de thi dap an Toan 8 - 2

TR NG THCS VINH THANH
UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố
PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
2
7 6x x+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x+ + +
Gii :
1.
( ) ( )
2 2
7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x+ + = + + + = + + +

( ) ( )
1 6x x= + +
2.
4 2 4 2 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x+ + + = + + + + +
( ) ( ) ( )
2
4 2 2 2 2 2
1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x= + + + + + + = + + +

Bài 2: (2điểm)
Giải phơng trình:
1.
2
3 2 1 0x x x + + =
2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

Gii :
1.
2
3 2 1 0x x x + + =
(1)
+ Nếu
1x
: (1)
( )
2
1 0 1x x = =
(thỏa mãn điều kiện

1x

).
+ Nếu
1x <
: (1)
( ) ( ) ( )
2 2
4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x + = = =

1; 3x x = =
(cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là
1x =
.
2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm:

0x

(2)
( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x


+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ



( ) ( )
2
2 2
2
2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x

+ + = + + =
ữ ữ

0 8x hay x = =
và
0x

.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm
8x =
GV: KIM THCH ST
1
TR NG THCS VINH THANH
Bài 3: (2điểm)
1. Căn bậc hai của 64 có thể viết dới dạng nh sau:
64 6 4= +
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng
dới dạng nh trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
2. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x+ + + + +
cho đa
thức
2
10 21x x+ +
.
Gii :
1. Gọi số cần tìm là
10ab a b= +
(a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết:
10a b a b+ = +

là số nguyên, nên
ab
và
b
là các số chính phơng, do đó:
b

chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
Ta có:
( )
2 2
10 10 2 2 5a b a b a b a a b b a b a+ = + + = + + =

( )
2 5 b a =
(vì
0a
)
Do đó
a
phải là số chẵn:
2a k=
, nên
5 b k =
Nếu
1 8 81 8 1 9b a= = = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
Nếu
4 6 64 6 4 8b a= = = + =
(thỏa điều kiện bài toán)

Nếu
9 4 49 4 9 7b a= = = + =
(thỏa điều kiện bài toán)
2. Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 2 4 6 8 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
= + + + + +
= + + + + +
Đặt
2
10 21 ( 3; 7)t x x t t= + +
, biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) ( )
2
( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t= + + = +
Do đó khi chia
2
2 1993t t +
cho t ta có số d là 1993
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC). Trên tia HC
lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE

theo
m AB=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
Gii :
GV: KIM THCH ST
2
TRƯ ỜNG THCS VINH THANH
1. + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:
Gãc
µ
C
chung.

CD CA
CE CB
=
(Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ
CAB ®ång d¹ng)
Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).
Suy ra:
·
·

0
135BEC ADC= =
(v× tam gi¸c
AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn
·
0
45AEB =
do ®ã tam gi¸c ABE
vu«ng c©n t¹i A. Suy ra:
2 2BE AB m= =
2. Ta cã:
1 1
2 2
BM BE AD
BC BC AC
= × = ×
(do
BEC ADC∆ ∆:
)
mµ
2AD AH=
(tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)
nªn
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB

= × = × = =
(do
ABH CBA∆ ∆:
)
Do ®ã
BHM BEC∆ ∆:
(c.g.c), suy ra:
·
·
·
0 0
135 45BHM BEC AHM= = ⇒ =
3. Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
, mµ
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= ∆ ∆ = =:
Do ®ã:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= ⇒ = ⇒ =
+ + +
GV: ĐỖ KIM THẠCH ST

3