Tải bản đầy đủ (.doc) (11 trang)

Tài liệu Chuyên đề về hệ thức lượng tam giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (164.75 KB, 11 trang )

Trường THCS Lê Ninh
1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC:
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
1. Một số hệ thức:
1) c
2
= ac

, b
2
= ab

2) h
2
= b
,
c
,
3) ah = bc
4)
= +
2 2 2
1 1 1
h b c
5) a
2
= b
2
+ c
2


-Với tam giác đều cạnh là a, ta có:
2
a 3 a 3
h ; S
2 4
= =
2. Ví dụ:
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng
minh:
2
2 2 2
2 2
BC
a) AB AC 2AM
2
b) AB AC 2BC.MH
+ = +
− =
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD =
8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;

ADC=70
0
.
3. bài tập cơ bản:
1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên
BD, H là hình chiếu của I trên AC.

Chứng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và
cắt đường thẳng DC ở F.
Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
AE AF a
+ =
GV : Vâ Trêng Thµnh
A
C
H
B
c
b
a
c
,
b
,
Trường THCS Lê Ninh
II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN:
1. Định nghĩa:
2. Tính chất:
- Một số hệ thức lượng giác cơ bản:
2 2
sin cos
sin cos 1; tg .cot g 1; tg ; cotg
cos sin
α α

α + α = α α = α = α =
α α
- Chú ý:
+)
0 sin 1; 0 cos <1;< α < < α
+) Khi góc
α
tăng từ 0
o
đến 90
o
thì sin
α
và tg
α
tăng còn cos
α
và cotg
α
giảm.
+) Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng cos của góc kia, tg của góc này bằng
cotg của góc kia và ngược lại.
sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tgα = β α = β α = β α = β
+) Tỉ số lượng giác của 3 góc đặc biệt.
3. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm; BC = 6 cm. Tính các TSLG của góc
B và góc C.
Nhận xét: Tam giác vuông khi biết độ dài 2 cạnh ta thường dùng định lí Py-ta-go tính
cạnh còn lại. Sau đó dùng định nghĩa TSLG để tính các TSLG của góc nhọn.
Bài 2: Chứng minh rằng sin

α
< tg
α
; và cos
α
< cotg
α
.
HD: Xét tam giác ABC vuông tại A, B =
α
.
sinB =
AC
BC
; tgB =
AC
AB
Vì BC > AC nên
AC
BC
<
AC
AB
Suy ra sin
α
< tg
α
;
Chứng minh tương tụ ta được cos
α

< cotg
α
.
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần.
Cotg40
o
, sin50
o
, tan70
o
, cos55
o
.
HD: Theo định lí về TSLG của hai góc phụ nhau, ta có:
cos55
o
= sin35
o
; Cotg40
o
= tg50
o
.
Vì sin35
o
< sin50
o
< tg50
o
< tg70

o
.
Nên cos55
o
< sin50
o
< Cotg40
o
< tg70
o
NX: Nhờ có tính chất sin
α
< tg
α
mà ta có thể so sánh được các TSLG.
Bài 4: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin
2
10
o
+ sin
2
20
o
+ sin
2
45
o
+ sin
2

70
o
+ sin
2
80
o
.
b) N = tg35
o
. tg40
o
.tg45
o
.tg50
o
. tg55
o
.
Bài 5:
a) Biết sin
α
=
5
13
, hãy tính cos
α
, tg
α
, cotg
α

.
GV : Vâ Trêng Thµnh
Trường THCS Lê Ninh
b) Biết tg
α
=
12
35
, hãy tính sin
α
, cos
α
, cotg
α
.
Bài 6: Cho biểu thức
2 2
1 2sin cos
A
sin cos
− α α
=
α − α
với
α

45
o
.
a) Chứng minh rằng

sin cos
A
sin cos
α − α
=
α + α
b) Tính giá trị của A biết
1
tg
3
α =
.
HD:
a)
2 2
sin 2sin cos cos
A
(sin cos )(sin cos )
α − α α + α
=
α − α α + α
b)
sin cos
A
sin cos
α − α
=
α + α
chia cả tử và mẫu cho cos
α

