MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC KỲ MÔN TOÁN A1 ppt

Phụ lục I : Một số đề thi học kỳ môn toán a1
Đề 01
Câu 1: Chứng minh rằng
333
222
111
2
33333
22222
11111
)1(
cba
cba
cba
x
cbxaxba
cbxaxba
cbxaxba
=
++
++
++
Câu 2: Cho F={(x
1
,x
2
,x
3
)R
3
:x

1
+2x
2
-x
3
=m , m là hằng số}
a. Tìm m để F là không gian con của R
3
.
b. Tìm một cơ sở của F khi m=0.
Câu 3: Trong cơ sở
E=














=

=








=








=
10
00
,
01
00
,

00
10
,
00
01
4321
EEEE
của không gian M
2x2
các ma trận vuông thực cấp 2 cho các véc tơ:










=

=









=










=
31
02
,
12
10
,
02
12

,
10
01
4321
CCCC
a. Chứng minh rằng hệ C={C
1
,C
2
,C
3
,C
4
} là một cơ sở trong
M
2x2
.
b. Cho toạ độ của A trong cơ sở C là A=








31
02
, hãy tìm toạ
độ của A trong cơ sở E.

Câu 4: Trong cơ sở chính tắc {e
1
,e
2
,e
3
} của R
3
cho tự đồng cấu g
xác định nh sau:
g(x
1
,x
2
,x
3
)=(x
1
-x
2
,x
1
-2x
2
+x
3
,x
1
+x
2

+2x
3
)
a. Tìm ma trận của g trong cơ sở chính tắc {e
1
,e
2
,e
3
}.
b. Tìm ma trận của g trong cơ sở {e
1
,2e
3
,-e
2
}.
Câu 5: Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến
tính cho bởi ma trận sau
A=

100
222
201
15
Có tồn tại một cơ sở gồm toàn véc tơ riêng của không? Nếu đợc
hãy chéo hoá ma trận A.
Câu 6: Đa đờng cong bậc hai có phơng trình sau đây về dạng
chính tắc:
080563845
21
2
221
2
1
=+++ xxxxxx
với mọi (x
1
,x
2
) thuộc R
2
.
Đề 02
Câu 1: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để
10
6
)1(

)31()1(
i
ii
n

++
là một số thực.
Câu 2: Cho hệ phơng trình







=++
=++
=+
=+
94
82
2
532
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx

xxx

a. Giải hệ với =1.
b. Tìm để hệ có nghiệm.
Câu 3: Cho M là tập các hàm số có dạng
f(x)=a cosx+b sinx+c
Với phép cộng hai hàm số và phép nhân hàm số với một số thông
thờng, chứng minh M là không gian tuyến tính trên R. Tìm số
chiều và cơ sở của M.
Câu 4: Trong cơ sở chính tắc của không gian R
3
cho 3 véc tơ
v
1
=(2,3,4), v
2
=(3,5,7), v
3
=(4,4,6)
và phép biến đổi tuyến tính f: R
3
R
3
xác định nh sau:
f(x
1
,x
2
,x
3

)=(2x
1
+x
2
+x
3
,3x
1
+2x
2
+x
3
,x
1
+x
2
+2x
3
)
a. Chứng minh rằng hệ {v
1
,v
2
,v
3
} là một cơ sở của R
3
. Tìm
toạ độ của véc tơ y=(2,-3,-4) trong cơ sở {v
1

,v
2
,v
3
}.
b. Tìm ma trận của f theo cơ sở {v
1
,v
2
,v
3
}.
Câu 5: Trong một cơ sở (B) của không gian M
2x2
các ma trận
vuông cấp hai với phép cộng hai ma trận và phép nhân một số với
một ma trận thông thờng, cho ánh xạ f : M
2x2
M
2x2
nh sau:
16
f

+
+
=














dbca
dbca
dc
ba
a. Chứng minh f là một phép biến đổi tuyến tính trên
M
2x2
.
b. Xác định Kerf và dim Kerf.
Câu 6: Trong một cơ sở trực chuẩn của R
3
cho dạng toàn phơng

f(x,x)=
323121
2
3
2
2
2
1
44822 xxxxxxxxx ++
với x=(x
1
,x
2
,x
3
)R
3
. Đa dạng toàn phơng trên về dạng chính tắc
bằng phép biến đổi trực giao.
Đề 03
Câu 1: Cho phơng trình ma trận

