Bài giảng thông tin số Chương 2 docx

- Chỉång II-
9/15/
2
Chỉång 2
Tên hiãûu v phán têch tên hiãûu

Nhỉ â giåïi thiãûu trong chỉång trỉåïc, chỉång ny chụng ta s tçm hiãøu nhỉỵng nẹt chênh vãư tên
hiãûu v phỉång phạp phán têch tên hiãûu.
Tên hiãûu (signal) l biãøu diãùn váût l ca tin tỉïc. Trong hãû thäúng truưn tin, tên hiãûu nháûn âỉåüc
thỉåìng bao gäưm pháưn chỉïa tin tỉïc mong mún v pháưn khäng mong mún thãm vo. Pháưn
mong mún gi l tên hiãûu cọ êch, pháưn khäng mong mún gi l nhiãùu (noise). Trong
chỉång ny gi sỉí tên hiãûu v nhiãùu âỉåüc cäüng vo nhau åí bãn thu v gi chung l tên hiãûu.
Trong thỉûc tãú cọ thãø nhiãùu tạc âäüüng vo tên hiãûu bàòng cạch nhán vê dủ nhỉ fading.
Chỉång ny âỉa ra cạc cäng củ toạn hc âãø biãøu diãù
n tên hiãûu, trãn cå såí biãøu diãùn ny tiãún
hnh phán têch tên hiãûu âãø rụt ra cạc âàûc trỉng thêch håüp cho tên hiãûu ty theo cạc khêa cảnh
ỉïng dủng k thût khạc nhau ca nọ.
Chỉång ny táûp trung giåïi thiãûu phỉång phạp phán têch thåìi gian, phán têch phäø (spectral
analysis) v phán têch tỉång quan (correlation analysis).
Phán têch thåìi gian âỉåüc hiãøu theo nghéa biãøu diãùn tên hiãûu trong miãưn thåìi gian v trãn cå såí
âọ, tçm ra cạc âải lỉåüng âàûc trỉng ca tên hiãûu nhỉ nàng lỉåüng, cäng sút, trë trung bçnh
Phán têch phäø liãn quan âãún viãûc mä t tên hiãûu trong miãưn táưn säú v mäúi liãn quan giỉỵa mä
t trong miãưn táưn säú v miãưn thåìi gian. Phán têch tỉång quan åí cúi chỉång dnh âãø phán
têch tên hiãûu ngáùu nhiãn. Tên hiãûu trong thäng tin chênh l loải tên hiãûu ngáùu nhiãn n
y.
2.1 Giåïi thiãûu
2.1.1 Âënh nghéa tên hiãûu
Tên hiãûu âỉåüc âënh nghéa nhỉ l biãøu diãùn váût l ca tin tỉïc. Âọ l mäüt âải lỉåüng váût l biãún
thiãn theo thåìi gian, khäng gian hay cạc biãún âäüc láûp khạc. Vãư màût toạn hc, cọ thãø xem tên
hiãûu l hm theomäüt hồûc nhiãưu biãún âäüc láûp. Vê dủ nhỉ, hm
t

5)
t
(x
=

mä t tên hiãûu thay âäøi tuún tênh theo biãún thåìi gian t. Hay hm
2
y10xy2x3)y,x(s ++=
mä t tên hiãûu theo hai biãún âäüc láûp x v y biãøu diãùn cho hai biãún khäng gian trong mäüt màût
phàóng.
Mäüt vê dủ khạc, tên hiãûu tiãúng nọi l sỉû thay âäøi ạp sút khäng khê theo thåìi gian. Nhỉng ta
khäng thãø biãøu diãùn tên hiãûu tiãúng nọi l mäüt hm theo thåìi gian m täøng quạt, ta chè cọ thãø
biãøu diãùn mäüt âoản (segment) tiãúng nọi nhỉ l täøng ca nhiãưu hm sin khạc biãn âäü, táưn säú v
pha nhỉ sau:
- - 17
- Chỉång II-
9/15/
2
∑
=
θ+π
N
1i
iii
)]t(t)t(F2sin[)t(A
Hçnh 2.1 l mäüt vê dủ vãư dảng sọng tên hiãûu tiãúng nọi - tỉì tiãúng Anh "away"


Hçnh 2.1 Dảng sọng ca tỉì "away"

2.1.2 Phán loải tên hiãûu
Cọ nhiãưu cạch khạc nhau âãø phán loải tên hiãûu.
Trong mäüt vi ỉïng dủng, tên hiãûu cọ thãø âỉåüc tảo ra tỉì nhiãưu ngưn hồûc tỉì nhiãưu bäü cm
biãún. Nhỉỵng tên hiãûu nhỉ váûy âỉåüc gi l tên hiãûu âa kãnh (multichannel signals). Vê dủ nhỉ,
tên hiãûu âiãûn tám âäư (ECG) 3 kãnh hồûc 12 kãnh.
Xẹt säú biãún âäüc láûp, ta tháúy cọ nhỉỵng tên hiãûu l hm theo mäüt biãún âån, gi l tên hiãûu mäüt
hỉåïng (one-dimensional signals), cọ nhỉỵng tên hiãûu l hm theo M biãún (M > 1), gi l tên
hiãûu M-hỉåïng (M-dimensional signals). Vê dủ nhỉ, tên hiãûu nh ténh l tên hiãûu 2 hỉåïng vç
nh l h
m âäü sạng theo hai biãún khäng gian.
Xẹt giạ trë ca hm, cọ thãø giạ trë âọ l mäüt giạ trë thỉûc hay phỉïc. Do âọ ta cọ thãø phán loải
tên hiãûu thnh tên hiãûu thỉûc hay phỉïc.
Trong män hc ny, ta chè xẹt tên hiãûu thỉûc, mäüt kãnh, mäüt hỉåïng, biãún l biãún thåìi gian. Ta
k hiãûu tên hiãûu ny l s(t) hay x(t).
Âãø cọ thãø phán têch tên hiãûu, u cáưu ta phi mä t âỉåüc tên hiãûu bàòng mäüt mä hçnh toạn hc
no âọ. Cọ nhỉỵng tên hiãûu cọ thãø xạc âënh duy nháút bàòng mäüt mä hçnh toạn hc quen thüc
nhỉ l bng biãøu, âäư thë Loải tên hiãûu ny âỉåüc gi l tên hiãûu xạc âënh hay táút âënh
(deterministic signals). Loải tên hiãûu n
y âỉåüc dng âãø nháún mảnh ràòng ta cọ thãø biãút r táút
c cạc giạ trë ca tên hiãûu trong quạ khỉï, hiãûn tải v tỉång lai.
Tuy nhiãn, thỉûc tãú cọ nhiãưu tên hiãûu m ta khäng thãø mä t chênh xạc âỉåüc. Do âọ khäng thãø
dng mä hçnh toạn hc quen thüc âãø biãøu diãùn tên hiãûu. Ta khäng thãø dỉû âoạn âỉåüc hnh vi
ca loải tên hiãûu ny. Ta gi âáy l tên hiãûu ngáùu nhiãn (random signals). Âãø biãøu diãùn loải
tên hiãûu ny, ta phi dỉûa vo cạc quan sạt thäúng kã. Vê dủ tên hiãûu tiãúng nọi, tên hiãûu nhiãùu l
nhỉỵng tên hiãûu ngáùu nhiãn.
- - 18
- Chổồng II-
9/15/
2
2.2 Bióứu dióựn tờn hióỷu xaùc õởnh theo thồỡi gian

2.2.1 Tờn hióỷu vỏỷt lyù vaỡ tờn hióỷu toaùn hoỹc
Tờn hióỷu vỏỷt lyù (physical signals) laỡ tờn hióỷu coù thóứ thổỷc hióỷn õổồỹc vóử mỷt vỏỷt lyù (physically
realizable). Tờn hióỷu vỏỷt lyù phaới thoaớ maợn caùc yóu cỏửu sau:
- Coù giaù trở hổợu haỷn, xaùc õởnh trong mọỹt khoaớng thồỡi gian hổợu haỷn
- Coù phọứ hổợu haỷn, xaùc õởnh trong mọỹt daới tỏửn sọỳ hổợu haỷn
- Laỡ haỡm lión tuỷc theo thồỡi gian
- Laỡ haỡm thổỷc
- Coù tờnh nhỏn quaớ, nghộa laỡ bión õọỹ s bũng 0 vồùi thồỡi gian t < 0.
Ngổồỹc vồùi tờn hióỷu vỏỷt lyù laỡ tờn hióỷu toaùn hoỹc (mathematical signals). où laỡ tờn hióỷu chố coù yù
nghộa ly
ù thuyóỳt vaỡ hoaỡn toaỡn khọng thóứ thổỷc hióỷn õổồỹc vóử mỷt vỏỷt lyù. Hỗnh 2.2 õổa ra mọỹt vờ
duỷ vóử hai loaỷi tờn hióỷu xung vuọng vỏỷt lyù vaỡ toaùn hoỹc.

