de thi hsg toan tinh phu tho

Phòng giáo dục và đào tạo thanh thuỷ

đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs
Năm học 2009 2010
Môn: Toán
(Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề.)
(Đề thi có: 01 trang )
Câu 1 (2 im)
Cho biờu thc P =
( ) ( )
x 1 2 x 2 5 x
x 2 x 2
x 2 x 2
+ +
+
+
+
a)Tim iờu kiờn cua x ờ biờu thc P co gia tri xac inh rụi rut gon biờu thc P.
b)Tim x ờ P = 2.
Câu 2 (2 điểm): Tính :
a) A =
( ) ( ) ( )
2
2 2 5 2 3 2 5
+
b) B =
6 2 5 6 2 5+ +
Câu 3 (2 điểm) : Giải phơng trình sau đây :
a)
2 2
4016 2008 2x x

+ =
b)
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

Câu 4(3 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC).
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng.
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
Câu 5 (1 điểm) : Cho a,b,c,d là các số dơng có tích abcd = 1 . Chứng minh rằng :
2 2 2 2
6a b c d ab cd

+ + + + +

Hết
Họ và tên : SBD :
Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm !
Đề chính thức
Phòng giáo dục & đào tạo thanh thuỷ
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 vòng 1
Môn: Toán
Năm học 2009 2010
Câu 1 (2 im)
Cho biờu thc P =
( ) ( )
x 1 2 x 2 5 x
x 2 x 2
x 2 x 2
+ +
+
+
+
a)Tim iờu kiờn cua x ờ biờu thc P co gia tri xac inh rụi rut gon biờu thc P.
b)Tim x ờ P = 2.
Nội dung Điểm
a)( 1,5 điểm) :
P co gia tri xac inh
x 0
va
x 4
.
0,25

Ta co P =
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 2 2 x x 2
2 5 x
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
+ +
+
+
+ + +
0,5
=
( ) ( ) ( ) ( )
x 3 x 2 2x 4 x 2 5 x 3x 6 x
x 2 x 2 x 2 x 2
+ + +
=
+ +
0,5
=
( )
( ) ( )
3 x x 2
3 x
x 2
x 2 x 2

=

+
+
( vi
x 0
va
x 4
)
0,25
b) ( 0,5 điểm)
Vi
x 0
va
x 4

, ta co P = 2
3 x
2
x 2
=
+
0,25

3 x 2 x 4 x 4 x 16 = + = =
( thoa man )
Võy vi x = 16 thi P = 2.
0,25
Câu 2 (2 điểm): Tính :
a) A =
( ) ( ) ( )
2

2 2 5 2 3 2 5
+
b) B = A =
6 2 5 6 2 5+ +
Nội dung Điểm
a) (1 điểm):

( ) ( ) ( )
2
2 2 5 2 3 2 5
10 2 10 18 30 2 25
40 2 53
= +
= + + +
= +
A
0.5 đ
0.5 đ
b)(1 điểm):
B =
6 2 5 6 2 5+ +
=
( ) ( )
2 2
5 1 5 1+ +
=
5 1 5 1 2 5+ + =
0, 5
0, 5
Câu 3 (2 điểm) : Giải các phơng trình sau đây :

a)
2 2
4016 2008 2x x + =
b)
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

Nội dung Điểm
a) (1 điểm) :

( )
2
2 2
4016 2008 2 2008 2
2008 2 2008 2
+ = =
= =
x x x
x x

+ Nếu

2008 2 2006x x = =
+ Nếu
2008 2 2010x x = =
Vậy x= 2006 & x= 2010 là nghiệm PT .
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b)(1 điểm) :

( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm:
0x
(2)
( )
2 2
2
2 2

2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x


+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ



( ) ( )
2
2 2
2
2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x

+ + = + + =
ữ ữ

0 8x hay x = =
và
0x

.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm

8x =
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 4 (3 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC). Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng.
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
Nội dung Điểm
0.25 đ
a) + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc
à
C
chung.

CD CA
CE CB
=

(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
b)Từ phần a suy ra :
ã
ã
ADC BEC
=
,
Mà theo giả thiết

AHD vuông cân tại H nên
ã
0
45ADH =
Suy ra
ã
ã
0
135ADC BEC= =
Từ các điều trên suy ra

ABE vuông cân tại A
2BE AB
=
.
Ta có:
1 1

2 2
BM BE AD
BC BC AC
= ì = ì
(do
BEC ADC :
)
mà
2AD AH=
(Tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= ì = ì = =
(do
ABH CBA :
) .
Do đó
BHM BEC

:
(c.g.c).
0.25 đ
0.5 đ
0.25 đ
0.25 đ

c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:
GB AB
GC AC
=
mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= = =:
0.25 đ
0.25 đ
Do đó:
=
= =
+ + +
GB HD
GC HC
GB HD GB HD
GB GC HD HC BC AH HC
0.25 đ
0.25 đ
Câu 5 (1 điểm) : Cho a,b,c,d là các số dơng có tích abcd = 1 . Chứng minh rằng :
2 2 2 2
6a b c d ab cd
+ + + + +
Nội dung Điểm
+ áp dụng bất đẳng thức :

2 2
2m n mn
+
ta đợc :

2 2 2 2
2 2 3( )a b c d ab cd ab cd ab cd ab cd
+ + + + + + + + = +
(1)
+ Lại có
1
1abcd cd
ab
= =
nên
1
2ab cd ab
ab
+ = +
(2)
+ Từ (1) & (2) suy ra
2 2 2 2
6a b c d ab cd
+ + + + +
+ Dấu = xảy ra khi
;
1
1; 1
a b c d
a b c d

ab abcd
= =

= = = =

= =

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Hết.