+
=












5
2
0
14
112
211

X
a. Tìm X khi =-2.
b. Phơng trình trên có khi nào vô nghiệm không? Tại sao?
Câu 2: Trong không gian véc tơ R
3
cho tập hợp
V=

== 0
212
121:),,(
321
3
321
xxx
Rxxxx
Chứng minh rằng V là không gian con của R
3
. Tìm số chiều và một
cơ sở của V.
Câu 3: Trong không gian P
3
(x) các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn
hoặc bằng 3 xét ánh xạ: f[p(x)]=4p(x)-x
2
p(x) p(x)P
3
(x)
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.

b. Tìm ma trận của f trong cơ sở {x
2
,x
3
,x,1}.
Câu 4: Trong không gian các đa thức ẩn x bậc nhỏ hơn hoặc bằng
bốn P
4
(x), chứng minh bằng tập các đa thức có nghiệm x=a, x=b
(ab) tạo thành một không gian con của P
4
(x). Tìm số chiều và một
cơ sở của không gian con đó.
17
Câu 5: Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến
tính trong R
3
biến đổi hệ các véc tơ a
1
=(2,1,0), a
2
=(0,0,1),
a
3
=(5,3,2) thành hệ các véc tơ b
1
=(-1,1,1), b
2
=(2,1,2), b
3

=(1,1,1).
Tìm ma trận của phép biến đổi tuyến tính đó trên cơ sở chính tắc.
Câu 6: Trong R
2
cho dạng toàn phơng
f(x,x)=
2
221
2
1
323 xxxx ++
, x=(x
1
,x
2
)
a. Dùng phép biến đổi trực giao đa f(x,x) về dạng chính tắc.
b. Nhận dạng đờng bậc hai f(x,x)=1.
Đề 04
Câu 1: Tính
n

23
12
.
Câu 2: Giả sử hệ các véc tơ {v
1
,v
2
,v
3
} của không gian tuyến tính E
là độc lập tuyến tính và
a
1
= v
1
+v
2
+v
3
a
2
= v
1
-v
2
+v
3
a
3

= v
1
+v
2
-v
3
Chứng minh rằng hệ {a
1
,a
2
,a
3
} là độc lập tuyến tính.
Câu 3: Trong R
3
cho các không gian con sau:
F={x=(x
1
,x
2
,x
3
)R
3
: x
1
-2x
2
+x
3

=0}
G=={x=(x
1
,x
2
,x
3
)R
3
: 2x
1
-x
2
+x
3
=0}
a. Tìm số chiều và một cơ sở tơng ứng của F và G.
b. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con FG.
Câu 4: Phép biến đổi tuyến tính trong cơ sở a
1
=(-3,7), a
2
=(1,-2)
có ma trận

35
12
, phép biến đổi tuyến tính trong cơ sở
b
1
=(6,-7), b
2
=(-5,6) có ma trận








72
31
. Tìm ma trận của o và
+ trong cơ sở chính tắc.
Câu 5: Trong không gian R
3
cho một dạng song tuyến tính
f(x,y)=
( )

3
2
1
321
02
031
211
y
y
y
m

xxx
(x
1
,x
2
,x
3
),(y
1
,y
2
,y
3
)R
3
Tìm m để f(x,y) là một tích vô hớng trên R
3
.
18
Câu 6: Cho dạng toàn phơng
f(x,x)=
323121
2
3
2
2
2
1
3422 xxxxxxxxx ++
a. Đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc và nêu rõ các chỉ

số quán tính trong dạng chính tắc.
b. Hệ cơ sở chính tắc của dạng toàn phơng có phải là cơ
sở trực chuẩn không? Tại sao?
Đề 05
Câu 1: Dùng đẳng thức

=










25
37
30
02
75
32
1235
617
tính
5
1235
617

Câu 2: Cho H={(x,y,z)R
3
: x=5y+2z (y,zR)}
a. Chứng minh rằng H là không gian con của R
3
.
b. Tìm một cơ sở của H.
Câu 3: Cho ánh xạ tuyến tính f: R
4
R
3
xác định nh sau
f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=
),,24(
1324321
xxxxxxx +
a. Tìm ma trận A của ánh xạ f.

