Chuyên đề Tích Phân bản mới 2014 có Đáp án Thầy Lưu Huy Thưởng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.33 MB, 120 trang )
TUYỂN TẬP TÍCH PHÂN
(ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang:
HÀ NỘI, 4/2014
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1
TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng:
HT 1.Tính các tích phân sau:
a)
1
3
1
0
I x dx
=
∫
b)
1
3
2
0
(2 1)
I x dx
= +
∫
c)
1
3
3
0
(1 4 )
I x dx
= −
∫
d)
1
2 3
4
0
( 1)( 2 5)
I x x x dx
= − − +
∫
e)
1
2 3
5
0
(2 3)( 3 1)
I x x x dx
= − − +
∫
Bài giải
a)
1
4
3 1
1 0
0
1
4 4
x
I x dx
= = =
∫
b)
1
3
2
0
(2 1)
I x dx
= +
∫
Chú ý:
1
(2 1) 2 (2 1)
2
d x dx dx d x
+ = ⇒ = +
1 1
4
3 3 1
2 0
0 0
(2 1)
1 1 81 1
(2 1) (2 1) (2 1) 10
2 2 4 8 8
x
I x dx x d x
+
⇒ = + = + + = = − =
∫ ∫
c)
1
3
3
0
(1 4 )
I x dx
= −
∫
Chú ý:
1
(1 4 ) 4 (1 4 )
4
d x dx dx d x
− = − ⇒ = − −
1 1
4
3 3 1
3 0
0 0
(1 4 )
1 1 81 1
(1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) 5
4 4 4 16 16
x
I x dx x d x
−
⇒ = − = − − − = − = − + = −
∫ ∫
d)
1
2 3
4
0
( 1)( 2 5)
I x x x dx
= − − +
∫
Chú ý:
2 2
1
( 2 5) (2 2) ( 1) ( 2 5)
2
d x x x dx x dx d x x− + = − ⇒ − = − +
1 1
2 3 2 3 2
4
0 0
1
( 1)( 2 5) ( 2 5) ( 2 5)
2
I x x x dx x x d x x
⇒ = − − + = − + − +
∫ ∫
2 4
1
0
( 2 5)
1 615 671
. 162
2 4 8 8
x x− +
= = − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2
e)
1
2 3
5
0
(2 3)( 3 1)
I x x x dx
= − − +
∫
Chú ý:
2
( 3 1) (2 3)
d x x x dx
− + = −
1 1
2 3 2 3 2
5
0 0
(2 3)( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)
I x x x dx x x d x x
⇒ = − − + = − + − +
∫ ∫
2 4
1
0
( 3 1)
1 1
0
4 4 4
x x− +
= = − =
HT 2.Tính các tích phân sau:
a)
1
1
0
I xdx
=
∫
b)
7
2
2
2
I x dx
= +
∫
c)
4
3
0
2 1
I x dx
= +
∫
d)
1
2
4
0
1
I x x dx
= +
∫
e)
1
2
5
0
1
I x x dx
= −
∫
f)
1
2
6
0
(1 ) 2 3
I x x x dx
= − − +
∫
g)
1
2 3
7
0
1
I x x dx
= +
∫
h)
1
2 3 2
8
0
( 2 ) 3 2
I x x x x dx
= − − +
∫
Bài giải
a)
1
1
0
I xdx
=
∫
1
0
2 2
3 3
x x
= =
b)
7
7
2 2
2
2 16 38
2 ( 2) 2 18
3 3 3
I x dx x x= + = + + = − =
∫
c)
4
3
0
2 1
I x dx
= +
∫
4
4
0
0
1 1 2 1 26
2 1 (2 1) . (2 1) 2 1 9
2 2 3 3 3
x d x x x= + + = + + = − =
∫
d)
1 1
2 2 2 2 2 1
4 0
0 0
1 1 2 2 2 1
1 1 (1 ) . (1 ) 1
2 2 3 3 3
I x x dx x d x x x
= + = + + = + + = −
∫ ∫
e)
1
2
5
0
1
I x x dx
= −
∫
1
2 2 2 2 1
0
0
1 1 2 1 1
1 (1 ) . (1 ) 1 0
2 2 3 3 3
x d x x x
= − − − = − − − = + =
∫
f)
1 1
2 2 2
6
0 0
1
(1 ) 2 3 2 3 ( 2 3)
2
I x x x dx x x d x x= − − + = − − + − +
∫ ∫
2 2 1
0
1 2 2 2
. ( 2 3) 2 3 3
2 3 3
x x x x= − − + − + = − +
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3
g)
1 1
2 3 3 3 3 3 1
7 0
0 0
1 1 2 4 2 2
1 1 ( 1) . ( 1) 1
3 3 3 9
I x x dx x d x x x
−
= + = + + = + + =
∫ ∫
h)
1 1
2 3 2 3 2 3 2
8
0 0
1
( 2 ) 3 2 3 2 ( 3 2)
3
I x x x x dx x x d x x
= − − + = − + − +
∫ ∫
3 2 3 2 1
0
1 2 4 2 4 2
. ( 3 2) 3 2 0
3 3 9 9
x x x x= − + − + = − = −
HT 3.Tính các tích phân sau:
a)
4
1
1
dx
I
x
=
∫
b)
1
2
0
2 1
dx
I
x
=
+
∫
c)
0
3
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
d)
1
4
2
0
( 1)
2 2
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
e)
1
5
2
0
( 2)
4 5
x dx
I
x x
−
=
− +
∫
Bài giải
a)
4
4
1 1
1
2 4 2 2
dx
I x
x
= = = − =
∫
b)
1 1
1
2 0
0 0
(2 1)
1
2 1 3 1
2
2 1 2 1
d x
dx
I x
x x
+
= = = + = −
+ +
∫ ∫
c)
0 0
0
3 1
1 1
(1 2 )
1
1 2 1 3
2
1 2 1 2
d x
dx
I x
x x
−
− −
−
= = − = − − = − +
− −
∫ ∫
d)
1 1
2
2 1
4 0
2 2
0 0
( 1) ( 2 2)
1
2 2 5 2
2
2 2 2 2
x dx d x x
I x x
x x x x
+ + +
= = = + + = −
+ + + +
∫ ∫
e)
1 1
2
2 1
5 0
2 2
0 0
( 2) ( 4 5)
1
4 5 2 5
2
4 5 4 5
x dx d x x
I x x
x x x x
− − +
= = = − + = −
− + − +
∫ ∫
HT 4.Tính các tích phân sau:
a)
1
1
e
dx
I
x
=
