HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ ppt

Trần Văn Minh_Nguyễn cao nhạc (Đồng chủ biên)
Nguyễn huy hoàng_nguyễn văn việt
nguyễn minh khoa_ Đặng thị Mai
Phép tính
GiảI tích hàm
nhiều biến số thực
Giáo trình toán A3
Dành cho cán bộ, sinh viên
các ngành kinh tế kỹ thuật
Nhà Xuất Bản Giao Thông Vận Tải Hà Nội 2004
Chơng 1
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
1
Hàm số nhiều biến số
1.1 Tập hợp trong R
n
Xét không gian Ơclit n chiều R
n
(n>1):
R
n
={x=(x
1
,x
2
,,x
n
): x
i
R, i=
n,1

}
Nh vậy mỗi phần tử x=(x
1
,x
2
,,x
n
) là một bộ có sắp thứ tự gồm n số thực. Ta cũng gọi mỗi phần tử của
R
n
là một điểm trong R
n
và ký hiệu chúng bằng các chữ cái in hoa: A, B,
Trong tài liệu này chúng ta xét với n=2 hoặc n=3. Mọi khái niệm và kết quả thu đợc đều mở rộng đ-
ợc cho n hữu hạn tuỳ ý.
a. Khoảng cách giữa hai điểm: Giả sử M(x
1
,x
2
,,x
n
), N(y
1
,y
2
,,y
n
) là hai điểm trong R
n
, ta gọi

khoảng cách giữa hai điểm đó, ký hiệu d(M,N), là số đợc xác định bởi:
d(M,N)=

=

n
i
ii
yx
1
2
)(
(1)
Từ (1) dễ dàng chứng minh đợc bất đẳng thức tam giác, với ba điểm A, B, C bất kỳ trong R
n
luôn có:
d(A,C)d(A,B)+d(B,C)
b. Lân cận: Cho M
0
R
n
và >0 đủ bé, ta gọi _lân cận của M
0
là tập hợp, ký hiệu u

(M
0
), xác định
bởi:
u

(M
0
)={MR
n
:d(M
0
,M)< }
Ngời ta gọi mọi tập hợp chứa một _lân cận nào đó của M
0
là một lân cận của M
0
.
c. Tập mở: Cho E là một tập trong R
n
.
- Điểm ME đợc gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một _lân cận nào đó của M nằm trong E.
- Tập E đợc gọi là mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong.
- Cho điểm M
0
và số r>0, khi đó tập E xác định bởi:
E={M: d(M
0
,M)<r}
gọi là quả cầu mở bán kính r chứa M
0
.
Hiển nhiên E là một tập mở. Thật vậy, giả sử M là một điểm bất kỳ thuộc E, hay d(M
0
,M)<r. Đặt

=r-d(M
0
,M) khi đó u

(M
0
) nằm hoàn toàn trong E, vì nếu M u

(M
0
) thì d(M
0
,M)< , khi đó theo
bất đẳng thức tam giác ta có:
d(M
0
M)d(M
0
,M)+d(M,M)<d(M
0
,M)+ =r
d. Biên của tập hợp: Ta gọi M
0
là điểm biên của tập E nếu mọi u

(M
0
) vừa chứa những điểm thuộc E
vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên của E có thể thuộc E mà cũng có thể không thuộc E.
Tập tất cả các điểm biên của E gọi là biên của E.

e. Tập đóng: Tập E đợc gọi là đóng nếu E chứa mọi điểm biên của nó.
Cho điểm M
0
và số r>0, khi đó tập E xác định bởi:
E={M: d(M
0
,M)r}
gọi là quả cầu đóng bán kính r chứa M
0
, còn tập:
={M: d(M
0
,M)=r}
là biên của quả cầu đó.
f. Tập bị chặn: Tập E đợc gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó.
g. Tập liên thông và tập đơn liên:
- Tập E đợc gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kỳ của E bằng một đờng liên tục nằm trong
E.
Tập E đợc gọi là đơn liên nếu biên của E là một tập liên thông, E đợc gọi là tập đa liên nếu biên của
E là tập không liên thông.
Hình 1
Trong hình 1, miền vành khuyên là miền liên thông, nhng có hai biên; miền trong của Lemnixcat có
một biên nhng không liên thông.
1.2 Hàm nhiều biến số
1. Định nghĩa: Cho D là một tập con trong R
n
. Ta gọi ánh xạ:
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
2
f: DR

cho ứng mỗi x=(x
1
,x
2
,,x
n
)D với một số thực xác định u là một hàm số n biến xác định trên D và ký
hiệu:
u=f(x
1
,x
2
,,x
n
)
Nếu xem (x
1
,x
2
,,x
n
) là toạ độ của điểm MR
n
thì ta cũng có thể viết u=f(M).
Nếu n=2 hay n=3 ta thờng dùng ký hiệu: z=f(x,y) hay u=u(x,y,z).
Ta gọi D là miền xác định và f(D) là miền giá trị của hàm f.
Nếu hàm hai biến cho bởi:
z=f(x,y)
trong đó f(x,y) là một biểu thức của x,y thì ta nói hàm hai biến cho dới dạng hiện.
Nếu từ biểu thức:

(x,y,z)=0
với mỗi (x,y)D ta xác định đợc z tơng ứng để biểu thức trên thoả mãn thì ta nói biểu thức xác định
một hàm ẩn hai biến z=z(x,y).
Trong các biểu thức trên x,y là các biến độc lập, còn z là biến phụ thuộc.
Nếu từ hệ thức:



=
=
0),,,,(
0),,,,(
vuzyxG
vuzyxF
với mỗi (x,y,z) ta xác định đợc u, v tơng ứng để hệ thức thoả mãn thì ta nói hệ thức xác định một
hệ hai hàm ẩn ba biến:
u=u(x,y,z) v=v(x,y,z)
2. Miền xác định và ý nghĩa hình học của hàm hai biến
Nếu hàm z cho bởi biểu thức z=f(x,y) thì miền xác định của z là tập tất cả những điểm M(x,y) R
2
sao cho biểu thức f(x,y) có nghĩa, nó thờng là một tập liên thông trong R
2
.
Nếu z=f(x,y) có miền xác định D thì tập hợp:
={(x,y,z): x,yD}R
3
đợc gọi là đồ thị của hàm z=f(x,y). Khi (x,y) chạy trên D, thì điểm M(x,y,z) vẽ lên một mặt trong
không gian, nh vậy là một mặt trong không gian mà hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng
Oxy là miền xác định D.
Ví dụ 1.1: Tìm và biểu diễn hình học miền xác định của hàm số:

a.
xy
x
z +=
2
arcsin
Miền xác định đợc xác định từ bất đẳng thức kép:







0
1
2
1
xy
x
Vậy ta đợc:






0,0
22
yx

x
hoặc





0,0
22
yx
x
Có biểu diễn hình học là hình 2a.
b. u=
2
2
2
2
2
2
1
c
z
b
y
a
x

Miền xác định
1
2

2
2
2
2
2
++
c
z
b
y
a
x
, đó là một elipxôit, hình 2b.
Hình 2a Hình 2b
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
3
Ví dụ 1.2: Biểu diễn hình học hàm số:
a. x
2
+y
2
=3-z là Paraboloit có đỉnh (0,0,3), hình 3a.
b. x
2
+y
2
=(6-z)
2
là nón có đỉnh (0,0,6), hình 3b.
c. x=y

2
là mặt trụ đứng có đờng sinh là x=y
2
và đờng chuẩn là Oz, hình 3c.
Hình 3a Hình 3b
Hình 3c
1.3 Giới hạn và liên tục
1. Giới hạn của hàm hai biến
Trong mặt phẳng, khi cho xx
0
, yy
0
thì điểm M(x,y) dần đến điểm M
0
(x
0
,y
0
), điều này tơng đơng
với khoảng cách:
0)()(),(
2
0
2
00
+= yyxxMM

Cho z=f(x,y)=f(M) xác định trên tập D và M
0
(x

0
,y
0
) là một điểm có thể thuộc D hoặc không thuộc D.
Định nghĩa 1: Ta nói hàm z=f(M) có giới hạn a khi MM
0
nếu >0, >0 sao cho MD,
0<(M
0
,M)<:f(M)-a<. Ký hiệu:

aMf
MM
=

)(lim
0

hoặc
ayxf
yy
xx
=


),(lim
0
0
hoặc
),(lim

),(),(
00
yxf
yxyx
Ngời ta chứng minh đợc định nghĩa 1 tơng đơng với định nghĩa sau:
Định nghĩa 2: Ta nói hàm z=f(M) có giới hạn a khi MM
0
nếu với mọi dãy điểm M
n
(x
n
,y
n
)
(M
n
D) dần đến M
0
(x
0
,y
0
) ta đều có:
ayxf
nn
n
=
+
),(lim
Chú ý:

1. Theo định nghĩa, giới hạn của hàm số không phụ thuộc cách thức điểm M dần đến M
0
, do đó nếu
M dần đến M
0
theo những cách thức khác nhau mà hàm có giới hạn khác nhau thì hàm số không có
giới hạn khi M dần đến M
0
.
2. Cũng nh hàm một biến số ta cũng có các định nghĩa tơng tự dới đây:
=


),(lim
0
0
yxf
yy
xx
,
ayxf
y
x
=


),(lim
,
=

),(lim yxf
y
x
3. Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích , thơng đối với hàm một biến cũng đúng với hàm nhiều
biến và đợc chứng minh tơng tự.
Ví dụ 1.3: Tìm giới hạn:
a.
22
0
0
)sin(
lim
yx
xy
y
x
+


Ta thấy hàm số f(x,y)=
22
sin
yx
xy
+
xác định với mọi (x,y)(0,0).
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
4
Cho (x,y)(0,0) theo phơng của đờng thẳng y=kx ta có:

22
0
0
)sin(
lim
yx
xy
y
x
+


=
222
2
0
22
2
0
1)1(
lim
)1(
sin
lim
k
k
xk
kx
xk

kx
xx
+
=
+
=
+

Vậy khi (x,y)(0,0) theo những phơng khác nhau ta đợc những giới hạn khác nhau, nên hàm đã cho
không có giới hạn khi (x,y)(0,0).
b.
22
0
0
lim
yx
xy
y
x
+


Hàm số f(x,y)=
22
yx
xy
+
xác định với mọi (x,y)(0,0).
Do
)0,0(),(,1

22

+
yx
yx
x
nên:

yy
yx
x
yx
xy

+
=
+
2222
Vậy
22
0
0
lim
yx
xy
y
x
+

=0
2. Tính liên tục của hàm nhiều biến số
Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x,y)=f(M) xác định trong miền D và M
0
(x
0
,y
0
) là điểm thuộc D. Ta
nói rằng f(M) liên tục tại M
0
nếu tồn tại giới hạn:
)()(lim
0
0
MfMf
MM
=

Cho x
0
và y
0
các số gia tơng ứng
x
và
y
, khi đó biểu thức:
),(),(
0000

yxfyyxxff ++=
gọi là số gia toàn phần của f(x,y) tại (x
0
,y
0
). Ta thấy, f(x,y) liên tục tại (x
0
,y
0
) khi và chỉ khi:
0lim
0
0
=


f
y
x
Nếu f(M) không liên tục tại M
0
thì ta nói nó gián đoạn tại M
0
. Hiển nhiên M
0
là điểm gián đoạn của
f(M) khi:
(i) Hoặc f(M) không xác định tại M
0
.

(ii) Hoặc f(M) xác định tại M
0
nhng không tồn tại giới hạn của f(M) khi MM
0
.
(iii) Hoặc f(M) xác định tại M
0
và tồn tại giới hạn khi MM
0
nhng giới hạn đó khác f(M
0
).
Hàm f(M) đợc gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. Nếu D là miền đóng và
f(M) liên tục trên D thì cũng giống nh hàm một biến, khi đó f(M) bị chặn trên D, nó đạt giá trị lớn nhất
và bé nhất trên miền ấy.
Ví dụ 1.4: Khảo sát tính liên tục của hàm số:
f(x,y)=





=

+
)0,0(),(0
)0,0(),(
22
yxkhi
yxkhi

yx
xy

Trong đó là một số dơng.
Ta thấy, f(x,y) liên tục với mọi (x,y)(0,0) vì nó là thơng của hai hàm liên tục có mẫu số khác
không. Xét tại điểm (0,0), theo bất đẳng thức Côsi ta có:
)(
2
1
22
yxxy +
Do đó
122
)(
2
1
),(

+


yxyxf
Nếu >1 ta có
0),(lim
0
0
=


yxf

y
x
, hay f(x,y) liên tục tại (0,0).
Nếu 1 ta có:
f(x,x)=
)1(22
2
2
1
2



=
xx
x
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
5
không dần đến không khi x0, do đó f(x,y) không liên tục tại (0,0).
1.4 đạo hàm và vi phân
1. Đạo hàm riêng
Định nghĩa 4: Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D và điểm M
0
(x
0
,y
0
)D. Cho y=y
0
cố định,

nếu hàm số một biến số z=f(x,y
0
) có đạo hàm tại x=x
0
thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của f(x,y)
đối với x tại (x
0
,y
0
) và ký hiệu là:
f
x
(x
0
,y
0
) hay z
x
(x
0
,y
0
),
Hoặc
x
yxf

),(
00
hay

x
yxz

),(
00
Nếu cho x
0
số gia
0
xxx =
, khi đó:

),(),(
0000
yxfyxxff
x
+=
gọi là số gia riêng tơng ứng của x tại x
0
. Khi đó ta có:

x
yxfyxxf
x
f
x
yxf
xx
x
x

+
=


=



),(),(
limlim
),(
0000
0
00
0
Tơng tự, nếu cho x=x
0
cố định, nếu f(x
0
, y) có đạo hàm tại y
0
thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng
của f(x,y) tại (x
0
,y
0
) theo y. Ta cũng ký hiệu đạo hàm riêng theo y là:
f
y

(x
0
,y
0
) hay z
y
(x
0
,y
0
),
Hoặc
y
yxf

),(
00
hay
y
yxz

),(
00
Nếu cho y
0
số gia
0
yyy =
, khi đó:

),(),(
0000
yxfyyxff
y
+=
gọi là số gia riêng tơng ứng của y tại y
0
. Khi đó ta có:

y
yxfyyxf
y
f
y
yxf
yy
y
y

+
=


=



),(),(
limlim
),(

0000
0
00
0
Chú ý:
1. Các đạo hàm riêng của hàm số n biến (n3) đợc định nghĩa tơng tự. Hiển nhiên các đạo hàm riêng
của hàm n biến trên D cũng là hàm của n biến trên D.
2. Khi tính đạo hàm riêng của hàm n biến theo một biến nào đó ta coi hàm chỉ phụ thuộc biến đó,
các biến còn lại coi nh không đổi, rồi áp dụng mọi quy tắc đạo hàm cho hàm một biến số.
Ví dụ 1.5: Cho hàm
u=
222
1
ln
zyx ++
Chứng tỏ rằng:
1=


+


+


z
u
z
y
u

y
x
u
x
.
Đặt
222
zyxr ++=
, khi đó u=
r
1
ln
. Do
r
x
r
x
='
nên:
r
r
r
r
r
x
u
x
x
'
'

1
2
=






=


2
r
x
=
Vì u(x,y,z) là hàm đối xứng đối với x,y,z nên ta có:
y
u


2
r
y
=
,
z
u

2
r
z
=
Do đó:
=


+


+


z
u
z
y
u
y
x
u
x
1
2
2
2
2
2
2

2
2
==
r
r
r
z
r
y
r
x
2. Vi phân toàn phần
a. Định nghĩa
Định nghĩa 5: Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D và điểm M
0
(x
0
,y
0
)D. Hàm số z=f(x,y) đợc
gọi là khả vi tại (x
0
,y
0
) nếu số gia toàn phần tại (x
0
,y
0
) có thể biểu diễn dới dạng:
),( yxoyBxAf ++=

Trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc (x
0
,y
0
) mà không phụ thuộc
x
,
y
, còn o(
x
,
y
) là một
vô cùng bé cấp cao hơn
22
)()( yx +=

khi
x
,
y
dần tới không.
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
6
Biểu thức A
x
+B
y
gọi là vi phân toàn phần của f(x,y) tại (x
0

,y
0
), ký hiệu:
df=A
x
+B
y
Nếu z=f(x,y) khả vi tại mọi điểm của miền (mở) D thì ta nói f(x,y) khả vi trên D.
Mệnh đề: Nếu f(x,y) khả vi tại (x
0
,y
0
) thì nó liên tục tại đó.
Thật vậy, nếu f(x,y) khả vi, từ biểu thức:
),( yxoyBxAf ++=
Khi
x
,
y
dần đến không ta có f cũng dần đến không, hay f(x,y) liên tục tại (x
0
,y
0
).
b. Điều kiện khả vi của hàm số
Định lý 1: (Điều kiện cần) Nếu z=f(x,y) khả vi tại (x
0
,y
0
) thì nó có các đạo hàm riêng hữu hạn tại