-





t
t
(b)
(a)
Hỗnh 2.2 Tờn hióỷu xung vuọng vỏỷt lyù vaỡ toaùn hoỹc
(a) Xung vuọng toaùn hoỹc - (b) Xung vuọng vỏỷt lyù

2.2.2 Phỏn loaỷi tờn hióỷu dổỷa theo daỷng
Goỹi kyù hióỷu bióứu dióựn tờn hióỷu laỡ s(t), ồớ õỏy s laỡ bión õọỹ vaỡ t laỡ thồỡi gian. Dổỷa theo bión õọỹ vaỡ
thồỡi gian, ta coù thóứ phỏn tờn hióỷu thaỡnh 4 loaỷi:
Tờn hióỷu lión tuỷc (continuous-time signals) hay tờn hióỷu tổồng tổỷ (analog signals) laỡ tờn hióỷu

coù giaù trở xaùc õởnh taỷi moỹi thồỡi õióứm tổỡ khi tờn hióỷu sinh ra õóỳn khi kóỳt thuùc, nghộa laỡ caớ bión
õọỹ vaỡ thồỡi gian õóửu lión tuỷc.
Tờn hióỷu rồỡi raỷc (discrete-time signals) laỡ tờn hióỷu chố xaùc õởnh taỷi caùc giaù trở naỡo õoù cuớa thồỡi
gian. Tờn hióỷu naỡy coù bión õọỹ lión tuỷc vaỡ thồỡi gian rồỡi raỷc. Khoaớng caùch giổợa caùc thồỡi õióứm rồỡi
raỷc khọng nhỏỳt thióỳt phaới bũng nhau, nhổng trong thổỷc tóỳ thổồỡng khoaớng caùch naỡy õổồỹc lỏỳy
bũng nhau. Coù thóứ taỷo ra tờn hióỷu rồỡi raỷc bũng hai caùch. Mọỹt laỡỡ lỏỳy mỏựu tờn hióỷu lión tuỷc, õỏy
laỡ caùch thọng thổồỡng õóứ chuyóứn tờn hióỷu tổỡ lión tuỷc thaỡnh rồỡi raỷc. Hai laỡ õo (õóỳm) mọỹt õaỷi
- 19
- Chổồng II-
9/15/
2
lổồỹng naỡo õoù theo mọỹt chu kyỡ nhỏỳt õởnh, vờ duỷ nhổ cỏn em beù theo tổỡng thaùng, õo aùp suỏỳt
khọng khờ theo giồỡ
Tờn hióỷu lổồỹng tổớ hoùa (quantization signals) laỡ tờn hióỷu chố coù tỏỷp hổợu haỷn sọỳ mổùc bión õọỹ,
nghộa laỡ bión õọỹ rồỡi raỷc vaỡ thồỡi gian lión tuỷc. Vờ duỷ nhổ tờn hióỷu ra cuớa bọỹ giổợ mỏựu bỏỷc khọng
ZOH.
Tờn hióỷu sọỳ (digital signals) laỡ tờn hióỷu rồỡi raỷc coù bión õọỹ õổồỹc rồỡi raỷc hoùa, nghộa laỡ caớ bión õọỹ
vaỡ thồỡi gian õóửu rồỡi raỷc.
Hỗnh 2.3 laỡ õọử thở cuớa 4 loaỷi tờn hióỷu trón.









(b)
(d)

(a)











(c)

Hỗnh 2.3 ọử thở bọỳn loaỷi tờn hióỷu
(a) Lión tuỷc - (b) Rồỡi raỷc - (c) Lổồỹng tổớ hoùa - (d) Sọỳ

2.2.3 Caùc tờn hióỷ
u toaùn hoỹc cồ baớn
- Tờn hióỷu (delta) Dirac laỡ tờn hióỷu õổồỹc õởnh nghộa bồới:
)0(sdt)t()t(s =




vồùi s(t) laỡ haỡm lión tuỷc taỷi t = 0. Ngoaỡi ra coỡn coù õởnh nghộa khaùc cho tờn hióỷu Dirac laỡ:
1dt)t( =

- - 20
- Chổồng II-
9/15/
2
vaỡ




=

=
0t,0
0t,
)t(

ọử thở cuớa tờn hióỷu Dirac nhổ hỗnh 2.4.
-



Hỗnh 2.4 Tờn hióỷu Dirac
1
0
Tờn hióỷu Dirac õổồỹc chổùng minh laỡ coù mọỹt sọỳ tờnh chỏỳt cuớa nhổ:
)t(sdt)tt()t(s
00
=

)t(sdt)t()tt(s
00
=+




)
t
(A)
t
(A

=



0
t
khi,0)
t
(A

=


)tt()BA()tt(B)tt(A

000


+
=


+

Vồùi y(t) lión tuỷc taỷi t
0
ta coù: )tt()t(Ay)]tt(A)[t(y
000


=



,tt2j
dte)t(
,




=
-Tờn hióỷu bổồùc nhaớy õồn vở (unit step) laỡ tờn hióỷu:

<
>
=
0t,0
0t,1
)t(u

Tổỡ õởnh nghộa coù thóứ suy ra mọỳi quan hóỷ giổợa tờn hióỷu Dirac vaỡ tờn hióỷu bổồùc nhaớy õồn vở nhổ
sau:


=
t
)t(ud)(
vaỡ
)t(
dt
)t(du
=

- 21
- Chổồng II-
9/15/
2
ọử thở cuớa tờn hióỷu bổồùc nhaớy õồn vở nhổ hỗnh 2.5.

1
0

Hỗnh 2.5 Tờn hióỷu bổồùc nhaớy õồn vở

- Tờn hióỷu chổợ nhỏỷt (rectangular) laỡ tờn hióỷu:





>

=
2/Tt,0
2/Tt,1
)
T
t
(

ọử thở cuớa tờn hióỷu chổợ nhỏỷt nhổ hỗnh 2.6.

-T/2
T/2
1
0

Hỗnh 2.6 Tờn hióỷu chổợ nhỏỷt
Mọỳi quan hóỷ giổợa tờn hióỷu chổợ nhỏỷt vaỡ tờn hióỷu bổồùc nhaớy õồn vở nhổ sau:
)2/Tt(u)2/Tt(u
T
t
+=








- Tờn hióỷu tam giaùc (triangular) laỡ tờn hióỷu:





>

=
Tt,0
Tt,
T
t
1
)
T

t
(

ọử thở cuớa tờn hióỷu tam giaùc nhổ hỗnh 2.7.

-T
T
1
0



Hỗnh 2.7 Tờn hióỷu tam giaùc
- - 22
- Chổồng II-
9/15/
2
- Tờn hióỷu dọỳc õồn vở (unit ramp) laỡ tờn hióỷu:



<
>
=
0t,0
0t,t
)t(r

ọử thở cuớa tờn hióỷu dọỳc õồn vở nhổ hỗnh 2.8.

0



Hỗnh 2.8 Tờn hióỷu dọỳc õồn vở
- Tờn hióỷu haỡm muợ laỡ tờn hióỷu:





<
>
=

1
1
at
tt,0
tt,Ae
)t(x
(a coù thóứ laỡ sọỳ thổỷc hay phổùc)
ọử thở cuớa tờn hióỷu haỡm muợ vồùi a thổỷc vaỡ 0 < a < 1 nhổ hỗnh 2.9.

-



Hỗnh 2.9 Tờn hióỷu haỡm muợ thổỷc giaớm
0

- Tờn hióỷu sin (tờn hióỷu õióửu hoỡa) laỡ tờn hióỷu:
)
2
t
T
2
sin(A)tf2cos(A)t
T
2
cos(A)t(x
0
0
0

++

=+=+

=

õỏy A laỡ bión õọỹ, f
0
= 1 / T
0
laỡ tỏửn sọỳ chố sọỳ lỏửn lỷp laỷi tờn hióỷu trong 1 õồn vở thồỡi gian,
laỡ pha chố sai khaùc vóử goùc giổợa tờn hióỷu x(t) vaỡ tờn hióỷu tham chióỳu coù pha laỡ 0.
ọử thở cuớa tờn hióỷu sin nhổ hỗnh 2.10.