∫
b)
0
2
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
c)
1
3
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫
d)
1
4
2
0
( 1)
2 2
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
e)
1
5
2
0
2
4 5
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Bài giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4
a)
1 1
1
ln ln ln 1 1
e
e
dx
I x e
x
= = = − =
∫
b)
0
2
1
1 2
dx
I
x
−
=
−
∫
0
0
1
1
(1 2 )
1 1 1 ln 3
ln 1 2 (ln1 ln 3)
2 1 2 2 2 2
d x
x
x
−
−
−
= − = − − = − − =
−
∫
c)
1
3
2
0
1
xdx
I
x
=
+
∫
(
)
2
1
2 1
0
2
0
1
1 1 1 ln 2
ln 1 (ln 2 ln1)
2 2 2 2
1
d x
x
x
+
= = + = − =
+
∫
d)
1
4
2
0
( 1)
2 2
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
1
2
2
0
( 2 2)
1
2
2 2
d x x
x x
+ +
=
+ +
∫
2 1
0
1 1 1 5
ln 2 2 (ln 5 ln 2) ln
2 2 2 2
x x= + + = − =
e)
1 1
2
2 1
5 0
2 2
0 0
( 4 5)
2 1 1 1 1 2
ln 4 5 (ln 2 ln 5) ln
2 2 2 2 5
4 5 4 5
d x x
x
I dx x x
x x x x
− +
−
= = = − + = − =
− + − +
∫ ∫
HT 5.Tính các tích phân sau:
a)
2
1
2
1
dx
I
x
=
∫
b)
0
2
2
1
(2 1)
dx
I
x
−
=
−
∫
c)
1
3
2
0
(3 1)
dx
I
x
=
+
∫
Bài giải
a)
2
2
1 1
2
1
1 1 1
1
2 2
dx
I
x
x
= = − = − + =
∫
b)
0 0
0
2 1
2 2
1 1
(2 1)
1 1 1 1 1 1
.
2 2 2 1 2 6 3
(2 1) (2 1)
d x
dx
I
x
x x
−
− −
−
= = = − = − =
−
− −
∫ ∫
c)
1 1
1
3 0
2 2
0 0
(3 1)
1 1 1 1 1 1
.
3 3 3 1 12 4 6
(3 1) (3 1)
d x
dx
I
x
x x
+
= = = − = − + =
+
+ +
∫ ∫
HT 6.Tính các tích phân sau:
a)
1
3
1
0
x
I e dx
=
∫
b)
1
3
2
0
(2 1)
x x
I e e dx
= +
∫
c)
1
3
3
0
(1 4 )
x x
I e e dx
= −
∫
d)
1
4
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
e)
2
2
5
2 2
1
( 1)
x
x
e dx
I
e
=
−
∫
f)
2
2
6
2 3
1
(1 3 )
x
x
e dx
I
e
=
−
∫
g)
1
7
0
2 1
x x
I e e dx
= +
∫
h)
1
2 2
8
0
1 3
x x
I e e dx
= +
∫
i)
1
9
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5
a)
1
3
3 3 1
1 0
0
1 1
3 3 3
x x
e
I e dx e
= = = −
∫
b)
1 1
4
3 3 1
2 0
0 0
(2 1)
1 1
(2 1) (2 1) (2 1) .
2 2 4
x
x x x x
e
I e e dx e d e
+
= + = + + =
∫ ∫
4
(2 1)
1 81
2 4 4
e
+
= −
4
(2 1)
81
8 8
e +
= −
c)
1 1
3 3
3
0 0
1
(1 4 ) (1 4 ) (1 4 )
4
x x x x
I e e dx e d e
= − = − − −
∫ ∫
4 4 4
1
0
(1 4 ) (1 4 ) 81 (1 4 )
1 1 81
.
4 4 4 4 4 16
x
e e e
− − − −
= − = − − =
d)
1 1
1
4 0
0 0
( 1)
1
ln 1 ln( 1) ln 2 ln
2
1 1
x
x
x
x x
d e
e dx e
I e e
e e
+
+
= = = + = + − =
+ +
∫ ∫
e)
2 2
2
2 2
2
5 1
2 2 2 2 2 4 2 4
1 1
( 1)
1 1 1 1 1
.
2 2
( 1) ( 1) 1 2( 1) 2( 1) 2( 1)
x
x
x x x
d e
e dx e
I
e e e e e e
−
= = = − = − + =
− − − − − −
∫ ∫
f)
2 2
2
2
2
6 1
2 3 2 3 2 2 4 2
1 1
(1 3 )
1 1 1 1 1
.
6 6
(1 3 ) (1 3 ) 2(1 3 ) 12(1 3 ) 12(1 3 )
x
x
x x x
d e
e dx
I
e e e e e
−
−
= = − = − = −
− − − − −
∫ ∫
g)
1 1
1
7 0
0 0
1 1 2 1
2 1 2 1 (2 1) . (2 1) 2 1 (2 1) 2 1 3
2 2 3 3
x x x x x x
I e e dx e d e e e e e= + = + + = + + = + + −
∫ ∫
h)
1
2 2
8
0
1 3
x x
I e e dx
= +
∫
1
2 2 2 2 1 2 2
0
0
1 1 2 1 8
1 3 (1 3 ) . (1 3 ) 1 3 (1 3 ) 1 3
6 6 3 9 9
x x x x
e d e e e e e
= + + = + + = + + −
∫
i)
1
9
0
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
1
1
0
0
( 1)
2 1 2 1 2
1
x
x
x
d e
e e
e
+
= = + = + −
+
∫
HT 7.Tính các tích phân sau:
a)
1
1
ln
e
x
I dx
x
=
∫
b)
2
1
3 ln 1
e
x
I dx
x
+
=
∫
c)
3
3
1
(3 ln 1)
e
x
I dx
x
+
=
∫
d)
3 2
4
1
4 ln 3 ln 2ln 1
e
x x x
I dx
x
+ − +
=
∫
e)
2
5
ln
e
e
dx
I
x x
=
∫
f)
6
1
(3 ln 1)
e
dx
I
x x
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6
g)
7
1
3 ln 1
e
x dx
I
x
+
=
∫
h)
8
1
3 ln 1
e
dx
I
x x
=
+
∫
Bài giải
a)
2 2 2
1 1
1 1
ln ln ln ln 1 1
ln (ln )
2 2 2 2
e e
e
x x e
I dx xd x
x
= = = = − =
∫ ∫
b)
2
2 1
1 1
3 ln 1 3 ln 3 5
(3 ln 1) (ln ) ln ( 1) 0
2 2 2
e e
e
x x
I dx x d x x
x
+
= = + = + = + − =
∫ ∫
c)
3 4
3
3 1
1 1
(3 ln 1) (3 ln 1)
1 1 64 1 85
(3 ln 1) (3 ln 1) .
