SKKN hình hoc không gian

Mục lục

Nội dung : trang
phần I: ĐặT VấN Đề 2-3
Phần II: nội dung
A ) quy trình giải bài toán bằng phơng pháp véc tơ 4-5
b) các bài tập minh hoạ 6-12
i) dành cho học sinh trung bình khá 6-8
ii) dành cho học sinh khá giỏi 9-11
C) BàI TậP THAM KHảO 12
D) KếT LUậN 12
PHầN I đặt vấn đề
I ) Lý do chọn đề tài
1) Từ thực tế giảng dạy :
- ở sách giáo khoa chơng trình mới hiện nay đã giảm tải nhiều , phần vectơ
trong không gian đợc trình bày kỹ càng hơn, khuyến khích đợc học sinh sử
dụng hơn so với chơng trình cũ. Song ở sách giáo khoa, kể cả sách bài tập và
các tài liệu tham khảo cũng cha đa ra phơng pháp cụ thể cho từng phần mà chỉ
đa ra các ví dụ rồi giải. mà thời lợng chơng trình nga không có thời gian để
giáo viên hớng dẫn cụ thể cho học sinh.
1
- Chất lợng học sinh trờng thpt dtnt thấp hơn so với các trờng thpt ở miền
xuôi, học lực lại phân hoá không đồng đều . khi học phần vectơ trong không
gian thì đa số học sinh còn lúng túng trong việc chọn và thực hiện các phép
biến đổi về vectơ, các em có xu thế chon phơng pháp thông thờng ( đòi hỏi
phải có t duy, trí tởng tợng cao và phải vẽ hình phức tạp ), điều này là khó đối
với đa số học sinh. nên nhiều bài toán dẫn đến phức tạp và dẫn đến các em
ngại học môn hình. Trong khi Nhiều bài toán hình học không gian, nếu giải
bằng phơng pháp vectơ thì lời giải sẽ ngắn gọn và đặc biệt tránh đợc việc phải
vẽ hình phức tạp.
-

2) Từ thực tế khách quan :
- Việc sử dụng thành thạo phơng pháp vectơ sẽ giúp học sinh có thể làm nhanh
một số bài tập trắc nghiệm, điều này là phù hợp với xu thế học và thi hiện nay.
- Trong các đề thi đại học những năm gần đây thì các bài toán hình học không
gian, đáp án không đa ra phơng pháp giải bằng vectơ. Điều này đã làm cho
học sinh và giáo viên ít chú trọng vào phơng pháp vectơ, do đó học sinh cha
thấy đợc những u việt của phơng pháp này.
- Việc sử dụng thành thạo phơng pháp vectơ sẽ giúp học sinh có thể làm nhanh
một số bài tập trắc nghiệm, điều này là phù hợp với xu thế học và thi hiện nay
- Học sinh học tốt phơng pháp vectơ ở hình học lớp 11 là tiền đề để học tốt ph-
ơng pháp vectơ và tọa độ trong không gian ở hình học giải tích lớp 12.
II) tính khoa học:
- Đề tài đợc xây dựng dựa trên các khái niệm và các phép toán của vectơ, mỗi
phần đều có phơng pháp giải cụ thể,
- các ví dụ đa từ dễ đến khó học sinh có thể đọc và tự nghiên cứu .
- đè tài đợc trình bày theo một trình tự khoa học. Từ đó giúp học sinh tiếp cận
dễ dàng và sử dụng thành thạo phơng pháp này.
III) tính khả thi và phạm vi áp dụng:
- Đề tài có tính khả thi cao bởi vì: các khái niệm và các phép toán về vectơ trong
không gian là tơng tự nh trong mặt phẳng mà học sinh đã đợc học ở lớp 10, lớp
11 do đó nó không xa lạ với học sinh.
- Các bài toán ở phần dành cho học sinh trung bình đợc lấy từ bài tập sgk và sbt
có thêm phần giải thích đẻ học sinh dễ đọc dễ hiểu.
- Có nhiều bài toán ở phần dành cho học sinh khá giỏi đợc trích từ các đề thi đại
học những năm gần đây và đợc trình bày lời giải bằng phơng pháp vectơ nên
sẽ khuyến khích đợc học sinh vận dụng phơng pháp này.
- Đề tài đợc áp dụng cho học sinh lớp 11 và 12.