Hỗnh 2.10 Tờn hióỷu sin
- A
A

0
- 23
- Chổồng II-
9/15/
2
Tỏỷp caùc tờn hióỷu sin coù chung tỏửn sọỳ õổồỹc mọ taớ bồới tỏửn sọỳ õoù vaỡ bión õọỹ vaỡ pha cuớa mọựi tờn
hióỷu. Ta coù thóứ bióứu dióựn bión õọỹ vaỡ pha cuớa mọựi tờn hióỷu dổồùi daỷng phổùc goỹi laỡ phasor.
Sổớ duỷng cọng thổùc Euler, ta coù . Vỏỷy ta coù thóứ vióỳt laỷi bióứu thổùc cuớa tờn
hióỷu sin nhổ sau:
+=

sinjcose
j
tf2jtf2j
j
pp
)tf2(j
000
Xee]Ae[)t(x)]t(xRe[]AeRe[)t(x


+
==
ồớ õỏy X laỡ sọỳ phổùc, bión õọỹ vaỡ pha cuớa X laỡ bión õọỹ vaỡ pha cuớa tờn hióỷu sin. Do õoù ta noùi X

õỷc trổng cho tờn hióỷu sin ngoaỷi trổỡ tỏửn sọỳ. Ta noùi X laỡ bióứu dióựn phasor cuớa tờn hióỷu sin:

=
j
AeX
2.2.4 Caùc õaỷi lổồỹng õỷc trổng cuớa tờn hióỷu
-ọỹ daỡi laỡ thồỡi gian tọửn taỷi cuớa tờn hióỷu tổỡ luùc bừt õỏửu xuỏỳt hióỷn tờn hióỷu cho õóỳn khi kóỳt
thuùc. Thọng sọỳ naỡy qui õởnh khoaớng thồỡi gian bỏỷn cuớa hóỷ thọỳng truyóửn tin trong vióỷc truyóửn õi
tin tổùc chổùa trong tờn hióỷu.
-Trở trung bỗnh (time average) cuớa mọỹt tờn hióỷu õổồỹc tờnh theo cọng thổùc:



=
2/T
2/T
T
dt)t(s
T
1
lim)t(s
ởnh nghộa tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn vồùi chu kyỡ T
O
laỡ tờn hióỷu thoaớ maợn t)Tt(s)t(s
0

+= . Nhổ
vỏỷy tờn hióỷu vỏỷt lyù khọng thỏỷt sổỷ laỡ tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn.
Nóỳu tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn thỗ trở trung bỗnh õổồỹc tờnh nhổ sau:

+
+
=
a2/T
a2/T
0
0
dt)t(s
T
1
)t(s

vồùi a laỡ hũng sọỳ tuỡy yù coù thóứ bũng 0.
Nóỳu tờn hióỷu vỏỷt lyù thỗ trở trung bỗnh õổồỹc tờnh nhổ sau:


=
2
1
t
t
12
dt)t(s
tt
1
)t(s
vồùi t
2
- t
1

= T laỡ õọỹ daỡi cuớa tờn hióỷu.
-Thaỡnh phỏửn mọỹt chióửu cuớa tờn hióỷu DC laỡ thaỡnh phỏửn khọng õọứi theo thồỡi gian. Tọứng
quaùt mọỹt tờn hióỷu coù thóứ õổồỹc phỏn tờch thaỡnh tọứng cuớa hai thaỡnh phỏửn laỡ thaỡnh phỏửn mọỹt
chióửu vaỡ thaỡnh phỏửn khọng õọứi theo thồỡi gian coù trở trung bỗnh bũng 0 goỹi laỡ thaỡnh phỏửn xoay
chióửu. Tổỡ õỏy coù thóứ dóự daỡng suy ra thaỡnh phỏửn mọỹt chióửu chờnh laỡ trở trung bỗnh cuớa tờn hióỷu.
- Nng lổồỹng chuỏứn hoaù (normalized energy) cuớa tờn hióỷu õổồỹc tờnh theo:
- - 24
- Chổồng II-
9/15/
2



=
2/T
2/T
2
T
dt)t(slimE
ởnh nghộa tờn hióỷu nng lổồỹng laỡ tờn hióỷu coù nng lổồỹng hổợu haỷn khaùc 0.
- Cọng suỏỳt chuỏứn hoaù trung bỗnh (average normalized power) cuớa tờn hióỷu õổồỹc tờnh
theo:



==
2/T
2/T
2
T

2
dt)t(s
T
1
lim)t(sP
ởnh nghộa tờn hióỷu cọng suỏỳt laỡ tờn hióỷu coù cọng suỏỳt hổợu haỷn khaùc 0 vaỡ coù nng lổồỹng vọ
haỷn. Tổỡ õỏy ta thỏỳy khọng coù tờn hióỷu naỡo vổỡa laỡ tờn hióỷu nng lổồỹng laỷi vổỡa laỡ tờn hióỷu cọng
suỏỳt
- Trở hióỷu duỷng rms (root mean square) cuớa tờn hióỷu õổồỹc õởnh nghộa laỡ cn bỏỷc hai cuớa
cọng suỏỳt chuỏứn hoaù trung bỗnh.
2.3 Chuọựi Fourier - Phọứ cuớa tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn
Tờn hióỷu s(t) nng lổồỹng hổợu haỷn tuỏửn hoaỡn vồùi chu kyỡ T
O
coù thóứ õổồỹc bióứu dióựn dổồùi daỷng
tọứng vọ haỷn cuớa caùc tờn hióỷu sin. Tọứng naỡy goỹi laỡ chuọựi Fourier (Fourier series), coù thóứ õổồỹc
vióỳt dổồùi nhióửu daỷng khaùc nhau. Mọỹt trong caùc daỷng õoù laỡ:


=

=

+

+=
1n
0
n
1n
0

n0
T
nt2
sinb
T
nt2
cosaA)t(s

Hũng sọỳ A
O
laỡ trở trung bỗnh cuớa s(t), õổồỹc tờnh bồới:


=
2/T
2/T
0
0
0
dt)t(s
T
1
A
Caùc hóỷ sọỳ a
n
vaỡ b
n
õổồỹc tờnh bồới:

=

=
2/T
2/T
00
n
2/T
2/T
00
n
0
0
dt
T
nt2
sin)t(s
T
2
b
dt
T
nt2
cos)t(s
T
2
a

Mọỹt daỷng khaùc cuớa chuọựi Fourier laỡ:


=








+

+=
1n
n
0
n0
T
nt2
cosCC)t(s

õỏy C
O
, C
n
vaỡ
n

lión quan vồùi a
n
, b
n
vaỡ A
O
theo cọng thổùc
- - 25
- Chổồng II-
9/15/
2
n
n
n
2
n
2
nn
00
a
b
arctg
baC
AC
=
+=
=

Vỏỷy chuọựi Fourier cuớa mọỹt haỡm tuỏửn hoaỡn laỡ tọứng caùc haỡi cuớa tỏửn sọỳ cồ baớn f
O

= 1/T
O
.Hóỷ sọỳ
C
n
goỹi laỡ bión õọỹ cuớa thaỡnh phỏửn phọứ (spectral component) C
n
cos (2 n f
O
t +
n
) taỷi tỏửn sọỳ
nf
O
. Hỗnh 2.11a chố ra phọứ bión õọỹ õióứn hỗnh (amplitude spectrum) C
n
cuớa tờn hióỷu tuỏửn
hoaỡn. Phọứ naỡy coù daỷng rồỡi raỷc nón coỡn õổồỹc goỹi laỡ phọứ vaỷch (line spectrum).
Chuọựi Fourier coỡn coù thóứ õổồỹc bióứu dióựn dổồùi daỷng haỡm muợ (exponential form) nhổ sau:


=

=
n
T/tn2j
n
0
eA)t(s
ồớ õỏy

dte)t(s
T
1
A
2/T
2/T
T/tn2j
0
n
0
0
0



=
Hóỷ sọỳ A
n
laỡ hóỷ sọỳ phổùc, lión hóỷ vồùi C
n
theo cọng thổùc :
n
j
n
n
00
e
2
C
A