3 3 4 3 12 4
e e
e
x x
I dx x d x
x
+ +
= = + + = = − =
∫ ∫
d)
3 2
4
1
4 ln 3 ln 2ln 1
e
x x x
I dx
x
+ − +
=
∫
3 2
1
(4 ln 3 ln 2ln 1) (ln )
e
x x x d x
= + − +
∫
4 3 2
1
(ln ln ln ln )
e
x x x x
= + − +
(1 1 1 1) 0 2
= + − + − =
e)
2 2
2
2
5
(ln )
ln(ln ) ln(ln ) ln(ln ) ln 2
ln ln
e e
e
e
e e
d x
dx
I x e e
x x x
= = = = − =
∫ ∫
f)
6
1
(3 ln 1)
e
dx
I
x x
=
+
∫
1
(3 ln 1)
1
3 3 ln 1
e
d x
x
+
=
+
∫
1
1
ln(3 ln 1)
3
e
x= +
1 ln 4
(ln 4 ln1)
3 3
= − =
g)
7
1 1
3 ln 1 1
3 ln 1 (3 ln 1)
3
e e
x dx
I x d x
x
+
= = + +
∫ ∫
1
1 2 16 2 14
. (3 ln 1) 3 ln 1
3 3 9 9 9
e
x x= + + = − =
h)
8
1
3 ln 1
e
dx
I
x x
= =
+
∫
1
1
(3 ln 1)
1 1 4 2 2
.2 3 ln 1
3 3 3 3 3
3 ln 1
e
e
d x
x
x
+
= = + = − =
+
∫
HT 8.Tính các tích phân sau:
a)
2
2
1
0
cos sin
I x xdx
π
=
∫
b)
2
2
2
0
sin cos
I x xdx
π
=
∫
c)
4
3
3
0
sin 2 cos2
I x xdx
π
=
∫
d)
4
4
0
sin
cos
x
I dx
x
π
=
∫
e)
2
5
0
sin 3 cos 1
I x x dx
π
= +
∫
f)
2
6
0
cos
3 sin 1
x
I dx
x
π
=
+
∫
Giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7
a)
2 2
3
2 2
2
1 0
0 0
cos 1
cos sin cos (cos )
3 3
x
I x xdx xd x
π π
π
= = − = − =
∫ ∫
b)
2
2
2
0
sin cos
I x xdx
π
=
∫
2
3
2
2
0
0
sin 1
sin (sin )
3 3
x
xd x
π
π
= = =
∫
c)
4 4
4
3 3
4
3 0
0 0
1 sin 2 1
sin 2 cos2 sin 2 (sin2 )
2 8 8
x
I x xdx xd x
π π
π
= = = =
∫ ∫
d)
4 4
4
4 0
0 0
(cos )
sin 2 2
ln(cos ) ln ln1 ln
cos cos 2 2
d x
x
I dx x
x x
π π
π
= = − = − = − + = −
∫ ∫
e)
2 2
2
5 0
0 0
1 1 2 1 4
sin 3 cos 1 3 cos 1 (3 cos 1) . (3 cos 1) 3 cos 1 1
3 2 3 3 3
I x x dx x d x x x
π π
π
= + = + + = + + = − = −
∫ ∫
f)
2 2
2
6 0
0 0
(3 sin 1)
cos 1 2 4 2 2
3 sin 1
3 3 3 3 3
3 sin 1 3 sin 1
d x
x
I dx x
x x
π π
π
+
= = = + = − =
+ +
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8
PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ
I.DẠNG 1:
dx
ax b
+
∫
1
ln
ax b C
a
= + +
HT 1.Tính các tích phân sau:
a)
1
0
3 1
dx
x
+
∫
b)
0
1
1 3
dx
x
−
−
∫
c)
1
0
1 3
2 1 4 2
dx
x x
−
+ −
∫
Giải
a)
1
1
0
0
1 1 ln 4
ln 3 1 (ln 4 ln1)
3 1 3 3 3
dx
x
x
= + = − =
+
∫
b)
0
1
1 3
dx
x
−
−
∫
0
1
1 1 ln 4
ln 1 3 (ln1 ln 4)
3 3 3
x
−
= − − = − − = −
c)
1
1
0
0
1 3 1 3 1 3 1 3
ln 2 1 ln 4 2 ln 3 ln 2 ln1 ln 4
2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
dx x x
x x
− = + + − = + − +
+ −
∫
1 3 1
ln 3 ln
2 2 2
= +
HT 2.Tính các tích phân sau:
a)
2
4 3 2
1
2
1
3 2 5 1
x x x x
I dx
x
+ − + −
=
∫
b)
1
3 2
2
0
3 2 1
2
x x x
I dx
x
− + −
=
−
∫
c)
0
3 2
3
1
2 3 4 1
1 2
x x x
I
x
−
− + −
=
−
∫
Giải
a)
2
4 3 2
1
2
1
3 2 5 1
x x x x
I dx
x
+ − + −
=
∫
2
2
2
1
5 1
( 3 2 )
x x dx
x
x
= + − + −
∫
3 2
2
1
3 1 8 1 1 3
2 5 ln 6 4 5ln 2 2 5ln1 1
3 2 3 2 3 2
x x
x x
x
= + − + + = + − + + − + − + +
13
5 ln 2
3
= +
b)
1
3 2
2
0
3 2 1
2
x x x
I dx
x
− + −
=
−
∫
1
2
0
1
2)
x x dx
x
= − −
−
∫
( )
3 2
1
0
1 1 1
ln 2 ln1 ln 2 ln 2
3 2 3 2 6
x x
x
= − − − = − − − − = −
c)
0
3 2
3
1
2 3 4 1
1 2
x x x
I
x
−
− + −
=
−
∫
0
2
1
3 1
2 2( 2 1)
x x dx
x
−
= − + − +
− +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9
3 2
0
1
3 1
ln 2 1
3 2 2 4
x x
x x
−
= − + − − − +
1 1 1 3 1 ln 3 7
( ln1) ( ln 3)
4 3 2 2 4 4 3
= − − + + − = −
II.DẠNG 2:
2
dx
ax bx c
+ +
∫
HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt)
a)
1
0
( 1)( 2)
dx
x x+ +
∫
b)
1
0
( 1)(3 )
dx
x x
+ −
∫
c)
1
0
( 1)(2 3)
dx
x x+ +
∫
Giải
a)
1 1 1
0 0 0
( 2) ( 1)
1 1
( 1)( 2) ( 1)( 2) 1 2
x x
dx
dx dx
x x x x x x
+ − +
= = −
