Chuyên đề về Biểu thức

BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN
Bµi 1 :
Cho P =
14 6 5 14 6 5+ + −
; Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x
 
+ − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 

a. Rút gọn biểu thức sau P và Q.
b. Tìm x để
Q
> - Q.
c. Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x
≠
1. Biểu thức rút gọn : Q =
1
2
−x

.
b)
Q
> - Q
⇔
x > 1.
c) x =
{ }
3;2
thì Q
∈
Z
B µi 2 : Cho biểu thức P =
1 x
x 1 x x
+
+ −
a. Rút gọn biểu thức sau P.
b. Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
.
Hướng dẫn :
a. ĐKXĐ : x > 0 ; x
≠
1. Biểu thức rút gọn : P =
x
x
−
+

1
1
.
b. Với x =
1
2
thì P = - 3 – 2
2
.
B µi 3 : Cho biểu thức : A =
1
1
1
1
+
−
−
−
+
x
x
x
xx
a. Rút gọn biểu thức sau A.
b. Tính giá trị của biểu thức A khi x =
4
1
c. Tìm x để A < 0.
d. Tìm x để
A

= A.
Hướng dẫn :
a. ĐKXĐ : x
≥
0, x
≠
1. Biểu thức rút gọn : A =
1−x
x
.
b. Với x =
4
1
thì A = - 1.
c. Với 0
≤
x < 1 thì A < 0.
d. Với x > 1 thì
A
= A.
Baứi 4 : Cho biểu thức : A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a
  
+ −
 ÷ ÷
− +
  

a. Rút gọn biểu thức sau A.
b. Xác định a để biểu thức A >
2
1
.
1
Hướng dẫn :
a. ĐKXĐ : a > 0 và a
≠
9. Biểu thức rút gọn : A =
3
2
+a
.
b. Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
2
1
.
Baứi 5 : Cho biểu thức: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x
 
+ − − − +
− +
 ÷
− + −
 

.
a. Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
b. Rút gọn A.
c. Với x
∈
Z ? để A
∈
Z ?
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠
±
1.
b) Biểu thức rút gọn : A =
x
x 2003+
với x ≠ 0 ; x ≠
±
1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A
∈
Z .
Baứi 6 : Cho biểu thức: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
− +
 

− +
−
 ÷
 ÷
−
− +
 
.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
1
−
+
x
x
.
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x =
{ }
9;4
thì A
∈
Z.
Baứi 7 : Cho biểu thức: A =
x 2 x 1 x 1
:

2
x x 1 x x 1 1 x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
2
++ xx
b) Ta xét hai trường hợp :
+) A > 0
⇔

1
2
++ xx
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)
+) A < 2
⇔

1
2
++ xx

< 2
⇔
2(
1++ xx
) > 2
⇔

xx +
> 0 đúng vì theo gt thì x > 0.
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Baứi 8 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+ − −
− +
−
− +
(a
≥
0; a
≠
4)
a) Rút gọn P.
2
b) Tính giá trị của P với a = 9.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a
≥

0, a
≠
4. Biểu thức rút gọn : P =
2
4
−a
b) Ta thấy a = 9
∈
ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Baứi 9 : Cho biểu thức: N =
a a a a
1 1
a 1 a 1
  
+ −
+ −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  

1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = - 2004.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a
≥
0, a
≠
1. Biểu thức rút gọn : N = 1 – a .
b) Ta thấy a = - 2004

∈
ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Baứi 10 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+
−
+
−
−
−+
−+
=
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
347x −=

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x
≥
0, x
≠
1. Biểu thức rút gọn :
3x

16x
P
+
+
=

b) Ta thấy
347x −=

∈
ĐKXĐ . Suy ra
22
33103
P
+
=

c) P
min
=4 khi x=4.
Baứi 11 : Cho biểu thức








−

−
−








−
+
−
+
+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x

x
x
P
a. Rút gọn P.
b. Tìm x để
2
1
P −<

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x
≥
0, x
≠
9. Biểu thức rút gọn :
3x
3
P
+
−
=

b. Với
9x0
<≤
thì
2
1
P −<

c. P
min
= -1 khi x = 0
Bài 12: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a
 
+ −
 
− + +
 ÷
 ÷
 ÷
− +
 
 
với x>0 ,x
≠
1
a. Rút gọn A
3
b. Tính A với a =
( ) ( )
(
)