CA

=
=

Caùc hóỷ sọỳ A
n
laỡ bión õọỹ cuớa thaỡnh phỏửn phọứ . Hỗnh 2.11b chố ra phọứ bión õọỹ A
n
. óứ yù thỏỳy
rũng caùc vaỷch phọứ taỷi hỗnh 2.11a taỷi tỏửn sọỳ f
o
õổồỹc thay bũng 2 vaỷch phọứ hỗnh 2.11b vồùi bión
õọỹ mọựi vaỷch giaớm õi mọỹt nổớa, mọỹt vaỷch ồớ tỏửn sọỳ f
O
vaỡ vaỷch kia ồớ tỏửn sọỳ -f
O
. Phọứ bión õọỹ
hỗnh 2.11a goỹi laỡ phọứ mọỹt phờa (single - sided spectrum) coỡn phọứ bión õọỹ hỗnh 2.11b goỹi laỡ
phọứ hai phờa (two - sided spectrum). Sổớ duỷng phọứ hai phờa thuỏỷn tióỷn hồn trong tờnh toaùn, do
õoùỡ sau naỡy chuùng ta seợ sổớ duỷng phọứ hai phờa.
Vóử mỷt lyù thuyóỳt sọỳ vaỷch phọứ cuớa s(t) laỡ vọ haỷn, nghộa laỡ phọứ õổồỹc phỏn bọỳ trón suọỳt thang
tỏửn sọỳ. Tuy nhión nóỳu tờnh toaùn cuỷ thóứ seợ thỏỳy vồùi hỏửu hóỳt tờn hióỷu thỗ khi n tng õóỳn mọỹt giaù
trở õuớ lồùn naỡo õoù, bión õọỹ C
n
seợ giaớm khaù nhanh vaỡ coù thóứ boớ qua. Do õoù thổỷc tóỳ coù thóứ xem
nhổ phọứ chố phỏn bọỳ trón mọỹt khoaớng tỏửn sọỳ hổợu haỷn.
ởnh nghộa khoaớng maỡ phọứ chióỳm trón thang tỏửn sọỳ goỹi laỡ bóử rọỹng phọứ (spectral bandwidth)
cuớa tờn hióỷu.
Caùch xaùc õởnh bóử rọỹng phọứ nhổ sau: goỹi B laỡ bóử rọỹng phọứ, B õổỷoc tờnh laỡ sai khaùc giổợa hai

tỏửn sọỳ dổồng lồùn nhỏỳt vaỡ nhoớ nhỏỳt maỡ trong khoaớng õoù
- - 26
- Chổồng II-
9/15/
2
max
)f(Sa)f(S
Hóỷ sọỳ a õổồỹc choỹn laỡ hũng sọỳ dổồng tuyỡ ổùng duỷng. Thổồỡng choỹn 707.02
/
1a == . Ta
nhỏỷn thỏỳy tờn hióỷu sin bión õọỹ A coù cọng suỏỳt trung bỗnh laỡ A
2
/ 2 vaỡ tờn hióỷu sin bión õọỹ
2
/
A coù cọng suỏỳt trung bỗnh bũng mọỹt nổớa laỡ A
2
/ 4. Ta bióỳt tyớ sọỳ cọng suỏỳt laỡ 1/2 = -3 dB
Do õoù bng thọng vồùi
707.02
/
1a
=
= coỡn õổồỹc goỹi laỡ bng thọng - 3 dB.
Hỗnh 2.12 laỡ mọỹt vờ duỷ vóử xaùc õởnh bng thọng cuớa tờn hióỷu.

-

n/T
0
n/T
0
0/T
0
1/T
0
2/T
0
3/T
0
. . .
n
A
C
n
(b)
(a)
. . . -3/T
0
-2/T

0
-1/T
0
0 1/T
0
2/T
0
3/T
0
. . .
Hỗnh 2.11 (a) Phọứ bión õọỹ mọỹt phờa cuớa tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn.
(b) Phọứ bión õọỹ hai phờa tổồng ổùng






Hỗnh 2.12 Vờ duỷ xaùc õởnh bng thọng tờn hióỷu
max
n
Aa
n/T
0
B
0

2.4 Pheùp bióỳn õọứi Fourier - Phọứ cuớa tờn hióỷu khọng tuỏửn hoaỡn
2.4.1 Cỷp bióỳn õọứi Fourier thuỏỷn vaỡ ngổồỹc
- 27

- Chổồng II-
9/15/
2
Xeùt tờn hióỷu s(t) khọng tuỏửn hoaỡn. óứ aùp duỷng caùc cọng thổùc trong phỏửn trổồùc ta xem tờn hióỷu
khọng tuỏửn hoaỡn laỡ tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn coù chu kyỡ lồùn vọ cuỡng T
O




. Nhổ ta õaợ thỏỳy, tờn hióỷu
tuỏửn hoaỡn laỡ tọứng cuớa caùc vaỷch phọứ. Caùc vaỷch phọứ naỡy coù bión õọỹ hổợu haỷn vaỡ phỏn caùch nhau
bồới khoaớng tỏửn sọỳ hổợu haỷn f
O
= 1/T
O
. Khi T
O




thỗ khoaớng caùch giổợa caùc vaỷch phọứ trồớ nón
vọ cuỡng beù 1/T
O
df. Bióỳn tỏửn sọỳ tổỡ khọng lión tuỷc trồớ nón lión tuỷc n /T
O
f. Hóỷ sọỳ Fourier
A
n

trồớ thaỡnh:
dfdte)t(sdte)t(s
T
1
limAlim)f(A
tf2j
2/T
2/T
T/tn2j
0
T
n
T
0
0
0
00








===

Nóỳu tờch phỏn trong dỏỳu moùc vuọng họỹi tuỷ thỗ A(f) laỡ mọỹt vọ cuỡng beù. ỷt:




= dte)t(s)f(S
tf2j

S(f) õổồỹc goỹi laỡ mỏỷt õọỹ phọứ (spectral density) hay phọứ hay laỡ bióỳn õọứi Fourier (Fourier
Transform) cuớa tờn hióỷu s(t).
Cuợng lỏỳy giồùi haỷn nhổ trón, ta coù thóứ tờnh ngổồỹc s(t) tổỡ S(f) nhổ sau:






=


== dfe)f(SeAlim)t(s
tf2j
n
T/tn2j
n
T

0
0

Caùc cọng thổùc S(f) vaỡ s(t) hồỹp thaỡnh cỷp bióỳn õọứi Fourier cuớa tờn hióỷu khọng tuỏửn hoaỡn s(t).
S(f) laỡ bióỳn õọứi thuỏỷn, s(t) laỡ bióỳn õọứi ngổồỹc.
Cỷp bióỳn õọứi Fourier chố roợ, vóử mỷt vỏỷt lyù, coù thóứ xem tờn hióỷu s(t) laỡ tọứng cuớa vọ sọỳ dao õọỹng
õióửu hoaỡ coù tỏửn sọỳ bióỳn thión lión tuỷc trón suọỳt truỷc tỏửn sọỳ vồùi bión õọỹ vọ cuỡng beù phỏn bọỳ trón
truỷc tỏửn sọỳ theo mỏỷt õọỹ S(f).
2.4.2 Mỏỷt õọỹ phọứ cuớa tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn
Vỗ tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn chúng qua chố laỡ mọỹt trổồỡng hồỹp õỷc bióỷt cuớa tờn hióỷu khọng tuỏửn hoaỡn
nón tọứng quaùt, ta coù thóứ gaùn caớ khaùi nióỷm mỏỷt õọỹ phọứ cho tờn hióỷ
u tuỏửn hoaỡn. Do õỷc õióứm
cuớa phọứ vaỷch nón mỏỷt õọỹ phọứ cuớa tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn phaới coù tờnh chỏỳt: lồùn vọ cuỡng ồớ caùc
vaỷch phọứ vaỡ trióỷt tióu ồớ ngoaỡi caùc vaỷch õoù. Vỏỷy coù thóứ duỡng tờn hióỷu Dirac õóứ bióứu dióựn mỏỷt
õọỹ phọứ cuớa tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn. Lỏỳy bióỳn õọứi Fourier cho caớ hai vóỳ cuớa cọng thổùc chuọựi
Fourier daỷng haỡm muợ, aùp duỷng tờnh chỏỳt cuớa tờn hióỷu Dirac ta õổồỹc mỏỷt õọỹ phọứ cuớa tờn hióỷu
tuỏửn hoaỡn S
T
(f) nhổ sau:
dteeA)f(S
tf2j
n
tfn2j
nT
0




=

=






=



=
n
t)fnf(2j
n
dteA
0
- - 28
- Chổồng II-

9/15/
2




=
=
n
0n
)nff(A
2.4.3 Phọứ bión õọỹ vaỡ phọứ pha
Tọứng quaùt phọứ S(f) laỡ mọỹt haỡm phổùc theo bióỳn f. Do õoù ta coù thóứ bióứu dióựn S(f) dổồùi daỷng
sau:
[
]
[
]
)f(j
e)f(S)f(SImj)f(SRe)f(S

=+=

Trong õoù:
)]f(S[Im)]f(S[Re)f(S
22
+= goỹi laỡ phọứ bión õọỹ (amplitude spetrum), õồn vở cuớa phọứ
bión õọỹlaỡ A/Hz hay V/Hz
vaỡ
)]f(SRe[

)]f(SIm[
arctg)f( =
goỹi laỡ phọứ pha (phase spectrum), õồn vở cuớa phọứ pha laỡ radian
hay õọỹ.
Hỗnh 2.13 laỡ phọứ bión õọỹ vaỡ phọứ pha cuớa tờn hióỷu chổợ nhỏỷt.
Hỗnh 2.13 Phọứ bión õọỹ vaỡ phọứ pha cuớa tờn hióỷu chổợ nhỏỷt
2.4.4 ởnh lyù Parseval vaỡ mỏỷt õọỹ phọứ nng lổồỹng
ởnh lyù Parseval phaùt bióứu nhổ sau:






= df)f(S)f(Sdt)t(s)t(s
2121

Nóỳu
thỗ: )t(s)t(s)t(s
21
==





== df)f(Sdt)t(sE
22

ỏy cuợng chờnh laỡ nọỹi dung cuớa õởnh lyù nng lổồỹng Rayleigh.

