Phương pháp giải toán Hình Giải tích_Dùng LTĐH 2011 doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (369.69 KB, 18 trang )
- 01689583116
1. BÀI TOÁN 1:
Cách 1:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng tham số.
-Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng và cắt (d
2
) tại B, khi đó B( )
( )
.AB⇒
uuur
-Gọi
1
a
ur
là vtcp của (d
1
), ta có
( )
1
a
ur
.
Bước 2:
Vì (d) (d
1
) nên :
AB
uuur
1
a
ur
1
. 0AB a⇔ =
uuur ur
(nhớ tích vô hướng)
( )
AB⇒
uuur
Bước 3: Phương trình đường thẳng (d) được cho bởi:
( )
( )
( )
( )
: : , .
x
qua A
d d y t R
vtcpAB
z
=
⇔ = ∈
=
uuur
Cách 2:
-Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng, khi đó (d) chính là giao tuyến của hai mặt
phẳng (P
1
) và (P
2
), trong đó:
( )
( )
( ) ( )
1
1 1
:
qua A
P
P d
và
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
:
qua A
P
d P
∈
* Phương trình mặt phẳng (P
1
)
( )
( )
( ) ( )
1
1 1
:
qua A
P
P d
( )
( )
( )
( )
1 1
1
: :
qua A
P P
vtptn a
⇔ ⇔
=
r ur
* Phương trình mặt phẳng (P
2
) (mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đường
thẳng)
Viết phương trình mặt phẳng (P
2
) bằng 2 cách:
Cách 1: Chuyển phương trình (d
2
) về dạng tổng quát, sau đó sử dụng chùm mặt
phẳng.
Cách 2: Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d
2
)
( )
AM⇒
uuuur
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
:
qua A
P
d P
∈
( )
( )
2 2
2 2
:
qua A
P n AM
n a
⇔
uur uuuur
uur uur
2 2
. n AM a
⇔ = =
uur uuuur uur
( )
( )
( )
2 2
2
: :
qua A
P P
vtptn
⇔
uur
Kết luận: Phương trình giao tuyến (d) của (P
1
) và (P
2
) có dạng:
( )
( )
( )
1
2
:
ptmp P
d
ptmp P
2. BÀI TOÁN 2:
“Lập phương trình đường thẳng đi qua A,
vuông góc với đường thẳng (d
1
) và cắt (d
2
)”
“Lập phương trình đường thẳng đi qua A,
cắt hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)”
- 01689583116
Bước 1:
Cách 1: Sử dụng pp chùm mặt phẳng :
-Gọi (P) là mặt phẳng qua A chứa (d
1
), ta có (P) thuộc chùm tạo bởi (d1), có
dạng :
(P) : m(pt(
1
) của (d
1
)) + n(pt
2
của (d
1
)) = 0
( ) : P⇔
Cách 2: Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d
1
)
( )
AM⇒
uuuur
( )
( )
( ) ( )
2
:
qua A
P
d P
∈
( )
( )
2
1
:
qua A
P n AM
n a
⇔
r uuuur
r ur
1
. n AM a
⇔ = =
r uuuur ur
( )
( )
( )
: :
qua A
P P
vtptn
⇔
r
Bước 2:
Gọi B là giao điểm của (P) và (d
2
). Khi đó tọa độ của B là nghiệm của hệ:
( )
( )
( )
1 2
2 2
of d
of d
pt
pt
pt P
( )
x
y B
z
=
⇒ = ⇒
=
Chú ý: nếu không tồn tại B. Kết luận bài toán vô nghiệm
Nếu có vô số nghiệm. Kết luận bài toán có vô số nghiệm đó chính là chùm
đường thẳng chứa (d) đi qua A.
Bước 3:
Gọi (d) là đường thẳng qua A, B, ta có:
( )
( )
( )
( )
: : , .
x
qua A
d d y t R
vtcpAB
z
=
⇔ = ∈
=
uuur
Gọi
1
a
ur
là vtcp của (d1), ta có
( )
1
a
ur
Từ đó, dễ thấy
1
a
ur
không cùng phương với
.AB
uuur
Vậy, (d): là đường thẳng cần dựng.