b. Tìm Ker f và dim Im f.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của sao cho dạng toàn phơng sau là
xác định dơng trong R
3
:
f(x,x)=
323121
2
3
2
2
2
1
10624 xxxxxxxxx +++++

với x=(x
1
,x
2
,x
3
) R
3
.
Câu 5: Cho ma trận A=

400
031
041
a. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
b. Ma trận A có chéo hoá đợc không? Nếu đợc viết ma
trận chéo B dới dạng B=T
-1
AT và ma trận chuyển T.
Câu 6: Giải và biện luận hệ phơng trình
19





=++
=++
=++
32
32
32
czccyx
bzbbyx
azaayx

Đề 06
Câu 1: Tìm miền biểu diễn hình học các số phức
131
22
2
=+ yzz
với z=x+iy.
Câu 2: Tìm f(A) biết
f(x)=x
2
-x-1 với A=










011
213
112
Câu 3: Trong không gian R
4
xét tập
A=

=++
=++
=
032
032
:),,,(
4321
4321
4
4321
xxxx
xxxx
Rxxxxx
a. Chứng minh rằng A là không gian con của R
4
.
b. Tìm số chiều và một cơ sở của A.
Câu 4: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A=

++

23
0221
002
ii
ii
i
Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của R
4
cho các véc tơ
a
1
=(3,-1,5,1), a
2
=(0,2,-4,1) và b=(1,,0,à)
a. Tìm ,à để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a
1
,a
2
.
b. Với ,à tìm đợc hãy trực giao hoá hệ {b,a
1
,a
2

}.
Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f với ma trận
20
A=













133
153
131
a. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
b. Ma trận A có chéo hoá đợc không? Nếu đợc viết ma
trận chéo B dới dạng B=T
1
AT.
Đề 07
Câu 1: Đa số phức sau về dạng lợng giác
i
i
z

+
=
3
3
Câu 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A=










+

+
i
i
iii
100
10
2121
Câu 3: Tìm đa thức bậc hai p(x)=ax
2
+bx+c biết p(1)=-1, p(-1)=9,
p(2)=-3.

Câu 4: Cho E là không gian Euclide trên R và aE, a. Gọi
L={xE: <x,a>=0}
a. Chứng minh rằng L là không gian con của E.
b. Cho {e
1
,e
2
, ,e
m
} là một cơ sở của L. Chứng minh rằng
{e
1
,e
2
, ,e
m
,a} là một cơ sở của E.
Câu 5: Biết rằng ma trận vuông A cấp n có n giá trị riêng là
1
,

2
, ,
n
. Tìm các giá trị riêng của A
3
.
Câu 6: Trong R
3
cho hệ véc tơ {x,e

1
,e
2
,e
3
}với e
1
=(1,1,1), e
2
=(1,1,2),
e
3
=(1,2,3), x=(6,9,14).
a. Tìm hạng của hệ trên
b. Hỏi {e
1
,e
2
,e
3
} có là một cơ sở của R
3
không? Vì sao?
c. Biểu diễn véc tơ x qua {e
1
,e
2
,e
3
}. Biểu diễn đó có duy

nhất không?
Đề 08
Câu 1: Đa số phức sau về dạng lợng giác
21
)
3
cos
4
(sin
3
sin

iz +=
Câu 2: Với abcde0 tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A=

0000
0000
0000
0000
0000
e
d
c
b
a
Câu 3: Giải hệ phơng trình







=+
=++
=+
=+
132
3
122
13
321
321
321

321
xxx
xxx
xxx
xxx
Câu 4: Cho f: R
2
R
2
xác định bởi f(x,y)=(2x-y, -x+2y). Hãy tìm
một cơ sở của R
2
để trong cơ sở đó ma trận của f có dạng đờng
chéo và tìm ma trận đờng chéo đó.
Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R
4
cho
a
1
=(1,1,0,1), a
2
=(0,1,1,0). Với không gian con
L={xR
4
:<x,a
1
>=0,<x,a
2
>=0}
a. Tìm một cơ sở của L.

