Đề thi HSG trường

TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI
ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2007 – 2008
Môn: Toán 12
Thời gian 180 phút không kể giao đề
Bài 1(1,5 điểm).
Cho tam giác ABC thỏa mãn
( )
5 3
3cosA 3 cosB cosC
2
+ + =
Chứng minh rằng tam giác ABC cân ở A và Â = 120
0
.
Bài 2 (2 điểm).
Xét phương trình x
n
– x
2
– x – 1 = 0 (
n 2, n> ∈N
) (1)
1/ CMR phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất.
2/ Với mỗi n (
n 2, n> ∈N
), ký hiệu x
n
là nghiệm dương của PT (1).
Tìm
( )

n
n
lim n x 1
→∞
−
Bài 3 (1,5 điểm).
Giải hệ
( ) ( )
2 2
2
y x
2
3 2
x 1
e
y 1
3log x 2y 6 2log x y 2 1
−

+
=

+


+ + = + + +

Bài 4 (4 điểm).
1/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tính diện tích phần mặt phẳng tạo bởi các điểm (x; y)
thỏa mãn điều kiện:

( ) ( )
2 2
12 x 2007 y 2007 84≤ − + − ≤
2/ Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau tại A và I là tâm
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
( )
α
là mặt phẳng đi qua I và
( )
AIα ⊥
. CMR điều kiện cần
và đủ để
( )
M∈ α
là MB
2
+ MC
2
+ MD
2
= 3MA
2
.
Bài 5 (1 điểm).
Ta giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng đều được tô màu đỏ hoặc màu xanh. Chứng
minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu.

………………. Hết ……………….
LỜI GIẢI TÓM TẮT
Bài 1 (1 điểm)

( ) ( )
2 2
2
2
5 3
cosA + 3 cosB + cosC 1 cosA - 3 cosB +cos C 0
2 2
A A B - C 3 A A B - C 3
2sin 2 3 sin cos 0 sin 3 sin cos 0
2 2 2 2 2 2 2 4
B C
sin 0
A 3 B - C 3 B C
2
sin cos sin 0
2 2 2 4 2
A 3 B - C
sin cos 0
2 2 2
⇔ = ⇔ − + =
⇔ − + = ⇔ − + =
−

=

 
−

⇔ − + = ⇔


 
 

− =


Từ đây suy ra ĐPCM.
Bài 2 (2 điểm)
1/ ( 1 điểm)
Xét h/s f(x) = x
n
– x
2
– x – 1,
n 2, n> ∈N
. Ta có f(-1) = -2 <0, f(2) = 2
n
– 7 > 0, từ đó
PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trông (1; 2).
Nếu x là nghiêmj dương của PT thì x > 1, vì x
n
= x
2
+ x + 1 >1.
Với x > 1 thì f’(x) = nx
n-1
– 2x – 1 >0 nên PT f(x) = 0 chỉ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Từ đó ta có đpcm. Hơn nữa 1< x
n

<2.
2/ (1 điểm)
Ta có
2
2
n n
n
n n n n
x x 1
6
1 x x x 1 1 l imx 1
n n
+ +
< = + + ≤ < + ⇒ =
Mặt khác
( )
( )
( )
2
n n
n 2 2
n
n n n n n n
n n
ln x x 1
x 1
x x x 1 n n x 1 ln x x 1
ln x ln x
+ +
−

= + + ⇒ = ⇒ − = + +
Do
( )
n
n n
n n n
n
x 1
lim x 1 lim 1 lim n x 1 ln3.
ln x
→∞ →∞ →∞
−
= ⇒ = ⇒ − =
Bài 3 (1,5 điểm).
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
PT(1) y x ln x 1 ln y 1 ln x 1 x 1 ln y 1 y 1⇔ − = + − + ⇔ + + + = + + +

Xét h/s f(t) = lnt + 1,
t 1
≥
là hàm đồng biến trên
( )
1;+∞
do đó x
2
+ 1 = y
2
+1 nên
x y= ±

.
Với x = -y, từ PT(2) ta được x = 3, y = -3.
Với x = y, từ PT(2) ta được
3 2
3log (x 2) 2 log (x 1), x 1+ = + > −
.
Đặt 3log
3
(x+2) = 2log
2
(x+1) = 6u, ta được x+2 = 3
2u
và x+1 = 2
3u
từ đó suy ra
1 + 2
3u
= 3
2u
, PT này có nghiệm duy nhất u = 1. Từ đó được x = y = 7.
Bài 4 (4 điểm)
1/ (2 điểm).
Thay x , y
bởi x hay –x, y hay –y có thể thấy các điểm thỏa mãn bài ra được biểu
diễn bởi các phần tô đậm sau. Từ đó tính được diện tích cần tìm là
( )
4 84 12 288π − = π
2/ (2 điểm). Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác
BCD. Ta có: I, G, A thẳng hàng và
3

IA GA
2
=
uur uuur
.

Ta có MB
2
+ MC
2
+ MD
2
= 3MA
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
MI IB MI IC MI ID 3 MI IA
2MI IB IC ID IB IC ID 6MI.IA 3IA
6MI.IG 6MI.IA MI.AG 0 MI AG M .
⇔ + + + + + = +
⇔ + + + + + = +
⇔ = ⇔ = ⇔ ⊥ ⇔ ∈ α
uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur
uuur uur uur uur uuuruuur
uuuruur uuur uur uuur uuur
Bài 5 (1 điểm).
Giả sử có 2 điểm phân biệt A, B có cùng màu đỏ. Dựng

hình vuông ABCD tâm O.
Nếu C màu đỏ hoặc D màu đỏ thì ta có tam giác vuông cân
có 3 đỉnh cùng màu là ABC hoặc ABD.
Nếu C, D cùng màu xanh thì
- Nếu O màu đỏ thì ta có tam giác vuông cân có 3
đỉnh cùng màu là OAB.
- Nếu O màu xanh thì ta có tam giác vuông cân có 3
đỉnh cùng màu là OCD.
A
B
C
D
IG
C
D
A
B
O