chuyen de GTLN-GTNN cua ham so

Chuyên đề: GTLN– GTNN của hàm số trên một đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010. GV: Trần Phú Vinh


TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
TỔ TOÁN





Giáo Viên : Trần Phú Vinh



Năm Học : 2009-2010


Chuyên đề: GTLN– GTNN của hàm số trên một đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010. GV: Trần Phú Vinh
A.Lời nói đầu :
Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn là
một bài toán thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT trong các năm vừa qua .Nhưng
phần lớn học sinh không giải được bài toán này với các lý do sau : Các em không nắm được
phương pháp giải , tính đạo hàm sai, tìm nghiệm của đạo hàm sai , tính các giá trị sai, không
biết loại hoặc nhận nghiệm , kết luận GTLN-GTNN sai . vv…vv . Vì các lý do trên nên tôi
quyết định chọn chuyên đề này để nêu ra các loại hàm số thường cho trong bài tìm GTLN-
GTNN của hàm số trên một đoạn để nhầm giúp học sinh hạn chế những sai sót trên .
B Nội Dung.: Giả sử tìm GTLN-GTNN của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
[ ]

;a b
Quy Tắc :
1.Tìm các điểm
1 2
; ; ;
n
x x x
trên khoảng
( )
;a b
, tại đó
( )
/
f x
bằng không hoặc
( )
/
f x
không
xác
định
2.Tính :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
; ; ; ; ; .
n
f a f x f x f x f b
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Khi đó
( )

[ ]
;
max
a b
M f x
=
;
( )
[ ]
;
min
a b
m f x
=
Chú ý: Để học sinh dể nhớ, ta có thể tóm tắt quy tắc trên thành phương pháp tìm GTLN-
GTNN của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
[ ]
;a b
như sau :
1. Tính đạo hàm
( )
/
f x
2. Giải phương trình :
( )
/
0f x =

, tìm các nghiệm
( )
1 2
; ; ; ;
n
x x x a b
∈
(nếu có)
3. Tính các giá trị :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
; ; ; ; ; .
n
f a f x f x f x f b
4. Kết luận :
( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1 2
;
af ax ; ; ; ;
n
a b
m x M m f a f x f x f x
= =

( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )

{ }
1 2
;
min min ; ; ; ;
n
a b
x m f a f x f x f x
= =
C.Các loại hàm số thường gặp: Ta thường gặp các loại hàm số cho trong bài tìm GTLN-
GTNN của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
[ ]
;a b
sau :
1) Hàm đa thức :
1.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
3 2
) 2 6 1a y f x x x= = − +
trên đoạn
[ ]
1;1−
( )
4 2
) 2 4 3b y f x x x= = − + +
trên đoạn
[ ]
0;2

( )
3 2
1
) 2 1
3
c y f x x x x= = − + − +
trên đoạn
[ ]
1;0−
Giải
a) Ta có :

( )
/ 2
6 12f x x x= −


( )
/ 2 0
2
0 6 12 0
x
x
f x x x
=
=

= ⇔ − = ⇔

(

2x =
loại )


Tính :
( ) ( ) ( )
1 7; 0 1; 1 3f f f
− =− = −
Trang 1

Chuyên đề: GTLN– GTNN của hàm số trên một đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010. GV: Trần Phú Vinh


Vậy :
( )
[ ]
1;1
max
1
f x
−
=
;
( )
[ ]
1;1
min 7f x
−
= −
b) Ta có :


( )
/ 3
8 8f x x x= − +


( )
/ 3 0
1
0 8 8 0
x
x
f x x x
=
=±

= ⇔ − + = ⇔

(
1x
= −
loại )


Tính :
( ) ( ) ( )
0 3; 1 6; 2 13f f f
= = =−



Vậy :
( )
[ ]
0;2
max
6
f x
=
;
( )
[ ]
0;2
min 13f x
=−
c) Ta có :

( )
/ 2
2 2f x x x= − + −


( )
/ 2
0 2 2 0f x x x
= ⇔ − + − =
(vô nghiệm)


Tính :
( ) ( )