điểm đó và:
y
y
z
x
x
z
dz


+


=
Chứng minh: Vì z=f(x,y) khả vi tại (x
0
,y
0
), nên:
),( yxoyBxAz ++=
Với y=0 ta có:
x
xo
A
x
xoxA
x
z

+=

+
=

)0,()0,(
Do đó:
A
x
z
x
z
x
=


=


0
lim
Tơng tự ta có:
B
y
z
y
z
x
=

=


0
lim
Nên ta có:
y
y
z
x
x
z
dz


+


=
Tuy nhiên, ngợc lại, nếu z=f(x,y) có các đạo hàm riêng tại (x
0
,y
0
) cha chắc nó đã khả vi tại đó.
Ví dụ 1.6: Xét hàm:
f(x,y)=

=

+
)0,0(),(0
)0,0(),(
sin
22
yxkhi
yxkhi
yx
xy
Tại (x
0
,y
0
)=(0,0) ta có:
f
x
(0,0)
0
)0,0()0,(
lim
0
=


=

x
fxf
x
Tơng tự có: f
y
(0,0)=0.
Tuy nhiên theo ví dụ 1.2, f(x,y) không liên tục tại (0,0) nên nó không khả vi tại đó.
Nh vậy khác với hàm một biến số, đối với hàm nhiều biến số, điều kiện khả vi là mạnh hơn điều kiện
hàm có các đạo hàm riêng tại một điểm. Tuy nhiên, định lý sau đây sẽ cho ta điều kiện để hàm có đạo
hàm riêng tại một điểm thì cũng khả vi tại đó.
Định lý 2: (Điều kiện đủ để hàm khả vi)
Nếu hàm z=f(x,y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M
0
(x
0
,y
0
) và nếu các đạo hàm riêng đó liên
tục tại M
0
(x
0
,y
0
) thì f(x,y) khả vi tại đó.
Chứng minh: Ta có:
),(),(
0000
yxfyyxxfz ++=
=

)],(),([
0000
yyxfyyxxf +++
)],(),([
0000
yxfyyxf ++
áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến ta đợc:
xyyxxfyyxfyyxxf
x
++=+++ ),('),(),(
0100000

yyyxfyxfyyxf
y
+=+ ),('),(),(
2000000

trong đó 0<
1
,
2
<1. Do đó:

yyyxfxyyxxfz
yx
++++= ),('),('
200010

Do f
x

và f
y
liên tục tại M
0
(x
0
,y
0
) nên khi cho x0, y0
ta có:
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
7
),(),('),('
100010
yxyxfyyxxf
xx
+=++

),(),('),('
200200
yxyxfyyxf
yy
+=+

trong đó
0),(
1
yx

,

0),(
2
yx

khi
0, yx
.
Do đó:
),(),('),('
0000
yxoyyxfxyxfz
yx
++=
Hay z=f(x,y) khả vi tại (x
0
,y
0
).
Chú ý: Cũng nh trờng hợp hàm một biến, nếu x,y là các biến độc lập thì x=dx, y=dy do đó ta
có thể viết:
dyzdxzdz
yx
'' +=
và các công thức trên cũng đợc mở rộng cho hàm n biến.
Ví dụ 1.7: Tính vi phân toàn phần của
y
x
arctgz =
Do
22

'
yx
y
z
x
+
=
,
22
'
yx
x
z
y
+
=
Nên với (x,y)(0,0) ta có:
dy
yx
x
dx
yx
y
dz
2222
+

+
=
c. ứng dụng vi phân tính gần đúng

Tơng tự nh hàm một biến số, từ định nghĩa vi phân toàn phần ta có công thức tính gần đúng:

yyxfxyxfyxfyyxxf
yx
++++ ),('),('),(),(
00000000
Ví dụ 1.8: Tính gần đúng
95,0
02,1
arctg
Chọn z=
y
x
arctg
, (x
0
,y
0
)=(1,1), x=0,02, y=-0,05. Theo ví dụ 1.7 ta có:
22
'
yx
y
z
x
+
=
,
22
'

yx
x
z
y
+
=
, nên:

95,0
02,1
arctg
82,0035,0
4
)05,0(
2
1
02,0
2
1
1 +=+

arctg
3. Đạo hàm của hàm hợp
a. Hàm hợp của hàm hai biến
Giả sử z=f(u,v), trong đó u, v là hàm của hai biến độc lập x,y:



=
=

),(
),(
yxvv
yxuu
Khi đó ta nói z là hàm hợp của hai biến x,y và viết:
z=f(u(x,y),v(x,y))
Chúng ta có công thức tính đạo hàm của hàm hợp từ định lý sau:
Định lý 3: Nếu f có các đạo hàm riêng
u
f


,
v
f


liên tục trong trên miền và nếu u, v có các đạo hàm
riêng
x
u


,
y
u


,
x

v


,
y
v


liên tục trong miền D, u(D) và v(D) thì khi đó trên D tồn tại các đạo hàm
riêng
x
z


,
y
z


và:

+




=






+




=


y
v
v
f
y
u
u
f
y

z
x
v
v
f
x
u
u
f
x
z
(2)
Công thức (2) có thể viết dới dạng sau:
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
8

y
z
x
z
=




















y
v
y
u

x
v
x
u
















v
f
u
f
(3)
Ma trận:

y
v
y
u
x
v
x
u

và gọi là ma trận Jacôbi của u,v đối với x,y còn định thức của nó gọi là định thức Jacôbi, ký hiệu:
=
),(
),(
yxD

vuD
y
v
y
u
x
v
x
u








(4)
Ví dụ 1.9: Tính các đạo hàm riêng của hàm hợp cho bởi:
z=e
u
ln(u+v)
với



+=
=
22
2

yxv
xyu
Ta có: z
u
=e
u
[ln(u+v)+
vu +
1
]
z
v
=e
u
vu +
1
, u
x
=2y, v
x
=2x
Vậy ta có:

x
v
v
f
x
u
u

f
x
z




+




=


=e
u
y
vu
vu 2
1
)ln(






+
++

+e
u
vu +
1
2x
=






+
++
)(
2
)ln(
42
yx
yxye
xy
Do tính đối xứng của x,y trong biểu thức, tơng tự ta có:






+
++=

)(
2
)ln(
42
yx
yxxe
y
z
xy
b. Hàm hợp của hàm một biến
Xét trờng hợp z=f(x,y), trong đó x,y đều là hàm của biến độc lập t:



=
=
)(
)(
tyy
txx
Khi đó z=f(x(t),y(t)) là hàm hợp một biến t, nên nó có đạo hàm theo t. Đây cũng chính là trờng hợp
riêng của trờng hợp trên với u=x, v=y còn x=y=t. áp dụng công thức ta có:
dt
dy
y
f
dt
dx

x
f
dt
dz


+


=
(5)
Ví dụ 1.10: Cho z=sin(x
2
+y
2
) với:





=
=
tay
tax
3
3
sin
cos
Ta có:

)cos(2
22
yxx
x
z
+=


,
)cos(2
22
yxy
y
z
+=


ttax
t
2
cossin3' =
ttay
t
2
sincos3' =
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
9
dt
dy
y

z
dt
dx
x
z
dt
dz


+


=
=
( )
]cos.[sin2sin.sincoscos3
4462622
ttttataa +
Xét trờng hợp z=f(x,y), trong đó x là biến độc lập, còn y=y(x) là hàm của x, khi đó z=f(x,y(x)) là
truờng hợp riêng của trờng hợp trên với t=x, nên ta có:
dx
dy
y
f
x
f
dx
dz

+


=
(6)
Ví dụ 1.11: Cho
y
x
z arcsin=
,
11
y
x
và y=x
2
Ta có:
22
2
2
1
1
1
xy
y
x
y
x
z

=

=


22
2
2
2
1
xyy
x
y
x
y
x
y
z

=

=


Do y
x
=2x nên:
dx
dy
y
f

x
f
dx
dz


+


=
=








y
x
xy
2
22
2
1
1
=
24
1

xx

4. Đạo hàm của hàm ẩn
a. Điều kiện tồn tại hàm ẩn
Ta thấy, biểu thức:
F(x,y)=0 (7)
có thể xác định một hoặc nhiều hàm ẩn y=y(x). Biểu thức:
F(x,y,z)=0 (8)
có thể xác định một hoặc nhiều hàm ẩn hai biến z=z(x,y). Hệ thức:



=
=
0),,,,(
0),,,,(
vuzyxG
vuzyxF
(9)
có thể xác định một hoặc nhiều cặp hàm ẩn u=u(z,y,z), v=v(x,y,z).
Ta thừa nhận các định lý sau về sự tồn tại, tính liên tục và khả vi của các hàm số ẩn.
Định lý 4: Giả sử F(x
0
,y
0
)=0, nếu hàm số F(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của điểm
M
0
(x
0

,y
0
) và nếu F
y
(M
0
)0 thì hệ thức F(x,y)=0 xác định một hàm ẩn y=y(x) trong một lân cận nào đó
của x
0
, hàm số đó có giá trị y
0
khi x=x
0
, liên tục và có đạo hàm liên tục tại lân cận nói trên.
Định lý 5: Giả sử F(x
0
,y
0
,z
0
)=0, nếu hàm số F(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của điểm
M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) và nếu F

z
(M
0
)0 thì hệ thức F(x,y,z)=0 xác định một hàm ẩn z=z(x,y) trong một lân cận
nào đó của (x
0
,y
0
), hàm số đó có giá trị z
0
khi (x,y)=(x
0
,y
0
) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục tại
lân cận nói trên.
Định lý 6: Giả sử:



=
=
0),,,,(
0),,,,(
00000
00000
vuzyxG
vuzyxF
Nếu các hàm số F(x,y,z,u,v) và G(x,y,z,u,v) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của điểm
M

0
(x
0
,y
0
,z
0
,u
0
,v
0
) và nếu tại các điểm ấy định thức Jacôbi:
0
''
''
),(
),(
=
vu
vu
GG
FF
vuD
GFD
(10)
thì hệ thức:



=

=
0),,,,(
0),,,,(
vuzyxG
vuzyxF
xác định hai hàm ẩn u=u(x,y,z) và v=v(x,y,z) trong lân cận nào đó của điểm (x
0
,y
0
,z
0
), chúng có giá trị
tơng ứng là u=u
0
, v=v
0
khi (x,y,z)=(x
0
,y
0
,z
0
), chúng liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân
cận đó.
b. Đạo hàm của hàm ẩn
Giả sử các điều kiện của các định lý trên đợc thoả mãn.
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
10
(i) Từ biểu thức (7) lấy đạo hàm riêng hai vế theo x:
0=

+


dx
dy
y
F
x
F
Từ đó ta đợc:
),('
),('
yxF
yxF
dx
dy
y
x
=
(11)
Ví dụ 1.12: Chứng tỏ phơng trình tiếp tuyến tại (x
0
,y
0
) trên Elip:
1
2
2

2
2
=+
b
y
a
x
là:
1
2
0
2
0
=+
b
yy
a
xx
Đặt F(x,y)=
1
2
2
2
2
+
b
y
a
x
ta có:

F
x
=
2
2
a
x
, F
y
=
2
2
b
y
Do đó:
y
x
a
b
F
F
dx
dy
y
x
2
2
'
'
==

Khi đó phơng trình tiếp tuyến tại (x
0
,y
0
) trên Elip là:
(y-y
0
)=
)(
0
0
0
2
2
xx
y
x
a
b

Hay
1
2
0
2
0
=+
b
yy
a

xx
(ii) Từ biểu thức (8) lần lợt lấy đạo hàm riêng hai vế theo x, y ta đợc:
0=




+


x
z
z
F
x
F
0=




+


y
z
z
F
y
F

Từ đó ta đợc:
),,('
),,('
zyxF
zyxF
x
z
z
x
=


(12)
),,('
),,('
zyxF
zyxF
y
z
z
y
=


(13)
Ví dụ 1.13: Tính các đạo hàm riêng của z theo x, y của hàm:
222
2
zy
x

z =+
Ta có: F(x,y,z)=
0
2
222
=+ zy
x
z
F
x
=
2
2
x

, F
y
=
22
zy
y


, F
z
=2z+
22
zy
z

Vậy:






+

==


222
22
21
2
'
'
zyzx
zy
F
F
x
z
z
x

+
==


22
21
'
'
zyz
y
F
F
y
z
z
y
(iii) Từ hệ thức (9) lần lợt lấy các đạo hàm riêng theo các biến x của hệ ta đợc:
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
11







=

+




+


=




+




+


0
0
x
v
v
G

x
u
u
G
x
G
x
v
v
F
x
u
u
F
x
F
(14)
Hệ (14) là hệ tuyến tính với các đạo hàm riêng
x
v
x
u




,
. Do định thức Jacôbi:
0
''

''
),(
),(
=
vu
vu
GG
FF
vuD
GFD
(x,y,z)D
Hệ phơng trình sẽ cho nghiệm duy nhất:
),(
),(
),(
),(
vuD
GFD
vxD
GFD
x
u
=


,
),(
),(
),(
),(

vuD
GFD
uxD
GFD
x
v
=


, (15)
Thay x bởi y, hoặc z ta có các đạo hàm riêng theo y và theo z.
Ví dụ 1.14: Cho hệ hàm ẩn u, v xác định bởi:



++=
++=+
222
zyxuv
zyxvu
Tìm các đạo hàm riêng cấp một của chúng theo x.
Ta có:



++=
++=
uvzyxG
vuzyxF
222

vu
u
v
vuD
GFD
=


=
1
1
),(
),(
,
xu
u
x
vxD
GFD
2
1
21
),(
),(
+=

=
Do đó ta có:
vu

xu
vu
xu
x
u


=

+
=

22
Do tính đối xứng ta có:
uv
xv
vu
xv
x
u


=

+
=

22
5. Đạo hàm theo hớng
Giả sử u=u(x,y,z) là hàm xác định trên miền DR

3
. Cho điểm M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)D và đờng thẳng đi qua
M
0
với véc tơ chỉ phơng là véc tơ đơn vị
)cos,cos,(cos

=

l
(Hình 4)
Hình 4
M là điểm trên đờng thẳng, gọi là độ dài đại số của
MM
0
, khi đó:
MM
0
=

l
. Nếu khi 0 hay M

dần đến M
0
theo hớng

l
mà tỷ số:

)()(
0
MuMu
u

=

Hunh Ngc Cm -T internet Trang
12
dần đến một giới hạn hữu hạn thì giới hạn ấy đợc gọi là đạo hàm của hàm u(x,y,z) theo hớng

l
, ký
hiệu:



l
Mu )(
0
.
Hiển nhiên đạo hàm của u(x,y,z) theo hớng

l
, biểu thị tốc độ biến thiên của u theo

l
.
Định lý 7: Nếu hàm u=u(x,y,z) khả vi tại M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) thì tại điểm ấy nó có đạo hàm theo mọi hớng

l
và ta có:




l
Mu )(
0
=

cos
)(
cos
)(

cos
)(
000
z
Mu
y
Mu
x
Mu


+


+


Chứng minh: Vì u(x,y,z) khả vi tại M
0
nên:
)()(
0
MuMuu =
=
)(
)()()(
000

oz
z

Mu
y
y
Mu
x
x
Mu
+


+


+


trong đó o() là vô cùng bé bậc cao hơn . Do:
x=cos, y=cos, z=cos
nên:


u
=



)(
cos
)(
cos

)(
cos
)(
000
o
z
Mu
y
Mu
x
Mu
+


+


+


Chuyển qua giới hạn khi 0 ta đợc biểu thức cần chứng minh.
Tại M(x,y,z), ký hiệu:

=


+


+


=

z
u
y
u
x
u
k
z
Mu
j
y
Mu

i
x
Mu
MuGrad ,,
)()()(
)(
đọc là Građiên của u tại M(x,y,z). Khi đó ta có:




l
Mu )(
0
=

cos
)(
cos
)(
cos
)(
000
z
Mu
y
Mu
x
Mu

+


+


Hay



l
Mu )(
0
=

lugrad .
=
)(
0
MuGradch
l

(16)
Từ (16) ta thấy theo hớng
)(
0
MuGrad
tốc độ biến thiên của hàm số qua M
0

là lớn nhất.
Hiển nhiên ta có các đạo hàm riêng
x
u


,
y
u


,
z
u


là các đạo hàm theo hớng là các trục Ox, Oy, Oz.
Ví dụ 1.15: Cho u=xyz, tìm đạo hàm theo hớng tại M
0
(5,1,2) theo hớng
10
MM
, với M
1
(7,-1,3).
Ta có:
10
MM
=(2,-2,1),
39