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
( )
1 1
0 0
1 2 1 4
ln 1 ln 2 ln ln ln ln
2 3 2 3
x
x x
x
+
= + − + = = − =
+
b)
1
0
( 1)(3 )
dx
x x
+ −
∫
1 1
0 0
( 1) (3 )
1 1 1 1
4 ( 1)(3 ) 4 3 1
x x
dx dx
x x x x
+ + −
= = +
+ − − +
∫ ∫
( )
1 1
0 0
1 1 1
ln 3 ln 1 ln
4 4 3
x
x x
x
+
= − − + + =
−
1 1 ln 3
ln1 ln
4 3 4
= − = −
c)
1 1
0 0
(2 3) 2( 1)
( 1)(2 3) ( 1)(2 3)
x x
dx
dx
x x x x
+ − +
=
+ + + +
∫ ∫
1
0
1 2
1 2 3
dx
x x
= −
+ +
∫
( )
1 1
0 0
1 2 1 6
ln 1 ln 2 3 ln ln ln ln
2 3 5 3 5
x
x x
x
+
= + − + = = − =
+
HT 4.Tính các tích phân sau:
a)
1
2
0
12
dx
x x− −
∫
b)
0
2
1
2 5 2
dx
x x
−
− +
∫
c)
2
2
1
1 2 3
dx
x x
− −
∫
Giải
a)
1
2
0
12
dx
x x− −
∫
=
1 1
0 0
( 3) ( 4)
1
( 3)( 4) 7 ( 3)( 4)
x x
dx
dx
x x x x
+ − −
=
+ − + −
∫ ∫
( )
1
1 1
0 0
0
1 1 1 1 1 4
ln 4 ln 3 ln
7 4 3 7 7 3
x
dx x x
x x x
−
= − = − − + =
− + +
∫
1 3 4 1 9
(ln ln ) ln
7 4 3 7 16
= − =
b)
0
2
1
2 5 2
dx
x x
−
− +
∫
=
0 0 0
1 1 1
(2 1) 2( 2)
1
1 ( 2)(2 1) 3 ( 2)(2 1)
2( 2)( )
2
x x
dx dx
dx
x x x x
x x
− − −
− − −
= =
− − − −
− −
∫ ∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10
( )
0
0
1
1
1 1 2 1
ln 2 ln 2 1
3 2 2 1 3
dx x x
x x
−
−
= − = − − −
− −
∫
0
1
1 2 1 ln 2
ln (ln 2 ln1)
3 2 1 3 3
x
x
−
−
= = − =
−
c)
2 2 2
2
1 1 1
1 ( 1)(1 3 )
1 2 3
3( 1)( )
3
dx dx dx
x x
x x
x x
= =
+ −
− −
− + −
∫ ∫ ∫
2
1
3( 1) (1 3 )
1
4 ( 1)(1 3 )
x x
dx
x x
+ + −
=
+ −
∫
( )
2
2
1
1
1 3 1 1
ln 1 3 ln 1
4 1 3 1 4
dx x x
x x
= + = − − + +
− +
∫
2
1
1 1 1 3 1 3
ln (ln ln1) ln
4 1 3 4 5 4 5
x
x
+
= = − =
−
HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
a)
2
2
1
dx
x
∫
b)
1
2
0
(3 1)
dx
x +
∫
c)
0
2
1
(1 2 )
dx
x
−
−
∫
d)
0
2
1
9 6 1
dx
x x
−
− +
∫
e)
0
2
1
16 8 1
dx
x x
−
− + −
∫
Giải
a)
2
2
1
dx
x
∫
2
1
1 1 1
1
2 2
x
= − = − + =
b)
1
1
0
2
0
1 1 1 1 1
.
3 (3 1) 12 3 4
(3 1)
dx
x
x
= − = − − =
+
+
∫
c)
0
2
1
(1 2 )
dx
x
−
−
∫
0
0
1
2
1
1 1 1 1 1
.
2 2 1 2 6 3
(2 1)
dx
x
x
−
−
= = − = − − + =
−
−
∫
d)
0
2
1
9 6 1
dx
x x
−
− +
∫
0
0
1
2
1
1 1 1 1 1
.
3 3 1 3 12 4
(3 1)
dx
x
x
−
−
= = − = − − + =
−
−
∫
e)
0
2
1
16 8 1
dx
x x
−
− + −
∫
0 0
0
1
2 2
1 1
1 1 1 1 1
.
4 4 1 4 20 5
16 8 1 (4 1)
dx dx
x
x x x
−
− −
= − = − = = − + = −
−
− + −
∫ ∫
HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
a)
1
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
b)
3
2
0
3
dx
x
+
∫
c)
2
2
2
0
2 3
dx
x
+
∫
Giải
a)
1
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
Đặt:
tan ;
2 2
x t t
π π
= ∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0
x t
= ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11
Với
1
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
1 0
2 2
2
0 0 0
2
1
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t
t
π π π
π
⇒ = = = =
+
∫ ∫ ∫
4
π
=
b)
3
2
2
0
3
dx
I
x
=
+
∫
Đặt:
3 tan
x t
=
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
3
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0
x t
= ⇒ =
; Với
3
4
x t
π
= ⇒ =
4 4
2
2 2
2
0 0
2
3 3
3 1
cos (3 tan 3)
cos .
cos
dt dt
I
t t
t
t
π π
⇒ = =
+
∫ ∫
4
0
3
3
dt
π
=
∫
4
0
3 3
3 12
t
π
π
= =
c)
2 2
2 2
3
2
2
0 0
3
2 3
2
2
dx dx
I
x
x
= =
+
+
∫ ∫
2
2
2
0
1
2 3
2
dx
x
=
+
∫
Đặt:
3
tan
2
x t
=
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
6
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0;
x t
= ⇒ =
Với
2
2 6
x t
π
= ⇒ =
6 6 6
6
3 0
2 2 2
0 0 0
2
1 6 6 6 6 6
2 3 3 6 1 6 6 36
2 cos ( tan ) cos .