Chổùng minh:
Bióỳn õọứi vóỳ traùi, aùp duỷng cọng thổùc bióỳn õọứi Fourier ngổồỹc, ta õổồỹc:
- - 29
- Chổồng II-
9/15/
2
Vóỳ traùi =
















dt)t(sdfe)f(S
2
tf2j
1
Giaớ sổớ caùc tờch phỏn naỡy õóửu họỹi tuỷ tuyóỷt õọỳi, theo õởnh lyù Fubini ta coù thóứ thay õọứi thổù tổỷ lỏỳy
tờch phỏn vaỡ õổồỹc nhổ sau:
Vóỳ traùi =

dfdte)t(s)f(S
tf2j
21




















= df)f(S)f(S
21
ởnh nghộa mỏỷt õọỹ phọứ nng lổồỹng ESD (Energy Spectral Density) cuớa tờn hióỷu nng lổồỹng
laỡ:
E
2
)f(S)f( =

ồn vở cuớa
E
(f) laỡ joule trón hertz (J/Hz). Sổớ duỷng õởnh lyù Parseval coù thóứ bióứu dióựn nng
lổồỹng chuỏứn hoaù theo ESD nhổ sau:



=E E (f)df
2.4.5 Mỏỷt õọỹ phọứ cọng suỏỳt
Mỏỷt õọỹ phọứ cọng suỏỳt PSD (Power Spectral Density) laỡ haỡm nóu lón mọỳi lión quan giổợa
cọng suỏỳt chuỏứn hoaù cuớa tờn hióỷu vaỡ mọ taớ tờn hióỷu trong mióửn tỏửn sọỳ. PSD õổồỹc õởnh nghộa
theo caùch tổồng tổỷ nhổ ESD. PSD hióỷu quaớ hồn ESD vỗ loaỷi tờn hióỷu cọng suỏỳt õổồỹc sổớ duỷng
rọỹng raợi trong vióỷc nghión cổùu caùc hóỷ thọỳng truyóửn tin.
Trổồùc hóỳt õởnh nghộa haỡm cừt goỹt (truncated version) cuớa mọỹt tờn hióỷu laỡ:






=




<
<

=
T

t
)t(s
t,0
2/Tt2/T),t(s
)t(s
T

Cọng suỏỳt chuỏứn hoaù trung bỗnh tờnh theo haỡm cừt goỹt laỡ:





==
2/T
2/T
2
T
T
2
T
dt)t(s
T
1
limdt)t(s
T
1
limP
Sổớ duỷng õởnh lyù Parseval thỗ cọng suỏỳt trón trồớ thaỡnh:
- - 30

- Chỉång II-
9/15/
2
df
T
)f(S
limdf)f(S
T
1
limP
2
T
T
2
T
T
∫∫
∞
∞−
∞→
∞
∞−
∞→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎜
⎝
⎛
==

ÅÍ âáy S
T
(f) l biãún âäøi Fourier ca s
T
(t). Têch phán bãn vãú phi gi l PSD. Váûy âënh nghéa
máût âäü phäø cäng sút PSD ca tên hiãûu cäng sút l:
P (f) =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∞→
T
)f(S
lim
2
T
T

Âån vë ca PSD l W/Hz hay V
2
/Hz hay A
2
/Hz. Lỉu ràòng PSD l mäüt hm thỉûc khäng ám
theo táưn säú. Tỉì âáy cọ thãø biãøu diãùn cäng sút chøn hoạ trung bçnh theo PSD nhỉ sau:
∫
∞
∞−
=P P (f) df
2.4.6 Cạc tênh cháút ca phäø
Bng 2.1 nãu cạc tênh cháút ca phäø. Pháưn chỉïng minh cho cạc tênh cháút ny coi nhỉ l bi
táûp vãư nh.
2.5 Tên hiãûu ngáùu nhiãn ( quạ trçnh ngáùu nhiãn )
Âäúi våïi thäng tin, quan niãûm xạc âënh vãư tên hiãûu chè cọ thãø cháúp nháûn âỉåüc vãư màût l thuút
chỉï khäng ph håüp våïi thỉûc tãú. Vç nãúu chụng ta xem tên hiãûu l biãøt trỉåïc thç vãư màût nghéa
tin tỉïc m nọi, viãûc truưn tên hiãûu l khäng cáưn thiãút. Hån nỉỵa nhiãùu tạc âäüng vo hãû thäúng
truưn tin cng khäng thãø biãút trỉåïc. Tuy nhiãn nãúu chụng ta hon ton khäng biãút gç vãư tên
hiãûu hay nhiãùu thç cng khäng cọ cå såí gç âãø phán biãût tên hiãûu cọ êch våïi nhiãùu, v do âọ s
khäng thãø thu âỉåüc tên hiãûu. Âãø thu âỉåüc tên hiãûu thäng tin ta phi biãút âỉåüc cạc âàûc tênh
thäúng kã ca nọ v diãùn t trãn cå såí l thuút xạc sút. Ta gi cạc tên hiãûu xẹt theo quan
âiãøm thäúng kã ny l tên hiãûu ngáùu nhiãn hay cn gi l quạ trçnh ngáùu nhiãn (random
processes).
2.5.1 Âënh nghéa v phán loải quạ trçnh ngáùu nhiãn
Âãø cọ mäüt khại niãûm vãư quạ trçnh ngáùu nhiãn, trỉåïc hãút ta xẹt mäüt vê dủ củ thãø. Theo di cạc
dảng sọng âiãûn ạp phạt ra tỉì cng mäüt ngưn nhiãùu hçnh 2.14, ta tháúy cạc dảng sọng âọ
khäng giäúng nhau, âọ cọ thãø l
)t(), ,t(),t(
i21
ξ

ξ
ξ . Táûp táút c cạc âỉåìng cong
{
}
)t(
i
ξ gi
l táûp håüp (ensemble) v táûp håüp âọ âỉåüc gi l quạ trçnh ngáùu nhiãn
)
t
(ξ mä t nhiãùu. Khi
quan sạt cạc dảng sọng âiãûn ạp phạt ra tỉì cng mäüt ngưn nhiãùu, viãûc ta nháûn âỉåüc mäüt
âỉåìng cong no trong táûp håüp âọ l mäüt sỉû kiãûn (event) ngáùu nhiãn khäng thãø dỉû âoạn âỉåüc.
Mäüt âỉåìng cong
gi l mäüt thãø hiãûn (sample function), cạc thãø hiãûn ny tuy khạc nhau
nhỉng xẹt theo quan âiãøm xạc sút thäúng kã thç chụng lải liãn hãû nhau båíi cạc quy lût thäúng
)t(
i
ξ
- - 31
- Chổồng II-
9/15/
2
Baớng 2.1 Tờnh chỏỳt cuớa phọứ

Tờnh chỏỳt Tờn hióỷu Phọứ
Tuyóỳn tờnh
)t(sa)t(sa
2211
+

)f(Sa)f(Sa
2211
+

Tróự thồỡi gian
)Tt(s
0


)f(Se
0
Tf2j

Thang tyớ lóỷ
)a
t
(s






a
f
S
a
1

Lión hồỹp phổùc

)t(s

)f(S


aớo thồỡi gian
)
t
(s

)f(S


ióửu chóỳ

)tf2cos()t(s
0

+



[
]
)ff(Se)ff(Se
2
1
0
j
0

j
++


Tróự tỏửn sọỳ

tf2j
0
e)t(s



)ff(S
0


Vi phỏn
n
n
dt
)t(sd

)f(S)f2j(
n

Tờch phỏn



t

d)(s
)f()0(S
2
1
)f(S)f2j(
1



Chỏỷp



=

d)t(s)(s
)t(s)t(s
21
21


)f(S)f(S
21

Nhỏn

)t(s)t(s
21

=

d)f(S)(S
)f(S)f(S
21
21

Nhỏn vồùi t
n
)t(st
n

(
n
n
n
df
)f(Sd
)2j


- Nóỳu s(t) thổỷc thỗ phọứ bión õọỹ laỡ haỡm chụn vaỡ phọứ pha laỡ haỡm leớ
- Nóỳu s(t) thổỷc chụn thỗ S(f) laỡ haỡm thổỷc
- Nóỳu s(t) thổỷc leớ thỗ S(f) laỡ haỡm thuỏửn tuùy aớo.

