Phương pháp giảin toan hình học

Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị
Chuyên Đề : RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
HÌNH HỌC CHO HỌC SINH.
A-ĐẶT VẤN ĐỀ:
- trường THCS dạy toán là một hoạt động toán học cho Học Sinh, trong đó giải
toán là hình thức chủ yếu . Do vậy việc giải một bài tập toán có một vò trí quan
trọng trong dạy học toán. Đặc biệt hơn là giải một bài toán hình học và chứng minh
toán hình học. Giải toán hình học nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc
biệt là rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học , hổ
trợ học sinh học tốt những môn học khác.
-Thông qua việc giải toán hình học của học sinh nhằm đánh giá mức độ kết quả của
dạy và học , đánh giá khạ năng độc lâp học toán và trình độ nhận thức và tiếp thu
kiến thức toán học của học sinh. Với một bài toán hình học việc vẽ hình, đònh
hướng tìm ra lời giải, trình bày chính xác lời giải là một công việc rất quan trọng,
nhất là đối với Học Sinh mới tiếp xúc với môn hình học. Khi Học Sinh đứng trước
một bài tập hình , để có một đònh hướng tìm ra lời giải quả thật không phải là một
công việc đơn giản chút nào. Vì vậy việc giải toán hình và chứng minh hình học là
rất khó đối với học sinh, dẫn đến các em sợ học hình, chán nãn trong học tập và
chất lượng của bộ môn Toán thấp, học yếu, kém…Để nâng cao chất lượng bộ môn
toán đồng thời giúp các em tháo gỡ những khó khăn trong giải toán hình học nhóm
Toán Trường THCS Phước Hòa xây dựng chuyên đề “ RÈN KĨ NĂNG GIẢI
TOÁN HÌNH HỌC CHO HỌC SINH”.
B- NỘI DUNG:
I. QUY TRÌNH DẠY GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC :
Giáo Viên khi dạy học sinh giải một bài toán hình học nên hình thành cho học sinh
có kó năng theo đúng qui trình như giải một bài toán theo các bước sau.
1) Bước 1: Tìm Hiểu Kó Nội Dung Đề Toán Hình Học :
a) Học Sinh phải tự đọc kó nội dung đề toán và trả lời các câu hỏi như:
− Cái gì phải tìm( chứng minh gì, so sánh gì, yêu cầu gì….)?
− Bài toán cho gì?
− Cái phải tìm ( chứng minh…) cần phải thõa mãn diều kiện gì?

− Những điều kiện đó có đủ để đi đến cái phải tìm không ? Thiếu hay thừa ?
Mâu thuẫn nhau không?
b) Hựớng cho học sinh vẽ hình cẩn thận chính xác: Cần dùng những dụng cụ nào
để vẽ hình, xác đònh thứ tự vẽ các yếu tố trong hình vẽ cần vẽ yếu tố nào
trước yếu tố nào sau, dánh dấu các yếu tố đã cho trên hình vẽ như vuông
góc , góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, ghi các số trò đã cho trên hình vẽ
như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo cung, diện tích, thể tích cùng đơn vò
đo thống nhất. Đánh dấu yếu tố phải tìm như số đo góc, số đo cung, độ dài
đoạn thẳng, diện tích………
- 1 -
Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị
c) Tóm tắt giả thiết và kết luận ( Chú ý thể hiện các kí hiệu, qui ước hình học.
cần chú ý sự chuyển đổi sang tóm tắt kí hiệu toán học vì học sinh khối 6, khối
7 mới bắt đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học)
d) Nhắc lại những kiến thức liên quan đến bài toán (Khái niệm, tính chất, đònh lí
, hệ quả, tính chất đã được công nhận qua một bài toán nào đó đã được chứng
minh….) Giáo Viên tái hiện lại kiến thức liên quan hoặc tóm tắt trên bảng
dưới dạng công thức, bảng tóm tắt, sơ đồ…..Giúp cho Học Sinh lựa chọn và
vận dụng tìm hướng giải bài toán.
Ví Dụ: Bài tập 52/tr 128 SGK Toán 7 t1
Cho góc xoy có số đo 120
0
, điểm A thuộc tia phân giác của góc đó. Kẽ AB vuông
góc với Ox( B
∈
Ox) , kẽ AC vuông góc với Oy ( C
∈
Oy). Tam giác ABC là tam
giác gì? Vì sao?
a) Các yếu tố bài toán cho như:

