120 phương trình lượng giác thi thử các trường THPT 2013
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (474.36 KB, 40 trang )
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
TUYN TP THI TH I HC:
Ch : PHNG TRÌNH LNG GIÁC
01: Gii phng trình:
3
2 2 cos 2 sin 2 cos 4sin 0
4 4
+ + − + =
x x x x .
Bài gii:
⇔
[
]
(sin cos ) 4(cos sin ) sin 2 4 0
+ − − − =
x x x x x
⇔
4
= − +
x k
;
3
2 ; 2
2
= = +
x k
x k
02:
Tìm nghi
m trên kho
ng
0;
2
c
a ph
ng trình:
2 2
3
4sin 3sin 2 1 2cos
2 2 4
− − − = + −
x
x x
Bài gii:
(2) ⇔ sin 2 sin
3 2
− = −
x x
⇔
5 2
( ) ( )
18 3
5
2 ( ) ( )
6
= + ∈
= + ∈
x k k Z a
x l
l Z b
Vì
0;
2
∈
x
nên
5
18
x =
03:
Gi
i ph
ng trình:
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
+ − − =
x x x
x x
.
Bài gii:
(1) ⇔
2
cos 2 cos cos 2 2cos2
cos 2 0
4 2
sin 2 0
− − =
⇔ = ⇔ = +
≠
x x x x
x x k
x
.
04:
Gi
i ph
ng trình:
3sin 2 2sin
2
sin 2 .cos
−
=
x x
x x
.
Bài gii:
⇔
2
2(1 cos )sin (2cos 1) 0
3
2cos 1 0
sin 0, cos 0
2
3
= +
− − =
⇔ − = ⇔
≠ ≠
= − +
x k
x x x
x
x x
x k
05:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
.
Bài gii:
i
u ki
n:
(
)
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
+ ≠
≠
x x x x x
x
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
T
(1) ta có:
(
)
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
−
= ⇔ =
+ −
x x
x x
x
x x x
x
x x x
2sin .cos 2 sin
⇔ =
x x x
( )
2
2
4
cos
2
2
4
= +
⇔ = ⇔ ∈
= − +
x k
x k
x k
i chiu vi iu kin, ta c h nghim ca phng trình ã cho là
( )
2
4
x k k= − + ∈
06: Gii phng trình:
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
+
= +
x x
x x
x
.
Bài gii:
iu kin:
sin 2 0
≠
x
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
−
⇔ = +
x
x x
x x x
2
2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
x
x x
x x
(không th
a
i
u ki
n)
V
y ph
ng trình
ã cho vô nghi
m.
07:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
(
)
2cos 1 sin cos 1
− + =
x x x
.
Bài gii:
áp s
:
2
2 ;
6 3
= = +
k
x k
x .
08:
Gi
i ph
ng trình:
2 2 3 3
tan tan .sin cos 1 0
− + − =
x x x x .
Bài gii:
i
u ki
n:
2
≠ =
x k
.
Ph
ng trình⇔
(
)
(
)
2 3 3
tan 1 sin 1 cos 0
− − − =
x x x ⇔
⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
1 cos 1 sin sin cos sin cos sin cos 0
− − − + + =
x x x x x x x x
⇔
2 ; ; 2 ; 2
4 4 4
= = + = + + = − +
x k
x k
x
k
x
k
09:
Gi
i ph
ng trình:
3 3
2 3 2
cos3 cos sin 3 sin
8
+
− =x x x x .
Bài gii:
PT ⇔
2
cos 4 ,
2 16 2
= ⇔ = ± + ∈
x x k k Z
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
10:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
sin 2 sin 4 cos 2
0
2sin 3
− + −
=
+
x x x
x
.
Bài gii:
Ph
ng trình
(
)
(
)
2cos 1 sin cos 2 0
2sin 3 0
− + =
⇔
+ ≠
x x x
x
⇔
2
3
= +
x k
11:
Gi
i ph
ng trình:
sin cos 4sin 2 1
− + =
x x x
Bài gii:
t
(
)
sin cos 0
= − ≥
t x x t .
Ph
ng trình tr
thành:
( )
2
0
0 ; ,
1
4 2
=
− = ⇔ = + = ∈
=
t
t t x k
x l k l
t
12:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
( )
2
cos . cos 1
2 1 sin
sin cos
−
= +
+
x x
x
x x
Bài gii:
Ph
ng trình ⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 sin 1 sin cos 1 2 1 sin sin cos
+ − − = + +
x x x x x x
( )( )
1 sin 0
1 sin 0
2
2
1 sin cos 1 0
sin cos sin cos 1 0
2
+ =
+ =
= − +
⇔ ⇔ ⇔
+ + =
+ + + =
= +
x
x
x k
x x
x x x x
x
k
13:
Gi
i ph
ng trình:
9sin 6cos 3sin 2 cos 2 8
+ − + =
x x x x
Bài gii:
Ph
ng trình ⇔
( )( )
1 sin 6cos 2sin 7 0 1 sin 0 2
2
− + − = ⇔ − = ⇔ = +
x x x x x k
14:
Gi
i ph
ng trình:
cot 3 tan 2cot 2 3
+ + + =
x x x
Bài gii:
i
u ki
n: sin cos 0
2
≠ ⇔ ≠
x x x k
.
Ta có:
2 2
cos 2 cos sin
2cot 2 2 2 cot tan
sin 2 2sin cos
−
= = = −
x x x
x x x
x x x
.
Ph
ng trình ⇔
2
cot 3
3 cot 3 cot cot 1
4
cot 7 cot 6 0
≤
+ = − ⇔ ⇔ = ⇔ = +
− + =
x
x x x x k
x x
15:
Gi
i ph
ng trình:
( )
2 2
2 1
cos cos sin 1
3 3 2
+ + + = +
x x x
Bài gii:
( )
2
2 4
1 2cos 2 1 cos 2 1 sin 2cos 2 .cos sin 1
3 3 3
5
1 cos 2 sin 0 2sin sin 0 2 ; 2 ;
6 6
⇔ + + + + + = + ⇔ + = −
⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = + = + =
x x x x
x
x x x x x k
x k x k
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
16:
Gi
i ph
ng trình:
sin 3 4cos 3
6
0
sin 3 1
− − −
=
−
x x
x
Bài gii:
( )
3
3
sin 3 1 4sin 3sin 1
3 3
sin 3 4cos 3
6
0 sin 3 4sin 3 0
sin 3 1 3 3
4sin 7sin 3 0
3 3
sin 1
3
3
sin
3 2
sin
≠ ⇔ + − + ≠
− − −
= ⇔ − + − + − =
−
⇔ + − + − =
+ = −
⇔ + =
+
x x x
x x
x x
x
x x
x
x
x
(
)
1
3 2
5
)sin 1 2
3 6
5
2 .