2

Phần 2 - Nội dung
A quy trình giải bài toán bằng ph ơng pháp véc tơ
1) quy trình
B ớc 1 : lựa chọn một bộ ba véc tơ không đồng phẳng làm hệ véc tơ gốc . Nên
- chọn bộ ba véc tơ xuất phát từ một đỉnh.
- u tiên chọn các véc tơ dã biết độ dài và góc của của hai vecf tơ tơng ứng(đặc
biệt là góc vuông).
B ớc 2: chuyển các giả thiết ,kết luận hình học của bài toán sang ngôn ngữ véc tơ
và biểu diễn các véc tơ liên quan theo hệ véc tơ gốc
2) các dạng hình học chuyển đổi cơ bản:
Giả thiết hình học Ngôn ngữ véc tơ (có thể)
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng
AB
( )
OBOAOM
MBMA
ABAM
+=
=+
=
2
1
0
2
1
G là trọng tâm tam giác ABC
( )
OCOBOAOM
GCGBGA
++=

=++
3
1
0
G là trọng tâm tứ diện ABCD








+++=
=+++


ODOCOBOAOG
GDGCGBGA
4
1
0

3)các dạng bài tập cơ bản
3
Bài toán 1: Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng:
Để chứng minh
)//(MNPAB
, ta chứng minh:

+= MPyMNxAB
Bài toán 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh trong mặt phẳng này
chứa hai đờng thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.( sử dụng bài toán 1
hai lần)
Bài toán 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc :
Để chứng minh a

b ta chứng minh
0.
21
=

uu
, trong đó

21
,uu
lần lợt là chỉ phơng của
a và b.
Bài toán 4: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng :
Để chứng minh
)(ABCMN
ta chứng minh





=
=

0.
0.
ACMN
ABMN
Bài toán 5 : Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh trong mặt này chứa
một vectơ vuông góc với hai vectơ không cùng phơng nằm trong mặt kia
Bài toán 6: Các bài toán về góc
*) Gọi

là góc giữa hai đờng thẳng a và b.

21
,uu
lần lợt là chỉ phơng của a và b. Khi
đó :



==
21
21
21
.
.
),cos(cos
uu
uu
uu

*) Gọi

là góc giữa đờng thẳng a và mặt phẳng(P).
Cách1: Ta đa về bài toán xác định góc của đờng thẳng a và đờng thẳng a là hình chiếu
của a lên (P) .sau đó thực hiện nh bài toán xác định góc của hai đờng thẳng .
Cách2: Ta đa về bài toán xác định góc của đờng thẳng a và đờng thẳng b là hình chiếu
của a lên (P) và chú ý



==
21
21
21
.
.
),cos(sin
uu
uu
uu

( trong đó

21
,uu
lần lợt là chỉ ph-
ơng của a và b)
*): Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

21
,uu
lần lợt là véc tơ chỉ phơng
lần lợt nằm trên hai đờng thẳng vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). .
Khi đó :



==
21
21
21
.
.
),cos(cos
uu
uu
uu

Bài toán7: Xác định khoảng cách(từ điểm tới mặt phẳng , giữa hai đờng thẳng chéo
nhau ): ta đa về bài toán tính khoảng cách giữa hai điểm, do đó ta có phơng pháp sau:
Để tính khoảng cách giữa hai điểm
M
và
N
ta biến đổi

++= czbyaxMN

(trong đó

cba ,,
là bộ ba vectơ đôi một không cùng phơng, đợc xuất phát từ một điểm và
4

cba ,,
, các tích vô hớng

ba .
,

cb .,
,

ac .
là tính đợc và
MNczbyaxMN
++=

22
)()(
B)Các bài tập minh hoạ:
I )dành cho học sinh trung bình khá
Ví dụ1
Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác

ABD
.
M
là điểm nằm trên đoạn CD
sao cho
2
1
=
MD
MC
Chứng minh :
)//(ABCMG

Giải:
Đặt :



=== cADbACaAB ,,
Vì
2
1
=
MD
MC
nên

= CDCM
3
1

Gọi
I
là trung điểm của
BD
, khi đó :

++= CMACAIGM
3
2

)(
3
1
).(
2
1
.
3
2

+++= bcbca


+= ba
3
2
3
1

+= ACAB
3
2
3
1

)//(ABCMG
.
ở ví dụ này ta đã chon hệ véc tơ gốc cùng
điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thuyết,kết luận
hình học sang ngôn ngữ vectơ :
Vì
2
1
=
MD
MC
nên

= CDCM
3
1


+= ACABGM
3
2
3
1

)//(ABCMG
Vídụ2 (Bài tập 4 SGK trang 91
Cho hình hộp
////
. DCBAABCD
. Gọi
NM ,
lần lợt là trung điểm của
CD
và
/
DD
. Gọi
21
,GG
lần lợt là trọng tâm của các tứ diện
MNDA
//
và
//
DBCC
.
Chứng minh :
)//(
//
21
AABBGG
.
Giải:

Đặt :



=== cAAbADaAB
/
,,
1
G
là trọng tâm của tứ diện
MNDA
//
nên

)(
4
1
//
1



+++= ANAMADAAAG
2
G
là trọng tâm của tứ diện
//
DBCC
nên
)(

4
1
//
2


+++= ADACACABAG
Từ đó:
)(
4
1
////
1221


+++== NDMCCDBAAGAGGG
5
M
I
G
D
c
b
a
C
B
A
c
ba
N

M
D
/
C
/
B
/
A
/
D
C
B
A



==++++=
/
8
1
8
5
)5(
8
1
)
2
1
2
1

(
4
1
AAABcaccacaca


)//(
//
21
AABBGG
N hận xét: Nếu không sử dụng phơng pháp vectơ thì bài toán này sẽ rất khó vẽ hình
vì xác định đợc trọng tâm cuả hai tứ diện ta phải vẽ rất nhiều đờng và đơng nhiên
việc chứng minh củng nh vậy.
ở ví dụ này ta đã chon hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thuyết hình học sang ngôn ngữ vectơ
1
G
là trọng tâm của tứ diện
MNDA
//
nên
)(
4
1
//
1



+++= ANAMADAAAG

2
G
là trọng tâm của tứ diện
//
DBCC
nên
)(
4
1
//
2


+++= ADACACABAG
Vídụ3
Cho hình hộp
////
. DCBAABCD
. Gọi
PNM ,,
lần lợt là trung điểm của
///
,, DACCAB
.
Chứng minh:
)//()(
//
BCAMNP

Giải:

Đặt :



=== cAAbADaAB
/
,,
Ta co


= caBA
/
,


+= baCA
//


++= NCCDPDPN
////
)(
2
1
2
1
2
1
///

+=+= CABAcab
)//(
//
BCAPN
(1)


= acBA
/
,


+= cbBC
/


++= PAAAMAMP
//
)(
2
1
2
1
2
1
//


+=++= BCBAcba

)//(
//
BCAMP
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
)//()(
//
BCAMNP
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều
///
. CBAABC
có tất cả các cạnh đều bằng
a
.
M

là trung điểm của
/
BB
. Chứng minh
/
BCAM
Giải:
Đặt :



=== cBBbBCaBA
/
,,

Vì
///
. CBAABC
là lăng trụ tam giác đều nên
ta có:
2
2
1
.,0.,0. abacbca ===


= acAM
2
1
,


+= cbBC
/
0
2
1
2
1
.
2
1
.
22
2

/
===



aabacBCAM

/
BCAM
Ví dụ 5:
6
c
B
/
P
b
a
N
M
D
/
C
/
A
/
D
C
B
A
M

c
b
a
C
/
B
/
A
/
C
B
A
Cho hình chóp
ABCS.
có
)(ABCSA
. Gọi
KH ,
lần lợt là trực tâm tam giác
ABC
và
SBC
. Chứng minh
)(SBCHK
.
Giải:
Ta có:

