Dấu hiệu chia hết cho 1 số

DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO MỘT SỐ
Việc tìm các dấu hiệu chia hết cho các số nguyên tố giúp học sinh tính toán nhanh hơn trong
1 vài trường hợp. Tuy nhiên, ở đây tôi không có ý định nêu vấn đề này để nâng cao chất lượng giảng
dạy mà đơn thuần là giúp học sinh yêu thích và hứng thú trong những tiết toán.
Các dấu hiệu chia hết cho 2,3,5,9 và các hợp số còn lại, ta không nhắc đến nữa. Ở đây, tôi
chỉ chỉ đề cập đến dấu hiệu chia hết cho các số nguyên tố từ 7 trở lên.
Nguyên tắc chung tìm các dấu hiệu chia hết:
1/ Bổ đề: Với mỗi số p=10s+r với r=1,3,7,9 có thể chọn được số k (phụ thuộc vào s,r) sao cho 10k+1
là bội của p, nghĩa là (10k+1) chia hết cho p.
C/m: Xét với p=10s+1 chọn k=s+pt thì 10k+1=10(s+pt)+1=p(10t+1)
xét tương tự với p=10s+3;10s+7:10s+p =>đ.p.c.m.
2/ Định lý: Số tự nhiên T=10x+a chia hết cho số lẻ p=10s+r với r=1,3,7,9  số x-ka chia hết cho p
trong đó k thỏa mãn 10k+1 chia hết cho p. (các bạn tự chứng minh)
VD1: Dấu hiệu chi hết cho 7 :T=10x+a chia hết cho 7,
Chọn k sao cho 10k+1 chia hết cho 7, chọn k=2 ( vì 10 x 2+1=21 chia hết cho 7)
Xét số 728, ta xét x-ka= 72-2x8=72-16=56 chia hết cho 7 => 728 chia hết cho 7.
Suy ra: một số chia hết cho 7

những số đứng trước số ở hàng đv trừ đi 2 lần số ở hàng đv
chia hết cho 7 thì nó chia hết cho 7.
VD2 : Dấu hiệu chia hết cho 29 : T= 10x+a chia hết cho 29 :
Chọn k sao cho 10k+1 chia hết cho 29, chọn k= 26 ( vì 10k+1 có số hàng đơn vị là 1, số nhỏ nhất
có chữ số hàng đơn vị là 1 chia hết cho 29 là 29x9 (vì 9x9=81), ta có 29x9=261 ).
Xét số 1015 , x-ka = 101-26.5= 101-130= -29 chia hết cho 29 => 1015 chia hết cho 29
Tuy nhiên ta có thể chọn 1 số k nhỏ hơn là k’=-3 ( miễn │ k │+ │k’│ =29)
Thử nhé: Xét số 1305. Xét x-k’a=130-(-3).5=145 chia hết cho 29
(Bạn tự phát biểu nhá).
*Rắc rối quá phải không, khi bạn thực hiện nhiều lần, nó sẽ đơn giản hơn lúc mới đọc bài này nhiều.
3/ Muốn tính toán đỡ phức tạp ta chọn k sao cho |k| là min
Các trường hợp đặc biệt:
* Nhắc lại dấu hiệu chia hết cho 7:

Lấy những số đứng trước số ở hàng đv trừ đi 2 lần số ở hàng đv, nếu hiệu đó chia hết cho 7 thì nó
chia hết cho 7.
Nếu hiệu đó vẫn còn quá lớn, ta dùng kết quả đó thực hiện tiếp vẫn đúng:
VD: Xét số 4578, ta có x-ka= 457-2x8=457-16=441, tiếp tục xét x-ka=44-2x1 =42 chia hết cho 7
=> 4578 chia hết cho 7.
Tương tự như thế, ta có:
1/ Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Cách 1: Lấy các số đứng trước số ở hàng đơn vị trừ đi số ở hàng đơn vị, nếu hiệu đó chia hết cho 11
thì nó chia hết cho 11. (k=1)
VD: Xét số 396 : Lấy 39-6= 33 chia hết cho 11=> 396 chia hết cho 11
Cách 2: Lấy tổng các số ở hàng đơn vị, hàng trăm, hàng chục nghìn…. trừ cho tổng các số ở hàng
chục, hàng chục nghìn … (nói tóm lại là số ở vị trí lẻ và số ở vị trí chẵn)
VD : Xét số 380237: lấy (7+2+8) – (3+0+3)=17-6=11 => 380237 chia hết cho 11
2/ Dấu hiệu chia hết cho 13: (k=7 và (-4))
Lấy số hàng đơn vị nhân 4 rồi cộng với các số còn lại, nếu tổng đó chia hết cho 13 thì số chia hết
cho 13.
VD : Xét số 182.
Khi k=9, M= 18 – 9x2=0 chia hết cho 13 => 182 chia hết cho 13
Khi k=-4, M= 18 –(-4)x2 = 18+8= 26 chia hết cho 13 => 182 chia hết cho 13.
3/ Dấu hiệu chia hết cho 17: (k=5 hoặc k=-12)
Lấy các số đứng trước số ở hàng đơn vị trừ đi 5 lần số hàng đơn vị, nếu hiệu đó chia hết cho 17 thì
nó chia hết cho 17
VD: Xét số 153 . Xét M= 15 - 3x5 = 0 chia hết cho 17 => 153 chia hết cho 17.
4/ Dấu hiệu chia hết cho 19 : (k=17 hoặc k=-2)
Lấy các số đứng trước số ở hàng đơn vị cộng với 2 lần số ở hàng đơn vị, nếu hiệu đó chia hết cho 19
thì nó chia hết cho 19
VD: Xét số 171. Xét M= 17 + 2x1 = 19 chia hết cho 19
Nếu số có nhiều chữ số thì dùng nhiều lần.
VD : Xét số 4446. Xét M= 444+ 6x2= 444+12= 456; xét N= 45+6x2=45+12=57 chia hết cho 19
=> 4446 chia hết cho 19.

5/ Dấu hiệu chia hết cho 21 là: (k=2)
Lấy các số đứng trước hàng đơn vị trừ đi 2 lần số ở hàng đơn vị, nếu tổng đó chia hết cho 21 thì số
đó chia hết cho 21.
VD: Xét số 462. Xét M= 46 - 2x2 = 42 chia hết cho 21 => 462 chia hết cho 21.
6/ Dấu hiệu chia hết cho 23: (k=16 hoặc k=-7)
Lấy số cuối nhân 7 rồi dùng các số còn lại cộng vào, nếu tổng đó chia hết cho 23 thì số đó chia hết
cho 23.
VD: Xét số 2829. Xét M=282+ 9x7= 282 +63= 345; xét N= 34+ 5x7= 34+35 =69 chia hết cho 23
=> 2829 chia hết cho 23.
Chú ý: Nhìn chung, dấu hiệu chia hết cho 1 số nguyên tố từ 7 trở lên dựa vào:
1/ Tìm được số k.
2/ Tính hiệu của phần còn lại của dãy số với tích của k và chữ số hàng đơn vị nếu k>=0.
Tính tổng của phần còn lại của dãy số với tích của k và chữ số hàng đơn vị nếu k<0.
Vấn đề là nhớ số k của 1 số trường hợp trên.
Bạn hãy cho học sinh cách tìm dấu hiệu chia hết cho 4. Hãy hướng dẫn học sinh, gọi học sinh yếu
tìm thử. Từ đó nâng dần lên. Các mẹo này rất dễ thu hút học sinh đấy.
Chúc các bạn thành công.