Đề thi HSNK Trường

Câu 1 (4 điểm). Rút gọn các biểu thức sau
a) A = (3x + 1)
2
-2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)
2
b) B =
2 4 8
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1x x x x x
+ + + +
+ + + +
(Với
1; 1x x
)
Câu 2 (3 điểm). Chứng minh tích của 3 số nguyên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48.
Câu 3 (5 điểm). Giải các phơng trình sau
a)
29 27 25 23 21
5
21 23 25 27 29
x x x x x
+ + + + =
b)
2 2 4 2
1 1 3
1 1 ( 1)
x x
x x x x x x x
+
=
+ + + + +

Câu 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10cm, đờng cao AH bằng 4cm. Gọi I
và K thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Chứng minh AH
2
= AI.AB
b) AB.AC = AH.BC
c) Tính diện tích tứ giác AIHK.
Câu 5 (2 điểm)
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
3
+ y
3
+ xy
b) Cho x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x
2
+ y
2
+ z
2
Hết
PHềNG GD&T THANH SN
TRNG THCS Lấ QUí ễN
HNG DN CHM THI HC SINH NNG
KHIU CP TRNG
Mụn: Toỏn 8
Nm hc 2009-2010.
Thi gian lm bi 150 phỳt khụng k thi gian giao .
Câu Đáp án Điểm
Câu 1

(4
điểm).
a) A = (3x + 1)
2
-2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)
2
= (3x + 1 - 3x -5)
2

= 16
1
1
b) B =
2 4 8
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1x x x x x
+ + + +
+ + + +
(Với
1; 1x x
)
=
2 2 4 8
1 1 1 1
1 1 1 1x x x x
+ + +
+ + +
=
4 4 8
1 1 1

1 1 1x x x
+ +
+ +
=
8 8
1 1
1 1x x
+
+
=
16
1
1x
1
1
Câu 2
(3
điểm).
Gọi 3 số nguyên chẵn liên tiếp đó là 2a; 2a+2; 2a+4 (a thuộc Z)
Tích của 3 số trên là A = 2a(2a+2)(2a+4)
= 8. a(a+1)(a+2) = 8.B (1)
Ta thấy B = a(a+1)(a+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên B
M
3
và a(a+1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên B
M
2
mà (3,2) =1 suy ra B
M
6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A
M
(8.6) hay A
M
48
Vậy, tích của 3 số nguyên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 3
(5
điểm).
Giải các phơng trình sau
a)
29 27 25 23 21
5
21 23 25 27 29
x x x x x
+ + + + =
29 27 25 23 21
1 1 1 1 1 0
21 23 25 27 29
x x x x x
+ + + + + + + + + =
50 50 50 50 50
0
21 23 25 27 29

x x x x x
+ + + + =
1 1 1 1 1
(50 )( ) 0
21 23 25 27 29
x + + + + =
(50 ) 0x =
Vì
1 1 1 1 1
( ) 0
21 23 25 27 29
+ + + +
50x =
. Kết luận
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b)
2 2 4 2
1 1 3
1 1 ( 1)
x x
x x x x x x x
+
=
+ + + + +
ĐKXĐ:
0x

Ta thấy
4 2 2 2
( 1) ( 1)( 1)x x x x x x x x+ + = + + +
Nên PT => x(x+1)(x
2
-x+1) - x(x-1)(x
2
+x+1) = 3
x(x
3
+1) - x(x
3
-1) = 3
2x = 3
x = 3/2 ( T/m ĐKXĐ ). Kết luận
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4
(6
điểm)
a) Chứng minh AH
2
= AI.AB
Xét

AIH và

AHB có
gócAIH=gócAHB=90
0
góc A chung
=>

AIH và

AHB đồng dạng (g.g)
2
.
AI AH
AH AI AB
AH AB
= => =
0,5
0,5
0,5
0,5
A
B
C
H
I
K
b) Ta có S
ABC
= 1/2 AB.AC (Do góc A = 90
0

)
= 1/2 AH.BC (Do AH là đờng cao)
Suy ra 1/2 AB.AC = 1/2 AH.BC => AB.AC = AH.BC
0,5
0,5
0,5
c) Tính diện tích tứ giác AIHK.
Ta thấy AIHK là hình chữ nhật do có 3 góc vuông
gócA = gócI = gócK = 90
0
=> S
AIHK
= AI.AK
Câu a =>
2
AH
AI
AB
=
Chứng minh tơng tự =>
2
AH
AK
AC
=
Nên S
AIHK
= AI.AK =
4
.

AH
AB AC
mà AB.AC = AH.BC (câu b)
Nên S
AIHK
=
4 3 3
2
4
6,4( )
. 10
AH AH
cm
AH BC BC
= = =

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 5
(2
điểm)
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
3
+ y
3
+
xy

Ta có A = (x + y)
3
- 3xy(x + y) + xy = 1 - 2xy (1)
Từ x + y = 1 => (x + y)
2
= 1 => x
2
+ y
2
+ 2xy = 1
=> 2xy = 1 - (x
2
+ y
2
) thay vào (1) ta đợc
A = x
2
+ y
2
với y = 1 - x ta đợc
A = 2x
2
-2x + 1 = 2(x
2
-2x.1/2+1/4-1/4) + 1
= 2(x - 1/2)
2
+1/2

1/2 Dấu = xảy ra x = 1/2

Vậy Min A = 1/2 x = 1/2 và y = 1/2
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Cho x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x
2
+ y
2

+ z
2
Ta có B = x
2
+ y
2
+ z
2
= (x+y+z)
2
-2(xy+yz+zx)
= 9 - 2(xy+yz+zx) (1)
Ta dễ chứng minh đợc x
2
+ y
2
+ z
2

xy+yz+zx
=> 2(x
2
+ y
2
+ z
2
)

2(xy+yz+zx)
=> 2B

2(xy+yz+zx) (2)
Cộng (1) với (2) ta đợc
3B

9 B

3. Dấu = xảy ra x = y = z = 1
Vậy Min B = 3 x = y = z = 1
0,25
0,5
0,25
0,25