b. Trực giao hoá hệ gồm các véc tơ a
1
,a
2
, và các véc tơ
trong cơ sở của L vừa tìm đợc.
Câu 6: Cho ánh xạ f: R
3
R
3
xác định bởi
f(x,y,z)=(x+2y+2z,2x+y+2z,2x+2y+z)
a. Chứng tỏ f là phép biến đổi tuyến tính
b. Tìm một cơ sở trực chuẩn gồm các véc tơ riêng của f,
viết ma trận của f trên cơ sở đó.
c. Chứng tỏ f là song ánh trên R
3
, hãy xác định f
1
.
Đề 09
Câu 1: Tính
3
44 i
Câu 2: Cho phơng trình ma trận
22

=










+
1
2
1
493
1272
21
X



a. Giải phơng trình trên khi =0.

b. Tìm để hệ phơng trình trên có vô số nghiệm.
Câu 3: Cho ma trận
A=












311
120
011

Hỏi ma trận A có chéo hoá đợc không? Vì sao?. Nếu đợc, hãy tìm
ma trận T để đa ma trận A về dạng ma trận đờng chéo B=T
-1
AT.
Câu 4: Cho ánh xạ f: R
3
R
3
xác định bởi
f(x,y,z)=(2x-y+z,-x+2y-z,z+m)
1. Tìm m để f là một phép biến đổi tuyến tính.

2. Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc khi m=0.
Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R
4
cho
các véc tơ a
1
=(1,-1,0,-1), a
2
=(0,1,-1,-1). Cho không gian con
L={xR
4
: <x,a
1
>=0, <x,a
2
>=0}
a. Tìm một cơ sở của L.
b. Trực giao hoá hệ gồm các véc tơ a
1
,a
2
và các véc tơ
trong cơ sở vừa tìm đợc của L.
Câu 6: Gọi M
3x4
là không gian các ma trận 3 hàng, 4 cột và F là
tập các ma trận có dạng

cdcc
bacb
dcba
. Chứng minh rằng F
là không gian con của M
3x4
. Tìm số chiều và một cơ sở của F.
Đề 10
Câu1: Cho
3
2
sin
3
2
cos


i+=
. Hãy biểu diễn số phức (1+)
n
d-
ới dạng lợng giác.
Câu 2: Tìm ma trận X thoả mãn đảng thức

23
X










=













13215
726
211
101

111
Câu 3: Cho L(X) là không gian con sinh bởi các véc tơ của tập
X={a
1
,a
2
,a
3
,a
4
} với a
1
=(2,1,3,-1), a
2
=(-1,1,-3,1), a
3
=((4,5,3,-1),
a
4
=(1,5,-3,1).
a. Xác định số chiều và cơ sở của L(X).
b. Hãy tìm tất cả cơ sở của L(X) có thể lấy đợc từ tập X.
Câu 4: Cho ánh xạ f: R
3
R
3
xác định bởi
f(x,y,z)=(6x-2y-2z,-2x+3y,2x+3z)
a. Chứng tỏ f là một phép biến đổi tuyến tính, tìm ma trận
của f theo cơ sở chính tắc.

b. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của f.
Câu 5: Trong một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R
4
, cho
các véc tơ a
1
=(1,-1,2,1), a
2
=(0,1,-1,1) và b=(-1,,1,).
a. Tìm , để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a
1
và a
2
.
b. Với , tìm đợc hãy trực giao hoá hệ {a
1
,a
2
,b}.
Câu 6: Chứng minh rằng nghịch đảo của ma trận tam giác trên
không suy biến là một ma trận tam giác trên.
Đề 11
Câu 1: Nếu

cos2
2
1
=+z
chứng minh

mz
m
m
cos2
2
1
=+
Câu 2: Tìm hạng của ma trận
A=


















5741
312
1123

2431

Với R
Câu 3: Trong R
3
xét tập
L=






=++
=+
=
022
0
),,(
321
321
321
xxx
xxx
xxxx
a. Chứng tỏ L là không gian con của R
3
.
24
b. Tìm số chiều và một cơ sở của L.