2 2
cos
dt dt
I dt t
t t t
t
π π π
π
π
⇒ = = = = =
+
∫ ∫ ∫
HT 7.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
a)
0
1
2
1
( 1) 1
dx
I
x
−
=
+ +
∫
b)
4
2
2
2
4 8
dx
I
x x
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
1
dx
I
x x
=
+ +
∫
Giải
a)
0
1
2
1
( 1) 1
dx
I
x
−
=
+ +
∫
Đặt:
1 tan
x t
+ =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
1 0;
x t
= − ⇒ =
Với
0
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
1 0
2 2
2
0 0 0
2
1 4
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t
t
π π π
π
π
⇒ = = = = =
+
∫ ∫ ∫
b)
4
2
2
2
4 8
dx
I
x x
=
− +
∫
4
2
2
( 2) 4
dx
x
=
− +
∫
Đặt:
2 2 tan
x t
− =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
2 0;
x t
= ⇒ =
Với
4
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
2 0
2 2
2
0 0 0
2
2 1 1 1
2 1 2 2 8
cos (4 tan 4)
cos .
cos
dt dt
I dt t
t t
t
t
π π π
π
π
⇒ = = = = =
+
∫ ∫ ∫
c)
1
3
2
0
1
dx
I
x x
=
+ +
∫
1
2
0
1 3
2 4
dx
x
=
+ +
∫
Đặt:
1 3
tan
2 2
x t
+ =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
3
.
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0
6
x t
π
= ⇒ =
;Với
1
3
x t
π
= ⇒ =
3 3
3
2 2 2
2
6 6
3 2 3
3 3 3 1
2 cos ( tan ) cos .
4 4
cos
dt dt
I
t t t
t
π π
π π
⇒ = = =
+
∫ ∫
3
3
6
6
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
3 3 9 18 18
dt t
π
π
π
π
π π π
= = − =
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13
III.Dạng 3:
2
mx n
dx
ax bx c
+
+ +
∫
HT 8.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt)
a)
1
1
2
0
1
4 3
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
b)
0
2
2
1
2 10
2
x
I dx
x x
−
+
=
− + +
∫
c)
0
3
2
1
7 4
2 3 2
x
I dx
x x
−
−
=
− − +
∫
Giải
a)
1
1
2
0
1
4 3
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
1
0
( 1)
( 1)( 3)
x dx
x x
−
=
+ +
∫
Xét đồng nhất thức:
( ) 3
1 3
( 3)( 1) 3 1 ( 3)( 1) ( 3)( 1)
A b x A B
x A B Ax A Bx B
x x x x x x x x
+ + +
− + + +
= + = =
+ + + + + + + +
Đồng nhất thức hai vế ta được:
1 2
3 1 1
A B A
A B B
+ = =
⇔
+ = − = −
Vậy,
( )
1
1
1 0
0
2 1
2 ln 3 ln 1
3 1
I dx x x
x x
= − = + − +
+ +
∫
4
(2 ln 4 ln2) (2 ln 3 ln1) 2 ln ln 2
3
= − − − = −
b)
0
2
1
2 10
2
x
dx
x x
−
+
− + +
∫
0
1
2 10
( 2)(1 )
x
dx
x x
−
+
=
+ −
∫
Xét đồng nhất thức:
( ) 2
2 10 2
( 2)(1 ) 2 1 ( 2)(1 ) ( 2)(1 )
B A x A B
x A B A Ax Bx B
x x x x x x x x
− + +
+ − + +
= + = =
+ − + − + − + −
Đồng nhất thức hai vế ta được:
2 2
2 10 4
B A A
A B B
− = =
⇔
+ = =
Vậy,
( )
0
0
2 1
1
2 4
2 ln 2 4 ln 1
2 1
I dx x x
x x
−
−
= + = + − −
+ −
∫
(2ln 2 4 ln1) (2 ln1 4 ln 2) 2ln 2 4 ln 2 ln 4 ln16 ln 64
= − − − = + = + =
c)
0
3
2
1
7 4
2 3 2
x
I dx
x x
−
−
=
− − +
∫
0
1
7 4
( 2)(1 2 )
x
dx
x x
−
−
=
+ −
∫
Xét đồng nhất thức:
( 2 ) 2
7 4 2 2
( 2)(1 2 ) 2 1 2 ( 2)(1 2 ) ( 2)(1 2 )
B A x A B
x A B A Ax Bx B
x x x x x x x x
− + +
− − + +
= + = =
+ − + − + − + −
Đồng nhất thức hai vế ta được:
2 4 3
2 7 2
B A A
A B B
− = − =
⇔
+ = =
Vậy,
( )
0
0
3 1
1
2 3
ln 1 2 3ln 2
1 2 2
I dx x x
x x
−
−
= + = − − + +
− +
∫
3
( ln1 2 ln 2) ( ln 3 3 ln 2) ln 3 ln 2 ln
2
= − + − − + = − =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14
HT 9.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép)
a)
1
1
2
0
(3 1)
2 1
x dx
I
x x
+
=
+ +
∫
b)
0
2
2
1
3 1
4 4 1
x
I dx
x x
−
−
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
3 2
4 12 9
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
Giải
a)
1 1 1 1
1
2 2 2 2
0 0 0 0
(3 1) 3( 1) 2
3 1 3 2
1
2 1 ( 1) ( 1) ( 1)
x dx x
x
I dx dx dx
x
x x x x x
+ + −
+
= = = = −
+
+ + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
1
0
2
3 ln 1 (3 ln 2 1) (3 ln 1 2) 3 ln 2 1
1
x
x
= + + = + − + = −
+
b)
0
2
2
1
3 1
4 4 1
x
I dx
x x
−
−
=
− +
∫
( )
0 0
2 2
1 1
3 1
2 1
3 1
2 2
(2 1) (2 1)
x
x
dx dx
x x
− −
− +
−
= =
− −
∫ ∫
0
0
1
2
1
3 1 1 1 3 1 1
. . ln 2 1 .