6
= −
+ + = − ⇔ = − +
= − +
x x k
x k
17:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2
3 4sin 2 2cos 2 1 2sin
− = +
x x x
Bài gii:
Bi
n
i ph
ng trình v
d
ng
(
)
(
)
2sin 3 2sin 1 2sin 1 0
+ − + =
x x x
Do
ó nghi
m c
a ph
ng trình là
7 2 5 2
2 ; 2 ; ;
6 6 18 3 18 3
= − + = + = + = +
k k
x k x k x x .
18:
Gi
i ph
ng trình:
2cos3 3 sin cos 0
+ + =
x x x
Bài gii:
3 sin cos 2cos3 0
+ + =
x x x ⇔
cos cos3
3
x x
− = −
⇔
( )
cos cos 3
3
− = −
x
x
⇔
3 2
3
= +
= +
k
x
x k
⇔
3 2
= +
k
x
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
19:
Gi
i ph
ng trình:
2 3
2
2
cos cos 1
cos 2 tan
cos
+ −
− =
x x
x x
x
Bài gii:
i
u ki
n:
cos 0
≠
x
Ph
ng trình
(
)
2 2
cos 2 tan 1 cos 1 tan⇔ − = + − +
x x x x
2
cos 1
2cos cos 1 0
1
cos
2
=
⇔ − − = ⇔
= −
x
x x
x
i chi
u
i
u ki
n ta có nghi
m c
a ph
ng trình:
2 2
2 , 2 ;
3 3
= = ± + =
x k
x k x k
.
20:
Gi
i ph
ng trình:
2
2sin sin 2 sin cos 1 0
− + + − =
x x x x
Bài gii:
(
)
2 2
2sin sin 2 sin cos 1 0 2sin 2cos 1 sin cos 1 0
− + + − = ⇔ − − + − =
x x x x x x x x
(
)
(
)
(
)
2 2
2cos 1 8 cos 1 2cos 3
= − − − = −x x x
Phng trình
1
sin
2
sin cos 1
=
⇔
= −
x
x x
+
1
sin
2
= ⇔
x
5
2 ; 2
6 6
= + = +
x k
x k
+
sin cos 1
= −
x x
, ta có:
2
sin cos 1 sin sin
4 2 4
− = − ⇔ − = − = −
x x x ,
suy ra:
2
=
x k
;
3
2
2
= +
x k
.
21:
Gi
i ph
ng trình:
sin 3 3sin 2 cos 2 3sin 3cos 2 0
x x x x x
− − + + − =
Bài gii:
Ph
ng trình
(
)
(
)
sin 3 sin 2sin 3sin 2 cos 2 2 3cos 0
x x x x x x
⇔ + + − − + − =
(
)
2
2sin 2 .cos 2sin 6sin .cos 2cos 3cos 1 0
⇔ + − − − + =
x x x x x x x
(
)
2 2
2sin .cos 2sin 6sin .cos 2cos 3cos 1 0
⇔ + − − − + =
x x x x x x x
( )
( )
2
1
sin
2
2sin 1 2cos 3cos 1 0 cos 1
1
cos
2
=
⇔ − − + = ⇔ =
=
x
x x x x
x
+)
2
1
6
sin .
5
2
2
6
= +
= ⇔
= +
x k
x
x k
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
+)
2
1
3
cos .
2
2
3
= +
= ⇔
= − +
x k
x
x k
+)
cos 1 2 .
= ⇔ =
x x k
22:
Tìm
(
)
0;
∈
x
tho
mãn ph
ng trình:
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
− = + −
+
x
x x x
x
.
Bài gii:
i
u ki
n:
sin 2 0 sin 2 0
sin cos 0 tan 1
≠ ≠
⇔
+ ≠ ≠ −
x x
x x x
Khi
ó pt
2
cos sin cos 2 .cos
sin sin cos
sin cos sin
−
⇔ = + −
+
x x x x
x x x
x x x
2 2
cos sin
cos sin cos sin sin cos
sin
−
⇔ = − + −
x x
x x x x x x
x
⇔
(
)
cos sin sin 1 sin 2
− = −
x x x x
⇔
(
)
(
)
2
cos sin sin cos sin 1 0
− − − =
x x x x x
⇔
(
)
(
)
cos sin sin 2 cos 2 3 0
− + − =
x x x x
⇔
cos sin 0
− =
x x
⇔
tanx = 1
.
4
⇔ = +
x k
(th
a mãn
i
u ki
n)
Do
( )
0; 0
4
∈ = =
x k x .
23:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
3 cos 2 2cos sin 1 0
+ − =
x x x
Bài gii:
3 cos 2 sin 2 2cos
⇔ + =
x x x
3 1
cos 2 sin 2 cos
2 2
⇔ + =
x x x
cos 2 cos sin 2 sin cos
6 6
⇔ + =
x x x
cos 2 cos
6
⇔ − =
x x
2 2
6
2 2
6
− = +
⇔
− = − +
x x k
x x k
2
6
.
2
18 3
= +
⇔
= +
x k
k
x
24:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2
4sin 3 2 1 sin tan
+ = −
x x x
Bài gii:
i
u ki
n:
cos 0
≠
x
(*)
V
i
i
u ki
n trên, ph
ng trình
ã cho
( )
2
2
sin
4sin 3 2 1 sin
1 sin
⇔ + = −
−
x
x x
x
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
2
1
sin
2sin 7sin 3 0
2
sin 3
= −
⇔ + + = ⇔
= −
x
x x
x
!"#
.