·
·
·
0 0
120 ; 60xOy AOx AOy= = =
; AB
⊥
OB; AC
⊥
OC
Yêu cầu nhận dạng
V
ABC.( Tam giác vuông , cân , vuông cân , đều)
b) Dùng các dụng cụ vẽ hình như
− Thước đo góc vẽ góc có số đo 120
0
− Thước hai lề ( hoặc compa) vẽ tia
phân giác của góc .
− ke để vẽ hai đường thẳng vông góc
c) Thứ tự vẽ hình: Góc xOy có số đo 120
0
,
tia phân giác Ot của góc xOy, vẽ điểm A
∈
Ot, vẽ đường thẳng đi qua A
vuông góc Ox tại B, vẽ đường thẳng đi qua A vuông góc Oy tại C, nối OC.
Đánh dấu góc bằng nhau, góc vuông , ghi số đo góc đã choo trên hình vẽ.
d) Tóm tắt giả thiết và kết luận: chú ý sử dụng kí hiệu
∈
,

⊥
để tóm tắt bài
toán.
e) Cho Học Sinh nhắc lại các kiến thức như:
- Dấu hiệu nhận biết các tam giác cân, đều
- Khái niệm tia phân giác của một góc.
- Các trường hợp bằng nhau đã học của hai tam giác vuông.
2) Bước 2 : Tìm Lời Giải Bài Toán Hình Học:
Để hướng dẫn Học Sinh tìm đường lối giải bài toán Giáo Viên phải tạo sự liên hệ
giữa cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh . Dùng hai đường lối chủ yếu sau:
a) Cách 1:


→



- Liên he äbài tập tương tự đa õgiải.
- Các yếu tố đa õcho của bài toán Hướng giải bài toán
- Khái niệm, đònh nghóa, tính chất, đònh lí he äquả...
b) Cách 2: ( thường sử dụng)
- 2 -
60
0
60
0
C
B
O
A

Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị
Sử dụng phương pháp phân tích để phân tích bài toán bằng phương pháp
phân tích đi lên, hình thành sơ đồ phân tích đi lên, tìm hướng giải bài toán.
Giáo Viên thực hòên các phương pháp trên có thể đặt học sinh vào các tình huống
chủ yếu sau:
− Đã lần nào gặp bài toán này chưa? Có thể gặp bài toán dưới dạng tương
tự nào khác, hình thức nào khác?
− Hãy suy nghó và nghiên cứu yêu cầu phải chứng minh. Đã gặp bài toán
nào có yêu cầu chứ ng minh như thế chưa?
− Giáo Viên giới thiệu bài tập đã giải yêu cầu học sinh tìm hiểu bài tập
này có giúp gì việc giải bài tập này không? Có thể áp dụng kết quả của
bài tập này không?
− Có thể đưa vào yếu tố, phần tử phụ , vẽ yếu tố phụ để giải bài tập này
không?
− Nếu chưa tìm ra hướng chứng minh bài toán cho học sinh giải một bài
toán tương tự dễ hơn, đặc biệt hơn.
− Chứng minh một phần bài tóan, chia bài toán thành những b toán
nhỏ .
− Thay đổi dự kiện bài toán xét sự thay đổi cần phải chứng minh.
− Đã sử dụng hết giả thiết của bài toán chưa,
xét hết các khái niệm đã cho liên quan đến
bài tóan chưa.
Ví Dụ1: Bài tập 35/tr 72 SBT
( Hình vẽ) : Cho AB=12cm, AC= 15cm, AN= 8cm,
AM=10cm, BC=18cm. Tính MN?
Giáo Viên : Để giải bài tập trên giáo viên yêu cầu học
sinh liên hệ từ bài tập tương tự đã giải như.
Bài tập: 80/tr80 toán 8 tập 2
Cho
V

ABC, trong đó AB=15cm, AC= 20cm. Trên
hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E
sao cho
AD = 8cm, AE = 6cm. Hai tam giác ABC và ADE
có đồng dạng với nhau không? Vì sao?
bài tập này
V
ABC không đồng dạng với
V
ADE nhưng
V
ABC
V
AED (cgc)
Từ đó tìm hướng giải bài tập đã cho là
chứng minh:
V
ANM
V
ABC (cgc)
⇒
tính MN ?
Ví Dụ 2: Bài tập 40/tr 83 toán 9 tập 2:
- 3 -
8
6
15
20
A
B

C
E
D
10cm
8cm
18cm
12cm
15cm
A
B
C
N
M
Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị
Qua điểm S nằm ngoài đường tròn (O) , vẽ tiếp tuyến
SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác góc
BAC cắt dây BC tại D.
Chứng minh SA=SD.
Giáo Viên phân tích đi lên như sau:
» »
·
»
»
»
»
·
2 2
BE CE
sd AB sd CE sd AB sd BE
SAD

