Chương 2: Cơ sở toán học docx

Chương 2
CƠ SỞ TOÁN HỌC
ThS. NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
Cơ sở toán học
Chương 2
Đối tượng điều khiển rất đa dạng. Do đó cần có cơ sở toán
học để phân tích, thiết kế các hệ điều khiển có bản chất vật lý
khác nhau.
I. Phương trình vi phân
R
Cv
i
(t)
v
o
(t)
i
9 Xét mạch RC như hình vẽ.
0
viRv
i
+
=
Ta có:
mà:
d
t
dv
Ci
o
=

nên:
io
o
vv
d
t
dv
RC =+
9 Xét hệ vật - lò xo - đệm như hình vẽ.
Theo đònh luật 2 Newton, ta có:
am
F
h
G
G
=
mà:
2
2
dt
x
d
dt
dv
a ==
d
t
dx
CKxFCvKxFF
h

−−=−−=
nên:
2
2
d
t
x
d
m
d
t
dx
CKxF =−−
⇒
FKx
d
t
dx
C
d
t
x
d
m =++
2
2
I. Phương trình vi phân
m
F(t)
o

x
Một cách tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào
và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính liên tục có
thể được biểu diễn dạng phương trình vi phân:
r(t) c(t)
Hệ TTLT
)t(rb
dt
)t(dr
b
dt
)t(rd
b
dt
)t(rd
b
)t(ca
dt
)
t
(dc
a
dt
)
t
(c
d
a
dt
)

t
(c
d
a
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++
=++++
−
−
−
−
−
−
1
1
1
10
1
1
1
10

I. Phương trình vi phân
9 Việc khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi
phân bậc cao thường gặp nhiều khó khăn.
9 Phương pháp hàm truyền đạt mô tả hệ thống
giúp cho việc khảo sát dễ dàng hơn bằng việc
chuyển quan hệ phương trình vi phân thành quan
hệ phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace.
I. Phương trình vi phân
II. Biến đổi Laplace
1. Đònh nghóa
9 Cho f(t) xác đònh với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace
của f(t) được xác đònh:
∫
+
∞
−
==
0
dte).t(f)s(F)}t(f{L
st
Trong đó
s =
σ
+j
ω
là biến Laplace
L là toán tử Laplace
II. Biến đổi Laplace
2. Tính chất
9 Tính tuyến tính

)s(bF)s(aF)}t(b
f
)t(a
f
{L
2121
+
=
+
9 Đònh lý chậm trễ
)s(Fe)}t(
f
{Le)}
T
t(
f
{L
TsTs
−
−
=
=
−
II. Biến đổi Laplace
9 Ảnh của đạo hàm
)(f)s(sF
dt
)
t
(df

L
+
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
0
9 Ảnh của tích phân
9 Đònh lý giá trò cuối
s
)s(F
dt)t(fL
t
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∫
0
0
lim ( ) lim ( )
ts
ft sFs
→+∞ →

=
II. Biến đổi Laplace
3. Biến đổi Laplace ngược
1
{()} ()LFs ft
−
=
Cho hàm số phức F(s), biến đổi Laplace ngược
của hàm số F(s) được ký hiệu là:
Thông thường để tìm biến đổi Laplace ngược, ta
thực hiện biến đổi F(s) về dạng cơ bản, sau đo sử
dụng bảng tra biến đổi Laplace.
II. Biến đổi Laplace
4. Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản
9 Hàm nấc đơn vò
u(t)
t
O
1
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
≥
=
00

01
tif,
tif,
)t(u
s
)}t(u{L
1
=⇒
II. Biến đổi Laplace
9 Hàm xung đơn vò
∂(t)
t
O
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=∞
≠
=
0
00
tif,
tif,
)t(
δ
Và thoả hệ thức:

∫
+∞
∞−
= 1dt)t(
δ
1=⇒ )}t({L
δ
II. Biến đổi Laplace
9 Hàm dốc đơn vò
r(t)
t
O
1
1
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
≥
==
00
0
tif,
tif,t
)t(tu)t(r
2

1
s
)}t(u.t{L =⇒
Dùng tính chất tích phân, chứng minh được:
1+
=
n
n
s
!n
)}t(u.t{L
II. Bieỏn ủoồi Laplace
9 Haứm soỏ muừ
u(t)
t
O
1







<

==


00

0
tif,
tif,e
)t(ue)t(f
at
at
as
)}t(u.e{L
at
+
=

1
II. Bieán ñoåi Laplace
9 Haøm soá sin
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
≥
=
00
0
tif,
tif,tsin
)t(f

ω
22
ω
ω
ω
+
=⇒
s
)}t(u.t{sinL
u(t)
t
O
1
II. Bieán ñoåi Laplace
9 Haøm soá cosin
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
≥
=
00
0
tif,
tif,tcos
)t(f

ω
22
ω
ω
+
=⇒
s
s
)}t(u.t{cosL
u(t)
t
O
1