2
6
⇔ = − +
x k
ho
c
7
2
6
= +
x k
(th
a mãn
i
u ki
n
( )
∗
)
25:
Gi
i ph
ng trình:
( )
1
tan 2 tan sin 4 sin 2
6
− = +
x x x x
Bài gii:
i
u ki
n:
cos 2 0
4 2
cos 0
2
≠ +
≠
⇔
≠
≠ +
m
x
x
x
x k
(
)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
3 2
2
(1) 6sin cos 2 cos sin 4 sin 2
6sin cos cos 2 4sin cos cos 2 2sin cos
sin 4cos cos 2 2cos cos 2 6 0
sin 2cos 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 6 0
sin 2cos 2 3cos 2 cos 2 6 0
sin cos 2 1 2cos 2 5cos 2
⇔ = +
⇔ = +
⇔ + − =
⇔ + + + − =
⇔ + + − =
⇔ − + +
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
( )
6 0=
2
sin 0
cos 2 1
2cos 2 5cos 2 6 0 ( )
=
⇔ = ⇔ =
+ + =
x
x x k
x x
$#
26:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
(
)
2 sin cos sin3 cos3 3 2 2 sin 2
− + + = +
x x x x x
Bài gii:
⇔
(
)
(
)
3 3
2 sin cos 3sin 4sin 4cos 3cos 3 2 2 sin 2
− + − + − = +
x x x x x x x
⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
5 sin cos 4 sin cos 1 sin cos 3 2 2 sin 2
− − − + = +
x x x x x x x
⇔
(
)
(
)
(
)
sin cos 1 4sin cos 3 2 2 sin 2
− − = +
x x x x x
(1)
+
t
sin cos 2 sin 2; 2
4
= − = − ∈ −
t x x x t
suy ra:
2
1 sin 2
= −
t x
Lúc
ó (1) tr
thành
(
)
(
)
2 2
1 2 1 3 2 3
+ − = −
t t t
⇔
3 2
2 3 2 9 2 0
+ − − =
t t t
⇔
(
)
(
)
2
2 2 5 2 9 0 2
− + + = ⇔ =t t t t
⇔
Suy ra:
3
2 sin 2 sin 1 2
4 4 4
− = ⇔ − = ⇔ = +
x x x k
27:
Gi
i ph
ng trình:
2 3 1
8sin
sin cos
+
+ =
x
x x
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
Bài gii:
i
u ki
n:
2
≠
x k
Ph
ng trình
(
)
2
2 3 cos sin 8sin .cos
⇔ + + =
x x x x
(
)
(
)
2 3 cos sin 4 1 cos 2 .cos
⇔ + + = −
x x x x
(
)
(
)
2 3 cos sin 4cos 2 cos3 cos
⇔ + + = − +
x x x x x
3 cos sin 2 cos3
⇔ + = −
x x x
3 1
cos sin cos3
2 2
⇔ + = −
x x x
( )
cos cos 3
6
⇔ − = −
x
x
7
3 2
6
24 2
5
3 2
6 12
− = − +
= +
⇔ ⇔
− = − + + = −
x x k
x k
x
x k x k
(Th
a mãn
i
u ki
n)
28:
Tìm nghi
m
(
)
0;
∈
x
c
a ph
ng trình: 5cos sin 3 2 sin 2
4
+ − = +
x x x .
Bài gii:
Ph
ng trình
5cos sin 3 sin 2 cos 2
⇔ + − = +
x x x x
( )( ) ( )
( )( )
2
2cos 5cos 2 sin 2 sin 0
2cos 1 cos 2 sin 2cos 1 0
1
cos
2cos 1 cos sin 2 0
2
cos sin 2
2
3
⇔ − + + − =
⇔ − − + − =
=
⇔ − + − = ⇔
+ =
⇔ = ± +
#
x x x x
x x x x
x
x x x
x x
x k
Theo gi
thi
t
(
)
0;
∈
x
suy ra ph
ng trình có nghi
m duy nh
t là:
3
29:
Gi
i ph
ng trình: cos cos3 1 2 sin 2
4
+ = + +
x x x
Bài gii:
2cos 2 cos 1 sin 2 cos 2
⇔ = + +
x x x x
(
)
cos 2 2cos 1 1 2sin cos
⇔ − = +
x x x x
(
)
(
)
(
)
2
2 2
cos sin 2cos 1 cos sin⇔ − − = +
x x x x x
( )( )
cos sin 0 (1)
cos sin 2cos 1 cos sin (2)
+ =
⇔
− − = +
x x
x x x x x
(1) 2 sin 0
4 4 4
⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − +
x x k
x k
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
( )
cos 0
2
(2) 2cos cos sin 1 0
2 cos 1
2
4
4 4
=
= +
⇔ − − = ⇔ ⇔
+ =
+ = ± +
x
x k
x x x
x
x k
V
y ph
ng trình có nghi
m là:
4
= − +
x k
,
2
= +
x k
,
2
=
x k
30:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
(
)
2
4 2 3 cos 2 3 3 cos sin 2 3 sin 0
− + − + + =
x x x x
Bài gii:
Ph
ng trình
2 2
4cos 2 3 cos 2 3 cos 3cos 2sin cos 3 sin 0
⇔ + − − + + =
x x x x x x x
(
)
(
)
(
)
( )( )
2cos 2cos 3 3 cos 2 cos 3 sin 2cos 3 0
2cos 3 0
2cos 3 2cos 3 cos sin 0
2cos 3 cos sin 0
⇔ + − + + + =
+ =
⇔ + − + = ⇔
− + =
x x x x x x
x
x x x x
x x x
+
3 5
2cos 3 0 cos .2
2 6
+ = ⇔ = − ⇔ = ± +
x x x k
2cos 3 cos sin 0 3 cos sin 2cos
.2
3 1
6
cos sin cos cos cos
2 2 6
.2
6
+ − + = ⇔ − =
+ = +
− = ⇔ + = ⇔
+ = − +
x x x x x x
x x k
x x x x x
x x k
12
⇔ = − +
x k
.
V
y ph
ng trình có các nghi
m là:
5
2 ; .
6 12
= ± + = − +
x k
x k
31:
Gi
i ph
ng trình:
( ) ( )
2013 2013
cos3 sin 2 cos cos sin 3 cos 2 sin sin
5 5
− − = + −
x x x x x x
Bài gii:
2013 2013 2013
cos 3 sin 2 cos 0
5 5 5
⇔ + − + − + =
x x x
2013 2013
2sin 2 sin sin 2 0
5 5
⇔ − + − + =
x x x
( )
2013
sin 2 2sin 1 0
5
⇔ + + =
x x
2013
sin 2 0
5
2sin 1 0
+ =
⇔
+ =
x
x
Ph
ng trình có các nghi
m là:
2013
10 2
= − +
x k
;
2
6
= − +
x k
;
7
2
6
= +
x k
.
32:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2
2
2
sin cos 2sin
2
sin sin 3
1 cot 2 4 4
+ −
= − − −
+
x x x
x x
x
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
Bài gii:
i
u ki
n:
sin 0 .
≠ ⇔ ≠
x x k
Ph
ng trình
( )
2
cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin
4
⇔ + = −
x x x x x
( )
cos 2 sin 1 0
4
3
cos 2 0
8 2
4
2
sin 1 0
2
⇔ − − =
= +
− =
⇔ ⇔
= +
− =
x x
k
x
x
x m
x
i chi
u
i
u ki
n ta có nghi
m c
a ph
ng trình là:
3
; 2 .
8 2 2
= + = +
k
x x m
33:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
4 4
2 cos sin 1
3 cos sin
2cos
2 3
− +
= +
−
x x
x x
x
Bài gii:
i
u ki
n:
cos 0
2 3
− ≠
x
Ph
ng trình
( )
( )
2 2
2 cos sin 1 2cos 3 cos sin
2 3
⇔ − + = − +
x
x x x x
( )
( )( ) ( )
( )
2 2
3cos sin 2cos 3 cos sin
2 3
3 cos sin 3 cos sin 2 cos 3 cos sin
2 3
3 cos sin 3 cos sin 2cos 0
2 3
3 cos sin 0
tan 3
cos cos
3 cos sin 2cos
6
2 3
⇔ − = − +
⇔ + − = − +
⇔ + − − − =
+ =
= −
⇔ ⇔
+ =
− = −
x
x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x
x x
x
x
x
x x
2 3
−
x
T
ây gi
i ra và
i chi
u
i
u ki
n, ta có nghi
m ph
ng trình là:
2 4
; 4 ; .