2 2 1 2 4 4 2 1
(2 1)
dx x
x x
x
−
−
= + = − −
− −
−
∫
3 1 3 1 3 1
ln1 ln 3 ln 3
4 4 4 12 4 6
= + − + = − +
c)
1
3
2
0
3 2
4 12 9
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
1 1
2 2
0 0
3 5
(2 3)
3 2
2 2
(2 3) (2 3)
x
x
dx dx
x x
+ −
+
= =
+ +
∫ ∫
1
2
0
3 1 5 1
. .
2 2 3 2
(2 3)
dx
x
x
= −
+
+
∫
1
0
3 5 1
ln 2 3 .
4 4 2 3
x
x
= + +
+
3 1 3 5 3 5 1
ln 5 ln 3 ln
4 4 4 12 4 3 6
= + − + = −
HT 10.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm)
a)
1
1
2
0
3 1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
b)
3
2
2
1
3 2
4 5
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
c)
1
3
2
0
3 1
4 4 2
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Giải
a)
1
1
2
0
3 1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Chú ý:
2
( 1)' 2
x x
+ =
Nên:
1
1
2
0
3
.2 1
2
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
1
2 2
0
3 2 1
.
2
1 1
x
dx
x x
= +
+ +
∫
1 1
2 2
0 0
3 2
2
1 1
x dx
dx
x x
= +
+ +
∫ ∫
Xét:
1 1
2
2 1
0
2 2
0 0
( 1)
3 2 3 3 3 3 ln 2
ln 1 (ln 2 ln1)
2 2 2 2 2
1 1
d x
x
M dx x
x x
+
= = = + = − =
+ +
∫ ∫
Xét:
1
2
0
1
dx
N
x
=
+
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15
Đặt:
tan ;
2 2
x t t
π π
= ∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
0 0
x t
= ⇒ =
Với
1
4
x t
π
= ⇒ =
4 4 4
4
0
2 2
2
0 0 0
2
1
cos (tan 1)
cos .
cos
dt dt
M dt t
t t
t
t
π π π
π
⇒ = = = =
+
∫ ∫ ∫
4
π
=
Vậy,
1
3 ln 2
2 4
I M N
π
= + = +
b)
3
2
2
1
3 2
4 5
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
Chú ý:
2
( 4 5)' 2 4
x x x
− + = −
Khi đó:
3 3
2
2 2 2
1 1
3
(2 4) 8
3 2 4 1
2
8.
2
4 5 4 5 4 5
x
x
I dx dx
x x x x x x
− +
−
= = +
− + − + − +
∫ ∫
3 3
2 2
1 1
3 2 4 1
8
2
4 5 4 5
x
dx dx
x x x x
−
= +
− + − +
∫ ∫
+ Xét:
3 3
2
2 2
1 1
( 4 5)
3 2 4 3
2 2
4 5 4 5
d x x
x
M dx
x x x x
− +
−
= =
− + − +
∫ ∫
=
2 3
1
3 3
ln 4 5 (ln 2 ln 2) 0
2 2
x x
− + = − =
+ Xét:
3
2
1
1
8
4 5
N dx
x x
=
− +
∫
3
2
1
8
( 2) 1
dx
x
=
− +
∫
Đặt:
2 tan
x t
− =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
1 ;
4
x t
π
= ⇒ = −
Với
3
4
x t
π
= ⇒ =
4 4
4
2 2
4
4 4
8 8 8 4
cos (tan 1)
dt
N dt t
t t
π π
π
π
π π
π
−
−
−
⇒ = = = =
+
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16
Vậy,
2
4
I M N
π
= + =
c)
1
3
2
0
3 1
4 4 2
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Chú ý:
2
(4 4 2)' 8 4
x x x
− + = −
Ta có:
1 1
3
2 2
0 0
3 1
(8 4)
3 1
8 2
4 4 2 4 4 2
x
x
I dx dx
x x x x
− +
−
= =
− + − +
∫ ∫
1 1
2 2
0 0
3 8 4 1
8 2
4 4 2 4 4 2
x dx
dx
x x x x
−
= +
− + − +
∫ ∫
+) Xét:
1 1
2
2 1
0
2 2
0 0
(4 4 2)
3 8 4 3 3 3
ln 4 4 2 (ln 2 ln 2) 0
8 8 8 8
4 4 2 4 4 2
d x x
x
M dx x x
x x x x
− +
−
= = = − + = − =
− + − +
∫ ∫
+) Xét:
1 1
2 2
0 0
1 1
2 2
4 4 2 (2 1) 1
dx dx
N
x x x
= =
− + − +
∫ ∫
Đặt:
2 1 tan
x t
− =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
2
2 cos
dt
dx
t
⇔ =
Đổi cận:Với
0 ;
4
x t
π
= ⇒ = −
Với
1
4
x t
π
= ⇒ =
4 4
4
2 2
4
4 4
1 1 1
2 2 2 4
2 cos (tan 1)
dt
N dt t
t t
π π
π
π
π π
π
−
− −
⇒ = = = =
+
∫ ∫
Vậy,
3
4
I M N
π
= + =
HT 11.Tính các tích phân sau:
a)
0
3 2
1
2
1
5 6 1
3 2
x x x
I dx
x x
−
− + −
=
− +
∫
b)
1
4 3 2
2
2
0
5 3 2 1
2 1
x x x x
I dx
x x
+ − + −
=
+ +
∫
c)
0
3 2
3
2
1
3 6 1
2 2
x x x
I dx
x x
−
+ − +
=
+ +
∫
d)
2
2
2
1
7 12
x
I dx
x x
=
− +
∫
Giải
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17
a)
0 0
3 2
1
2 2
1 1
5 6 1 2 3
2
3 2 3 2
x x x x
I dx x dx
x x x x
− −
− + − − +
= = − +
− + − +
∫ ∫
0 0
2
1 1
2 3
( 2)
3 2
x
x dx dx
x x
− −
− +
= − +
− +
∫ ∫
+) Xét:
0
2
0
1
1
1 5
( 2) 2 2
2 2 2
x
M x dx x
−
−
= − = − = − + = −
∫
+) Xét:
0 0
2
1 1
2 3 2 3
( 1)( 2)
3 2
x x
N dx dx
x x
x x
− −
− + − +
= =
− −
− +
