Chuyên đề Khảo sát hàm số

Chuyên đề 10: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1.BÀI TOÁN 1 : ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
TÓM TẮT GIÁO KHOA
Phương pháp chung:
Để vẽ đồ thò của hàm số có mang dấu giá trò tuyệt đối ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa biến bên trong dấu giá trò tuyệt đối .
Bước 2: Sử dụng đònh nghóa giá trò tuyệt đối để khử dấu giá trò tuyệt đối
Phân tích hàm số đã cho thành các phần không có chứa dấu giá trò tuyệt đối
( Dạng hàm số cho bởi nhiều công thức)
Bước 3: Vẽ đồ thò từng phần rồi ghép lại( Vẽ chung trên một hệ trục tọa độ)
* Các kiến thức cơ bản thường sử dụng:
1. Đònh nghóa giá trò tuyệt đối :




<−
≥
=
0A nếu
0A nếu
A
A
A
2. Đònh lý cơ bản:





±=
≥
⇔=
BA
B
BA
0
3. Một số tính chất về đồ thò:
a) Đồ thò của hai hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành
b) Đồ thò hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
c) Đồ thò hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
* Ba dạng cơ bản:
Bài toán tổng quát:
54
Từ đồ thò (C):y=f(x), hãy suy ra đồ thò các hàm số sau:





=
=
=
)(:)(
)(:)(
)(:)(
3
2
1
xfyC

xfyC
xfyC
Dạng 1: Từ đồ thò
)(:)()(:)(
1
xfyCxfyC
=→=

Cách giải
B1. Ta có :



<−
≥
==
(2) 0f(x) nếu
(1) 0f(x) nếu
)(
)(
)(:)(
1
xf
xf
xfyC
B2. Từ đồ thò (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thò (C
1
) như sau:
• Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) )

• Bỏ phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C
1
)

Minh họa
Dạng 2: Từ đồ thò
))(:)()(:)(
2
xfyCxfyC
=→=
( đây là hàm số chẵn)
Cách giải


B1. Ta có :



<−
≥
==
(2) 0x nếu
(1) 0x nếu
)(
)(
))(:)(
2
xf
xf
xfyC

B2. Từ đồ thò (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thò (C
2
) như sau:
• Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) )
• Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thò (C) nằm phía bên phải trục Oy
55
f(x) =x^3 -3* x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x
3
-3x+2
f( x) =x^3- 3*x+2
f( x) =abs (x^3- 3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4

6
8
x
y
(C): y = x
3
-3x+2
23:)(
3
1
+−=
xxyC
y=x
3
-3x+2
y=x
3
-3x+2
( do do tính chất hàm chẵn )
• Bỏ phần đồ thò (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ đượ (C
2
)

Minh họa:

x
Dạng 3: Từ đồ thò
)(:)()(:)(
3
xfyCxfyC

=→=

Cách giải

B1. Ta có :








−=
=
≥
⇔=
(2)
(1)
)(
)(
0)(
)(:)(
3
xfy
xfy
xf
xfyC
B2. Từ đồ thò (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thò (C
3

) như sau:
• Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thò (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) )
• Bỏ phần đồ thò (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C
3
)

Minh họa:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số :
xxy 3
3
+−=
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò các hàm số sau:
56
f(x)=x^3 -3*x+ 2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x

3
-3x+2
f (x) =x^3- 3*x+2
f (x) =abs (x^3) - abs( 3*x) +2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x
3
-3x+2
23:)(
3
2
+−=
xxyC
y=x
3
-3x+2
y=x
3
-3x+2
x

y
y
x
f(x)=x^3-3 *x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x
3
-3x+2
y=x
3
-3x+2
x
y
f( x) =x^3- 3*x+2
f( x) =x^3- 3*x+2
f( x) =- (x^3- 3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4

-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x
3
-3x+2
23:)(
3
3
+−=
xxyC
x
y
y=x
3
-3x+2
xxya 3)
3
+−=

b)
xxy 3
3
+−=
c)
xxy 3

3
+−=
Bài 2: Cho hàm số :
1
1
−
+
=
x
x
y
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò các hàm số sau:

1
1
)
−
+
=
x
x
ya
b)
1
1
−
+
=

x
x
y
c)
1
1
−
+
=
x
x
y
d)
1
1
−
+
=
x
x
y
e)
1
1
−
+
=
x
x
y

2.BÀI TOÁN 2 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Bài toán tổng quát:
Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thò hai hàm số :
1
2
(C ): y f(x)
(C ) : y g(x)
=


=


(C
1
) và (C
2
) không có điểm chung (C
1
) và (C
2
) cắt nhau (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thò hai hàm số đã cho:
f(x) = g(x) (1)

* Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) . Số nghiệm của phương trình (1)
chính là số giao điểm của hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).
Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).

Chú ý 1 :
* (1) vô nghiệm
⇔
(C
1
) và (C
2
) không có điểm điểm chung
* (1) có n nghiệm
⇔
(C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
Chú ý 2 :
* Nghiệm x
0

của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C
1
) và (C
2
).
Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0
) hoặc y
0
= g(x
0
).
57
x
y y y
x x
OO
O
)(
1
C
)(
2
C
)(
1
C
)(

2
C
1
x
2
x
1
M
2
M
2
y
1
y
0
M
)(
2
C
)(
1
C
x
y
0
y
0
x
O
Áp dụng:

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
1
12
+
−
=
x
x
y
và đường thẳng
13:)(
−−=
xyd
Minh họa:

`
b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thò hai hàm số :
Đònh lý :
(C
1
) tiếp xúc với (C
1
)
⇔
hệ :
' '
f(x) g(x)
f (x) g (x)
=




=


có nghiệm
Áp dụng:
Ví dụ: Cho
13:)(
2
−−=
xxyP
và
1
32
:)(
2
−
−+−
=
x
xx
yC
. Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc nhau
Minh họa:
58
f(x )=(2 *x- 1)/(x+1)
f(x )=-3 *x- 1
x(t)=-1 , y (t )=t
f(x )=2

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
1
12
:)(
+
−
=
x
x
yC
13:)(
−−=
xyd
M
O
∆
)(
1
C
)(

2
C
y
x
f(x )=x^2 -3* x- 1
f(x )=(-x ^2+2* x-3 )/(x- 1)
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
)(C )(P
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số
2
( 1)( )y x x mx m= − + +
(1)
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − −
(C)
Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt
(C) tại ba điểm phân biệt.

Bài 3: Cho hàm số
23
3
+−=
xxy
(C)
Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d)
cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 4 : Cho hàm số
4 2
1y x mx m= − + −
(1)
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Bài 5: Cho hàm số
2
2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
(1)
Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm phân biệt
Bài 6: Cho hàm số
1
1
2
+

−−
=
x
xx
y
(1)
Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số
2
4 1
2
x x
y
x
+ +
=
+
Tìm các giá trò của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thò hàm số tại hai điểm phân biệt
thuộc cùng một nhánh của đồ thò.
Bài 8: Cho hàm số
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
(1)
Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành t hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ

dương .
Bài 9: Cho hàm số
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
(1)
Đònh m để đường thẳng y=m cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
OA OB
⊥
.
Bài 10: Tìm m để tiệm cận xiên của hàm số
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
cắt các trục toạ độ tại hai điểm A,B sao cho
diện tích tam giác OAB bằng 8.
59