3 9 3
= + = − + = +
k
x k x k x
34:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
sin 4 2cos 2 4 sin cos 1 cos 4
+ + + = +
x x x x x
Bài gii:
(
)
sin 4 2cos 2 4 sin cos 1 cos 4
+ + + = +
x x x x x
(
)
2
2sin 2 cos 2 2cos 2 2cos 2 4 sin cos 0
⇔ + − + + =
x x x x x x
(
)
(
)
cos 2 sin 2 1 cos 2 2 sin cos 0
⇔ + − + + =
x x x x x
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
(
)
(
)
2
cos 2 2sin cos 2sin 2 sin cos 0
⇔ + + + =
x x x x x x
(
)
(
)
sin cos cos 2 sin 1 0
⇔ + + =
x x x x
+ V
i
sin cos 0 ,
4
+ = ⇔ = − + ∈
x x x k
k Z
+ V
i
(
)
(
)
(
)
2 2
cos 2 sin 1 0 1 2sin sin 1 0 sin 1 2sin 1 0
+ = ⇔ − + = ⇔ − − − =
x x x x x x
sin 1 2 .
2
⇔ = ⇔ = +
x x m
35:
Gi
i ph
ng trình:
( )
tan cos3 2cos 2 1
3 sin 2 cos .
1 2sin
+ −
= +
−
x x x
x x
x
Bài gii:
i
u ki
n:
2
cos 0
2
1
6
sin
2
5
2
6
≠ +
≠
⇔ ≠ +
≠
≠ +
x k
x
x m
x
x n
Ph
ng trình
(
)
( )
2 2
sin 4cos 3 4cos 3
3 cos 2sin 1
1 2sin
− + −
⇔ = +
−
x x x
x x
x
(
)
(
)
( )
2
sin 1 1 4sin
3 cos 2sin 1
1 2sin
+ −
⇔ = +
−
x x
x x
x
(
)
(
)
(
)
sin 1 1 2sin 3 cos 2sin 1
⇔ + + = +
x x x x
1
5
sin
2 2
2sin 1 0
2
6 6
1
sin 1 3 cos
cos
2 2
6 2
6 2
= −
= − + ∨ = − +
+ =
⇔ ⇔ ⇔
+ =
+ =
= + ∨ = − +
x
x k
x k
x
x x
x
x k
x k
i chi
u
i
u ki
n, ta có nghi
m c
a ph
ng trình là:
5
2 2
6 6
= − + ∨ = − +
x k
x k
.
36:
Gi
i ph
ng trình:
( )
3 2
2cos 1 cos cos 2sin 2 0
2
− + + − =
x
x x x
Bài gii:
i
u ki
n:
( )
1
cos *
2 2
x
≥
pt
ã cho
( )
( )
3 2
1
cos 1
2 2
cos cos 2sin 2 0 2
x
x x x
=
⇔
+ + − =
;
Ta có:
( )
2 2
1 4 4 .
3 3
π π
π π
⇔ = + ∨ = − +
x k x k
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
(
)
(
)
( )( )
2
2 cos cos 1 2sin 2 0
1 sin sin cos sin cos 1 0
x x x
x x x x x
⇔ + + − =
⇔ − + + − =
i (2) ta
c
2 2 .
2
π
π π
= + ∨ =
x k x k
K
t h
p v
i
i
u ki
n (*) ta
ph
ng
nh
cho
nghi
m:
2 2
4 ; 4 ; 4 ; 4 .
3 3 2
π π π
π π π π
= + = − + = + =
x k x k x k x k
37:
Gi
i ph
ng trình:
4 4
4
sin 2 cos 2
cos 4
tan .tan
4 4
+
=
− +
x x
x
x x
Bài gii:
i
u ki
n:
.
4 2
≠ +
x k
ý r
!
ng :
tan tan tan cot 1
4 4 4 4
− + = − − =
x x x x
và
4 4 2 2
1 1 1
sin 2 2 1 sin 4 4
2 2 2
+ = − = +
!% !%
x c x x c x
Ph
ng trình
4 2 2
2cos 4 cos 4 1 0 cos 4 1 cos8 1
4
⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
k
x x x x x
i chi
u
i
u ki
n, ta
c nghi
m c
a ph
ng trình là :
2
=
k
x .
38:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
+ =
Bài gii:
PT
⇔
(
)
− =
⇔
(
)
− =
Nh
n xét
π
=
không là nghi
m c
a ph
ng trình
ã cho nên ta có:
(
)
− =
⇔
(
)
− =
⇔
xxx sin3sin3cos2
=
⇔
xx sin6sin
=
⇔
+−=
+=
ππ
π
26
26
mxx
mxx
⇔
+=
=
7
2
7
5
2
ππ
π
m
x
m
x
Xét khi
=
5
2
π
m
π
⇔ =
⇔
=
,
Zt
∈
Xét khi
( ) ( )
π π
π
= +
+ = ⇔ + = ⇔ = − +
∈
= +
V
y ph
ng trình có nghi
m:
5
2
π
m
x =
(
tm 5
≠
) ;
7
2
7
π
π
m
x +=
(
37
+
≠
lm
)
trong
ó
∈
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
39:
Gi
i ph
ng trình:
x
xx
xx
2
32
2
cos
1coscos
tan2cos
−+
=−
Bài gii:
i
u ki
n:
≠
Ph
ng trình
(
)
⇔ − = + − + ⇔ − − =
π
π
π
= ⇔ =
⇔
= − ⇔ = ± +
40:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
( )
−
= +
+
Bài gii:
i
u ki
n:
+ ≠
Ph
ng trình
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 sin cos 1 2 1 sin sin cos
⇔ − − = + +
x x x x x
(
)
(
)
1 sin 1 cos sin sin .cos 0
x x x x x
⇔ + + + + =
(
)
(
)
(
)
1 sin 1 cos 1 sin 0
x x x
⇔ + + + =
= −
⇔
= −
(tho
mãn
i
u ki
n)
2
2
2
x k
x m
π
π
π π
= − +
⇔
= +
(
)
,k m ∈
V
y ph
ng trình
ã cho có nghi
m là:
2
2
x k
π
π
= − + và
2
x m
π π
= +
(
)
, ∈k m
41:
Tìm các nghi
m trên
(
)
π
c
a ph
ng trình:
−
= +
−
Bài gii:
Ph
ng trình
π
⇔ = −
&#
i
u ki
n:
π
≠ ⇔ ≠
+ Khi
(
)
π
∈
thì
>
nên: &#
π π π
⇔ = − ⇔ = +
Do
(
)
x 0;
∈ π
nên
π π
= =
+ Khi
(
)
π π
∈ thì
<
nên: &#
π
⇔ − = −
( )
π π π
π
⇔ − = − ⇔ = +
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
Do
(
)
x ;2
∈ π π
nên
π π
= =
V
y ph
ng trình có các nghi
m th
a yêu c
"
u bài toán là:
π π π π
= = = = .