Câu 4: Với (x
1
,x
2
,x
3
) R
3
, có giá trị nào của để dạng toàn phơng
sau là dạng xác định dơng trong R
3
không?
f(x,x)=
323121
2
3
2
2
2
1
2232 xxxxxxxxx ++++

Câu 5: Cho ma trận
A=

100
044
010
a. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
b. Ma trận A có chéo hoá đợc không? Tại sao? Nếu đợc
hãy tìm ma trận T để ma trận B=T
1
AT là ma trận đ-
ờng chéo.
Câu 6: Chứng minh rằng nghịch đảo của ma trận tam giác dới
không suy biến là một ma trận tam giác dới.
Đề 12
Câu 6: Cho phơng trình ma trận










+
=

5
2
0
14
114
211

X
a. Tìm X khi =-2.
b. Phơng trình trên có bao giờ vô nghiệm không? Tại sao?
Câu 3: Trong không gian R
3
cho
L=

=
=

03
045
:),,(
3
zy
yx
Rzyx
a. Chứng minh rằng L là không gian tuyến tính.
b. Tìm số chiều và một cơ sở của L.
Câu 4: Cho ma trận
A=











100
042
020

25
a. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
b. Ma trận A có chéo hoá đợc không? Tại sao? Nếu đợc
hãy tìm ma trận T để ma trận B=T
1
AT là ma trận đ-
ờng chéo.
Câu 5: Cho R
3
là không gian Euclide với tích vô hớng thông thờng.
Cho v
1
=(1,1,0), v
2
=(0,1,1), v
3
=(1,0,1).
a. Tìm véc tơ trực giao với v
1
,v
2
.
b. Tìm véc tơ u trực giao với v
1
sao cho (u,v
2
,v
3
) phụ thuộc
tuyến tính.

Câu 6: Tìm các số thực a,b,c để phơng trình
(1+ai)x
4
+(2a+bi)x
3
- (5+ci)x
2
+(b+ci)x+4+ai=0
sau nhận 1,2 làm nghiệm, với i là đơn vị ảo.
Đề 13
Câu 1: Chứng minh rằng
itgnx
itgnx
itgx
itgx
n

+
=









+
1

1
1
1
Câu 2: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số a





=++
=++
=++
2
42
22
12
aazyx
azayx
zyax
Câu 3: Tìm a để ma trận sau xác định dơng.
A=

1
1
1
aa
aa
aa
Câu 4: Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận nghịch đảo
A
-1
bằng nghịch đảo các giá trị riêng của ma trận A.
Câu 5: Cho ma trận A=











400
031
041
a. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
26
b. Ma trận A có chéo hoá đợc không? Tại sao? Nếu đợc
hãy tìm ma trận T để ma trận B=T

1
AT là ma trận đ-
ờng chéo.
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của sao cho dạng toàn phơng sau là
xác định dơng
f(x,x)=
322131
2
3
2
2
2
1
21064 xxxxxxxxx

+++++
Đề 14
Câu 1: Tính định thức
dcba
ccba
bbba
aaaa
=
Câu 2: Cho n đờng thẳng trên mặt phẳng xác định bởi

1
: a
1
x+b
1

y+c
1
=0

2
: a
2
x+b
2
y+c
2
=0


n
: a
n
x+b
n
y+c
n
=0
Tìm điều kiện để n đờng thẳng trên cùng đi qua một điểm.
Câu 3: Gọi M
2x2
là không gian các ma trận vuông cấp 2 trên R.
Cho
e
1
=

00
01
, e
2
=








00
11
, e
3
=

01
11
, e
4
=








11
11
a. Chứng minh rằng hệ {e
1
,e
2
,e
3
,e
4
} là một cơ sở của M
2x2
.

b. Tìm toạ độ của








10
13
theo cơ sở đó.
Câu 4: Cho phơng trình ma trận AX=B có nghiệm X
1
,X
2
. Tìm ma
trận C sao cho phơng trình AX=C có nghiệm
a.
X
1
+X
2
b.
K.X
1
Câu 5: Gọi P
2
(x) là không gian các véc tơ đa thức hệ số thực có
bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2. Cho ánh xạ f: P

2
(x) P
2
(x) xác định bởi
f(p)=p-2p+3p pP
2
(x)
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
27
b. Tìm ma trận của f trong cơ sở {1,x,x
2
}.
c. f có phải là song ánh không? Tại sao?
Câu 6: Cho ma trận A=