3. BÀI TOÁN 3:
Bước 1:
- Kiểm tra (d) có cắt (P) tại A không.
- Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
:
d
qua A
qua A
Q Q
Q d
vtpta
⇔
uur
Bước 2: Khi đó đường thẳng (d
1
) chính là giao tuyến của (P) và (Q).
4. BÀI TOÁN 4:
“Lập phương trình đường thẳng (d
1
) qua A,
vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P)”
- 01689583116
Gọi (d
1
) là đường thẳng qua A vuông góc với (d) và cắt (d), vậy (d
1
) qua A và H
(H là hình chiếu vuông góc của A lên (d).
* Xác định H:
Gọi
a
r
là vtcp của (d), ta có
( )
a
r
Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
( )
: , .
x
d y t R
z
=
= ∈
=
Vì
( )
H d∈
, nên H (theo t)
( )
AH⇒
uuur
( ) ( )
. 0 AH d AH a t H⇔ = ⇔ ⇔ = ⇒
uuur r
Phương trình (d
1
), được xác định bởi:
( )
( )
( )
( )
1 1
: :
qua A
d d
vtcpAH
⇔
uuur
Dựng (P
1
) và (P
2
) thỏa mãn:
( )
( )
( ) ( )
1
1
:
qua A
P
P d
và
( )
( )
( ) ( )
2
2
:
qua A
P
d P
∈
Khi đó
( ) ( ) ( )
1 1 2
d P P= ∩
5. BÀI TOÁN 5:
Mặt phẳng (P) có vtpt
( )
n
r
Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc với (P), ta được:
( )
( )
( )
( )
: : ,
qua A
d d t R
vtcpn
⇔ ∈
r
Vì hình chiếu vuông góc H của A lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P), do
đó:
thay các tọa độ của (d) vào (P)
( )
t H⇔ = ⇒
6. BÀI TOÁN 6:
Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng (P).
Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A
1
từ điều kiện H là trung điểm của AA
1
.
7. BÀI TOÁN 7:
“Lập phương trình đường thẳng (d
1
) qua A,
vuông góc với (d) và cắt (d)”
“Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A
lên mặt phẳng (P)
“Xác định tọa độ điểm A
1
đối xứng với A qua mặt
phẳng (P)
“Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A
lên đường thẳng (d)
- 01689583116
Cách 1:
Gọi
a
r
là vtcp của (d), ta có
( )
a
r
Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
( )
: , .
x
d y t R
z
=
= ∈
=
Vì
( )
H d∈
, nên H (theo t)
( )
AH⇒
uuur
( ) ( )
. 0 AH d AH a t H⇔ = ⇔ ⇔ = ⇒
uuur r
Cách 2:
Gọi
a
r
là vtcp của (d), ta có
( )
a
r
Gọi H(x,y,z) là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (d), suy ra:
( )
( )
( ) ( )
AH AH. 0
H d H d H d
AH d
a a
∈ ∈ ∈
⇔ ⇔ ⇒
=
uuur r uuur r
8. BÀI TOÁN 8:
Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng (d).
Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A
1
từ điều kiện H là trung điểm của AA
1
.
Bài 1: Cho (d
1
) là đường thẳng:
1 1 3
3 2 2
x y z+ − −
= =
−
và đường thẳng (d
2
):
1 3
1 1 2
x y z− −
= =
.
Lập phương trình mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
). ĐS: 6x-8y+z+11=0
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-1, 2, -3), vuông góc với vectơ
(6;2; 3)a = −
r
và cắt đường thẳng:
( )
1 3
: 1 2 , .
3 5
x t
d y t t R
z t
= +
= − + ∈
= −
ĐS:
1 1 3
3 2 5
x y z− + −
= =
−
“Xác định tọa độ điểm A
1
đối xứng với A qua
đường thẳng (d)
- 01689583116
Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (1; 2; -2) và song song với đường thẳng:
2 0
2 5 1 0
x y z
x y z
+ − + =
− + − =
ĐS:
1 2 2
4 7 3
x y z− − +
= =
− −
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1, 2, 3);
(6; 2; 3)a = − −
r
và đường thẳng (d) có
phương trình
2 3 5 0
5 2 14 0
x y
x z
− − =
+ − =
a) Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa A và (d).
