐS: (a – i)(a + i)
b) 2a
2
+ 3 ĐS:
)32)(32( iaia +−
c) 4a
4
+ 9b
2
ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi)
Bài 7: Thực hiện phép tính :
a)
i21
3
+
ĐS:
i
5
6

5
3
−
b)
i
i
−
+
1
1
ĐS: i
c)
mi
m
ĐS: -i
m
d)
aia
aia
−
+
ĐS:
i
a
a
a
a
1
2
1

1
+
+
+
−
e)
)1)(21(
3
ii
i
+−
+
ĐS:
i
5
3
5
4
+
f)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+
ĐS:
i

17
9
34
21
+

Bài 8: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a) -1 + 4
i.3
ĐS:
).23( i+±
b) 4 + 6
i.5
ĐS:
).53( i+±
c) -1 - 2
i.6
ĐS:
).32( i−±
d) -5 + 12.i ĐS:
±
(2 + 3i)
Bài 9: Giải các phương trình sau trong C.
Trần Văn Chung
18
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

a)
01.3
2

=+− xx
ĐS:
i
2
1
2
3
±
b)
02.32.23
2
=+− xx
ĐS:
)1(
6
6
i±
c) x
2
– (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i
Bài 10: Giải các hệ phương trình :
a)



−=+
+=+
izz
izz
25

4
2
2
2
1
21
ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i)
b)



+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a)
i.322 +−
ĐS:
3
2
π

b) 4 – 4i ĐS:
4
3
π
c) 1 -
i.3
ĐS:
3
π
−
d)
4
sin.
4
cos
ππ
i−
ĐS:
4
π
−
e)
8
cos.
8
sin
ππ
i−−
ĐS:
8

5
π
−
f)
)1)(3.1( ii +−
ĐS:
12
π
−
Bài 12: Thực hiện phép tính :
a) 3(cos20
o
+ isin20
o
)(cos25
o
+ isin25
o
) ĐS:
2
23
.
2
23
i+
b) 5
)
4
sin.
4

(cos3).
6
sin.
6
(cos
ππππ
ii ++
ĐS: 15(cos
)
12
5
sin.
12
5
ππ
i+
c)
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+
ĐS:
6
6
.
2

2
i+
Bài 13: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a)
31 i−
ĐS:






−
+






−
3
sin.
3
[cos2
ππ
i
]
b) 1 + I ĐS:







+
4
sin.
4
cos.2
ππ
i
c)
)1)(31( ii +−
ĐS:
)]
12
sin(.)
12
[cos(22
ππ
−+− i
d)
i
i
+
−
1
31
ĐS:

)]
12
7
sin(.)
12
7
[cos(2
ππ
−+− i
e)
)3.(.2 ii −
ĐS:
)
3
sin.
3
(cos4
ππ
i+
f)
i22
1
+
ĐS:
)]
4
sin()
4
[cos(
4

2
ππ
−+− i
g) z =
ϕϕ
cos.sin i+
ĐS:






−+






−
ϕ
π
ϕ
π
2
sin
2
cos i
Bài 14: Tính :

a) (cos12
o
+ isin12
o
)
5
ĐS:
2
3
2
1
i+
Trần Văn Chung
19
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

b) [
00
30sin30(cos2 i+
)]
7
ĐS:
24.64 i−−
c)
6
)3( i−
ĐS: -2
6
d) (1 + i)
16

ĐS: 2
8
Trần Văn Chung
20
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

PHẦN II: HjNH HỌC
Phần 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
(2 tiết)
Các công thức tính thể tích
KC KLT KHCN
day
1
V Bh; V Bh; V a.b.c
3
ˆ
B S ; h Chie u cao.
`
′
= = =
= =
Bài tập
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy ,
cạnh bên SB bằng a
3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và SA = b . Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a và b.
3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 45
0

. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD.
6. Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có thể tích V. Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo
V.
7. Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM. Tính tỉ số thể tích của hai tứ
diện ABMD và ABMC.
8.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết BB’ = AB = h và góc
của B’C với mặt đáy bằng
α
.
a) CMR: g(BCA) = g(B’CB) và tính thể tích của khối lăng trụ.
b) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mp(ACB’) cắt hình lăng trụ.
9. Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường
vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
a) Tính góc giữa cạnh bên với đáy và tính thể tích của lăng trụ.
b) CMR: mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật.
10) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = b, góc C =
60
0
.Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30
0
.
a) Tính độ dài đoạn AC’
b) Tính thể tích của lăng trụ.

11) Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng
60
0
. Tính thể tích của khối hộp đó theo a.
12) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba
điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ(Gọi là diện tích xung quanh).
Trần Văn Chung
21
Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán

13) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Gọi M là trung điểm của AA’. Mặt phẳng đi
qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
14) Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng a và góc của hai đường
chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh bằng
α
.
a) Tính thể tích của lăng trụ.
b) Gọi M và N là trung điểm của BB’ và DD’, tính góc của mp(AMN) và mặt đáy của lăng
trụ.
15) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đoạn nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau là
2
2a
a) Tính thể tích của hình lập phương.
b) Lấy điểm M trên BC, mặt phẳng(MB’D) cắt A’D’ tại N. Chứng minh MN
DC'⊥

.
16) Cho khối lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O và hình chiếu C’ trên
đáy (ABC) trùng với O. Cho khoảng cách từ O đến CC’ là a và số đo nhị diện cạnh CC’ là 120
0
.
Tính thể tích khối lăng trụ.
17) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C
b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F.
Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE.
18) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và thể tích khối
hộp.
19) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính tỉ số thể tích của
khối chóp O.A’B’C’D’ và khối hộp đã cho.
20) Đáy của khối chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh
huyền vuông góc với đáy, mỗi mặt bên tạo với đáy một góc 45
0
.
a) CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh huyền.
b) Tính thể tích khối chóp.
21) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng
α
. CMR: đường
cao của khối chóp h =
1
2
cot
2
2
−

aa
và tính thể tích khối chóp.
22) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với đáy bằng 60
0
.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy.
c) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và tính bán kính của mặt cầu đó.
23) Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AC = a, SA
⊥
(ABC), góc giữa cạnh
bên SB và đáy bằng 60
0
.
a) Chứng minh BC
⊥
(SAB)
b) Tính thể tích tứ diện SABC.
24) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên hợp với đáy một
góc 60
0
.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD).
25) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
⊥
(ABC), góc giữa
mặt bên (SBC) và đáy bằng 60
0
.

a) Tính thể tích khối chóp.
Trần Văn Chung
22
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

b) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và tính bán kính của mặt cầu đó.
26) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, gọi I là trung điểm của AB, SI
⊥
(ABCD), góc giữa mặt bên (SCD) và đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp.
27) Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau và OA
= a,
OB = b, OC = c. Tính đường cao OH của hình chóp.
28) Cho tam giác ABC vng cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vng góc với
(ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD
tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Phần 2. MẶT TRỊN XOAY
(1 tiết)
A. MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1. Định nghĩa
Mặt cầu (S) có tâm O bán kính R kí hiệu: S(O; R). S(O; R) = {M| OM = R}
2. Vò trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (P).
Khoảng cách từ O đến (P) là độ dài đoạn OH . Ta có:

) ( ) ( ; )a OH R P S O R> ⇔ ∩ = ∅

{ }
) ( ) ( ; )b OH R P S O R H= ⇔ ∩ =

) ( ) ( ; ) ( ; )c OH R P S O R C H r< ⇔ ∩ =

- H gọi là tiếp điểm
2 2
r R d= −
- (P) gọi là tiếp diện
3. Vò trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d.
Khoảng cách từ O đến d là độ dài đoạn OH. Tacó:
Trần Văn Chung
23
R
O
A
P
C(O;R)
S(O;R)
P
C(O;R)
S(O;R)
P
C(O;R)
S(O;R)
d
R
d
R
H
B
O