∫ ∫
Dùng đồng nhất thức ta tách được:
( )
0
0
1
1 1
ln 1 ln 2 ( ln1 ln 2) ( ln 2 ln 3) ln 3
1 2
N dx x x
x x
−
−
− −
= + = − − − − = − − − − − =
− −
∫
Vậy,
1
5
ln 3
2
I M N
= + = −
b)
1
4 3 2
2
2
0
5 3 2 1
2 1
x x x x
I dx
x x
+ − + −
=
+ +
∫
1
2
2
0
19 9
( 3 10 )
2 1
x
x x dx
x x
+
= + − +
+ +
∫
+) Xét:
1
3 2
2 1
0
0
3 1 3 49
( 3 10) 10 ( 10) 0
3 2 3 2 6
x x
M x x dx x
= + − = + − = + − − = −
∫
+) Xét:
1 1 1
2 2 2
0 0 0
19( 1) 10
19 9 19 10
1
2 1 ( 1) ( 1)
x
x
N dx dx dx
x
x x x x
+ −
+
= = = −
+
+ + + +
∫ ∫ ∫
1
0
10
19 ln 1 (19 ln 2 5) (19 ln 1 10) 19 ln 2 5
1
x
x
= + + = + − + = −
+
Vậy,
2
79
19 ln 2
6
I M N= + = −
c)
0
3 2
3
2
1
3 6 1
2 2
x x x
I dx
x x
−
+ − +
=
+ +
∫
0
2
1
10 1
1
2 2
x
x dx
x x
−
+
= + −
+ +
∫
+) Xét:
0
2
0
1
1
1 1
( 1) 1
2 2 2
x
M x dx x
−
−
= + = + = − − =
∫
+) Xét:
0
2
1
10 1
2 2
x
N dx
x x
−
+
=
+ +
∫
0
2
1
5(2 2) 9
2 2
x
dx
x x
−
+ −
=
+ +
∫
=
0
2 2
1
5(2 2)
9
2 2 2 2
x
dx
x x x x
−
+
−
+ + + +
∫
0
2
1
2 2
5
2 2
x
P dx
x x
−
+
=
+ +
∫
0
2
2 0
1
2
1
( 2 2)
5 5 ln 2 2 5(ln2 ln1) 5 ln 2
2 2
d x x
x x
x x
−
−
+ +
= = + + = − =
+ +
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18
0
2
1
9
2 2
dx
Q
x x
−
=
+ +
∫
0
2
1
9
( 1) 1
dx
x
−
=
+ +
∫
Đặt:
1 tan
x t
+ =
Với
;
2 2
t
π π
∈ −
2
cos
dt
dx
t
⇒ =
Đổi cận: Với
1 0;
x t
= − ⇒ =
Với
0
4
x t
π
= ⇒ =
4
2 2
0
9
cos (tan 1)
dt
Q
t t
π
⇒ =
+
∫
4
4
0
0
9
9 9
4
dt t
π
π
π
= = =
∫
9
5 ln 2
4
N P Q
π
⇒ = − = −
3
1 9
5 ln 2
2 4
I M N
π
⇒ = + = + −
d)
2
1
16 9
1
4 3
I dx
x x
= + −
− −
∫
=
( )
2
1
16 ln 4 9 ln 3
x x x+ − − −
=
1 25ln2 16ln 3
+ −
.
HT 12.Tính các tích phân sau:
a)
2
5 3
1
dx
I
x x
=
+
∫
b)
1
3
0
( 1)
xdx
I
x
=
+
∫
Giải
a)
2
5 3
1
dx
I
x x
=
+
∫
Ta có:
3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
x
x
x x x x
= − + +
+ +
⇒
2
2
2
1 1 3 1 3
ln ln( 1) ln 2 ln 5
1
2 2 2 8
2
I x x
x
= − − + + = − + +
b)
1
3
0
( 1)
xdx
I
x
=
+
∫
Ta có:
2 3
3 3
1 1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
x x
x x
x x
− −
+ −
= = + − +
+ +
1
2 3
0
1
( 1) ( 1)
8
I x x dx
− −
⇒ = + − + =
∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 20
HT 13.Tính các tích phân sau: (Đổi biến số)
1.
1
7
2 5
0
(1 )
x
I dx
x
=
+
∫
2.
1
5 3 6
0
(1 )
I x x dx
= −
∫
3.
4
3
4
1
1
( 1)
I dx
x x
=
+
∫
4.
2
10 2
1
.( 1)
dx
I
x x
=
+
∫
5.
2
7
7
1
1
(1 )
x
I dx
x x
−
=
+
∫
6.
3
6 2
1
(1 )
dx
I
x x
=
+
∫
7.
1
2
4
0
( 1)
(2 1)
x
I dx
x
−
+
=
∫
8.
( )
( )
1
99
101
0
7 1
2 1
x
I dx
x
−
=
+
∫
9.
2
2
4
1
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
10.
2
2
4
1
1
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
11.
2
2
3
1
1 x
I dx
x x
−
=
+
∫
12.
1
4
6
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
13.
3
3
2
4
0
1
x
I dx
x
=
−
∫
14.
1
4 2
0
1
xdx
I
x x
=
+ +
∫
15.
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
Bài giải
1.
(
)
3
2
1 1
7
2 5 2 5
0 0
(1 ) (1 )
x xdx
x
I dx
x x
= =
+ +
∫ ∫
Đặt
2
1 2
t x dt xdx
= + ⇒ =
Đổi cận: Với
0 1;
x t
= ⇒ =
Với
1 2
x t
= ⇒ =
2
3
5 5
1
( 1)
1 1 1
.
2 4
2
t
I dt
t
−
⇒ = =
∫
2.
1 1
5 3 6 3 3 2
0 0
(1 ) (1 )
I x x dx x x x dx
= − = −
∫ ∫
Đặt
3 2 2
1 3
3
dt
t x dt x dx x dx= − ⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận: Với
0 1;
x t
= ⇒ =
Với
1 0
x t
= ⇒ =
1
7 8
6
0
1 1 1
(1 )
3 3 7 8 168
t t
I t t dt
⇒ = − = − =
∫
3.
4 4
3 3
3
4 4 4
1 1
1
( 1) ( 1)
x dx
I dx
x x x x
= =
+ +
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 21
Đặt
4 3 3
4
4
dt
t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ =
Đổi cận: Với
1 1;
x t
= ⇒ =
Với
4
3 3
x t
= ⇒ =
3 3
3
1
1 1
1 1 1 1 1 1 3
ln ln
4 ( 1) 4 1 4 1 4 2
dt t
I dt
t t t t t
⇒ = = − = =
+ + +
∫ ∫
4.