11
1 ; 0 1
3
f f
− = =


Vậy :
( )
[ ]
1;0
max
11
3
f x
−
=
;
( )
[ ]
1;0
min 1f x
−
=
1.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
3 2
1
)
3

a y f x x x= = −
trên đoạn
[ ]
1;3
( )
4 2
1 1
)
2 2
b y f x x x= = − + +
trên đoạn
[ ]
0;2
( )
3 2
) 2 3 12 1c y f x x x x= = − − +
trên đoạn
5
2;
2
 
−
 
 
( )
3 2
) 3 5d y f x x x= = − +
trên đoạn
[ ]
1;4−

( )
4 2
) 8 16e y f x x x= = − +
trên đoạn
[ ]
1;3−
( )
4 2
) 1g y f x x x= = − +
trên đoạn
1
0;
2
 
 
 
2) Hàm phân thức :
2.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
2 1
)
1
x
a y f x
x
+
= =
−
trên đoạn
[ ]

2;4
( )
2 1
)
2
x
b y f x
x
+
= =
−
trên đoạn
1
;1
2
 
−
 
 
( )
4
) 1
2
c y f x x
x
= = − + −
+
trên đoạn
[ ]
1;2−

( )
2
2 3
)
2
x x
d y f x
x
+ −
= =
+
trên đoạn
[ ]
0;3
Giải
a) Ta có :

( )
( )
/
2
3
0 1
1
f x x
x
= > ∀ ≠
−

Chuyên đề: GTLN– GTNN của hàm số trên một đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010. GV: Trần Phú Vinh

Trang 2


Tính :
( ) ( )
2 5; 4 3f f= − −


Vậy :
( )
[ ]
2;4
max
3
f x
=
−
;
( )
[ ]
2;4
min 5f x
= −
b) Ta có :

( )
( )
/
2
5

0 2
2
f x x
x
=− < ∀ ≠
−


Tính :
( )
1
0; 1 3
2
f f
 
− = =−
 ÷
 


Vậy :
( )
1
;1
2
max
0
f x
 
−

 
 
=
;
( )
1
;1
2
3minf x
 
−
 
 
= −
c) Ta có :

( )
( )
/
2
4
1
2
f x
x
= − +
+


( )

( )
/ 0
4
2
4
0 1 0
2
x
x
f x
x
=
=−

= ⇔ − + = ⇔

+
(
4x
= −
loại )


Tính :
( ) ( ) ( )
1 2; 0 1; 2 2f f f
− =− =− =−


Vậy :

( )
[ ]
1;2
max 1f x
−
= −
;
( )
[ ]
1;2
2minf x
−
= −
d) Ta có :

( )
( )
2
/
2
4 7
2
x x
f x
x
− +
=
+



( )
/ 2
0 4 7 0f x x x= ⇔ − + =
(Vô nghiệm )


Tính :
( ) ( )
3 12
0 ; 3
2 5
f f
=− =


Vậy :
( )
[ ]
0;3
max
12
5
f x
=
;
( )
[ ]
0;3
min
3

2
f x
=
−
2.2)Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
2
)
2
x
a y f x
x
− +
= =
+
trên đoạn
1
;4
2
 
 
 
( )
1
)
2
b y f x
x
= =
−

trên đoạn
[ ]
0;1
( )
9
) 3
2
c y f x x
x
= = + +
−
trên đoạn
[ ]
3;6
( )
2
3
)
1
x x
d y f x
x
+
= =
−
trên đoạn
[ ]
0;3
( )
2

)
3 1
x
e y f x
x
= =
−
trên đoạn
[ ]
1;3
Trang 3

Chuyên đề: GTLN– GTNN của hàm số trên một đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010. GV: Trần Phú Vinh
( )
1 2
)
2 4
x
g y f x
x
−
= =
−
trên đoạn
[ ]
2;1−
3) Hàm phân thức :
3.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
) 5 4a y f x x= = −

trên đoạn
[ ]
1;1−
( )
2
) 4b y f x x x= = −
trên đoạn
1
;3
2
 
 
 
( )
2
) 4c y f x x x= = + −

Giải
a)

Ta có :
( )
/
2 5
0 ;
4
5 4
f x x
x
 

=− < ∀ ∈ −∞
 ÷
−
 


Tính :
( ) ( )
1 3; 1 1f f
− = =


Vậy :
( )
[ ]
1;1
max 3f x
−
=
;
( )
[ ]
1;1
min 1f x
−
=
b)