O
O
A
H
H
P
S(O;R)
P
S(O;R)
P
S(O;R)
R
R
r
R
M
M
O
O
O
H
H
H
M
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

) ( ; )a OH R d S O R> ⇔ ∩ = ∅

{ }
) ( ; )b OH R d S O R H= ⇔ ∩ =

{ }
) ( ; ) ;c OH R d S O R A B< ⇔ ∩ =

- H gọi là tiếp điểm - d gọi là cát tuyến
- d gọi là tiếp tuyến - AB gọi là dây cung
4. Tính chất tiếp tuyến của mặt cầu
Từ điểm A ngoài S(O; R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu
a) Độ dài các đoạn nối A với tiếp điểm bằng nhau.
b) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên S(O; R).
5. Các công thức:
Diện tích mặt cầu:
2
4S R
π
=
Thể tích khối cầu:
3
4
3
V R
π
=

Chú ý: V’ = S
BÀI TẬP
Dạng 1: Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu bằng đònh nghóa
- Tập hợp những điểm M cách đều một điểm O cố đònh là một mặt cầu tâm O, bán
kính OM
- Các điểm cùng nhìn đoạn AB cố đònh dưới một góc vuông là mặt cầu tâm là trung

điểm O của AB, bán kính
2
AB
R =
.
- Tập hợp những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai
điểm A, B cố đònh bằng hằng số k
2
là mặt cầu, tâm là trung điểm O của AB, bán
kính
2 2
1
2
2
R k AB= −
Bài tập áp dụng
1) Chứng minh tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu.
HD: - Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A’B’C’D’
- Chứng minh A, B, C, D, A’, B,’ C’, D’ cách đều một điểm cố đònh.
Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình hộp chữ nhật.
Ta có O cách đều A, B, C, D, A’, B’, C’, D’
2) Cho tam giác ABC vuông tại B, DA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
a) Xác đònh mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D.
b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính mặt cầu trong a).
Trần Văn Chung
24
H
A
O
T

2
T
1
O
D
A
C
B'
A'
D'
C'
B
3a
4a
5a
A
B
C
D
Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn

HD: a) Ta có
BC AB
BC BD
BC AD
⊥

⇒ ⊥

⊥



và
( )DA ABC DA AC⊥ ⇒ ⊥
Vậy A và B cùng nhìn CD dưới một góc vuông
Nên thuộc mặt cầu đường kính CD
b) Bán kính mặt cầu
2 2
5 2
2 2 2
DC BD BC a
R
+
= = =
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác đều có SA vuông góc với mặt
phẳng đáy ABCD. SA = AB = a.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C.
b) Tính diện tích mặt cầu.
HD: a) - Ta có A, B, D cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông
nên năm điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu
đường kính SC.
- Bán mặt cầu
2 2
3
2 2 2
SC BS BC a
R
+
= = =
b) Diện tích của mặt cầu

2 2
4 3S R a
π π
= =
Dạng 2: Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ
a) Cách xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (hình chóp nội tiếp
mặt cầu)
*) Điều kiện hình chóp đáy có đường tròn ngoại tiếp
- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy
- Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên
- Xác đònh giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đáy với mặt phẳng trung trực
vừa dựng.
b) Cách xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (hình lăng trụ nội
tiếp mặt cầu)
*) Điều kiện lăng trụ phải là lăng trụ đứng, đáy có đường tròn ngoại tiếp
- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy (đường thẳng nối tâm hai đáy)
- Trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăngt trụ.
Bài tập áp dụng
4) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b và OC = c.
Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ điện OABC.
HD: Xác đònh tâm mặt cầu:
- Gọi E là trung điểm của BC
⇒
E là tâm đường ngoại tiếp tam giác OBC
- Dựng đường thẳng d vuông góc với (OBC) tại E
- Dựng mặt phẳng trung trực (P) của cạnh OA
Trần Văn Chung
25
a
a

B
A
D
C
S
P
d
I
D
E
A
O
C
B