Đề luyện thi Olympic TTT

đề thi olympic tháng 10 năm 2005
Môn: Toán 9 (dành cho đôị tuyển)
Thời gian làm bài: 90 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm) Cho biểu thức
1
)1(22
1
2


+
+

++

=
x
x
x
xx
xx
xx
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q
2

=
nhận giá trị là số nguyên.
Câu 2:(2 điểm) Giải hệ phơng trình





















+=

+=








+=
1
12005
3
32
2
21
1
2
1

1
2
1
1
2
1
x

xx
x
xx
x
xx
Câu 3:(1,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đờng tròn tâm O, đờng kính AI. Gọi E là
trung điểm của AB và K là trung điểm của OI. Chứng minh rằng tứ giác AEKC nội
tiếp đợc đờng tròn.
Câu 4:(2 điểm)
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đờng
tròn(khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của đờng
tròn (O) lần lợt tại các điểm C và D.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
Câu 5:(1,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
ba
bab
b
a
a
M ++
+
+

+

=
1
11

22
Trong đó a và b là hai số thực dơng thoả mãn điều kiện
1
<+
ba
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục yên lạc
Trờng THCS Yên Lạc
=====*****=====
đáp án đề thi olympic tháng 10 năm 2005
Môn: Toán 9 (dành cho đôị tuyển)
Thời gian làm bài: 90 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu Nội dung trình bày Điểm
Câu 1
a) ĐK:
1;0 > xx
Rút gọn đợc
1+= xxP
1 điểm
b) Biểu diễn
4
1
4
3
4
3
2
1

2
==+






= xMinPxP
1 điểm
c) Biểu diễn
1
1
22
+
==
x
x
P
x
Q
ta thấy với
1;0 > xx
thì
11
1
>+
x
x
(theo BĐT Cô-Si)suy ra

20 << Q
. Vì Q nguyên nên Q=1
2
537
= x
(t/m)
1 điểm
Câu 2
Ta thấy: nếu (
200521
, ,, xxx
) là nghiệm của hệ thì
200521
, ,, xxx
phải
cùng dấu và khác 0 đồng thời
), ,,(
200521
xxx
cũng là nghiệm của
hệ. Do đó ta xét với trờng hợp
200521
, ,, xxx
cùng dơng.
- áp dụng BĐT Cô-Si ta có:
2
1
+
i
i

x
x
(i=1, 2, 3, ,2005) (1)
Từ các phơng trình trong hệ và (1) ta đợc
122
ii
xx
(2)
Mặt khác : cộng vế với vế các phơng trình trong hệ ta đợc
200521
200521
1

11

xxx
xxx +++=+++
(3)
Từ (2) và (3) suy ra :
1
200521
==== xxx
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là
1
200521
==== xxx
Và
1
200521
==== xxx

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 3
Gọi H là trung điểm của BE
Ta có: HK là đờng trung bình của hthang OEBI.
BIOEHK ////
Mà:
BKEBEHKABOE
cân tại K
KBEBEK =
(1)
Mặt khác
ACKABK
=
(2)
Từ (1) và (2)
==
KCAKBEKEB
tứ giác
EACK nội tiếp (đpcm)
0,5 điểm
1 điểm
C©u 4
Ta cã
)1(2
22
.
2

)(
2
2
R
ABABCDABBDAC
S
ABCD
=≥=
+
=
KÎ
ABMH ⊥

Ta cã
2
.
2
1
.
2
1
RABMOABMHS
AMB
=≤=
(2)
Tõ (1) vµ (2)
222
2 RRRSSSS
AMBABCDBDMACM
=−≥−=+

MRSSMin
BDMACM
⇔=+⇒
2
)(
lµ trung ®iÓm cña cung AB
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
1 ®iÓm
C©u 5
Ta cã
2
1
1
1
1
1
22
−
+
+++
−
+++
−
=
ba
b
b
b
a

a
a
M
2
1
1
1
1
1
−
+
+
−
+
−
=⇔
baba
M
¸p dông B§T Bunhiac«pxki ta cã:
[ ]
2
)111()()1()1(
1
1
1
1
1
++≥++−+−







+
+
−
+
−
baba
baba
⇔=−=⇒≥
+
+
−
+
−
⇒
2
5
2
2
9
2
91
1
1
1
1
MinM

baba
3
1
== ba
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
Yªn L¹c, ngµy 25 th¸ng 9 n¨m 2005
Ngêi lµm ®¸p ¸n
NguyÔn §øc H¹nh