SCBH
SABH
ACBH
Khi đó:
0).(.
0).(.
=++=
=+=


BCSKASHABCHK
SCBKHBSCHK
)(SBCHK
Ví dụ 6:
Cho hình chóp
ABCS.
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
24
.
2=SA

và
)(ABCSA
. Gọi
NM ,
lần lợt là trung điểm của
BCAB,
. Tính góc giữa hai đờng thẳng
SM
và
AN
.
Giải:
Đặt :

=== cASbACaAB ,,
Ta có :
16.,0.,0. ===

bacbca
32)
2
1
(
2
1
2
=+=+=+=

acSMacAMSASM
)(

2
1

+= baAN
và
62=AN
12.
4
1
4
1
)(
2
1
).
2
1
(.
2
=+=++=

baabaacANSM
Gọi

là góc giữa hai đờng thẳng
SM
và
AN
, thì
0

45
2
1
62.32
12
.
.
),cos(cos =====




ANSM
ANSM
ANSM
II) dành cho học sinh khá giỏi
Vídụ1
Cho hình chóp tứ giác đều
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
.
E
là điểm
đối xứng của
D
qua trung điểm của
SA

.
NM ,
lần lợt là trung điểm của
AE
và
BC
.
Chứng minh
BDMN

.
( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 )
Giải:
7
K
H
C
B
A
S
c
b
a
M
N
S
B
C
A
Gọi

BDACO =
. Khi đó
)(ABCDSO
Đặt :

=== cOSbOBaOA ,,
Ta có :
0.,0.,0. ===

bacbca

++= CNACMAMN

++= CBACSD
2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1

++++= OBCOACODSO

= ca
2
1

2
3

= bBD 2
BDMNbcaBDMN ==

0)2).(
2
1
2
3
(.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAD
đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
PNM ,,
lần lợt là trung điểm của các
cạnh
CDBCSB ,,
. Chứng minh:
BPAM
( trích đề thi ĐH khối A năm 2007 )Giải:

Gọi
H
là trung điểm của
AD
)(ABCDSH
Đặt:

=== cHSbHNaHA ,,
Ta có:
0.,0.,0. ===

bacbca
)(
2
1
)(
2
1

+=+= acbABASAM

=+= baCPBCBP
2
1
2
0
4
1
4
1

.
22
22
===

ABHAbaBPAM
BPAM

Ví dụ 3:
Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật ,
aAB
=
,
AD
=
2a
.
)( ABCDSA
,
M
là trung điểm của
AD
. Chứng minh :
)()( SMBSAC
.
( trích đề thi ĐH khối B năm 2006 )

Giải:
Đặt :

=== cASbADaAB ,,
Ta có :
0.,0.,0. ===

bacbca
và

SABM
(1)

+=+= baACbaBM ,
2
1
0
2
1
2
1
.
22
22
=+=+=

ADABbaACBM
8
c
b

a
P
N
M
E
O
S
D
C
B
A
c
b
a
P
N
M
H
S
D
B
C
A
b
c
a
D
M
B
C

A
S

ACBM
(2)
Từ (1) và (2)
)(SACBM
)()( SMBSAC
Ví dụ 4
Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy là hình thang.
aBCBABADABC ===

=

,90
0
,
aAD 2=
.
Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
2aSA =
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A

trên
SB
. Tính khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
)(SCD
.
( Đề thi đại học khối D năm 2007)
Giải
Đặt

=== cASbADaAB ,,
Ta có:
0.,0.,0. ===

bacbca

=+== cbSDcbaSCcaSB ,
2
1
,
Gọi
I
là chân đờng vuông góc hạ từ
H
lên mặt phẳng
HISCDHdSCD = ))(;()(
Khi đó :