Ta có :
( )

/
2
2
4
x
f x
x x
−
=
−


( )
/
0 2 0 0 2f x x x= ⇔ − = = ⇔ =



Tính :
( ) ( )
1 7
; 2 2; 3 3
2 2
f f f
 
= = =
 ÷
 



Vậy :
( )
1
;3
2
max
2
f x
 
 
 
=
;
( )
1
;3
2
7
min
2
f x
 
 
 
=
c) MXĐ :
[ ]
2;2D = −
. Ta xét hàm số trên MXĐ của nó.


Ta có :
( )
/
2
1
4
x
f x
x
= −
−


( )
/ 2
2
2
0 1 0
4
x
x
x
f x
x
=
=−

= ⇔ − = ⇔


−



Tính :
( ) ( )
( ) ( )
2 2; 2 2; 2 2 2; 2 0f f f f
= − =− = − =


Vậy :
( )
[ ]
2;2
max
2 2
f x
−
=
;
( )
[ ]
2;2
minx
2
f x
−
= −
3.2) Bài tập tương tự: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

( )
2
) 9 7a y f x x= = −
trên đoạn
[ ]
1;1−
( ) ( )
2
) 6 4b y f x x x= = − +
trên đoạn
[ ]
0;3
( )
2
) 4 4c y f x x= = + −


( )
2
1
)
1
x
d y f x
x
+
= =
+
trên đoạn
[ ]

1;2−
Trang 4

Chuyên đề: GTLN– GTNN của hàm số trên một đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010. GV: Trần Phú Vinh
( ) ( )
2
) 3 1e y f x x x= = − +
trên đoạn
[ ]
0;2
4) Hàm số mũ, hàm số lôgarit:
4.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

( )
) 2 .
x
a y f x x= = l
trên đoạn
[ ]
1;2−
( )
2
)
x
b y f x x= = − l
trên đoạn
[ ]
1;0−
( )
ln

)
x
c y f x
x
= =
trên đoạn
2
1;
 
 
l
( ) ( )
2
) ln 1 2d y f x x x= = − −
trên đoạn
[ ]
1;0−
Giải
a)

Ta có :
( )
/
2 2
x x
f x x= +l l


( )
/

0 1f x x= ⇔ = −



Tính :
( ) ( )
2
2
1 ; 2 4f f
− =− =
l
l


Vậy :
( )
[ ]
2
1;1
max 4f x
−
=
l
;
( )
[ ]
1;1
2
min f x
−

= −
l
b)

Ta có :
( )
/ 2
1 2
x
f x = − l


( )
/ 2
1
0 1 2 0 ln 2
2
x
f x x= ⇔ − = ⇔ = −l



Tính :
( ) ( )
1 1 1 1
1 1 ; ln 2 ln 2 ; 0 1
2 2 2
f f f
 
− =− − − =− − =−

 ÷
 
l


Vậy :
( )
[ ]
1;0
1
max ln 2
2
1
2
f x
−
= −
−
;
( )
[ ]
1;0
min
1
1
f x
−
=
− −
l

c)

Ta có :
( )
/
2
1 ln x
f x
x
−
=


( )
/
0 1 ln 0f x x x= ⇔ − = ⇔ = l



Tính :
( ) ( )
( )
2
2
1 2
1 0; ;f f f
= = =
l l
l l


Vậy :
( )
2
1;
max
1
f x
 
 
=
l
l
;
( )
2
1;
min 0f x
 
 
=
l
d)

Ta có :
( )
/
1
2
1 2

f x x
x
= +
−


( )
/ 1
1
2
2
0 2 0
1 2
x
x
f x x
x
=
=−

= ⇔ + = ⇔

−

(
1x
=
loại )
Trang 5

Chuyên đề: GTLN– GTNN của hàm số trên một đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010. GV: Trần Phú Vinh