2 2
9
10 2 10 10 2
1 1
.( 1) ( 1)
dx x dx
I
x x x x
= =
+ +
∫ ∫
Đặt
10
1
t x
= +
9 9
10
10
dt
dt x dx x dx⇒ = ⇒ =
Đổi cận: Với
1 2
x t
= ⇒ =
; Với
10
2 2 1
x t
= ⇒ = +
10 10
2 1 2 1
2 2
2 2
1 1 1 1 1
5 5 1
( 1)
dt
I dt
t t
t t t
+ +
⇒ = = − −
−
−
∫ ∫
10
2 1
2
1 1
ln( 1) ln
5
t t
t
+
= − − +
10
10
1 1 1 1
(10 ln 2 ln(2 1) ) ( ln 2 )
5 5 2
2 1
= − + + − − +
+
5.
2
7
7
1
1
(1 )
x
I dx
x x
−
=
+
∫
2
7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )
x x
dx
x x
−
=
+
∫
.
Đặt
7 6 6
7
7
dt
t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ =
Đổi cận: Với
1 1;
x t
= ⇒ =
Với
2 128
x t
= ⇒ =
128 128
128
1
1 1
1 1 1 1 2 1
(ln 2 ln 1 )
7 (1 ) 7 1 7
t
I dt dt t t
t t t t
−
⇒ = = − = − +
+ +
∫ ∫
1 1 10 2
(7 ln 2 2 ln129) ( 2 ln 2) ln 2 ln129
7 7 7 7
= − − − = −
6.
3 3
6 2
2 6
1 1
2
1
(1 )
. ( 1)
dx dx
I
x x
x x
x
= =
+
+
∫ ∫
Đặt
2
1 1
t dt dx
x
x
= ⇒ = −
: Đổi cận:Với
1 1;
x t
= ⇒ =
Với
1
3
3
x t= ⇒ =
3
1
3
6
4 2
2 2
1
3
3
1
1
1 1
t
I dt t t dt
t t
⇒ = − = − + −
+ +
∫ ∫
=
117 41 3
135 12
π
−
+
7.
1 1
2
2
4 2
0 0
( 1)
1
2 1
(2 1) (2 1)
x
x dx
I dx
x
x x
−
−
=
+
+ +
=
∫ ∫
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 22
Chú ý:
'
2
1 3
2 1
(2 1)
x
x
x
−
=
+
+
Đặt:
2 2
1 3
2 1 3
(2 1) (2 1)
x dx dx dt
t dt
x
x x
−
= ⇒ = ⇒ =
+
+ +
Đổi cận: Với:
0 1
x t
= ⇒ = −
; Với
1 0
x t
= ⇒ =
1
3
2 1
0
0
1 1
3 9 9
t
t t dt
−
−
⇒ = = = −
∫
8.
( )
1 1
99 99
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 1
2 1
x dx x x
I d
x x x
x
− − −
= =
+ + +
+
∫ ∫
100
100
1
1 1 7 1 1
2 1
0
9 100 2 1 900
x
x
−
= ⋅ = −
+
9.
x
2
2
4
1
1
1
x
I d
x
+
=
+
∫
Ta có:
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
.
Đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x
x
= − ⇒ = +
Đổi cận: Với
1 0;
x t
= ⇒ =
Với
3
2
2
x t
= ⇒ =
⇒
3 3
2 2
2
0 0
1 1 1
2 2 2 2
2
dt
I dt
t t
t
= = −
− +
−
∫ ∫
3
1 2 1
.ln ln(3 2 2)
2
2 2 2 2
0
t
t
−
= = −
+
10.
x
2
2
4
1
1
1
x
I d
x
−
=
+
∫
Ta có:
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
−
−
=
+
+
.
Đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x
x
= + ⇒ = −
Đổi cận: Với
1 2;
x t
= ⇒ =
Với
5
2
2
x t
= ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 23
5
2
2
2
2
dt
I
t
⇒ = −
+
∫
.
Đặt
2
2 tan 2
cos
du
t u dt
u
= ⇒ =
;
1 2
5 5
tan 2 arctan 2; tan arctan
2 2
u u u u= ⇒ = = ⇒ =
⇒
2
1
2 1
2 2 2 5
( ) arctan arctan 2
2 2 2 2
u
u
I du u u
= = − = −
∫
11.
2
2
3
1
1 x
I dx
x x
−
=
+
∫
Ta có:
2
2
1
1
1
1
x
I dx
x
x
−
=
+
∫
. Đặt
1
t x
x
= +
2
1
1
dt dx
x
⇒ = −
Đổi cận: Với
1 2;
x t
= ⇒ =
Với
5
2
2
x t
= ⇒ =
5
5
2
2
2
2
5 4
ln ln ln2 ln
2 5
dt
I t
t
= − = − = − + =
∫
12.
1
4
6
0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
Ta có:
4 2 2
4 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
( 1)
1 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
x x x
x x x x x
x x x x x x x x
− + +
+ − +
= = + = +
+ + + − + + + +
⇒
1 1
3
2 3 2
0 0
( )
1 1 1
.
3 4 3 4 3
1 ( ) 1
d x
I dx dx
x x
π π π
= + = + =
+ +
∫ ∫
13.
3
3
2
4
0
1
x
I dx
x
=
−
∫
3 3
3 3
2
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
ln(2 3)
2 4 12
( 1)( 1) 1 1
x
I dx dx
x x x x
π
= = + = − +
− + − +
∫ ∫
14.
1
4 2
0
1
xdx
I
x x
=
+ +
∫
.
Đặt
2
t x
=
2
2
dt
dt xdx xdx⇒ = ⇒ =
GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 24
Đổi cận:
0 0;
x t
= ⇒ =
Với
1 1
x t
= ⇒ =
1 1
2 2
2
0 0
1 1
2 2
6 3
1
1 3
2 2
dt dt
I
t t
t
π
⇒ = = =
+ +
+ +
∫ ∫
15.
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
Ta có:
2
2
4 2
2
2
1
1
1
1
1
1
x
x
x x
x
x
+
+
=
− +
+ −
.
Đặt
2
1 1
1
t x dt dx
x
x
= − ⇒ = +
1
2
0
1
dt
I
t
⇒ =
+
∫
.
Đặt
2
tan
cos
du
t u dt
u
= ⇒ =
⇒
4
0
4
I du
π
π
= =
∫