+= SIH SHI

++= SDySCxSB
3
2

+++= cyxby
x
ax )
3
2
()
2
()
3
2
(







=
=

=+
=++






=
=




3
1
6
5
0)
3
2
()
2
(
0)
3
2

()
2
(
2
1
)
3
2
(
0.
0.
22
222
y
x
cyxby
x
cyxby
x
ax
SDHI
SCHI
3
)
2
1
(
6
1
6

1
12
1
6
1
2
a
cbaHIcbaHI =++=++=

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
.
E
là
điểm đối xứng của
D
qua trung điểm của
SA
.
NM ,
lần lợt là trung điểm của
AE
và
BC
. Tính khoảng cách giữa
MN

và
AC
. ( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 )

Giải:
Đặt :

=== cOSbOBaOA ,,
Ta có :
0.,0.,0. ===

bacbca
=++=

CNACMAMN

++ CBACSD
2
1
2
1

)(
2
1
)(
2
1

++++= OBCOACODSO

= ca
2
1
2
3

= aAC 2
Gọi
PQ
là đoạn vuông góc chung của
MN
và
AC
, ta có:
9
H
D
B
C
A
S
c
b
a
P
N
M
E
O

S
D
C
B
A

++=++= AOySDMNxAQMAPMPQ
2
1

+= aybccax )(
2
1
)
2
1
2
3
(

++= bcxaxy
2
1
)1(
2
1
)
2
3
(

=
=








=+
=+++






=
=




2

3
1
0)
2
3
(2
0)1(
4
1
)
2
3
(
2
3
0.
0.
2
22
y
x
axy
cxaxy
ACPQ
MNPQ
4
2
84
1
2

1
2
22
a
PQ
a
OBPQbPQ ====

C) Bài tập tham khảo :
Bài 1: cho tứ diện ABCD . Gọi
321
,, GGG
lần lợt là trọng tâm của các tam giác ABC,
ACD, ABD . Chứng minh rằng
)(
321
GGG
// (BCD).
Bài 2:Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy là hình thoi cạnh
a
tâm
O
.
)(ABCDSO
, cạnh
bên
aSB
=

.
FE,
lần lợt là trung điểm của
SCSA,
. Chứng minh
)()( BFDBED
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
),( BCBDCDAB <
,
aADAB ==
,
)(ABCDSD
,
2aSD =
.
a) Tính góc giữa
)(SBC
và
)(SCD
.
b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng
)(SAB
và

)(SBI
Bài4: Cho hình lăng trụ tam giác
///
. CBAABC
. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của
//
,CCAA
và G là trọng tâm
///
CBA
.
a) Chứng minh
)//(
/
NABMG
Chứng minh
)//()(
//
NABMGC
Bài 5:Cho tứ diện
ABCS.
, có
ABCASC ==
2a=
,
)(ABCSC
. Tam giác
ABC
vuông
tại

A
, các điểm
M
thuộc
SA
và
N
thuộc
BC
sao cho
tCNAM ==
.
)20( at <<
Tính độ dài đoạn thẳng
MN
theo
a
và
t
.
Bài 6:hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều abc cạnh 7a , có cạnh SC vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC) và SC= 7a.
a) tính góc giữa SA và BC.
10
b) Tính khỏang cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau SA và BC.
Bài 7: Cho lập phơng
////
. DCBAABCD
có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đ-
ờng thẳng

BA
/
và
DB
/
.
D) Kết luận
Phơng pháp vectơ giải toán hình học không gian giúp học sinh có thể chuyển bài
toán phức tạp thành bài toán đơn giản và sử dụnh các phép biển đổi vectơ để thực hiện.
Tuy nhiên, đây không phải phơng pháp tối u cho tất cả các bài toán .Vì vậy khi giải
toán hình học không gian học sinh cần lu ý lựa chọn ,kết hợp các phơng pháp khác
nhau để giải toán một cách đơn giản nhất.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song đề tài vẫn còn nhiều chỗ cần phải bổ sung. Vì vậy
tôi rất mong có sự góp ý của bạn đọc, đồng nghiệp và học sinh.
Thanh hoá ngày 20 tháng 3năm 2010
Giáo viên



11