B)Lập phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua A và vuông góc với vectơ
a
r
và cắt đường thẳng
(d).
ĐS:
( )
α
: 3x+3y+2z-9=0;
( )
1 2 3
:
5 21 24
x y z+ − −
∆ = =
−
- 01689583116
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2, -1, 1); và đường thẳng
( )
4 0
:
2 2 0
y z
x y z
+ − =
∆
− − + =
a) Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua A và vuông góc với
( )
∆
.
b) Xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua
( )
∆
.
ĐS:
( )
: 2 0y z
α
− + =
; B(0; 3; 5)
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, 2, 1); và đường thẳng:
- 01689583116
( )
: 3
2 4
x y
d z= = +
a)Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua A và chứa (d) .
b) Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua A, vuông góc với (d) và cắt (d).
ĐS: (P): 14x-5y-8z-24=0;
( )
14 5 8 24 0
:
2 4 15 0
x y z
x y z
− − − =
∆
+ + − =
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng:
( )
3 2 7 0
:
3 2 3 0
x y z
d
x y z
− + − =
+ − + =
ĐS:
( )
1 1 2
:
2 4 5
x y z− − −
∆ = =
−
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình:
( ) ( )
1 2
: 2 , . : 2 2 1 0
3
x t
d y t t R P x y z
z t
= +
= − ∈ − − + =
=
- 01689583116
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến
mặt phẳng (P) bằng 1.
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d). Hãy xác định tọa độ
điểm K.
ĐS: M
1
(-3; 4; -6) và M
2
(9; -2; 12); K(4; 3; 3).
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Hãy viết
phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với
mặt phẳng chứa tam giác đó.
ĐS:
( )
1
: 2 , .
2
x t
d y t R
z
= +
= ∈
=
- 01689583116
Bài 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; -1; 0), vuông góc và cắt đường
thẳng (d) có phương trình:
( )
5 2 0
:
2 1 0
x y z
d
x y z
+ + + =
− + + =
ĐS:
( )
2 1
:
2 0 1
x y z− +
∆ = =
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x+6y-z-2=0, và đường thẳng:
( )
7 14 0
:
2 0
x y z
d
x y z
+ − − =
− − − =
a) Tìm tọa độ giao điểm A của (P) và (d).
b) Tìm phương trình mặt phẳng
( )
β
qua B(1; 2; -1) và vuông góc với (d).
ĐS: A(0; 0; -2);
( )
β
: 4x+3y+z-9=0
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình:
- 01689583116
( ) ( )
1
: 1, . : 2 1 0
2
x t
d y t t R P x y z
z t
= +
= − ∈ + + − =
=
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến
mặt phẳng (P) bằng
6
.
b) Tìm tọa độ của điểm N đối xứng với điểm M(2; 0; -1) qua đường thẳng (d).
ĐS:
( )
1 2
13 3 16 1 9 8
; ; ; ; ; ; 0; 2;1
5 5 5 5 5 5
A A N
− − −
÷ ÷
Bài 13: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng:
2 0
3 2 3 0
x z
x y z
− =
− + − =
và vuông góc với
mặt phẳng: x – 2y + z + 5 = 0.
ĐS:
( )
β
: 11x – 2y -15z – 3 = 0
- 01689583116
Bài 14: Cho đường thẳng
( )
1
1 1 3
:
3 2 2
x y z
d
+ − −
= =
−
và đường thẳng
( )
2
1 3
:
1 1 2
x y z
d
− −
= =
. Tìm
tọa độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
).