10
==MM
, do đó:
3
2
cos =

,
3
2
cos =

,
3
1
cos =

2
0
==


M
yz
x
u
,
10
0
==

M
xz
y
u
,
5
0
==


M
xy
z
u
Vậy
3
11
3
1
5
3
2
10
3
2
.2 =+=

l
u
6. Đạo hàm và vi phân cấp cao
a. Đạo hàm riêng cấp cao
Cho hàm số z=f(x,y), các đạo hàm riêng cấp một z
x
, z
y
của nó hiển nhiên cũng là các hàm của hai
biến x,y. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một này, nếu tồn tại, sẽ đợc gọi là các đạo hàm
riêng cấp hai. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai với ký hiệu là:
2
"
2
2
x
f
x
f
x
f
x
=


=

,
xy
f
yx
f
x
f
y
"
2
=


=

Hunh Ngc Cm -T internet Trang
13
yx
f
yx
f
y
f
x
"
2
=


=












,
2

"
2
2
y
f
y
f
y
f
y
=


=












Tơng tự, các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu có, gọi là các đạo hàm riêng cấp ba.
Trong các đạo hàm riêng cấp hai
2
"

x
f
,
2
"
y
f
gọi là các đạo hàm vuông, còn
xy
f "
,
yx
f "
gọi là các đạo
hàm chữ nhật. Thông thờng, các đạo hàm riêng cấp cao không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, điều
đó đợc chỉ ra bằng định lý sau.
Định lý 8: ( Định lý Schwartz) Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M
0
(x
0
,y
0
) hàm f(x,y) có các
đạo hàm cấp hai
xy
f "
,
yx
f "
và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại M

0
(x
0
,y
0
) thì
xy
f "
(x
0
,y
0
)=
yx
f "
(x
0
,y
0
).
Định lý cũng đúng cho hàm n biến bất kỳ.
Ví dụ 1.16: Cho hàm

+=
y
x
gxyfz )(
với f, g tuỳ ý có đạo hàm riêng cấp hai. Chứng tỏ rằng:
0''""
22
=+
yxyyxx
yzxzzyzx
Ta có:
'
1
'' g
y
yfz
x
+=
,
'''
2
g
y
x
xfz
y
=
"
1
""

2
2
g
y
fyz
xx
+=
,
'
2
"""
34
2
2
g
y
x
g
y
x
fxz
yy
++=
Do
'
2
'' g
y
x
yzxz

yx
=
,
'
2
""
22
g
y
x
zyzx
yyxx
=
nên ta có đẳng thức cần chứng minh.
b. Vi phân toàn phần cấp cao
Vì vi phân toàn phần cấp một:
dz=f
x
dx+f
y
dy
cũng là một hàm của hai biến x,y nên nếu nó khả vi thì vi phân toàn phần của nó đợc gọi là vi phân
toàn phần cấp hai của z và đợc ký hiệu d
2
z. Nh vậy:
d
2
z=d(dz)=d(f
x
dx+f

y
dy)
Tơng tự, vi phân toàn phần cấp ba:
d
3
z=d(d
2
z)

d
n
z=d(d
n-1
z)
và chúng đợc gọi là các vi phân toàn phần cấp cao của z.
Giả sử z=f(x,y) thoả mãn định lý Schwartz, khi đó:
d
2
z=d(f
x
dx+f
y
dy)
=
2
"
x
f
dx
2

+
xy
f "
dxdy+
xy
f "
dydx+
2
"
y
f
dy
2
=
2
"
x
f
dx
2
+2
xy
f "
dxdy+
2
"
y
f
dy
2

Ngời ta thờng dùng ký hiệu tợng trng:
dz=
dy
y
f
dx
x
f
f
dy
dx
dx

+


=









+

Khi đó với các vi phân toàn phần cấp cao ta có:
d

2
z=
fdy
y
dx
x
2










+



d
n
z=
fdy
y
dx
x
n

+


Ví dụ 1.17: Cho z=arctg
y
x
, tính d
2
z và d
2
z(0,1).
Ta có: z
x
=
22
yx
y
+
, z
y
=

22
yx
x
+

z
xx
=
222
)(
2
yx
xy
+

, z
yy
=
222
)(
2
yx
xy
+
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
14
z
xy
=
22

1
yx +
222
2
)(
2
yx
y
+

=
222
22
)( yx
yx
+

Do vậy:
d
2
z=
222
)(
2
yx
xy
+

dx
2

+2
222
22
)( yx
yx
+

dxdy+
222
)(
2
yx
xy
+
dy
2
d
2
z(0,1)=-2dxdy
c. Công thức Taylo
Công thức Taylo cho hàm nhiều biến cũng đợc mở rộng từ hàm một biến bằng định lý sau:
Định lý 9: Giả sử hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n+1) liên tục trong một lân cận nào đó
của điểm M
0
(x
0
,y
0
). Nếu điểm M(x
0

+x,y
0
+y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có:

),(),(),(
000000
yxdfyxfyyxxf +=++
++
!2
),(
00
2
yxfd

)!1(
),(
!
),(

00
1
00
+
++
++
+
n
yyxxfd
n
yxfd

nn

Trong đó: (0<<1), dx=x, dy=y.
Nếu (x
0
,y
0
)=(0,0) ta có công thức Maclôranh.
Ví dụ 1.18: Tìm công thức xấp xỉ chính xác đến bậc hai của hàm:
f(x,y)=
yx
yx
arctg
+
++
1
1
Ta thấy f(x,y) có các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục. Ta có:
f(0,0)=arctg1=
4

df=
22
)1()1(
2)1(2
yxyx
xdydxy
++++
+
df(0,0)=dx

d
2
f=
[ ]
2
22
)1()1(
)])(1())(1][()1[(4
yxyx
dydxyxdydxyxxdydxy
++++
+++++++
d
2
f(0,0)=-2dxdy
Sử dụng công thức Maclôranh:
f(x,y)=f(0,0)+df(0,0)+
2
1
d
2
f(0,0)+
với dx=x, dy=y ta đợc:
yx
yx
arctg
+
++
1
1

24
xy
x +

7. Tiếp diện và pháp tuyến của mặt
a. Hàm véc tơ phụ thuộc tham số
Xét hệ ba hàm phụ thuộc tham số:





=
=
=
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
t[t
0
,T]
Với mỗi t[t
0
,T], ta có điểm M(x(t),y(t),z(t))R
3
, xét véc tơ:

++== ktzjtyitxOMtr )()()()(
(17)
Đó là một hàm véc tơ phụ thuộc tham số vô hớng t. Khi t chạy trên [t
0
,T], điểm M sẽ vẽ lên một đờng
cong L trong không gian gọi là tốc đồ của
)(tr

.
Gọi
)()(
0
trtrr

=
là số gia tơng ứng với số gia
0
ttt =
. Khi đó, nếu tồn tại giới hạn:
)('lim
0
0
tr
t
r
tt

=


Hunh Ngc Cm -T internet Trang
15
thì
)('
0
tr

gọi là đạo hàm của hàm véc tơ tại t
0
.
Gọi
)(' tr

là đạo hàm của
)(tr

tại t, từ (1) ta dễ dàng chứng minh đợc:

++= ktzjtyitxtr )(')(')(')('
Biểu diễn bằng hình vẽ (Hình 5), trên tốc đồ ta có:
Hình 5

00
)( OMtr =

,
OMtr =

)(
,
MMrrr
00
==

Véc tơ
t
r



là một hàm véc tơ nằm theo dây cung M
0
M. Khi
0
tt
, M dần đến M
0
trên đờng cong L,
phơng của dây cung M
0
M dần đến trùng với phơng của tiếp tuyến M
0
T của đờng cong tại tiếp điểm M
0
nếu tiếp tuyến này tồn tại.
Nh vậy đạo hàm:

++= ktzjtyitxtr )(')(')(')('
(18)
là véc tơ có phơng nằm theo tiếp tuyến với tốc đồ L của hàm véc tơ
)(tr

tại điểm M(x(t),y(t),z(t)) với
các chiếu trên các trục toạ độ tơng ứng là: x(t), y(t), z(t).
b. Tiếp tuyến và pháp diện của đờng cong
Xét M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) trên đờng cong L có phơng trình tham số:





=
=
=
)(
)(
)(
tzz

tyy
txx
t[t
0
,T]
Theo (18)

++= ktzjtyitxtr )(')(')(')('
0000
là véc tơ chỉ phơng của tiếp tuyến tại M
0
, do đó phơng
trình của tiếp tuyến với đờng cong tại M
0
là:
)(')(')('
0
0
0
0
0
0
tz
zz
ty
yy
tx
xx
=