222
210
203
a. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
b. Ma trận A có chéo hoá đợc không? Nếu đợc viết ma
trận chéo B dới dạng B=T

-1
AT.
28
Tài liệu tham khảo
1. Ngô Thúc Lanh
Đại số tuyến tính
N.X.B. Giáo Dục 1978
2. Sze -Tsen Hu
Đại số tuyến tính và phơng trình vi phân
N.X.B.Đại Học và T.H.Chuyên Nghiệp_1979
3. Nguyễn Đình Trí
Đại số tuyến tính
N.X.B Giáo Dục 1997
4. Đoàn Quỳnh và các tác giả
Đại số tuyến tính
N.X.B. Giáo Dục 1996
5. Nguyễn Xuân Hoàng
Bài giảng Đại số tuyến tính
Đ.H. Giao Thông Vận Tải Hà Nội
6. Trần văn Dũng , Trần Văn Minh
Bài giảng Toán A4
Đ.H.Giao Thông Vận Tải Hà Nội
7. Trần Văn Minh
Phơng pháp số và chơng trình bằng Turbo Pascal
N.X.B. Khoa Học Kỹ Thuật 1998.
8. Nguyễn Quốc Chiến và các tác giả
Giáo trình Quy hoạch tuyến tính_
Đ.H.Giao Thông Vận Tải Hà Nội_1994.
9. Trần Túc
Bài giảng Quy hoạch tuyến tính

Đ.H.Kinh Tế Quốc Dân _ 1997.
10. Faddeeva
V.N.Computatonal Methods of Linear Algebra,
Mir Pulishers 1973
11. David Kincaid and ward Choney
Numerical analysis Mathmatics of scientific
computing
The University of Texas Austin 1990
29
12. Nguyễn Đình Trí
Bài Tập Toán Cao Cấp Tập 1
Nhà Xuất Bản Giáo Dục_1999
13. Trần Văn Minh, Phí Thị Vân Anh
Nguyễn Huy Hoàng, Nguyễn Văn Phấn
Đại số tuyến tính
N.X.B Giao Thông Vận Tải 2000.
mục lục
Chơng 1: Khái niệm mở đầu
về một số cấu trúc đại số
1.1 Tập hợp
1.2 ánh xạ
1.3 Sơ lợc về Logíc mệnh đề
1.4 Quan hệ
1.5 Nhóm, Vành, Trờng
1.6 Trờng số phức C
1. Biểu diễn của số phức
2. Các phép toán trên tập các số phức
1.7 Nghiệm của đa thức trên trờng số phức
Chơng 2: Ma trận và định thức
2.1 Ma trận

2.2 Định thức
2.3 Ma trận đảo
2.4 Hạng của ma trận
Chơng 3: Không gian tuyến tính
3.1 Khái niệm về không gian tuyến tính
3.2 Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính
3.3 Không gian con
Chơng 4: Hệ phơng trình tuyến tính
4.1 Khái niệm về hệ phơng trình tuyến tính
4.2 Giải hệ phơng trình tuyến tính
4.3 Hệ thuần nhất
30
1. Tập nghiệm của hệ thuần nhất là một không gian con
2. Tìm hệ nghiệm cơ sở của hệ thuần nhất
3. Cơ sở của giao hai không gian con
Chơng 5: ánh xạ tuyến tính
5.1 ánh xạ tuyến tính
5.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
5.3 Đẳng cấu của hai không gian tuyến tính
5.4 Tự đồng cấu và phép chuyển cơ sở
Chơng 6: Cấu trúc của tự đồng cấu
Trị riêng và véc tơ riêng
1. Không gian con bất biến
2. Trị riêng và véc tơ riêng
3. Điều kiện để ma trận của tự đồng cấu có dạng đờng chéo
4. Đa thức đặc trng
5. Thuật toán chéo hoá ma trận
Chơng 7: Dạng song tuyến tính
Dạng toàn phơng
7.1 Dạng song tuyến tính

7.2 Dạng toàn phơng
7.3 Không gian với tích vô hớng
7.4 Chéo hoá ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao
7.5 Phân loại đờng và mặt bậc hai
Phụ lục
31
32