=
⇓
+ +
= = =
⇓
⇓
V


ADS

SAD cân tại S

SA = SD
3) Bước 3: Trình Bày Bài Giải Bài Toán Hình Học:
− Trình bày lời gải gọn gàn hợp lí , chú ý cách diễn đạt ( dùng phương
pháp tổng hợp để trình bày bài giải)
− Giáo viên thường xuyên uốn nắn sửa chữa để đư đến cách trình bày hợp
lí phù hợp với qui tắc suy luận.
− Thường trình bày theo 3 đoạn suy luận sau.

↓
↓
Tiền đe àlớn ( ít nêu)

Tiền đe å nhỏ( lí luận viết bằng lời văn, kí hiệu...)

kết luận
4) Bước 4: Nghiên Cứu Lời Giải Bài Toán Hình Học:
− Kiểm tra lại tổng thể bài tóan, các bước giải trình bày đã phù hợp chưa,

lập luận có chính xác logic không? Có đảm bảo căn cứ không? Thể hiện
các kí hiệu toán học có hợp lí không?
− Rút kinh nghiệm sau khi chứng minh bài toán nhất là phương pháp giải,
kiến thức đã vận dụng, có thể xem là bài toán chứng minh tổng quát
thường gặp vận dụng khi gặp bài toán tương tự.
− Tìm thêm cách giải khác của bài tóan nếu có.
− Khai thác thêm bài toán theo các hướng sau:
Cách 1: Thay đổi một phần giả thiết của bài toán , đặc biệt hóa bài toán ,
thay đổi giả thiết như thế nào mà bài giải không thay đổi.
Cách 2: Phát hiện bài toán mới , mệnh đề mới, tính chất mới .
Ví Dụ 1:( hình học 7)
Cho
·
xOy

≤
90
0
, A là điểm nằm trong góc đó . Vẽ các điểm B và C, sao cho Ox là
trung trực của AB, Oy là trung trực của AC. Chứng minh.
- 4 -
1
2
3
D
E
B
O
A
S

C
Trường THCS L ương Phú Nguy ễ n Đứ c Ngh ị
a) OB=OC
b)
·
·
2BOC xOy=
Giải:
a) OI là trung trực AB
⇒
OA= OB
OK là trung trực của AC
⇒
OA = OC
Vậy OB= OC ( = OA)
b) Ta có Ox là phân giác cũa tam giác cân BOA cân tại
A

⇒

·
·
1
2
xOA BOA=
(1)
Tương tự:
·
·
1

2
yOA COA=
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
·
·
·
·
( )
·
·
1
2
2
yOA xOA AOB AOC
BOC xOy
+ = +
⇒ =
Đặt biệt hóa bài toán:
Góc
·
xOy
có số đo bao nhiêu để B, O, C thẳng hàng?
Một bài toán mới từ bài toán trên:Cho điểm A nằm trong
góc xOy. Vẽ các điễm B và C sao cho Ox là trung trực của AB, OY là trung trực của
AC. Chứng minh là trung điểm của BC.
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM TÒI LỜI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC
THƯỜNG GẶP:
1. Một Số Phương Pháp Vẽ Đường Phụ:
Khi giải bài toán hình học , ta gặp một số bài toán nếu nếu không vẽ thêm

đường phụ thì bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ
giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán sẽ được thuận lợi hơn.
Vẽ đối tượng có liên quan đếin một đối tượng của bài toán:
− Trung điểm: vẽ đường trung tuyến , đường trung bình, đường trung trực…..
− Vẽ tia phân giác một góc , đường thẳng song song hay vuông góc với đường
thẳng cho trước , đường thẳng qua điểm, giao điểm đường thẳng.
− Tỉ số : Vẽ đường thẳng song song, vẽ góc bằng góc cho trứơc, vẽ đoạn
thẳng bằng hoặc tỉ lệ…
− Tiếp tuyến: bán kính đi qua tiếp điểm.
− Dây cung: bán kính đi qua trung điểm hoặc một đầu dây cung.
− Đường tròn: Đường tròn nối tâm, đường tròn có dây chung với đường tròn,
đường tròn ngoại , nội tiếp tam giác.
2. Phương Pháp Chứng Minh Phản Chứng:
Các bước của phương pháp chứng miinh phản chứng:
− Bước 1: Giả sử kết luận của bài toán không đúng.
- 5 -
y
x
O
I
K
B
A
C
y
x
O
B
A
C