=

(19)
Ta gọi mặt phẳng đi qua M
0
và vuông góc với tiếp tuyến của đờng cong tại M
0
là mặt phẳng pháp
diện của đờng cong tại M
0
. Ta thấy, mặt phẳng pháp diện có véc tơ pháp:

++= ktzjtyitxtr )(')(')(')('
0000
nên nó có phơng trình:
(x-x
0
).x(t
0
)+(y-y
0
).y(t
0
)+(z-z
0
).z(t
0
)=0 (20)
Nếu đờng cong nằm trong mặt phẳng Oxy và có phơng trình F(x,y)=0, khi đó do:
y

x
x
F
F
y
'
'
' =
nên
véc tơ:












=

y
F
x
F
n ,
là véc tơ pháp của tiếp tuyến. Nếu đờng cong có phơng trình y=f(x), khi đó véc tơ pháp của tiếp tuyến

có các cosin chỉ phơng là:
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
16

( )








++
=
22
'1
'
,
'1
1
cos,cos
x
x
x
f
f
f

Ví dụ 1.19: Tìm các cosin chỉ phơng của véc tơ pháp của tiếp tuyến tại điểm (x,y) của đờng tròn đơn

vị: x
2
+y
2
=1.
Đặt F(x,y)=x
2
+y
2
-1 , ta có:
y
y
F
x
x
F
2,2 =


=


Do đó
( ) ( )
yx
yx
y
yx
x
,

44
2
,
44
2
cos,cos
2222
=








++
=

Nh vậy, trên đờng tròn đơn vị pháp tuyến tại mỗi điểm có các cosin chỉ phơng bằng hoành độ và tung
độ tơng ứng của điểm.
c. Pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong
Cho mặt cong S có phơng trình:
F(x,y,z)=0 (21)
Một đờng thẳng đợc gọi là tiếp tuyến của mặt S tại điểm M
0
thuộc S nếu nó là tiếp tuyến của một đ-
ờng cong nào đó nằm trên S và đi qua M
0
.

Tại mỗi M
0
thuộc S nói chung có vô số đờng cong nằm trong S đi qua, cho nên tại mỗi M
0
thuộc S có
vô số tiếp tuyến khác nhau. M
0
đợc gọi là điểm bình thờng nếu tại đó cả ba đạo hàm riêng F
x
(x,y,z),
F
y
(x,y,z), F
z
(x,y,z) đều tồn tại, liên tục và không đồng thòi triệt tiêu. Một điểm không bình thờng đợc
gọi là điểm kỳ dị trên mặt cong. Nếu M
0
là điểm bình thờng ta kết quả sau:
Định lý 10: Quỹ tích của mọi tiếp tuyến của mặt S tại mọi điểm bình thờng của S là một mặt phẳng
đi qua nó.
Chứng minh: Giả sử L là một đờng cong nào đó thuộc S có phơng trình:





=
=
=
)(

)(
)(
tzz
tyy
txx
t[t
0
,T]
đi qua điểm bình thờng M
0
((t
0
) của S. Khi đó tiếp tuyến của L tại M
0
có phơng trình:
)(')(')('
0
0
0
0
0
0
tz
zz
ty
yy
tx
xx
=

=

với véc tơ chỉ phơng
)}('),('),('{
0000
tztytxn =

. Vì L thuộc S nên x(t), y(t), z(t) thoả mãn phơng trình:
F[x(t),y(t),z(t)]=0
Đạo hàm hai vế theo t ta đợc:
0)(')(')(' =


+


+


tz
z
F
ty
y
F
tx
x
F

Chứng tỏ

=
z
F
y
F
x
F
FGrad ,,
vuông góc với véc tơ
{ }
)('),('),(')( tztytxtn =

. Tại M
0
0
,,

tt
z
F
y
F
x
F
FGrad
=














=
vuông góc với véc tơ
)}('),('),('{
0000
tztytxn =

.

Tại M
0
,
)(
0
MFGrag
là véc tơ xác định nên mọi tiếp tuyến của S đi qua M
0
đều vuông góc với
)(
0
MFGrag
nên chúng phải cùng nằm trên mặt phẳng đi qua M
0
và vuông góc với
)(
0
MFGrag
.
Mặt phẳng chứa mọi tiếp tuyến của S đi qua M
0
gọi là mặt tiếp diện của S tại M
0
. Đờng thẳng đi qua
M
0
và vuông góc với mặt tiếp diện tại đó gọi là pháp tuyến của mặt S tại M
0
(hình 6).
Hunh Ngc Cm -T internet Trang

17
Hình 6
Chúng ta thấy véc tơ pháp của mặt tiếp diện tại M thuộc S cũng chính là véc tơ chỉ phơng của pháp
tuyến tại M, và là:














=
z
F
y
F
x
F
FGrad ,,
Đặt
222
)'()'()'(
zyx

FFFr ++=
Khi đó nó có các cosin chỉ phơng tơng ứng:
( )
=

cos,cos,cos
=
FGrad
FGrad








r
F
r
F
r
F
z
y
x
'
,
'
,

'
Nếu mặt S có phơng trình z=f(x,y), ta có:

22
''1
'
cos
yx
x
ff
f
++
=

22
''1
'
cos
yx
y
ff
f
++
=

22
''1
1
cos
yx

ff ++
=

Do đó tại M
0
(x
0
,y
0
,z
0
) thuộc S ta có phơng trình pháp tuyến là:
),,('),,('),,('
000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx

=

=

và phơng trình tiếp diện là:
(x-x
0
)F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)+(y-y
0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)+(z-z
0
)F
z
(x
0
,y
0

,z
0
)=0
Ví dụ 1.20: Viết phơng trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt x
2
+z
2
=y, tìm góc giữa pháp tuyến và
trục Oy tại M
0
(1,2,1).
Ta có: F(x,y,z)=x
2
-y+z
2
=0 nên:
F
x
=2x, F
y
=-1, F
z
=2z
Tại M
0
có
=)1,2,1(Fgrad
(2,-1,2). Do đó:
(i) Phơng trình của tiếp diện:
2(x-1)-(y-2)+2(z-1)=0

hay 2x-y+2z-2=0
(ii) Phơng trình của pháp tuyến
2
1
1
2
12
1
=


=

zyx
(iii) Góc giữa pháp tuyến và trục Oy là:
3
1
9
1
cos ==

1.4 Cực trị của hàm nhiều biến
1. Cực trị không điều kiện
Định nghĩa 6: Cho hàm z=f(x,y) xác định trong miền D và điểm M
0
(x
0
,y
0
)D. Ta nói rằng f(x,y) đạt

cực trị tại M
0
(x
0
,y
0
), nếu tồn tại một lân cận nào đó của M
0
(x
0
,y
0
), mà f(M)-f(M
0
) có dấu không đổi với
mọi điểm M(x,y) khác M
0
thuộc lân cận.
Nếu f(M)-f(M
0
)>0 ta có điểm cực tiểu, nếu f(M)-f(M
0
)<0 ta có điểm cực đại.
Các điểm cực trị theo định nghĩa là cực trị địa phơng. Nh vậy trên D hàm f(x,y) có thể có nhiều cực
trị.
Định lý 11:( Điều kiện cần để hàm đạt cực trị)
Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại M
0
(x
0

,y
0
) mà tại đó có các đạo hàm riêng f
x
(x
0
,y
0
), f
y
(x
0
,y
0
) thì các
đạo hàm đó bằng không.
Thật vậy, vì f(x,y) đạt cực trị tại (x
0
,y
0
) nên các hàm một biến f(x,y
0
) và f(x
0
,y) cũng đạt cực trị tại x
0
và y
0
vì vậy theo định lý Fecma ta có f
x

(x
0
,y
0
)=0 và f
y
(x
0
,y
0
)=0.
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
18
Nh vậy, nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng trên D, thì các điểm cực trị trên D phải thoả mãn hệ phơng
trình:



=
=
0),('
0),('
yxf
yxf
y
x

Những điểm thoả mãn hệ trên gọi là các điểm dừng, hay điểm tới hạn, nó giúp ta thu hẹp việc tìm
các điểm cực trị.
Định lý 12: (Điều kiện đủ để hàm đạt cực trị)

Giả sử hàm z=f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của
điểm M
0
(x
0
,y
0
) và:



=
=
0),('
0),('
00
00
yxf
yxf
y
x
Khi đó, đặt A=
),(
00
"
yxf
xx
, B=
),(
00

"
yxf
xy
, C=
),(
00
"
yxf
yy
thì:
(i) Nếu B
2
-AC<0 thì M
0
(x
0
,y
0
) là điểm cực trị, khi đó:
+ Nếu A<0 thì M
0
(x
0
,y
0
) là điểm cực đại.
+ Nếu A>0 thì M
0
(x
0

,y
0
) là điểm cực tiểu.
(ii) Nếu B
2
-AC>0 thì M
0
(x
0
,y
0
) không là điểm cực trị.
(iii) Nếu B
2
-AC=0 thì cha thể kết luận về M
0
(x
0
,y
0
).
Chứng minh: Giả sử M
( )
yyxx ++
00
,
thuộc lân cận M
0
(x
0

,y
0
). Đặt =f(M)-f(M
0
), theo công thức
Taylo ta có:
),()2(
2
1
22
yxoyCyxBxA +++=
Ta thấy khi x, y khá nhỏ thì cùng dấu với:
G=
22
2 yCyxBxA ++
Nếu y0, đặt u=
y
x


xét tam thức bậc hai:
Au
2
+2Bu+C
Giả sử B
2
-AC<0, tam thức bậc hai Au
2
+2Bu+C luôn cùng dấu với A, do đó cũng luôn cùng dấu với
A.

