DAP AN + DE THI HSG THANH HOA 2010

Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá
Đề chính thức
Số báo danh
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học: 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Lớp: 12 THpt
Ngày thi: 24/ 03/ 2010
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề thi)
Đề này có 05 bài gồm 01 trang
Bài 1: (4 điểm) Cho hàm số y = - x
3
+ 3x - 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) kẻ từ điểm M(-2; 1).
Bài 2: (6 điểm)
1. Giải phơng trình:
1
2
cos
2
sin
2
4
sin22cos
2
=

+






+
xx
xx

2. Giải hệ phơng trình :
( )
[ ]





=
+=++
+
yxyx
yxyx
yx
4log

32
3. Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
( )( )
mxxxx ++ 264
2
nghiệm
đúng với mọi x


[ ]
6;4
.
Bài 3: (3 điểm)
1. Tính tích phân: I =

9
0
2
2
cos

x
dx

2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc bao số tự nhiên gồm bốn chữ số khác
nhau, trong đó phải có chữ số 2 và 4 ?
Bài 4: (5 điểm)
1. Cho hình lập phơng ABCDA'B'C'D' cú cạnh bng a. Trên cỏc cạnh BC và DD' lần lợt
lấy các điểm M và N sao cho BM = DN = x (
ax 0

). Chứng minh rng MN

AC'
và tìm x để MN có độ dài nhỏ nhất.
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): (x - 1)
2
+ (y + 2)
2
= 9 và đ-
ờng thẳng 3x - 4y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm P mà
từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến PA và PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho
PA

PB.
3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3). Viết phơng trình mặt
phẳng (

) đi qua điểm M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lợt tại A, B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC không tù. Chứng minh rng:
9
310
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan

2
tan
2
tan +++
CBACBA
Du ng thc xy ra khi n o ?
Hết
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có 5 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 12 THPT
Ngày thi: 24 - 3 - 2010
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài Ý Hướng dẫn chấm Điểm
Bài 1
4 điểm
1
3đ

Tập xác định R.
Sự biến thiên: y' = - 3x
2
+ 3 = 3(1 - x
2
)
y' = 0

1; 1x x⇔ = − =
0,25
0,25
y' < 0
1
1
x
x
>

⇔

< −

hàm số nghịch biến trong khoảng
( ; 1)∞ −
và (1; +
∞
)
y' > 0
⇔
-1 < x < 1 hàm số đồng biến trong khoảng (-1; 1).
Điểm cực đại (1; 1). Điểm cực tiểu (-1; -3)
0,5
0,25
Giới hạn
lim ;lim
x x
y y
→+∞ →−∞

= −∞ = +∞
. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
0,25
Bảng biến thiên
x -
∞
-1 1 +
∞
y' - + -
y
+∞
1
-3
−∞
0,75
Đồ thị đi qua điểm (-2; 1) và (2; -3).
y
Điểm uốn I(0; -1) là tâm đối xứng
1

-2 -1 I 1 2 x
-3
0,75
2
1đ Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-2; 1) có hệ số góc k:
y = k(x + 2) + 1
Đường thẳng tiếp xúc với (C)
3
2
3 1 ( 2) 1

3 3
x x k x
x k

− + − = + +

⇔

− + =


(1)
có nghiệm.
0,25
0,25
(1)
3 2
2
1
0
2 6 8 0
2
3 3
9
x
k
x x
x
k x
k

 =



=

+ − =
 

⇔ ⇔


= −
= −





= −




9;0 −==⇒ kk
Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) thoả mãn bài toán là:
y = 1 và y = - 9x -17
0,25
0,25
Bài 2

6 điểm
1
2đ
Điều kiện sin
x
os 0 2
2 2 2
x
c x k
π
π
− ≠ ⇔ ≠ +
k
∈
Z
0,25
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2
2
cosx = 0
2cos x - 1-sinx - cosx + 2
= 1 2cos x - cosx = 0
1
1 - sinx
cosx =
2


⇔ ⇔




0,5
0,5
* cosx = 0 kết hợp với điều kiện
2
2
x k
π
π
≠ +
suy ra
x =
2
2
t
π
π
− +
với t
∈
Z
GHI CHÚ
Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.