ĐS: A(2; 3; 1)
Bài 15: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
( ) ( )
1 2
2 ' 5
: 3 2, ; : 4 ' 1, '
4 6 ' 20
x t x t
d y t t R d y t t R
z t z t
= = +
= − ∈ = − − ∈
= + = +
ĐS: M(3; 7; 18)
Bài 16: Chứng tỏ rằng hai đường thẳng sau đây không cắt nhau và vuông góc nhau:
( ) ( )
1 2
3 5 1 0
1
: ; :
2 3 8 1 0
1 2 3
x y z
x y z
d d
x y z
+ − + =
−
= =
+ − + =
−
- 01689583116
Bài 17: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua M(1; 5; 0) và cắt cả hai đường
thẳng:
( ) ( )
1 2
2 1 0 3 2 0
: ; :
4 0 2 0
x z x y
d d
x y y z
− − = + − =
+ − = − − =
ĐS:
1 5
1 3 0
x y z− −
= =
Bài 18: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1), vuông góc với
thẳng:
( )
1
1 2
:
3 1 1
x y z
d
− +
= =
và cắt đường thẳng Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
(d) qua M(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng:
( )
2
2 0
:
1 0
x y z
d
x
+ − + =
+ =
ĐS:
1 1 1
1 1 2
x y z− − −
= =
− −
Bài 19: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1, 2, -3), vuông góc với vectơ
(6; 2; 3)a = − −
r
và cắt đường thẳng (d):
- 01689583116
( )
1 1 3
:
3 2 5
x y z
d
− + −
= =
−
ĐS:
1 1 3
2 3 6
x y z− + −
= =
−
Bài 20: Cho 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2
2 3 2 0 2 3 9 0
: ; :
3 2 0 2 1 0
x y x y
d d
x z y z
− − = − + =
+ + = + + =
a) Chứng minh (d
1
)//(d
2
). Viết phương mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
).
b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M(-2; 3; -4) qua (d
1
)
ĐS: x + 4y + 11z +10 = 0; N(4; -3; 2).
- 01689583116
Bài 21: Cho điểm A(0; 1; 1) và 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2
2 0
1 2
: ; :
1 0
3 1 1
x y z
x y z
d d
x
+ − + =
− +
= =
+ =
Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d
1
) và cắt (d
2
).
ĐS:
1 1
1 1 2
x y z− −
= =
−
Bài 22: Trong không gian cho 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2
7 3 9 3 1 1
: ; :
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
− −
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
Bài 23: Cho đường thẳng xác định bởi phương trình:
2 2
3 2 1
x y z+ +
= =
−
và điểm M(4; -3; 2). Tìm tọa độ điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm
M lên đường thẳng đã cho.
ĐS: N(1; 0; -1)
- 01689583116
Bài 24: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d):
( )
2 1
:
1 2 1
x y z
d
− −
= =
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d)
b) Tính khoảng cách từ A đến (d).
ĐS: x + 2y + z – 1 = 0;
2
2
Bài 25: Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng (d):
( )
1
: 3
3 4
x y
d z
−
= = +
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng (d)
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d).
ĐS: 15x – 11y –z + 8 = 0;
347
26
- 01689583116
Bài 26: Trong không gian cho 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2
2 1 2
: 2 à : 3 2
3 2 1 3
x t x s
d y t v d y s
z t z s
= + = +
= + = − +
= − = +
a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
ĐS:
8 3
3
Bài 27: Trong không gian cho 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2
7 3 9 3 1 1
: à :
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d v d
− − − − − −
= = = =
− −
a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
ĐS:
2 21
- 01689583116
Bài 28: Trong không gian cho 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2
2 2
2 0
: à : 5 ,
1 0
2
x t
x y z
d v d y t t R
x y z
z t
= − +
+ + =
= − ∈
− + + =
= +
a) Chứng tỏ rằng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
ĐS:
17
419
Bài 29: Trong không gian cho 2 đường thẳng
( ) ( )
1 2
2 1 1 2
: à :
1 1 2 2 1 1
x y z x y z
d v d
− + + −
= = = =
− − −
a) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm B(3; -3; 2) qua đường thẳng (d
1
).
ĐS:
4
3
;
1 11 8
; ;
3 3 3
A
−
÷
- 01689583116