Tính :
( ) ( )
1 1
2 4 ln5; ln 2; 0 0
2 4
f f f
 
− = − − = − =
 ÷
 


Vậy :
( )
[ ]
2;0
max
4 ln5
f x
−
=
−
;
( )
[ ]
2;0
1

max ln 2
4
f x
−
= −
4.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

( )
2
) .
x
a y f x x= = l
trên đoạn
[ ]
2;1−
( )
)
x
b y f x x= = − l
trên đoạn
[ ]
1;2−
( )
2
ln
)
x
c y f x
x
= =

trên đoạn
3
1;
 
 
l
( )
) lnd y f x x x= =
trên đoạn
[ ]
1;l
( )
)
x
x
e y f x
e
= =
+
l
l
trên đoạn
[ ]
ln 2;ln 4
( )
2
) .lng y f x x x= =
trên đoạn
[ ]
1;l

( )
) .
x
h y f x x
−
= = l
trên đoạn
[ ]
1;2−
5) Hàm số lượng giác:
5.1) Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )
) sin 2a y f x x x= = −
trên đoạn
;
2 2
π π
 
−
 
 
( )
) 2 cosb y f x x x= = +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 

( )
2
) sin 2cos 2c y f x x x= = − +

Giải
a)

Ta có :
( )
/
2 os2x 1f x c= −


( )
/
6
6
0
x
x
f x
π
π
=
=−

= ⇔


( Do

;
2 2
x
π π
 
∈ −
 
 
)


Tính :
3 3
; ; ;
2 2 6 2 6 6 2 6 2 2
f f f f
π π π π π π π π
       
− = − =− + = − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       


Vậy :
( )
;
2 2
max
2
f x

π π
π
 
−
 
 
=
;
( )
;
2 2
min
2
f x
π π
π
 
 
 
= −
b)

Ta có :
( )
/
1 2sinxf x = −


( )
/

0
4
f x x
π
= ⇔ =
( Do
0;
2
x
π
 
∈
 
 
)


Tính :
( )
0 2; 1;
4 4 2 2
f f f
π π π π
   
= = + =
 ÷  ÷
   
Trang 6

Chuyên đề: GTLN– GTNN của hàm số trên một đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010. GV: Trần Phú Vinh


Vậy :
( )
0;
2
max 1
4
f x
π
π
 
 
 
= +
;
( )
0;
2
min 2f x
π
 
 
 
=
c) MXĐ :
D R=


Ta có :
( )

2
os 2 s 3f x c x co x
=− − +


Đặt :
2
sint x=
;
[ ]
1;1 ;t x R∈ − ∀ ∈


Ta xét hàm số :
( )
2
2 3g t t t= − − +
trên đoạn
[ ]
1;1−


Ta có :
( )
/
2 2g t t= − −


( )
/

0 1g t t= ⇔ = −



Tính :
( ) ( )
1 4; 1 0g g
− = =


Vậy :
( ) ( )
[ ]
1;1
max max 4
R
f x g t
−
= =
;
( ) ( )
[ ]
1;1
min max 0
R
f x g t
−
= =
5.2) Bài tập tương tự : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
( )

) 2sin sin 2a y f x x x= = −
trên đoạn
3
0;
2
π
 
 
 
( )
) 2 cos2 4sinxb y f x x= = +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
( )
3 2
) 2sin cos 4sin 1c y f x x x x= = + − +

( )
) sin 2d y f x x x= = −
trên đoạn
;
6 2
π π
 
−

 
 
( )
sinx
)
2 cos
e y f x
x
= =
+
trên đoạn
[ ]
0;
π
( )
) 3. 2sinxg y f x x= = −
trên đoạn
[ ]
0;
π
D.Kết Luận:
Kính thưa quý thầy cô và các em học sinh , trên đây tôi đã nêu các loại hàm số thường
gặp trong bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn .
Do thời gian thực hiện chuyên đề có hạn, nên chắc chắn nhông tránh những thiếu sót ,
mong quý thầy cô trong tổ nhiệt tình đóng góp để chuyên đề này hoàn chỉnh hơn , nhầm
giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn . Xin chân thành cám ơn nhiều ! 

Trà Cú Ngày 08 tháng12năm 2009
Giáo hiên thực hiện

Trần Phú Vinh
Trang 6

Chuyên đề: GTLN– GTNN của hàm số trên một đoạn - Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm Học :2009-2010. GV: Trần Phú Vinh