4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
( KQ : A= 4a )
Bài 13: Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x
   
− − − −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − − +
   
với x
≥
0 , x
≠
9, x
≠
4 .
a. Rút gọn A.
b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm
x Z
∈

để
A Z∈
(KQ : A=
3
2x −
)
Bài 14: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A =
1
2
d. CMR : A
2
3
≤
. (KQ: A =
2 5

3
x
x
−
+
)
Hướng dẫn:
Bài 15: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
− + + −
với x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A =
1
x
x x+ +
)
Hướng dẫn:
Bài 16: Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x

− +
+ + − +
với x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rút gọn A.
b. CMR :
0 1A
≤ ≤
( KQ : A =
1
x
x x− +
)
Hướng dẫn:
Bài 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
   
− − + −
− − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷

−
+ − + −
   
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈
( KQ : A =
5
3x +
)
4
Bài 18: Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
− + +
− −
− + − −
với a
≥
0 , a
≠
9 , a
≠
4.
a. Rút gọn A.

b. Tìm a để A < 1
c. Tìm
a Z∈
để
A Z∈

( KQ : A =
1
3
a
a
+
−
)
Bài 19: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   

với x > 0 , x
≠
4.
a. Rút gọn A.
b. So sánh A với
1
A

( KQ : A =
9
6
x
x
+
)
Bài20: Cho A =
( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y
y x
x y x y
 
− +
−
−
 ÷

+
 ÷
−
− +
 
với x
≥
0 , y
≥
0,
x y≠
a. Rút gọn A.
b. CMR : A
≥
0
( KQ : A =
xy
x xy y− +
)
Bài 21 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +

 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
Với x > 0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 6
( KQ : A =
( )
2 1x x
x
+ +
)
Bài 22 : Cho A =
( )
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x
x x
 
 
− +
 ÷

+ −
 ÷
 ÷
 ÷
− −
−
 
 
với x > 0 , x
≠
4.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5−

(KQ: A =
1 x−
)
Bài 23 : Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − +
   
với x > 0 , x
≠
1.

a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5−

5
(KQ: A =
3
2 x
)
Bài 24 : Cho A=
3
2 1 1 4
: 1
1 1
1
x x
x x x
x
 
+ +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− + +
 
−
 
với x

≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈

(KQ: A =
3
x
x −
)
Bài 25: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
 
−
 
− −
 ÷
 ÷

 ÷
−
+ − + − −
 
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈

c. Tìm x để A đạt GTNN .
(KQ: A =
1
1
x
x
−
+
)
Bài 26 : Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9

3 3 3
x x x x
x
x x x
   
+ −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − −
   
với x
≥
0 , x
≠
9
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A < -
1
2
( KQ : A =
3
3a
−
+
)
Bài 27 : Cho A =
1 1 8 3 1
:

1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
   
+ − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− + −
   
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5−

c . CMR : A
1≤
(KQ: A =
4
4
x
x +
)

Bài 28 : Cho A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
+
 
+
 ÷
− − − +
 
với x > 0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A
b. So sánh A với 1
(KQ: A =
1x
x
−
)
Bài 29 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x

   
− −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   
Với
1
0,
9
x x≥ ≠
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =
6
5
c. Tìm x để A < 1.
6
( KQ : A =
3 1
x x
x
+
−
)
Bài30 : Cho A =
2
2 2 2 1
.

1 2
2 1
x x x x
x
x x
 
− + − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c. Tính A khi x =3+2
2
d. Tìm GTLN của A
(KQ: A =
(1 )x x−
)
Bài 31 : Cho A =
2 1 1
:
2

1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 
với x
≥
0 , x
≠
1.

a.Rút gọn A.
b. CMR nếu x
≥
0 , x
≠
1 thì A > 0 ,
(KQ: A =
2
1x x+ +
)
Bài 32 : Cho A =
4 1 2
1 :
1 1

1
x x
x x
x
−
 
− +
 ÷
− −
+
 
với x > 0 , x
≠
1, x
≠
4.
a. Rút gọn
b. Tìm x để A =
1
2
Bài 33 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x
 
+ − − +

 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− −
− +
 
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈

Bài 34 : Cho A=
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x
   
+ + +

− + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − +
   
với x
≥
0 , x
≠
9 , x
≠
4.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z∈
để
A Z∈

c. Tìm x để A < 0
(KQ: A =
2
1
x
x
−
+
7