42:
Gi
i ph
ng trình:
−=−+
'(
!%'%
'
!%%
'
%&
''
π
Bài gii:
Ph
ng trình
π
⇔ + − = + − = +
⇔ − − = ⇔ − − =
⇔ − + + =
π
π
π
π
π π
π
=
=
=
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ =
= +
= +
+ +
'
% )
% &
' (
'
' '
'% '% &
' '
43:
Gi
i ph
ng trình:
( )
2 2
1 8 1
2cos cos sin 2 3cos sin
3 3 2 3
π
π
+ + = + + + +
x x x x x
Bài gii:
( )
2 2
1 8 1
2cos cos sin 2 3cos sin
3 3 2 3
π
π
+ + = + + + +
x x x x x
⇔
2 2
1 8 1
2cos cos sin 2 3sin sin
3 3 3
+ = + − +
x x x x x
2 2
6cos cos 8 6sin cos 9sin sin
⇔ + = + − +
x x x x x x
(
)
(
)
2
6cos 1 sin 2sin 9sin 7 0
⇔ − − − + =
x x x x
( ) ( )
7
6cos 1 sin 2 sin 1 sin 0
2
⇔ − − − − =
x x x x
(
)
(
)
1 sin 6cos 2sin 7 0
⇔ − − + =
x x x
1 sin 0 (1)
6cos 2sin 7 0 (2)
− =
⇔
− + =
x
x x
2 .
2
π
π
⇔ = +x k
44:
Gi
i ph
ng trình:
sin 2 cos 2
tan cot
cos sin
+ = −
x x
x x
x x
Bài gii:
(1)
+
⇔ = −
!%' !% % ' % % !%
% !% !% %
(
)
−
−
⇔ =
' '
!% '
% !%
% !% % !%
{
{
= −
+ − =
⇔ ⇔
≠
≠
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
⇔ = = − ≠
π
π
⇔ = ± +
45:
Gi
i ph
ng trình:
( )
2
2cos 3 .cos 3 1 sin 2 2 3 cos 2
4
π
+ + = +
x x x x
Bài gii:
( )
cos 4 cos 2 3 1 sin 2 3 1 cos 4
2
cos 4 3 sin 4 cos 2 3 sin 2 0
π
⇔ + + + = + +
⇔ + + + =
x x x x
x x x x
sin 4 sin 2 0
6 6
18 3
2sin 3 .cos 0
6
2
π π
π π
π
π
π
⇔ + + + =
= − +
⇔ + = ⇔
= +
x x
x k
x x
x k
V
y ph
ng trình có hai nghi
m
2
x k
π
π
= + và
18 3
x k
π π
= − + .
46:
Gi
i ph
ng trình:
5
2 2 cos sin 1
12
π
− =
x x
Bài gii:
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
π π
⇔ − + =
x
5 5 1 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
3 12 12
π π π π π π
π π π
⇔ − + = = ⇔ − = − =
= − = −
x x
( )
5
2 2
5
6
12 12
sin 2 sin
5 13
3
12 12
2 2
12 12
4
π
π π
π
π
π π
π π
π
π
π
= +
− = − +
⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈
− = +
= +
x k
x k
x k
x k
x k
47:
Gi
i ph
ng trình:
cos cos3 1 2 sin 2
4
π
+ = + +
x x x
Bài gii:
2
2cos cos 2 1 sin 2 cos 2 2cos 2sin cos 2cos cos 2 0
⇔ = + + ⇔ + − =
x x x x x x x x x
(
)
(
)
(
)
cos cos sin cos 2 0 cos cos sin 1 sin cos 0
⇔ + − = ⇔ + + − =
x x x x x x x x x
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
2
2 2
cos 0
4
cos sin 0
4 4
2
1 sin cos 0
2
1
4 4
sin
5
4
2
2
4 4
π
π
π π
π π
π
π
π π
π π
π π
π
π
π
π π
π
= +
= + = +
=
= − +
⇔ + = ⇔ = − + ⇔ ⇔ = − +
− = − +
+ − =
=
− = −
− = +
x k
x k x k
x
x k
x x x k x k
x k
x x
x k
x
x k
48:
Gi
i ph
ng trình:
cos 2 2sin 1 2sin cos 2 0
+ − − =
x x x x
Bài gii:
(
)
(
)
(
)
( )( )
1 cos 2 1 2sin 1 2sin 0
cos 2 1 1 2sin 0
⇔ − − − =
⇔ − − =
x x x
x x
V
y ph
ng trình có các nghi
m là:
5
; 2 ; 2 .
6 6
π π
π π π
= = + = +
x k x k x k
49:
Gi
i ph
ng trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
+ + + = + + +
x x x x x x x x
Bài gii:
( ) ( )
( )
sin cos 0
sin cos 2 2 sin cos sin .cos 0
2 2 sin cos sin .cos 0
− =
⇔ − + + + = ⇔
+ + + =
x x
x x x x x x
x x x x
+ V
i
sin cos 0 .
4
π
π
− = ⇔ = +
x x x k
+ V
i
(
)
2 2 sin cos sin .cos 0
+ + + =
x x x x
,
t t =
sin cos ; 2; 2
= + ∈ −
t x x t
Ta
c ph
ng trình:
2
1
4 3 0
3
= −
+ + = ⇔
= −
!"#
t
t t
t
V
i
2
1
2
2
π π
π
π
= +
= −
= − +
x m
t
x m
V
y
ph
ng trình có các nghi
m là :
; 2 ; 2 .
4 2
π π
π π π π
= + = + = − +x k x k x k
50:
Gi
i ph
ng trình:
2 2
2sin 2sin tan
4
π
− = −
x x x
Bài gii:
2 2 2
sin
2sin 2sin tan 1 cos 2 2sin
4 2 cos
π π
− = − ⇔ − − = −
x
x x x x x
x
(
)
2
cos sin 2 .cos 2sin .cos sin cos sin sin 2 cos sin 0
⇔ − − + ⇔ + − + =
x x x x x x x x x x x
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
cos 0
sin cos tan 1
4
4 2
sin 2 1 2 2
2 4
π
π
π π
π π
π π
≠
= − → = − ⇔ = − +
⇔ → = +
= ⇔ = + ⇔ = +
x
x x x x k
x k
x x l x l
51:
Gi
i ph
ng trình:
2 2
2 3 sin
sin sin
3 3 2
x
x x
π π
−
+ + + =
Bài gii:
Ph
ng trình
2 2
1 cos 2 1 cos 2
3 sin
3 3
2 2 2
x x
x
π π
− + − −
−
⇔ + =
2
2 2
1 sin cos 2 cos 2 0
3 3
sin 0
1 sin cos 2 0 2sin sin 0
1
sin
2
x x x
x
x x x x
x
π π
⇔ − + + + − =
=
⇔ − − = ⇔ − = ⇔
=
5
; 2 ; 2 .