- - 32
- Chổồng II-
9/15/

2
kó. Ta coù thóứ õaỷt õổồỹc caùc thóứ hióỷn õoù bũng caùch quan saùt õọửng thồỡi õỏửu ra cuớa nhióửu nguọửn
nhióựu giọỳng hóỷt nhau. óứ tọứng quaùt, sọỳ nguọửn nhióựu phaới laỡ vọ haỷn.

-








Hỗnh 2.14 Nguọửn nhióựu ngỏựu nhión vaỡ mọỹt vaỡi thóứ hióỷn cuớa quaù trỗnh nhióựu ngỏựu nhión

Tổỡ vờ duỷ trón ta coù thóứ õởnh nghộa quaù trỗnh ngỏựu nhión laỡ mọỹt tỏỷp hồỹp caùc haỡm theo thồỡi gian
lión hóỷ vồùi nhau bồới nhổợng quy luỏỷt thọỳng kó. )i()t(), ,t(),t(
i21

Coù thóứ phỏn loaỷi quaù trỗnh ngỏựu nhión thaỡnh quaù trỗnh ngỏựu nhión lión tuỷc (continuous
random process) hay rồỡi raỷc (discrete randomm process) tuyỡ theo
)
t
(

phỏn bọỳ lión tuỷc hay
rồỡi raỷc. Vờ duỷ nhổ nhióựu xeùt ồớ trón laỡ quaù trỗnh ngỏựu nhión lión tuỷc, tờn hióỷu nhở phỏn ồớ õỏửu ra
bọỹ taỷo nhở phỏn laỡ quaù trỗnh ngỏựu nhión rồỡi raỷc (hỗnh 2.15).

)
t
(
i

)t(
2

)
t
(
1

Nguọửn
nhió
ự
u
)
t(
i

)
t(
2

)
t(
1

Taỷo
nhở
phỏn
Hỗnh 2.15 Mọỹt sọỳ thóứ hióỷn cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión rồỡi raỷc
- 33
- Chổồng II-
9/15/
2
2.5.2 Caùc haỡm phỏn bọỳ xaùc suỏỳt cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión
Xeùt ồớ mọỹt thồỡi õióứm t
1
, quaù trỗnh ngỏựu nhión laỡ mọỹt õaỷi lổồỹng ngỏựu nhión coù thóứ lỏỳy
caùc giaù trở
. aỷi lổồỹng ngỏựu nhión naỡy coù haỡm phỏn bọỳ xaùc suỏỳt
tờch luyợ CDF (Culmative Distribution Function) õổồỹc õởnh nghộa laỡ:
)t(
1

)t(), ,t(),t(
1i1211

{

}
x)t(p)t,x(F
111


=

vaỡ coù haỡm mỏỷt õọỹ xaùc suỏỳt PDF (Probability Density Function) õổồỹc õởnh nghộa laỡ:

x
)t,x(F
)t,x(f
11
11


=
CDF vaỡ PDF ồớ trón õổồỹc goỹi chung laỡ caùc haỡm phỏn bọỳ xaùc suỏỳt cỏỳp mọỹt (do chố xeùt ồớ mọỹt
thồỡi õióứm). õỏy chố coù mọỹt bióỳn thồỡi gian laỡ t
1
nón õóứ cho goỹn coù thóứ thay t
1
bũng t.
Dóự daỡng nhỏỷn thỏỳy õổồỡng cong CDF coù õỷc õióứm laỡ õọửng bióỳn theo x vaỡ nũm trong daới (0,1);
coỡn õổồỡng cong PDF coù õỷc õióứm laỡ khọng ỏm vaỡ phỏửn dióỷn tờch giồùi haỷn bồới PDF vaỡ truỷc
hoaỡnh Ox laỡ 1.Hỗnh 2.16 laỡ mọỹt vờ duỷ õọử thở cuớa CDF vaỡ PDF
ởnh lyù (khọng chổùng minh):
{}{}{ }

===

2
1
x
x
112111121111121
dx)t,x(fx)t(xpx)t(px)t(p)t,x(F)t,x(F

óứ xaùc õởnh hoaỡn toaỡn quaù trỗnh ngỏựu nhión ta xeùt quaù trỗnh ngỏựu nhión ồớ N thồỡi õióứm khaùc
nhau vồùi N lồùn vọ vuỡng. Tuy nhión trong nhióửu trổồỡng hồỹp ta chố cỏửn xeùt õóỳn N = 2 laỡ õuớ.
Khi N = 2 ta coù CDF vaỡ PDF cỏỳp hai nhổ sau:
{
}
21
21212
21212
221121212
xx
)t,t,x,x(F
)t,t,x,x(f
x)t(,x)t(p)t,t,x,x(F


=




=

x
x
CDF
PDF






Hỗnh 2.16 CDF vaỡ PDF cuớa mọỹt quaù trỗnh ngỏựu nhión lión tuỷc
- - 34
- Chổồng II-
9/15/
2
2.5.3 Caùc trở trung bỗnh theo tỏỷp hồỹp
Sau õỏy laỡ mọỹt sọỳ trở trung bỗnh theo tỏỷp hồỹp (ensemble average) coù yù nghộa hồn caớ:
Trở trung bỗnh hay coỡn goỹi laỡ kyỡ voỹng toaùn (expected value):



= dx)t,x(xf)t(m
11

Trở trung bỗnh bỗnh phổồng hay coỡn goỹi laỡ moment cỏỳp hai (second moment):



= dx)t,x(fx)t(m
1

2
2

Phổồng sai (variance):
[]
)t(m)t(mdx)t,x(f)t(mx)t(
2
121
2
1
2
==




Cn bỏỷc hai cuớa phổồng sai goỹi laỡ õọỹ lóỷch chuỏứn (standard deviation).
Moment họựn hồỹp cỏỳp hai laỡ moment lỏỳy ồớ hai thồỡi õióứm khaùc nhau cuớa haỡm phỏn bọỳ xaùc
suỏỳt hai chióửu:
212211221212
dxdx)t,x,t,x(fxx)t,t(m





=
2.5.4 Caùc trở trung bỗnh theo thồỡi gian vaỡ haỡm tổồng quan
Xeùt mọỹt thóứ hióỷn laỡ
cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión trong khoaớng thồỡi gian quan saùt laỡ T.

Cuợng giọỳng vồùi tờn hióỷu xaùc õởnh õaợ xeùt ồớ trổồùc, õọỳi vồùi tờn hióỷu ngỏựu nhión, ta coù caùc trở
trung bỗnh theo thồỡi gian (time average) sau õỏy:
)t(
i

Giaù trở trung bỗnh (mean value):



=
2/T
2/T
k
T
i
dt)t(
T
1
lim)t(
Giaù trở trung bỗnh bỗnh phổồng hay coỡn goỹi laỡ giaù trở quỏn phổồng (mean-square value):



=
2/T
2/T
2
i
T
2

i
dt)t(
T
1
lim)t(
Cn bỏỷc hai cuớa giaù trở quỏn phổồng goỹi laỡ giaù trở quỏn phổồng gọỳc (root-mean-square
value) hay laỡ trở hióỷu duỷng rms.
Ta nhỏỷn thỏỳy caùc trở trung bỗnh trón õỏy phuỷ thuọỹc vaỡo thóứ hióỷn i õổồỹc choỹn vaỡ õọỹc lỏỷp vồùi trở
trung bỗnh theo tỏỷp hồỹp.
- - 35
- Chổồng II-
9/15/
2
Nóỳu xeùt quaù trỗnh ngỏựu nhión ồớ hai thồỡi õióứm caùch nhau mọỹt khoaớn laỡ
ta coù haỡm tổỷ tổồng
quan (autocorrelation function) õổồỹc õởnh nghộa nhổ sau:

dt)t()t(
T
1
lim)t()t()(R
2/T
2/T
ii
T
iii



+=+=

2.6 Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng vaỡ ergodic
2.6.1 Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng
Quaù trỗnh ngỏựu nhión goỹi laỡ dổỡng (stationary) nóỳu caùc haỡm phỏn bọỳ xaùc suỏỳt khọng thay õọứi
õọỳi vồùi sổỷ di chuyóứn bỏỳt kyỡ cuớa thồỡi gian. Quaù trỗnh ngỏựu nhión goỹi laỡ dổỡng bỏỷc N (stationary
to the order N) nóỳu vồùi
ta coù:
N21
t, ,t,t
)tt, ,tt,tt,x, ,x,x(f)t, ,t,t,x, ,x,x(f
N21N21NN21N21N

