Bài tập tổ hợp toán 11

Giáo viên: Lê Đăng Điển
Tổ: Toán – Tin
Trường THPT Nguyễn Đăng Đạo
KIỂM TRA BÀI CŨ
•
Bài1: Trình bày phương pháp trực tiếp (“liệt kê các TH”), vận dụng vào
giải bài toán sau: Từ các chữ số 0,1,…,9 lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 4 cs khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 1.
•
Bài 2: Trình bày phương pháp gián tiếp (“ lấy phần bù”), vận dụng vào
giải bài toán của Bài 1.
Đáp án phần bài tập
•
Bài 1: Gọi số phải tìm là
Và a,b,c,d đôi một khác nhau. Có các TH sau:
a) Số có dạng :b có 9 cách, c có 8 cách, d có 7 cách. Có 9.8.7=504 số
b) Số có dạng : a có 8 cách, c có 8 cách, d có 7 cách. Có 8.8.7=448 số
c) Số có dạng : a có 8 cách, b có 8 cách, d có 7 cách. Có 8.8.7=448 số
d) Số có dạng :Tương tự có 448 số.
Vậy có tất cả :504 + 448.3 = 1848 số.
•
Bài 2: Gọi A là tập hợp các số có 4 cs khác nhau bất kỳ.
Gọi B là tập hợp các số có 4 cs khác nhau và nhất thiết phải có mặt cs 1
Vậy tập bù C là tập các số có 4 cs khác nhau và không có mặt cs 1.
Ta có A= ,với a,b,c,d đôi một khác nhau
|A|=9.9.8.7= 4536
Ta có C= , với a,b,c,d đôi một khác nhau
|C|=8.8.7.6 =2688
Vậy số các số thỏa mãn đầu bài là : |B|=|A|-|C|= 1848 số.
}
{

,( , , , 0,1, ,9 , 0)abcd a b c d a∈ ≠
1bcd
1a cd
1ab d
1abc
{
{ } }
, , , , 0,1, ,9 , 0abcd a b c d a∈ ≠
{
{ } }
, , , , 0,2,3 ,9 , 0abcd a b c d a∈ ≠
Ưu điểm của pp “lấy phần bù”
•
Bài 1 (D 06) : Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 hs
gồm 5 hs lớp T, 4 hs lớp L, 3 hs lớp H. Cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ, sao cho
4 hs này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như
vậy.
•
Lời giải:
•
Gọi A là tập hợp các cách chọn 4 hs bất kỳ trong 12 hs trên.
•
Gọi B là tập hợp các cách chọn 4 hs thỏa mãn đầu bài
•
Gọi C là tập hợp các cách chọn 4hs sao cho 4hs này thuộc cả 3 lớp trên.
•
Ta có
•
Theo qui tắc cộng |A|=|B|+|C| nên |B| = |A| -|C|
•

Ta có |A|=
•
Để tính |C|, ta nhận thấy sẽ chọn 1 lớp 2 hs , còn 2 lớp còn lại mỗi lớp 1 hs.
Vì vậy:
•
Vậy số cách chọn thỏa mãn đầu bài: |B| = |A| -|C|=495-270= 225 cách
,A B C B C= ∪ ∩ = ∅
2 1 1 1 2 1 1 1 2
5 4 3 5 4 3 5 4 3
| | 270C C C C C C C C C C= + + =
5
9
450C =
Một số cách chọn tập mẹ A,tập bù C
Bài 2: Trong bộ tham mưu của Napoleon có 6 nhà toán học nam, 5 nhà
toán học nữ, và 7 nhà vật lý nam. Trong một lần hàng quân sang nước
Nga xa xôi, ông muốn đem theo 5 người trong những người trên, sao
cho 5 người đó có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý. Hỏi xem
ông có bao nhiêu cách lựa chọn.
Một số cách chọn tập mẹ A,tập bù C
Cách 1:
•
Gọi A là tập cách chọn 5 người tùy ý trong 18 người.
•
Gọi B là tập các cách chọn thỏa mãn đầu bài.
•
Và C là tập bù của tập B trong A
•
Ta có |A|=
•

Ta xét tập C: tập C gồm các TH sau:
a) 5 người này hoặc toàn nam hoặc toàn nữ. Số cách chọn là:
b) 5 người này có cả nam và nữ, nhưng không đủ cả toán học và vật lý ,do nữ là
nhà toán học nên 5 người này đều phải là nhà toán học. Số cách chọn là:
•
Vậy |C|=1288+455=1743
•
Vậy số cách lựa chọn thỏa mãn bài toán là : |B|=|A|-|C|=6825 (cách)

5
18
8568C =
5 5
13 5
1288C C+ =
1 4 2 3 3 2 4 1
6 5 6 5 6 5 6 5
455C C C C C C C C+ + + =
Một số cách chọn tập mẹ A,tập bù C
•
Cách 2:
•
Gọi A là tập hợp cách chọn 5 người có cả nam và nữ (có 13 nam và 5 nữ).
•
Gọi B là tập hợp cách chọn 5 người thỏa mãn đầu bài
•
Và C là tập bù của B trong A.
•
Ta có |A|=
•

Xét C: tập hợp cách chọn 5 người có cả nam và nữ, nhưng chỉ có nhà toán học, hoặc
chỉ có nhà vật lý. Nhưng cũng giống cách 1, do nhà toán học là nữ nên 5 người này
đều là nhà toán học. Số cách chọn là:
•
Vậy số cách chọn thỏa mãn đầu bài: |B|=|A|-|C|= 6825 (cách)

1 4 2 3 3 2 4 1
5 13 5 13 5 13 5 13
7280C C C C C C C C+ + + =
1 4 2 3 3 2 4 1
6 5 6 5 6 5 6 5
| | 455C C C C C C C C C= + + + =
Một số cách chọn tập mẹ A,tập bù C
•
Cách 3:
•
Gọi A là tập hợp cách chọn 5 người có cả toán học và vật lý (có 11 nhà toán học
và 7 nhà vật lý).
•
Gọi B là tập cách chon 5 người thỏa mãn đầu bài
•
Và C là tập bù của B trong A.
•
Ta có |A|=
•
Xét C: là tập hợp cách chọn 5 người có cả toán học và vật lý nhưng toàn toàn
nam
(có 6 nhà toán học nam, 7 nhà vật lý nam). Số cách chọn:
|C|=
•

Vậy số cách chọn 5 người thỏa mãn đầu bài là:
|B|=|A|-|C|=8085-1260=6825 (cách)
1 4 2 3 3 2 4 1
11 7 11 7 11 7 11 7
8085C C C C C C C C+ + + =
1 4 2 3 3 2 4 1
6 7 6 7 6 7 6 7
1260C C C C C C C C+ + + =
CỦNG CỐ
•
Qua các bài tập trên ta đã biết: Phương pháp gián tiếp thực
chất là phép lấy phần bù trong lý thuyết tập hợp.
•
Như 3 cách giải của bài trên là ta xét 3 tập mẹ A khác nhau.
Với mỗi cách chọn tập mẹ A ta lại có một tập bù C khác
tương ứng.
•
Việc chọn tập mẹ A càng “chặt” thì việc chọn phần bù đơn
giản hơn, giảm bớt quá trình tính toán. Vậy phải suy xét sao
cho việc chọn tập mẹ A và tập bù C để cho bài toán càng đơn
giản càng tốt.
TIẾT
HỌC
KẾT
THÚC
XIN CÁM ƠN QUÍ THẦY CÔ