6 6
x k x k x k
π π
π π π
= = + = +
52: Gi
i ph
ng trình:
3
2
cos sin
1 sin cot
sin sin
x x
x x
x x
+
= + +
−
Bài gii:
i
u ki
n:
sin 0
sin 1
x
x
≠
≠
.
2
2
x k
x m
π
π
π
≠
⇔
≠ +
Khi
ó ph
ng trình
ã cho t
ng
ng v
i
( )
(
)
3 2
cos sin 1 sin sin sin cos
x x x x x x
+ = − + +
xxxxxxx cossincoscossinsincos
23
−+=+⇔ xxx coscossin
22
−=⇔
(vì
0sin
≠
x
)
01coscos2
2
=−−⇔ xx
+±=
=
⇔
−=
=
⇔
π
π
π
2
3
2
2
2
1
cos
1cos
kx
kx
x
x
i chi
u
i
u ki
n, ta có nghi
m c
a ph
ng trình là
2
2 .
3
x k
π
π
= ± +
53: Gi
i ph
ng trình:
1
2cos 2 8cos 7
cos
x x
x
− + =
Bài gii:
i
u ki
n:
cos 0 .
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
Ph
ng trình
2
2cos 2 cos 8cos 7 cos 1
x x x x
⇔ − + =
(
)
2 2
4cos 2 cos 8cos 7cos 1 0
x x x x
⇔ − − + − =
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
3 2
4cos 8cos 5cos 1 0
x x x
⇔ − + − =
(1)
t
[
]
(
)
cos 1;1
t x t= ∈ − , ph
ng trình (1) tr
thành:
( )
( )
3 2 2
2
1
1
4 8 5 1 0 1 4 4 1 0
1
4 4 1 0
2
t
t
t t t t t t
t
t t
=
=
− + − = ⇔ − − + = ⇔ ⇔
=
− + =
(th
a mãn
i
u ki
n)
V
i
1
t
=
ta có ph
ng trình:
cos 1 2 .
x x k
π
= ⇔ =
V
i
1
2
t
=
ta có ph
ng trình:
1
cos 2 .
2 3
x x k
π
π
= ⇔ = ± +
54: Gi
i ph
ng trình:
1 3cos cos 2 2 cos 3 4sin .sin 2
x x x x x
+ + − =
Bài gii:
Ph
ng trình
(
)
1 3cos cos 2 2 cos 2 4 sin .sin 2
x x x x x x
⇔ + + − + =
⇔
(
)
1 3cos cos 2 2 cos .cos 2 sin .sin 2 4 sin .sin 2
x x x x x x x x
+ + − − =
⇔
(
)
1 3cos cos 2 2 cos .cos 2 sin .sin 2 0
x x x x x x
+ + − + =
⇔
1 3cos cos 2 2 cos 0
x x x
+ + − =
⇔
1 cos cos 2 0
x x
+ + =
⇔
2
2 cos cos 0
x x
+ =
⇔
cos 0
1
cos
2
x
x
=
= −
⇔
2
2
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= ± +
55: Gi
i ph
ng trình:
2 sin 2 sin 3cos 2 0
4
x x x
π
+ − − + =
Bài gii:
2 sin 2 sin 3cos 2 0 sin 2 cos 2 sin 3cos 2 0
4
x x x x x x x
π
+ − − + = ⇔ + − − + =
( )( )
1
cos
2cos 1 sin cos 1 0
2
sin cos 1 0
x
x x x
x x
=
⇔ − + − = ⇔
+ − =
+)
1
cos 2
2 3
x x k
π
π
= ⇔ = ± +
+)
2
sin cos 1 0
2
2
x k
x x
x k
π
π
π
=
+ − = ⇔
= +
56: Gi
i ph
ng trình:
1 sin 2
cot 2sin
sin cos 2
2
x
x x
x x
π
+ = +
+
Bài gii:
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
i
u ki
n:
sin 0
.
sin cos 0
x
x x
≠
+ ≠
Ph
ng trình
2
cos 2sin cos cos 2cos
2cos 0 0
sin cos sin cos
2 sin 2 sin
x x x x x
x
x x x x
x x
+ − = ⇔ + =
+ +
cos 0
cos sin sin 2 0
sin sin 2
4
4
2
; 2 ; .
2 4 4 3
x
x x x
x x
k
x k x k x
π
π
π π π π
π π
=
⇔ + − = ⇔
+ =
= + = + = +
i chi
u
i
u ki
n ta có nghi
m ph
ng trình:
2
;
2 4 3
k
x k x
π π π
π
= + = +
57:
Gi
i ph
ng trình:
4 4 2
2 2
sin cos sin 2 1 cos 2
cot 2 cos 2 cot 2
1 cos 2 2
x x x x
x x x
x
+ + +
− = +
−
Bài gii:
i
u ki
n:
sin 2 0 .
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
(1)
⇔
( )
( )
2
2
2 sin 2 1
cot 2 1 cos 2 0
2 1 cos 2 2
x
x x
x
+
− + + =
−
cos 4 1
x
⇔ =
2
x n
π
⇔ = (không th
a
i
u ki
n). V
y ph
ng trình vô nghi
m.
58:
Gi
i ph
ng trình:
4sin 3 sin 5 2sin .cos 2 0
x x x x
+ − =
Bài gii:
Ph
ng trình
ã cho t
ng
ng v
i:
(
)
4sin 3 sin5 sin 3 sin 0
x x x x
+ − − =
3sin 3 sin 5 sin 0 3sin 3 2sin 3 .cos 2 0 sin 3 (3 2cos 2
) 0
x x x x x x x x
⇔ + + = ⇔ + = ⇔ + =
sin 3 0
x
⇔ =
.
3
k
x
π
⇔ =
59:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
(
)
( )
+ −
=
+
Bài gii:
i
u ki
n:
π
π
≠ ⇔ ≠ +
ng trình ⇔ + − = +
⇔
(
)
(
)
π π
− + − + = ⇔ + − + + =
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
π
π
π
π π π
π
π
π
π
= − +
+ =
⇔ + − + + = ⇔ ⇔ = +
+ =
= − +
π
π
= ± + ! "# ! $"% !& '' (
!&)
60:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2cos 4 3 2 cos 2 sin 2 3
x x x− − = +
Bài gii:
Ph
ng trình
(
)
(
)
2 cos 4 cos 2 3 cos 2 1 sin 2
x x x x
⇔ + = + +
2
cos 0
4cos3 cos 2 3 cos 2sin cos
2cos3 3 cos sin
x
x x x x x
x x x
=
⇔ = + ⇔
= +
+) cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
+)
3 2
6
2cos3 3 cos sin cos3 cos
6
3 2
6
x x k
x x x x x
x x k
π
π
π
π
π
= − +
= + ⇔ = − ⇔
= − +
12
24 2
x k
k
x
π
π
π π
= − +
⇔
= +
61:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
(
)
2
tan 1 sin cos 2 2 3 cos sin sin .
x x x x x x
+ + + = +
Bài gii:
i
u ki
n:
cos 0 .