+++=
ồớ õỏy t
*
laỡ mọỹt hũng sọỳ thổỷc bỏỳt kyỡ. Quaù trỗnh ngỏựu nhión õổồỹc goỹi laỡ dổỡng chỷt cheợ (strict
stationary) nóỳu bỏỷc N lồùn õóỳn vọ cuỡng. Khi choỹn t
*
= -t
1
thỗ PDF phuỷ thuọỹc vaỡo N-1 hióỷu thồỡi
gian . Vỏỷy coù thóứ noùi PDF cỏỳp 1 khọng phuỷ thuọỹc vaỡo thồỡi gian,
PDF cỏỳp 2 chố phuỷ thuọỹc vaỡo hióỷu thồỡi gian
1N1312
tt, ,tt,tt

=

12
tt .
Roợ raỡng laỡ õọỳi vồùi quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng, caùc moment nhổ kyỡ voỹng toaùn, moment cỏỳp 2,

phổồng sai, lóỷch chuỏứn õóửu laỡ hũng sọỳ, moment họựn hồỹp cỏỳp 2 laỡ haỡm mọỹt bióỳn.
)(m)t,t(m,)t(,)t(,m)t(m,m)t(m
2212
2
2211

=

=


=

==
2.6.2 Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng ergodic
Qua trỗnh ngỏựu nhión dổỡng goỹi laỡ dổỡng ergodic nóỳu tỏỳt caớ caùc trở trung bỗnh theo thồỡi gian cuớa
mọỹt thóứ hióỷn bỏỳt kyỡ bũng vồùi trở trung bỗnh theo tỏỷp hồỹp tổồng ổùng.
Vỏỷy vồùi quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng ergodic thỗ chố cỏửn choỹn mọỹt thóứ hióỷn cuợng õuớ thay thóỳ
cho toaỡn bọỹ quaù trỗnh vaỡ coù thóứ õọửng nhỏỳt trở trung bỗnh theo thồỡi gian vồùi trở trung bỗnh theo
tỏỷp hồỹp:
Thaỡnh phỏửn mọỹt chióửu (giaù trở trung bỗnh, kyỡ voỹng toaùn):
1i
m)t()t( ==
Cọng suỏỳt (giaù trở quỏn phổồng, moment cỏỳp 2):
2
22
i
m)t()t( ==
Trở hióỷu duỷng:
2

1
2
2
2
mm)t( +==
Haỡm tổỷ tổồng quan:
- - 36
- Chổồng II-
9/15/
2
)(mdxdx),x,x(fxx)(R)(R
22121221i
===






2.6.3 Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng
Quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng (wide-sense stationary) laỡ quaù trỗnh ngỏựu nhión
chố dổỡng õóỳn cỏỳp hai N = 2 (second-order stationary). Quaù trỗnh dổỡng chỷt cheợ thỗ õọửng thồỡi
cuợng laỡ dổỡng theo nghộa rọỹng nhổng õióửu ngổồỹc laỷi khọng õuùng.
Quaù trỗnh dổỡng theo nghộa rọỹng hay chỷt cheợ õóửu laỡ nhổợng khaùi nióỷm õaợ õổồỹc lyù tổồớng hoaù.
Thổỷc tóỳ khọng thóứ coù nhổợng quaù trỗnh nhổ vỏỷy, trong thổỷc tóỳ ta chố coù thóứ quan saùt quaù trỗnh
ngỏựu nhión trong mọỹt khoaớng thồỡi gian hổợu haỷn õuớ lồùn naỡo õoù.
2.6.4 Tờnh chỏỳt cuớa haỡm tổồng quan cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng
ọỳi vồùi quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng, haỡm tổỷ tổồng quan coù caùc tờnh chỏỳ
t sau:
a- Haỡm tổồng quan laỡ haỡm chụn

)(R)(R


=


Thỏỷt vỏỷy, tổỡ cọng thổùc
dt)t()t(
T
1
lim)(R
2/T
2/T
T



+= , thay =
t
t
, vóỳ phaới trồớ
thaỡnh:
)(R)(Rdt)t()t(
T
1
lim
2/T
2/T
T
==

b- Cọng suỏỳt mọỹt chióửu cuớa quaù trỗnh

2
1
m)(R =
Ta xeùt moment gọỳc họựn hồỹp cỏỳp hai:
)(m)t,t(m
2212

=
. Cho , luùc õoù coù thóứ
coi hai õaỷi lổồỹng ngỏựu nhión

)t(
1

vaỡ )t(
2

õọỹc lỏỷp vồùi nhau vaỡ PDF hai chióửu cuớa noù
bũng:
)x(f)x(f)t,x(f)t,x(f)t,x,t,x(f
211122111122112
=
=

Luùc naỡy ta coù:
2
1221211112
mdx)x(fxdx)x(fx)(m)(R ===






Vóử vỏỷt lyù, trở trung bỗnh bióứu thở thaỡnh phỏửn mọỹt chióửu nón bỗnh phổồng cuớa trở trung bỗnh
laỡ
bióứu thở cọng suỏỳt mọỹt chióửu cuớa quaù trỗnh.
2
1
m)(R =
c- Cọng suỏỳt tọứng cuớa quaù trỗnh
2
1
22
m)t()0(R +==
Tổỡ cọng thổùc
dt)t()t(
T
1
lim)(R
2/T
2/T
T

+= , cho 0
=

, ta õổồỹc:
- - 37
- Chổồng II-
9/15/
2
2
2
2/T
2/T
T
m)t(dt)t()t(
T
1
lim)0(R
===




Vóử vỏỷt lyù, trở trung bỗnh bỗnh phổồng hay moment cỏỳp 2 bióứu thở cọng suỏỳt tọứng. Maỡ ta õaợ
bióỳt
, trong õoù bióứu thở cọng suỏỳt mọỹt chióửu nón suy ra phổồng sai
chờnh laỡ cọng suỏỳt xoay chióửu cuớa quaù trỗnh.
2
1

2
2
mm +=
2
1
m
2

d- Haỡm tổồng quan õaỷt giaù trở cổỷc õaỷi taỷi gọỳc
)0(R)(R



Ta xeùt lổồỹng khọng ỏm sau:
0)](R)0(R[2
dt)]t()t()t(2)t([
T
1
limdt)]t()t([
T
1
lim
2/T
2/T
22
T
2/T
2/T
2
T

=
+++=+






Vỏỷy
)0(R)(R
Hỗnh 2.17 minh hoỹa caùc tờnh chỏỳt vổỡa xeùt trón.
cọng suỏỳt
mọỹt chióửu
cọng suỏỳt
xoa
y
chióửu
cọng
suỏỳt
tọứng

R(

)

Hỗnh 2.17 Minh hoỹa caùc tờnh chỏỳt cuớa haỡm tổồng quan

2.7 Mỏỷt õọỹ phọứ cọng suỏỳt PSD
2.7.1 ởnh nghộa PSD
óứ thổỷc hióỷn phỏn tờch phọứ cho quaù trỗnh ngỏựu nhión, ta xeùt sổỷ mồớ rọỹng õởnh nghộa PSD cuớa
tờn hióỷu xaùc õởnh sang cho quaù trỗnh ngỏựu nhión.
ởnh nghộa haỡm cừt goỹt cuớa mọỹt thóứ hióỷn
)t(
i

nhổ sau:





=
t,0
2/Tt2/T),t(
)t(
i
Ti

Bióỳn õọứi Fourier cuớa haỡm cừt goỹt laỡ:
dte)t(dte)t()f(
tf2j
2/T
2/T
i
tf2j

TiTi






==
- - 38
- Chổồng II-
9/15/
2
)f(
Ti
laỡ mọỹt quaù trỗnh ngỏựu nhión vỗ )t(
Ti

laỡ mọỹt quaù trỗnh ngỏựu nhión. Theo õởnh lyù
Parseval, nng lổồỹng chuỏứn hoaù trong khoaớng lỏỳy tờch phỏn (-T/2,T/2) laỡ:





== df)f(dt)t(E
2
T
2
TT

Nng lổồỹng chuỏứn hoaù trung bỗnh laỡ:






===
2/T
2/T
2
T
2
T
2
T
df)f(dt)t(dt)t(E

Cọng suỏỳt chuỏứn hoaù trung bỗnh laỡ:







