Tài liệu Chuyên đề về hệ thức lượng tam giác

Trường THCS Lê Ninh
1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC:
I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
1. Một số hệ thức:
1) c
2
= ac
’
, b
2
= ab
’
2) h
2
= b
,
c
,
3) ah = bc
4)
= +
2 2 2
1 1 1
h b c
5) a
2
= b
2
+ c
2

-Với tam giác đều cạnh là a, ta có:
2
a 3 a 3
h ; S
2 4
= =
2. Ví dụ:
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng
minh:
2
2 2 2
2 2
BC
a) AB AC 2AM
2
b) AB AC 2BC.MH
+ = +
− =
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD =
8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;
∠
ADC=70
0
.
3. bài tập cơ bản:
1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên
BD, H là hình chiếu của I trên AC.

Chứng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và
cắt đường thẳng DC ở F.
Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
AE AF a
+ =
GV : Vâ Trêng Thµnh
A
C
H
B
c
b
a
c
,
b
,
Trường THCS Lê Ninh
II. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN:
1. Định nghĩa:
2. Tính chất:
- Một số hệ thức lượng giác cơ bản:
2 2
sin cos
sin cos 1; tg .cot g 1; tg ; cotg
cos sin
α α

α + α = α α = α = α =
α α
- Chú ý:
+)
0 sin 1; 0 cos <1;< α < < α
+) Khi góc
α
tăng từ 0
o
đến 90
o
thì sin
α
và tg
α
tăng còn cos
α
và cotg
α
giảm.
+) Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng cos của góc kia, tg của góc này bằng
cotg của góc kia và ngược lại.
sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tgα = β α = β α = β α = β
+) Tỉ số lượng giác của 3 góc đặc biệt.
3. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4cm; BC = 6 cm. Tính các TSLG của góc
B và góc C.
Nhận xét: Tam giác vuông khi biết độ dài 2 cạnh ta thường dùng định lí Py-ta-go tính
cạnh còn lại. Sau đó dùng định nghĩa TSLG để tính các TSLG của góc nhọn.
Bài 2: Chứng minh rằng sin

α
< tg
α
; và cos
α
< cotg
α
.
HD: Xét tam giác ABC vuông tại A, B =
α
.
sinB =
AC
BC
; tgB =
AC
AB
Vì BC > AC nên
AC
BC
<
AC
AB
Suy ra sin
α
< tg
α
;
Chứng minh tương tụ ta được cos
α

< cotg
α
.
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần.
Cotg40
o
, sin50
o
, tan70
o
, cos55
o
.
HD: Theo định lí về TSLG của hai góc phụ nhau, ta có:
cos55
o
= sin35
o
; Cotg40
o
= tg50
o
.
Vì sin35
o
< sin50
o
< tg50
o
< tg70

o
.
Nên cos55
o
< sin50
o
< Cotg40
o
< tg70
o
NX: Nhờ có tính chất sin
α
< tg
α
mà ta có thể so sánh được các TSLG.
Bài 4: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin
2
10
o
+ sin
2
20
o
+ sin
2
45
o
+ sin
2

70
o
+ sin
2
80
o
.
b) N = tg35
o
. tg40
o
.tg45
o
.tg50
o
. tg55
o
.
Bài 5:
a) Biết sin
α
=
5
13
, hãy tính cos
α
, tg
α
, cotg
α

.
GV : Vâ Trêng Thµnh
Trường THCS Lê Ninh
b) Biết tg
α
=
12
35
, hãy tính sin
α
, cos
α
, cotg
α
.
Bài 6: Cho biểu thức
2 2
1 2sin cos
A
sin cos
− α α
=
α − α
với
α
≠
45
o
.
a) Chứng minh rằng

sin cos
A
sin cos
α − α
=
α + α
b) Tính giá trị của A biết
1
tg
3
α =
.
HD:
a)
2 2
sin 2sin cos cos
A
(sin cos )(sin cos )
α − α α + α
=
α − α α + α
b)
sin cos
A
sin cos
α − α
=
α + α
chia cả tử và mẫu cho cos
α

.
NX. Nếu chi tg thì chia cả tử và mẫu cho sin.
Bài 7. Tìm x biết tgx + cotgx = 2.
HD.
Tìm 1 tỉ số lượng giác của góc đó.
sinx = cosx . Suy ra tgx = 1 = tg45
o
.
Vậy x = 45
o
.
4. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 20; AC = 21. Tính các TSLG của góc B và
góc C.
Bài 2:
a) Biết cos
α
=
3
4
, hãy tính sin
α
, tg
α
, cotg
α
.
b) Biết cotg
α
=