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
Ph
ng trình
(
)
(
)
2 2
tan 1 sin 1 2sin 2 3 cos sin sin
x x x x x x
⇔ + + − + = +
(
)
(
)
2 2
tan 1 sin 3 3 cos sin sin 6sin
x x x x x x
⇔ − + = − +
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )( )
2 2
2 2
tan 1 sin 3cos 2 3 cos sin sin tan 1 sin 3 cos sin cos 0
sin cos sin 3cos 0 sin cos 2cos 2 1 0
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
⇔ − + = − ⇔ − + − =
⇔ − − = ⇔ − + =
sin cos
4
1
cos 2
2
3
x x
x k
x
x k
π
π
π
π
=
= +
⇔ ⇔
= −
= ± +
i chi
u
i
u ki
n ta có nghi
m
, .
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
62:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
(
)
cos 2 5 2 2 cos sin cos
x x x x
+ = − −
Bài gii:
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
Ph
ng trình
2 2
2cos 1 5 4sin 2sin cos 4cos 2cos
x x x x x x
⇔ − + = − − +
(
)
2 sin cos sin cos 2 0
x x x x
⇔ − − − =
t
(
)
sin cos 2 sin 2; 2
4
t x x x t
π
= − = − ∈ −
2
1
sin cos
2
t
x x
−
=
Ph
ng trình tr
thành:
2
1
4 5 0
5
!"#
t
t t
t
=
+ − = ⇔
= −
V
i
2
1: 2 sin 1 sin
4 4 2
t x x
π π
= − = ⇔ − =
⇔
+=−
+=−
π
ππ
π
ππ
2
4
3
4
2
44
kx
kx
⇔
2
2
2
x k
x k
π
π
π π
= +
= +
63:
Gi
i ph
ng trình:
( )
sin 3 cos3
cos 2 sin 1 tan
2sin 2 1
x x
x x x
x
−
+ = +
−
Bài gii:
k
1
sin 2
(*)
2
cos 0
x
x
≠
≠
.
V
i
k (*) ph
ng trình
ã cho t
ng
ng:
( )
( )( ) ( )
3 3
2 2
3sin 4sin 4cos 3cos
cos 2 sin 1 tan
2sin 2 1
sin cos 2sin 2 1 sin sin cos
cos sin
2sin 2 1 cos
x x x x
x x x
x
x x x x x x
x x
x x
− − +
+ = +
−
+ − +
⇔ − + =
−
sin cos 0 (1)
sin
cos sin 1 (2)
cos
x x
x
x x
x
+ =
⇔
− + =
(1) tan 1 .
4
x x k
π
π
⇔ = − ⇔ = − +
cos sin 0 tan 1
(2) (cos sin )(1 cos ) 0
4
1 cos 0 cos 1
2
x x x
x k
x x x
x x
x k
π
π
π π
− = =
= +
⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔
+ = = −
= +
So v
i
k (*) suy ra các h
nghi
m c
a pt là:
; 2 .
4
x k x k
π
π π π
= ± + = +
64:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2
2
2
sin cos 2sin
2
sin sin 3
1 cot 2 4 4
x x x
x x
x
π π
+ −
= − − −
+
Bài gii:
i
u ki
n:
sin 0 .
x x k
π
≠ ⇔ ≠
Ph
ng trình
( )
2
cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin
4
x x x x x
π
⇔ + = −
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
( )
cos 2 sin 1 0
4
3
cos 2 0
8 2
4
2
sin 1 0
2
x x
k
x
x
x m
x
π
π π
π
π
π
⇔ − − =
= +
− =
⇔ ⇔
= +
− =
So v
i
i
u ki
n nghi
m c
a ph
ng trình là
3
; 2 .
8 2 2
k
x x m
π π π
π
= + = +
65:
Gi
i ph
ng trình:
( )
π
+ + + +
=
−
Bài gii:
i
u ki
n:
2
1
3
cos
2
2
3
x k
x
x m
π
π
π
π
≠ +
≠ ⇔
≠ − +
Ph
ng trình
( )
1 2cos 2 5 3 sin cos 5 0
3
x x x
π
⇔ − + + + + =
2
4.sin 10sin 4 0
6 6
x x
π π
⇔ + + + + =
sin( ) 1/ 2
2 ( )
6
3
2
sin( ) 2 ( )
6
!"
x
x k
x k
x
π
π
π
π
π π
+ = −
= − +
⇔ ⇔
= +
+ = −
*+
{
}
2
S k
π π
= +
65:
Gi
i ph
ng trình:
( )
5
sin 4 2sin 2
2
4 sin 2 1
sin cos
x x
x
x x
π
+ +
= +
+
Bài gii:
i
u ki
n:
( )
*
4
x k
π
π
≠ − +
Ph
ng trình
(
)
(
)
2sin 2 .cos 2 2cos 2 2 sin cos sin 2 1
x x x x x x
⇔ + = + +
(
)
(
)
(
)
2 sin cos sin 2 cos sin cos sin sin 2 1 0
x x x x x x x x
⇔ + − + − − − =
(
)
( ) ( ) ( )
cos sin 0
sin 2 cos sin cos sin sin 2 1 0 1
!"x x
x x x x x x
+ =
⇔
− + − − − =
Gi
i (1) :
t
(
)
cos sin , 2 2
t x x t= − − ≤ ≤
2
sin 2 1
x t
= −
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
Pt (1) tr
thành :
( ) ( )
2 2 3 2
1
1 1 1 2 2 0 2
2
t
t t t t t t t t
t
=
− + = − + ⇔ − − + = ⇔ =
= −
+ V
i
1
t
=
ta có
2
cos sin 1 cos
4 2
x x x
π
− = ⇔ + =
( )
2
2
2
$
x k
x k
π
π
π
= − +
⇔
=
+ V
i
2
t = ta có cos sin 2 cos 1 2
4 4
!"#
x x x x k
π π
π
− = ⇔ + = ⇔ = − +
+ V
i
2
t
= −
ta có
3
cos sin 2 cos 1 2 ( )
4 4
!"
x x x x k
π π
π
− = − ⇔ + = − ⇔ = +
66:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
xxxxx 4cos1cossin42cos24sin
+
=
+
+
+
Bài gii:
(
)
0cossin42cos22cos22cos2sin2
2
=++−+⇔ xxxxxx
(
)
(
)
0cossin22cos12sin2cos
=
+
+
−
+
⇔
xxxxx
(
)
(
)
0cossin2sin2cossin22cos
2
=+++⇔ xxxxxx
(
)
(
)
01sin2coscossin
=
+
+
⇔
xxxx
V
i
sin cos 0 .