=

===
2/T
2/T
2
2
T
T
2
T
T
2
T
)t(df)f(
T
1
limdt)t(limdt)t(
T
1
limP
Cọng suỏỳt chuỏứn hoaù trung bỗnh coỡn coù thóứ tờnh õổồỹc tổỡ PSD nhổ sau:



== )t(P
2
P (f) df
PSD cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión õổồỹc tờnh nhổ sau:

P











=

T
)f(
lim)f(
2
T
T

2.7.2 ởnh lyù Wiener - Khintchine
Thọng thổồỡng PSD õổồỹc tờnh tổỡ haỡm tổỷ tổồng quan cuớa quaù trỗnh ngỏựu nhión theo õởnh lyù
Wiener - Khintchine nhổ sau:
Nóỳu )
t
( laỡ mọỹt quaù trỗnh ngỏựu nhión dổỡng theo nghộa rọỹng thỗ PSD laỡ bióỳn õọứi Fourier cuớa
haỡm tổỷ tổồng quan:
P

= de)(R)f(
f2j
Vaỡ ngổồỹc laỷi:



=)(R P dfe)f(
f2j
ởnh lyù naỡy cuợng coù thóứ aùp duỷng cho quaù trỗnh ngỏựu nhión khọng dổỡng, vồùi lổu yù thay
bũng )(R )
t
,
t
(R +
- - 39
- Chỉång II-
9/15/
2
2.7.3 Tênh cháút ca PSD
Tỉì cäng thỉïc âënh nghéa PSD v tênh cháút ca hm tỉång quan, ta dãù dng suy ra cạc tênh
cháút sau âáy ca PSD:
a- P (f) khäng ám
b- Khi )
t
(ξ thỉûc, P (f) thỉûc v chàơn
c- P
∫

∞
∞−
ττ= d)(R)0(
d- P (f)df
∫
∞
∞−
=)0(R

TỌM TÀÕT CHỈÅNG
1. Tên hiãûu l biãøu diãùn váût l ca tin tỉïc. Âọ l mäüt âải lỉåüng váût l biãún thiãn theo thåìi
gian, khäng gian hay cạc biãún âäüc láûp khạc. Vãư màût toạn hc, cọ thãø xem tên hiãûu l hm
theo mäüt hồûc nhiãưu biãún âäüc láûp.
2. Trong hãû thäúng thäng tin, tên hiãûu nháûn âỉåüc thỉåìng bao gäưm pháưn chỉïa tin tỉïc mong
mún v pháưn khäng mong mún thãm vo. Pháưn mong mún gi l tên hiãûu cọ êch, pháưn
khäng mong mún gi l nhiãùu.
3. Cọ nhiãưu phỉång phạp phán têch tên hiãûu khạc nhau, nhỉ phán têch thåìi gian, phán têch
phäø, phán têch tỉång quan
4. Cọ
thãø phán loải tên hiãûu theo nhiãưu cạch. Vê dủ nhỉ: dỉûa vo säú biãún phán tên hiãûu thnh
loải mäüt hỉåïng v nhiãưu hỉåïng, dỉûa vo ngưn tên hiãûu phán tên hiãûu thnh loải mäüt kãnh
v nhiãưu kãnh, dỉûa vo hiãûn tỉåüng phán tên hiãûu thnh loải xạc âënh v ngáùu nhiãn, dỉûa
vo tênh tưn hon phán tên hiãûu thnh loải tưn hon v khäng tưn hon
5. Xẹt tên hiãûu l hm theo biãún thåìi gian, k hiãûu l s(t), trong âọ s l biãn âäü. Cọ thãø phán
tên hiãûu ny ra thnh 4 loải: tên hiãûu liãn tủc hay tỉång tỉû
l tên hiãûu cọ giạ trë xạc âënh tải
mi thåìi âiãøm tỉì khi sinh ra âãún khi kãút thục, tên hiãûu råìi rảc l tên hiãûu chè xạc âënh tải
cạc thåìi âiãøm råìi rảc no âo, tên hiãûu lỉåüng tỉí họa l tên hiãûu chè cọ táûp hỉỵu hản säú mỉïc
biãn âäü, tên hiãûu säú l tên hiãûu råìi rảc cọ biãn âäü âỉåüc råìi rảc họa.
6. Tên hiãûu váût l l tên hiãûu cọ thãø thỉûc hiãûn âỉåüc vãư màût váût l. Ngỉåüc våïi tên hiãûu váût l l

tên hiãûu toạn hc. Âọ l tên hiãûu chè cọ nghéa l thuút v ho
n ton khäng thãø thỉûc hiãûn
âỉåüc vãư màût váût l.
7. Trong l thuút tên hiãûu, thỉåìng gàûp mäüt säú tên hiãûu toạn hc l: tên hiãûu Dirac, tên hiãûu
bỉåïc nhy âån vë, tên hiãûu chỉỵ nháût, tên hiãûu tam giạc, tên hiãûu däúc âån vë, tên hiãûu hm
m, tên hiãûu âiãưu ho
- - 40
- Chổồng II-
9/15/
2
8. Caùc õaỷi lổồỹng õỷc trổng cho tờn hióỷu laỡ: õọỹ daỡi, trở trung bỗnh, thaỡnh phỏửn mọỹt chióửu DC,
nng lổồỹng chuỏứn hoùa, cọng suỏỳt chuỏứn hoùa trung bỗnh, trở hióỷu duỷng.
9. Tờn hióỷu s(t) nng lổồỹng hổợu haỷn tuỏửn hoaỡn vồùi chu kyỡ T
O
coù thóứ õổồỹc bióứu dióựn dổồùi
daỷng tọứng vọ haỷn cuớa caùc tờn hióỷu sin. Tọứng naỡy goỹi laỡ chuọựi Fourier :


=

=

+

+=
1n
0
n
1n
0

n0
T
nt2
sinb
T
nt2
cosaA)t(s

Hũng sọỳ A
O
laỡ trở trung bỗnh cuớa s(t), caùc hóỷ sọỳ a
n
vaỡ b
n
tờnh õổồỹc tổỡ s(t).
10. Mọỹt daỷng khaùc cuớa chuọựi Fourier laỡ:


=








+

+=

1n
n
0
n0
T
nt2
cosCC)t(s

õỏy C
O
, C
n
vaỡ
n
coù lión quan vồùi a
n
, b
n
vaỡ A
0
.
Hóỷ sọỳ C
n
goỹi laỡ bión õọỹ vaỡ
n
laỡ pha cuớa thaỡnh phỏửn phọứ C
n
cos (2 n f
O
t +

n
) taỷi tỏửn sọỳ nf
O

11. Coù thóứ duỡng cỷp (C
n
,
n
) õóứ bióứu dióựn tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn vaỡ goỹi laỡ bióứu dióựn theo phổồng
phaùp phọứ. Cn goỹi laỡ phọứ bión õọỹ vaỡ

n
goỹi laỡ phọứ pha. Phọứ cuớa tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn coù daỷng
rồỡi raỷc nón coỡn õổồỹc goỹi laỡ phọứ vaỷch.
12. Chuọựi Fourier coỡn coù thóứ õổồỹc bióứu dióựn dổồùi daỷng haỡm muợ nhổ sau:


=

=
n
T/tn2j
n
0
eA)t(s
Hóỷ sọỳ A
n
laỡ hóỷ sọỳ phổùc, lión hóỷ vồùi C
n
theo cọng thổùc :

n
j
n
n
00
e
2
C
A
CA

=
=

13. Caùc vaỷch phọứ C
n
taỷi tỏửn sọỳ f
0
õổồỹc thay bũng 2 vaỷch phọứ A
n
vồùi bión õọỹ mọựi vaỷch giaớm õi
mọỹt nổớa, mọỹt vaỷch ồớ tỏửn sọỳ f
O
vaỡ vaỷch kia ồớ tỏửn sọỳ -f
O
. Phọứ bión õọỹ C
n
goỹi laỡ phọứ mọỹt
phờa, coỡn phọứ bión õọỹ A
n

goỹi laỡ phọứ hai phờa.
14. Xem tờn hióỷu khọng tuỏửn hoaỡn laỡ tờn hióỷu tuỏửn hoaỡn coù chu kyỡ lồùn vọ cuỡng T
O

,
tổỡ
chuọựi Fourier ta coù cọng thổùc bióỳn õọứi Fourier sau:
. S(f) õổồỹc
goỹi laỡ mỏỷt õọỹ phọứ hay phọứ cuớa tờn hióỷu s(t).




= dte)t(s)f(S
tf2j
15. Coù thóứ tờnh ngổồỹc s(t) tổỡ S(f) nhổ sau:







=


== dfe)f(SeAlim)t(s
tf2j
n
T/tn2j

n
T
0
0
- - 41