Nếu y=0 ta có G=Ax
2
cũng luôn cùng dấu với A. Nh vậy ta luôn có f(M)-f(M
0
) luôn cùng dấu với
A, vậy nếu A<0 ta có cực đại, nếu A>0 ta có cực tiểu.
Giả sử B
2
-AC>0, tam thức bậc hai Au
2
+2Bu+C đổi dấu khi u biến thiên, do đó đổi dấu nên f(x,y)
không có cực trị tại M
0
.
Giả sử B
2
-AC=0, tam thức bậc hai Au
2
+2Bu+C có nghiệm kép u
0
. Ta không xét trờng hợp này.
Ví dụ 1.21: Tìm cực trị của hàm số
22
1 yxxyz =
Hàm số xác định trên hình tròn x
2
+y
2
1. Đặt u=
22

1 yx
ta có u
x
=
u
x

, u
y
=
u
y

, do đó:







==
==
0)('
0)('
22
22
yu
u
x

z
xu
u
y
z
y
x
có các nghiệm:
M
1
(0,0), M
2








3
1
,
3
1
, M
3

3
1
,
3
1
,
M
4









3
1
,
3
1
, M
5

3
1
,
3
1
Vì z là hàm lẻ với từng biến nên ta chỉ cần xét các điểm M
1
, M
2
.

=
"
xx
z
u
xy
u
yx 3
3
3

u
xy
u
xy
z
yy
3
3
3
"
=
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
19
3
2222
"
u
yx
u
yx
uz
xy

+
=
Tại M
1
ta có:

A=C=0, B=1. B
2
-AC>0
nên không là điểm cực trị,
Tại M
2
ta có:
A=C=
3
4

, B=
3
2


và B
2
-AC=
04
3
16
3
4
<=
Vậy M
2
là điểm cực đại với z
max
=

33
1
. Tơng tự M
5
là điểm cực đại với z
max
=
33
1
, M
3
, M
4
là điểm
cực tiểu với z
min
=
33
1

.
2. Cực trị có điều kiện
Ta gọi cực trị của hàm số
z=f(x,y) (22)
trong đó (x,y) bị ràng buộc bởi hệ thức
(x,y)=0 (23)
là cực trị có điều kiện.
Ta thấy (23) là phơng trình của đờng cong trong mặt phẳng, nh vậy cực trị có điều kiện chính là cực
trị của hàm (22) trên một đờng cong.
Nếu từ (23) ta rút đợc y theo x để có hàm hiện y=y(x), khi đó (22) trở thành z=f(x,y(x)) là hàm một

biến số, do đó ta có thể dùng cực trị hàm một biến để tìm cực trị có ràng buộc.
Trong trờng hợp chung ta có thể dùng phơng pháp nhân tử Lagrange dựa vào định lý sau.
Định lý 13: ( Điều kiện cần của cực trị có điều kiện)
Gỉa sử M
0
(x
0
,y
0
) là điểm cực trị có điều kiện của hàm (22) với điều kiện (23). Nếu
(i) ở lân cận M
0
các hàm số f(x,y) và (x,y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục.
(ii) các đạo hàm riêng
x
,
y
không đồng thời bằng không tại M
0
.
Khi đó tại M
0
có:
0
''
''
=
yx
yx
ff

(24)
Chứng minh: Vì hệ thức (23) xác định một hàm ẩn y=y(x) khả vi ở lân cận x
0
. Thay y=y(x) vào (22),
hàm một biến z=f(x,y(x)) đạt cực trị tại x
0
nên:
f
x
(x
0
,y
0
)+f
y
(x
0
,y
0
)y(x
0
)=0
hay f
x
(x
0
,y
0
)dx+f

y
(x
0
,y
0
)dy=0
Lấy vi phân hai vế của (23) ta đợc:

x
(x
0
,y
0
)dx+
y
(x
0
,y
0
)dy=0
Ta đợc hệ tuyến tính thuần nhất đối với dx, dy và hệ có nghiệm không tầm thờng, do đó nó có định thức
bằng không:
0
''
''
=
yx
yx
ff

Chú ý: Hệ thức (24) có thể biểu diễn dới các dạng:
1.
y
y
x
x
f
f
'
'
'
'

=
(25)
2. Hệ thức (24) là điều kiện cần và đủ để hệ



=+
=+
0),('),('
0),('),('
0000
0000
yxyxf
yxyxf
yy
xx

có nghiệm không tầm thờng (1, ). Nh vậy, hệ:





=
=+
=+
0),(
0),('),('
0),('),('
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx



(26)
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
20
cho phép ta tìm và điểm tới hạn (x
0
,y
0
). Số đợc gọi là nhân tử Lagrange, còn phơng pháp tìm điểm
tới hạn (x

0
,y
0
) nh trên gọi là phơng pháp nhân tử Lagrange.
3. Để xét xem điểm tới hạn M
0
(x
0
,y
0
) có là điểm cực trị có điều kiện hay không ta dựa vào ý nghĩa
thực tế của bài toán, hoặc dựa vào hàm bổ trợ:
F(x,y)=f(x,y)+(x,y) (27)
Trong đó là nhân tử Lagrange. Nếu
0),('
00
yx
x

ta có:
),('
),('
00
00
yx
yxf
x
x

=
Tính:
d
2
F(x
0
,y
0
)=
),(
2
2
22
2
2
2
00
2
yx
dy
y
F
dxdy
yx
F
dx
x
F

+


+


(28)
Khi đó:
(i) Nếu:
d
2
F(x
0
,y
0
)<0 (29)
thì M
0
(x
0
,y
0
) là điểm cực đại có điều kiện.
(ii) Nếu:

d
2
F(x
0
,y
0
)>0 (30)
thì M
0
(x
0
,y
0
) là điểm cực tiểu có điều kiện.
(iii) Nếu:
d
2
F(x
0
,y
0
)=0 (31)
thì cha có kết luận.
Ví dụ 1.22: Tìm cực trị của hàm
z=x
2
+y
2

với điều kiện: ax+by+c=0 (c0)

Theo điều kiện (25) ta có:
b
y
a
x
=
Giải hệ phơng trình:





=++
=
0cbyax
b
y
a
x
ta đuợc điểm tới hạn M
0






+

+

2222
,
ba
bc
ba
ac
.
Theo ý nghĩa hình học, biểu thức z=x
2
+y
2
là khoảng cách từ M(x,y) đến gốc toạ độ, nên bài toán của
chúng ta là tìm khoảng cách ngắn nhất từ gốc toạ độ đến đờng thẳng ax+by+c=0. Do đó, M
0
chính là
chân đờng vuông góc hạ từ O xuống đờng thẳng, vậy M
0
là điểm cực tiểu (Hình 7).
Hình 7
Ta cũng có thể dùng hàm bổ trợ:
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
=x
2
+y
2
+(ax+by+c)
Khi đó:
F
x