8
15
, hãy tính sin
α
, cos
α
, tg
α
.
Bài 3: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:
a) M = sin
2
42
o
+ sin
2
43
o
+ sin
2
44
o
+ sin
2
45
o
+ sin
2
46
o

+ sin
2
47
o
+ sin
2
48
o
.
b) N = cos
2
15
o
- cos
2
25
o
+ cos
2
35
o
- cos
2
45
o
+ cos
2
55
o
- cos

2
65
o
+ cos
2
75
o
.
Bài 4. Sắp xếp các TSLG sau theo thứ tự tăng dần:
Sin49
o
, cotg15
o
, tg65
o
, cos50
o
, cotg41
o
.
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của
góc nhọn
α
.
a) (cos
α
- sin
α
)
2

+ (cos
α
+ sin
α
)
2
.
b)
2 2
(cos sin ) (cos sin )
cos .sin
α − α − α + α
α α
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.
GV : Vâ Trêng Thµnh
Trường THCS Lê Ninh
a) Chứng minh răng:
a b c
sin A sin B sin C
= =
b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?
III. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
1. Trong tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos của góc kề.
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tg góc đối hoặc nhân với cotg góc kề.
b asin B acosC ctgB ccotgC
c acosB asinC bctgB btgC
= = = =
= = = =
2. Bài tập:

Bài 1: Cho hình thang ABCD có
µ
µ
µ
o o
A D 90 ,C 50 .= = =
Biết AB = 2; CD = 1,2. Tính diện
tích hình thang.
HD. Vẽ BH
⊥
CD thì BH = AD = 1,2; DH = AB
= 2.
Xét tam giác HBC vuông tại H, ta có:
HC = HB.cotgC
≈
1
CD =CH + HD
≈
3.
Diện tích hình thang ABCD là:
(AB CD).AD
S 3
2
+
= =
(đvdt)
Nhận xét: Vẽ BH
⊥
CD.
Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5. Tính diện tích tam giác ABC trong hai

trường hợp:
a)
µ
o
A 40=
b)
µ
o
A 140=
HD. Tính đường cao CH. Tính diện tích tam giác.
Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh được rằng: Diện tích tam giác bằng nửa
tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
1 1 1
S a.b.sin C b.c.sin A c.a.sin B
2 2 2
= = =
Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD. Biết AB = 6,
AC = 9 và
µ
o
A 68=
, tính độ dài AD.
Giải.
Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC là lượt là S
1
, S
2
, S. Ta có:
GV : Vâ Trêng Thµnh
50

°
1,2
2
H
D
C
B
A
Trường THCS Lê Ninh
1 1
2 2
1
S AB.AD.sin A
2
1
S AD.AC.sin A
2
=
=
1
S AB.AC.sin A
2
=
Vì: S = S
1

+ S
2
Nên
1 2

1 1 1
AB.AD.sin A AD.AC.sin A AB.AC.sin A
2 2 2
+ =
1 2
AB.AD.sin A AD.AC.sin A AB.AC.sin A⇔ + =
o
o o
1 2
AB.AC.sin A 6.9.sin 68
AD 6
AB.sin A AC.sin A 6.sin 34 9sin 34
⇔ = = ≈
+ +
Bài 4. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và
góc C.
KQ:
µ
o
B 53 7≈
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 18; b = 8.
b) b = 20;
µ
o
C 38=
.
Bài 6: Tam giác ABC cân tại A,
µ
o

B 65=
, đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.
4. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 17cm;
µ
o
C 62=
. Tính độ dài đường trung tuyến
AM.
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = 5 và
µ
o
A 127=
. Tính diện tích
hình thang.
Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 và
µ
o
D 64=
. Tính diện tích hình
bình hành.
Bài 4: Độ dài hai đường chéo của một tứ giác là 9 và 13. Góc nhọn giữa hai đường chéo
là 48
o
. Tính diện tích tứ giác.
Bài 5: Giải tam giác ABC vuông tại A biết:
a) a = 12;
µ
o
B 42=

.
b) b = 13; c = 20.
Bài 6: Giải tam giác ABC biết:
AB = 6,8;
µ
o
A 70=
;
µ
o
B 50=
Bài 7: Giải tam giác ABC biết:
AB= 4,7; BC = 7,2;
µ
o
A 66=
GV : Vâ Trêng Thµnh
9
6
2
1
D
C
B
A