de thi dap an Toan 8 - 3

TRNG THCS VINH THANH
đề thi học sinh giỏi cấp trờng
Năm học : 2009 - 2010
Môn : Toán 8 - thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao nhận đề)
Bài 1 : Cho a, b, c thỏa mãn :
a b c b c a c a b
c a b
+ + +
= =
Tính giá trị biểu thức :
1 . 1 . 1
b c a
P
a b c

= + + +
ữ ữ ữ

GII :
Từ gt suy ra :
2 2 2
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
c a b c a b
+ + + + + + + + +
+ = + = + = =
Xét hai trờng hợp :
- T/h 1 : Nếu a + b + c = 0

a + b = -c b + c = -a c + a = -b
Khi đó :
( ) ( ) ( )

1 1 1 . . 1
b c a a b b c c a c a b abc
P
a b c a b c a b c abc
+ + +

= + + + = = = =
ữ ữ ữ ữ ữ ữ

- T/h 2 : Nếu a + b + c 0

a = b = c

P = 2.2.2 = 8
Bài 2 : Chứng minh rằng nếu
1 1 1
2
a b c
+ + =
và a + b + c = abc thì ta có
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
GII :
Từ
1 1 1
2
a b c

+ + =


2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 4
a b c a b c ab bc ca

+ + = + + + + + =
ữ ữ

2 2 2
1 1 1
2 4
a b c
a b c abc
+ +

+ + + =
ữ

theo giả thiết a + b + c = abc


1
a b c
abc
+ +
=

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4 2
a b c a b c
+ + + = + + =
( đpcm)
Bài 3 : Cho các số x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng
2
2 2 2
3 3
x y z x y z+ + + +


ữ

GII :
Ap dụng BDT Côsi ta có :

2 2
2 2
2 2
2 (1)
2 (2)
2 (3)
x y xy
y z yz
z x zx
+
+
+

Cộng từng vế ba BDT trên ta đợc :
2 2 2
2( ) 2( )x y z xy yz zx+ + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2( ) ( ) ( ) 2( )
3( ) ( )
x y z x y z x y z xy yz zx
x y z x y z
+ + + + + + + + + +
+ + + +
Chia hai vế cho chín ta đợc :
2 2 2 2
( )
3 9
x y z x y z+ + + +
=
hay
2
2 2 2
3 3
x y z x y z+ + + +


ữ

(đpcm)
Bài 4 : Cho a, b, c là ba số dơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1
Chứng minh rằng :
16

a b
abc
+


GV: KIM THCH ST
1
E
A
TRNG THCS VINH THANH
GII :
áp dụng BDT Côsi ta có : x + y
2 xy
do đó ( a + b ) + c 2
( )a b c+
1 2 ( ) 1 4( )a b c a b c + +
nhân hai vế với a + b > 0 ta đợc :
2
4( )a b a b c+ +
mà ta chứng minh đợc
2
( ) 4a b ab+
Do đó (a + b) 4(4ab)c hay a + b

16abc đpcm
Bài 5 : Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các cạnh BC và CD ( hoặc
đờng thẳng chứa các cạnh đó ) tại các điểm E và F. Chứng minh rằng :
2 2 2
1 1 1
AE AF AD

+ =
GII :
G
F
C
A
B
D
E
Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AF
cắt CD tại G
Chứng minh đợc ABE = ADG
( g.c.g)
AE = AG . Xét tam giác AGF vuông
tại A có AD là đờng cao nên ta có :
2 2 2
1 1 1
AG AF AD
+ =
do đó thayta đợc AG =
AE
2 2 2
1 1 1
AE AF AD
+ =
(đpcm)

Bài 6 : Cho ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đờng phân giác. Biết IA = 2
5
cm,

IB = 3 cm. Tính độ dài AB?
GII :
H
M
I
B
C
A
Kẻ AM

AC , M CI. Ta chứng minh đợc
AMI cân tại I
IM = IA =
2 5
.
Kẻ AH

MI => HM = HI . Đặt HM = HI =
x ( x > 0 )
Xét AMC vuông tại A ta có
2
.AM MH MC=
( ) ( )
2
2
(2 5) .(2 3)
2 3 30 0
2 5 4 0
x x
x x

x x
= +
+ =
+ =
x = 2,5 hoặc x = -4 (loại vì x > 0). Vậy MC = 8cm
Ta có
2 2 2 2 2
8 (2 5) 64 20 44AC MC AM= = = =
44 2 11 2 11AC cm AB cm = = =
GV: KIM THCH ST
2