.
NX. Nếu chi tg thì chia cả tử và mẫu cho sin.
Bài 7. Tìm x biết tgx + cotgx = 2.
HD.
Tìm 1 tỉ số lượng giác của góc đó.
sinx = cosx . Suy ra tgx = 1 = tg45
o
.
Vậy x = 45
o
.
4. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 20; AC = 21. Tính các TSLG của góc B và
góc C.
Bài 2:
a) Biết cos
α
=
3
4
, hãy tính sin
α
, tg
α
, cotg
α
.
b) Biết cotg
α
=

8
15
, hãy tính sin
α
, cos
α
, tg
α
.
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin
2
42
o
+ sin
2
43
o
+ sin
2
44
o
+ sin
2
45
o
+ sin
2
46
o

+ sin
2
47
o
+ sin
2
48
o
.
b) N = cos
2
15
o
- cos
2
25
o
+ cos
2
35
o
- cos
2
45
o
+ cos
2
55
o
- cos

2
65
o
+ cos
2
75
o
.
Bài 4. Sắp xếp các TSLG sau theo thứ tự tăng dần:
Sin49
o
, cotg15
o
, tg65
o
, cos50
o
, cotg41
o
.
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của
góc nhọn
α
.
a) (cos
α
- sin
α
)
2

+ (cos
α
+ sin
α
)
2
.
b)
2 2
(cos sin ) (cos sin )
cos .sin
α − α − α + α
α α
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.
GV : Vâ Trêng Thµnh
Trường THCS Lê Ninh
a) Chứng minh răng:
a b c
sin A sin B sin C
= =
b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?
III. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
1. Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos của góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề.
b asin B acosC ctgB ccotgC
c acosB asinC bctgB btgC
= = = =
= = = =
2. Bài tập:

Bài 1: Cho hình thang ABCD có
µ
µ
µ
o o
A D 90 ,C 50 .= = =
Biết AB = 2; CD = 1,2. Tính diện
tích hình thang.
HD. Vẽ BH

CD thì BH = AD = 1,2; DH = AB
= 2.
Xét tam giác HBC vuông tại H, ta có:
HC = HB.cotgC

1
CD =CH + HD

3.
Diện tích hình thang ABCD là:
(AB CD).AD
S 3
2
+
= =
(đvdt)
Nhận xét: Vẽ BH

CD.
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai

trường hợp:
a)
µ
o
A 40=
b)
µ
o
A 140=
HD. Tính đường cao CH. Tính diện tích tam giác.
Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh được rằng: Diện tích tam giác bằng nửa
tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
1 1 1
S a.b.sin C b.c.sin A c.a.sin B
2 2 2
= = =
Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD. Biết AB = 6,
AC = 9 và
µ
o
A 68=
, tính độ dài AD.
Giải.
Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC là lượt là S
1
, S
2
, S. Ta có:
GV : Vâ Trêng Thµnh
50

°
1,2
2
H
D
C
B
A
Trường THCS Lê Ninh
1 1
2 2
1
S AB.AD.sin A
2
1
S AD.AC.sin A
2
=
=
1
S AB.AC.sin A
2
=
Vì: S = S
1

+ S
2
Nên
1 2

1 1 1
AB.AD.sin A AD.AC.sin A AB.AC.sin A
2 2 2
+ =
1 2
AB.AD.sin A AD.AC.sin A AB.AC.sin A⇔ + =
o
o o
1 2
AB.AC.sin A 6.9.sin 68
AD 6
AB.sin A AC.sin A 6.sin 34 9sin 34
⇔ = = ≈
+ +
Bài 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và
góc C.
KQ:
µ
o
B 53 7≈
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 18; b = 8.
b) b = 20;
µ
o
C 38=
.
Bài 6: Tam giác ABC cân tại A,
µ
o

B 65=
, đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.
4. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 17cm;
µ
o
C 62=
. Tính độ dài đường trung tuyến
AM.
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = 5 và
µ
o
A 127=
. Tính diện tích
hình thang.
Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 và
µ
o
D 64=
. Tính diện tích hình
bình hành.
Bài 4: Độ dài hai đường chéo của một tứ giác là 9 và 13. Góc nhọn giữa hai đường chéo
là 48
o
. Tính diện tích tứ giác.
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 12;
µ
o
B 42=

.
b) b = 13; c = 20.
Bài 6: Giải tam giác ABC biết:
AB = 6,8;
µ
o
A 70=
;
µ
o
B 50=
Bài 7: Giải tam giác ABC biết:
AB= 4,7; BC = 7,2;
µ
o
A 66=
GV : Vâ Trêng Thµnh
9
6
2
1
D
C
B
A

×