4
x x x k
π
π
+ = ⇔ = − +
V
i
(
)
(
)
(
)
01sin21sin01sinsin2101sin2cos
22
=−−−⇔=+−⇔=+ xxxxxx
sin 1 2 .
2
x x m
π
π
⇔ = ⇔ = +
67:
Gi
i ph
ng trình:
( )
tan cos3 2cos2 1
3 sin 2 cos .
1 2sin
+ −
= +
−
x x x
x x
x
Bài gii:
i
u ki
n:
2
cos 0
2
1
6
sin
2
5
2
6
π
π
π
π
π
π
≠ +
≠
⇔ ≠ +
≠
≠ +
x k
x
x m
x
x n
Ph
ng trình
( )
2 2
sin (4cos 3) 4cos 3
3 cos 2sin 1
1 2sin
x x x
x x
x
− + −
⇔ = +
−
(
)
(
)
( )
2
sin 1 1 4sin
3 cos 2sin 1
1 2sin
x x
x x
x
+ −
⇔ = +
−
(
)
(
)
(
)
sin 1 1 2sin 3 cos 2sin 1
x x x x
⇔ + + = +
+−=+=
+−=+−=
⇔
=
+
−=
⇔
=+
=+
⇔
π
π
π
π
π
π
π
π
π
2
2
,2
6
2
6
5
,2
6
2
1
6
cos
2
1
sin
cos31sin
01sin2
kxkx
kxkx
x
x
xx
x
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
i chi
u
i
u ki
n, ta có nghi
m c
a ph
ng trình là
5
2 , 2 .
6 6
x k x k
π π
π π
= − + = − +
68:
Gi
i ph
ng trình:
4
1
4sin4sinsincos
22
=−+ xxxx
Bài gii:
Ph
ng trình
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 cos 2 cos3 cos5 1 cos8
2 2 2 4
x x x x
⇔ + + − − − =
0
2
1
5cos
2
1
3cos
2
1
5cos3cos =
+−+⇔ xxxx
=−
=+
⇔=
−
+⇔
0
2
1
3cos
0
2
1
5cos
0
2
1
3cos
2
1
5cos
x
x
xx
⇔
+±=
+±=
3
2
9
5
2
15
2
ππ
ππ
kx
kx
69:
#
nh
m
ph
ng trình sau có nghi
m
2
4sin 3 sin 4cos 3 cos cos 2 0
4 4 4
x x x x x m
π π π
+ − + − + + =
Bài gii:
Bi
n
i:
+/
(
)
4sin 3 sin 2 cos 2 cos 4
x x x x
= −
;
+/
( )
4cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2 cos 4
4 4 2
x x x x x x
π π π
− + = − + = +
+/
( )
2
1 1
cos 2 1 cos 4 1 sin 4
4 2 2 2
x x x
π π
+ = + + = −
Do
ó ph
ng trình
ã cho t
ng
ng:
( )
1 1
2 cos 2 sin 2 sin 4 0 (1)
2 2
x x x m+ + + − =
t cos 2 sin 2 2 cos 2
4
t x x x
π
= + = −
(
i
u ki
n:
2 2
t− ≤ ≤ ).
Khi
ó
2
sin 4 2sin 2 cos 2 1
x x x t
= = −
.
Ph
ng trình (1) tr
thành:
2
4 2 2 0
t t m
+ + − =
(2) v
i
2 2
t− ≤ ≤
2
(2) 4 2 2
t t m
⇔ + = −
ây là phu
ng trình hoành
$
giao
i
m c
a 2
%
ng
(d): 2 2
y m
= −
(là
%
ng song
song v
i Ox và c
&
t tr
'
c tung t
i
i
m có tung
$
2 2
m
−
) và (P):
2
4
y t t
= +
v
i
2 2
t− ≤ ≤
.
Trong
o
n
2; 2
−
, hàm s
2
4
y t t
= +
t giá tr
#
nh
nh
t là
2 4 2
−
t
i
2
t
= −
và
t giá tr
#
l
n nh
t là
2 4 2
+ t
i
2
t = .
Do
ó yêu c
"
u c
a bài toán th
a mãn
2 4 2 2 2 2 4 2
m⇔ − ≤ − ≤ +
2 2 2 2
m⇔ − ≤ ≤ .
70:
Gi
i ph
ng trình:
2sin 2 2 sin 2 5sin 3cos 3
4
x x x x
π
+ + + − =
Bài gii:
Chuyên : PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2013- 2014
Giáo viên: Lê Bá Bo
0935.785.115
THPT Phong in
(
)
( ) ( )( ) ( )( )
2
(1) 2sin 2 sin 2 cos 2 5sin 3cos 3 6sin cos 3cos 2sin
5sin 2 0
3cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0 2sin 1 3cos sin 2 0
1
sin
2
sin 3cos 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x
x x
⇔ + + + − = ⇔ − − − + =
⇔ − − − − = ⇔ − − + =
=
⇔
− =
+
1 5
sin 2 2 .
2 6 6
x x k x k
π π
π π
= ⇔ = + ∨ = +
( )
2 2 2
sin 3cos 2 sin arcsin 2 arcsin 2
10 10 10
x x x x k x k
α α π π α π
− = ⇔ − = ⇔ = + + ∨ = + − +
V
y ph
ng trình có các nghi
m:
5 2 2
2 ; 2 ; arcsin 2 ; arcsin 2 .
6 6
10 10
x k x k x k x k
π π
π π α π π α π
= + = + = + + = + − +
71:
Gi
i ph
ng trình: cos cos3 1 2 sin 2
4
x x x
π
+ = + +
Bài gii:
(
)
( )
( ) ( )
( )( )
π π π
π π
⇔ = + + ⇔ − = +
+ =
⇔ − − = + ⇔
− − = +
⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − +
=
⇔ − − = ⇔
π
π
π
π π
π
= +
⇔
+ =
+ = ± +
V
y ph
ng trình có nghi
m là:
π π
π π π
= − + = + =
72:
Gi
i ph
ng trình:
2
5
4 3 sin cos 2cos cos 3 sin 2 3cos 2
2 2
0
2sin 3
x x
x x x x
x
− + + +
=
−
Bài gii:
i
u ki
n:
3
sin
2
x
≠
Ph
ng trình
2 3 sin 2 cos cos3 cos 2 3 sin 2 3cos 2 0
x x x x x x
⇔ − − + + + =
(
)
(
)
(
)
3 sin 2 2cos 1 cos3 cos cos 2 1 2cos 1 0
x x x x x x
⇔ + − − − − + + =
(
)
2 2
3 sin 2 2cos 1 4cos .sin 2sin 2cos 1 0
x x x x x x
⇔ + + + + + =
(
)
(
)
(
)
2
3 sin 2 2cos 1 2sin 2cos 1 2cos 1 0
x x x x x
⇔ + + + + + =