=2x+a, F
xx
=2, F
xy
=0, F
yy
=2
Do đó d
2
F=2(dx
2
+dy
2
)>0 nên M
0
là điểm cực tiểu.
3. Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm trên miền đóng
Cũng nh hàm một biến số, nếu hàm hai biến f(x,y) liên tục trên miền đóng D thì nó có giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất trên D. Vì giá trị lớn nhất và bé nhất của f(x,y) trong miền D cũng là những
điểm tới hạn bên trong D hoặc nằm trên biên của D. Vì vậy, để tìm những điểm có giá trị lớn nhất và
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
21
giá trị nhỏ nhất trên miền D ta đi tìm các điểm tới hạn của f(x,y) nằm trong D, tính giá trị của hàm tại
các điểm đó, đồng thời tìm cực trị trên biên của D, rồi so sánh chúng với nhau.
Ta thấy rằng các điểm tới hạn bên trong D là các điểm tới hạn không điều kiện, nó là nghiệm của hệ:



=
=

0),('
0),('
yxf
yxf
y
x
Nếu biên của D có phơng trình:
(x,y)=0
thì các điểm tới hạn trên biên của D là các điểm tới hạn có điều kiện, ta có thể dựa vào phép tìm cực trị
có điều kiện để tìm nó.
Ví dụ 1.23: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
z=8x
2
+3y
2
+1-(2x
2
+y
2
+1)
2
trên miền đóng xác định bởi: x
2
+y
2
1.
Xét trên miền: x
2
+y
2

<1 ta có:





==++=
==++=
0)241(22)12(26'
0)21(84)12(216'
2222
2222
yxyyyxyf
yxxxyxxf
y
x
Các điểm tới hạn nằm trong miền D:
M
0
(0,0), M
1








2

1
,0
, M
2









2
1
,0
, M
3








0,
2
1
, M

4








0,
2
1
Ta có:
z(M
0
)=0, z(M
1
)=z(M
2
)=
4
1
, z(M
3
)=z(M
4
)=1
Tìm các điểm tới hạn với ràng buộc: x
2
+y

2
=1.
Ta có: y
2
=1-x
2
, thay vào hàm z ta có:
z = 8x
2
+3(1-x
2
)+1-[2x
2
+(1-x
2
)+1]
2
= -x
4
+x
2
=x
2
(1-x
2
)
Ta phải tìm cực trị với: -1x1. Ta thấy hàm đạt trị nhỏ nhất bằng không khi x=1, và đạt giá trị
lớn nhất bằng
4
1

khi x=
2
1

.
So sánh các giá trị tìm đợc ta thấy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất m=0 khi (x,y)=(1,0) hoặc
(x,y)=(0,0), và giá trị lớn nhất M=1, tại (x,y)=






0,
2
1
.
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
22
Bài tập chơng 1
1. Cho f(x,y)=xy+
y
x
, tính
)3,
2
1
(f
2. Cho f(x,y)=
xy

yx
2
22

, tính








yx
f
1
,
1
3. Tìm hàm f(x) nếu
y
yx
x
y
f
22
+
=

(y>0).
4. Tìm f(x,y) nếu f(x+y,x-y)=xy-y
2
.
5. Cho z=
( )
1+ xfy
. Tìm z, f nếu biết z=x khi y=1.
6. Tìm miền xác định của hàm số
a. z=
yx sin
b. z=
yx ln
c. z=
yxyx
+
+
11
d. z=
)(sin
22
yx +

e. z=arctg
22
1 yx
yx

+

f. z=arsin
x
y 1
g. u=
22
1ln( yxz +
h. u=
)4ln(
2
222
22
zyx
zyx

++
7. Tìm các giới hạn sau
a.
x
xy
y
x
sin
lim
2
0


b.

22
)1(lim
2
3
0
xyyx
y
y
x
xy
+


+
c.
)(
)cos(1
lim
2222
22
0
0
yxyx
yx
y
x
+
+

d.
)cos1(
1
lim
2
22
0
0
y
y
yx
y
x

++


8. Xét sự liên tục của hàm số
a. f(x,y)=





=

00
0
2
xkhi
xkhi
x
y
xarctg
b. f(x,y)=





=

+

)0,0(),(0
)0,0(),(
sinsin
22
yxkhi
yxkhi
yx
xyyx
9. Tính các đạo hàm riêng cấp một
a. z=ln(x+

)
22
yx +
b. u=
z
y
x
c. u=
z
y
e
xyz
sin
d. u=
222
1
zyx
e
++
10. Chứng minh rằng hàm số z=yln(x
2
-y
2
) thoả mãn phơng trình:
2
'
1
'
1
y

z
z
y
z
x
yx
=+
11. Tìm vi phân toàn phần
a. z=lntg
x
y
b. z=arctg
yx
yx

+
c. u=
zy
x
2
d. u=cos(xy+xz) tại M
0






6
,

6
,1

Hunh Ngc Cm -T internet Trang
23
12. Tính gần đúng
a.
3
22
)05,1()02,3( +
b. ln
( )
4
3
198,003,1 +
13. Tính đạo hàm của các hàm hợp
a. z=
vu
e
2
2

, u=cosxy, v=
22
yx +
b. z=ln(u
2
+v
2
), u=xy, v=

y
x
c. z=arctg
y
x
, x=acos
3
t, y=asin
3
t
d. z=
22
yx +
, y=
x
14. Cho z=arctg
v
u
, u=x+y, v=x-y chứng minh rằng:
22
yx
yx
y
z
x
z
+

=

+


15. Biến đổi phơng trình
yx
yx
dx
dy

+
=
bằng cách chuyển về toạ độ cực:



=
=


sin
cos
ry
rx
16. Tính các đạo hàm của các hàm ẩn
a. Tính y
x
, y
xx
với: x

3
y-y
3
x=a
4
b. Tính y
x
, y
xx
với: sin(x+y)-y=0
c. tính y
x
, y
xx
, y
xxx
với x+y
2
=1
17. Tính đạo hàm hàm ẩn y(x),z(x) xác định bởi hệ:



=++
=++
1
0
222
zyx
zyx

18. Cho u=
zy
zx
+
+
, với z=z(x,y) là hàm ẩn xác định từ
ze
z
-xe
x
-ye
y
=0
Tính u
x
, u
y
.
19. Tính các đạo hàm riêng cấp hai và vi phân cấp hai của các hàm số
a. z=
22
3
1
yx +
b. z=
22
ln yxxy +
c. z=ln(x+
2
1 x+

) d. z=arctg
y
x
20. Chứng minh rằng
a. Hàm số u=ln
22
1
yx +
thoả mãn phơng trình
0
2
2
2
2
=


+


y
u
x
u
b. Hàm số u=ln
222
1
zyx ++
thoả mãn phơng trình
0

2
2
2
2
2
2
=


+


+


z
u
y
u
x
u
21. Hàm số f(x
1
,x
2
,,x
n
) gọi là thuần nhất bậc k nếu
f(tx
1

,tx
2
,,tx
n
)=t
k
f(x
1
,x
2
,,x
n
), t>0
a. Chứng minh rằng nếu f(x
1
,x
2
,,x
n
) là thuần nhất bậc k thì các đạo hàm riêng của nó là thuần nhất
bậc k-1.
b. Hàm f(x
1
,x
2
,,x
n
) là thuần nhất bậc k khi và chỉ khi

=

=


n
i
i
i
kf
x
f
x
1
(công thức Ơle)
22. Tính đạo hàm của hàm u=x
3
y
2
z tại M
0
(1,2,-1) theo hớng
10
MM
, với M
1
(0,4,-3).
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
24
23. Tính
uGrad
u= xy+yz+zx tại M

0
(1,-1,3).
24. Khai triển Maclôranh đến bậc hai của các hàm
a. f(x,y)=e
x
siny b. f(x,y)=ln(1+x+y)
25. Viết phơng trình tiếp tuyến và mặt pháp diện của các đờng
a.





=
=
=
tz
ttby
tax
2
2
cos
cossin
sin
tại t=
4

b.

=
=
=
2
cos
1
2
sin
te
z
y
te
x
t
t
tại t=0 c.





=
=

=
3
2
tz
ty
tx
tại t=3
26. Viết phơng trình pháp tuyến và tiếp diện của các mặt
a. x
2
-4y
2
+2z
2
=6 tại M(2,2,3)
b. z=2x
2
+4y
2
tại M(2,1,12)
27. Tìm cực trị của các hàm sau:
a. z=x+y-xe
y
b. z=(x-1)
2
+y
2
c. z=x
2
+xy+y

2
-2x-y d. z=x
3
+y
3
-3xy
28. Tìm cực trị có điều kiện
a. z=1+x+2y trong x0, y0, x+y1
b. z=x
2
-y
2
trong x
2
+y
2
1
c. z=x
2
+y
2
-12x+16y trong x
2
+y
2
25
d. z=sinx+siny+sin(x+y) trong
2
0

x
,
2
0

y
Hunh Ngc Cm -T internet Trang
25