Ly Thuyet On Thi TNTH PT nam 2010

TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ

Ph ầ n A: Gi ả i Tích
1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản :
( )
0
/
=C
( )
1
/
=
x
( )
x
x
2
1
/
=
( )
1
/
−
=
nn
nxx
 2) Các quy tắc tính đạo hàm :
( )
//
/

vuvu
+=+
( )
//
/
vuvu
−=−
( )
//
/
. uvvuvu
+=
2
//
/
v
uvvu
v
u
−
=






//
ukuk
=

,
Rk
∈
2
/
/
1
v
v
v
−=






2
/
/
.
v
v
k
v
k
−=







( )
///
/
uvwwuvvwuwvu
++=
2
/
11
x
x
−=






( )
2
/
dcx
bcad
dcx
bax
+
−
=







+
+
k
u
k
u
/
/
=






,
Rk
∈
xux
uyy
///
.=
(Đạo hàm của hàm số hợp )
3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số hợp (
( )
xuu
=
( )
1
/
.
−
=
αα
α
xx
( )
/1
/
uuu
−
αα
α
2
/
11
x
x
−=







2
/
/
1
v
v
v
−=






( )
x
x
2
1
/
=
( )
u
u
u
2
/

/
=
( )
xx cossin
/
=
( )
uuu cos.sin
/
/
=
( )
xx sincos
/
−=
( )
uuu sin.cos
/
/
−=
( )
x
x
x
2
2
/
tan1
cos
1

tan
+==
( )
( )
uu
u
u
u
2/
2
/
/
tan1
cos
tan +==
( )
( )
x
x
x
2
2
/
cot1
sin
1
cot
+−=−=
( )
( )

uu
u
u
u
2/
2
/
/
cot1.
sin
cot +−=−=
( )
xx
 =
/
( )
uu
u  .
/
/
=
( )
aaa
xx
ln.
/
=
( )
auaa
uu

ln
/
/
=
( )
x
x
1
ln
/
=
( )
u
u
u
/
/
ln =
( )
ax
x
a
ln.
1
log
/
=
( )
au
u

u
a
ln.
log
/
/
=
 4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba :
dcxaxaxy +++=
23

( )
0
≠
a
1
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
- MXĐ :
RD
=
- Tính đạo hàm
/
y
; giải phương trình
0
/
=
y
tìm

yx
⇒
- Tính giới hạn :
lim
x
y
→+∞
= +∞
;
lim
x
y
→−∞
= −∞
nếu
0
>
a

lim
x
y
→+∞
= −∞
;
lim
x
y
→−∞
= +∞

nếu
0
<
a
- Lập bảng biến thiên ( xét dấu đạo hàm
/
y
) , kết luận khoảng đồng biến , nghịch biến ,
điểm cực đại , cưc tiểu của hàm số.
- Cho điểm đặc biệt :
+ Cho hai điểm lân cận của điểm cưc đại , cực tiểu .
+Tính đạo hàm
//
y
; giải phương trình
0
//
=y
tìm
00
yx
⇒

⇒
Điểm uốn
( )
00
; yxI
- Vẽ đồ thị : Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị .Đồ thị của hàm số nhận điểm
uốn

( )
00
; yxI
làm tâm đối xứng .
Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba:
dcxaxaxy +++=
23

( )
0
≠
a
Nếu
0
>
a
Nếu
0
<
a
Nếu phương trình
0
/
=
y
có 2
nghiệm phân biệt
21
; xx
+ Hàm số có hai cực trị

+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

2
x

1
x

x

y

2
x

1
x

x
Nếu phương trình
0
/
=
y
có
nghiệm kép
21
xxx

==
+ Hàm số có không có cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

x

y

x
Nếu phương trình
0
/
=
y
vô
nghiệm
+ Hàm số có không có cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

x

y

x
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn :
cbxaxy ++=

24

( )
0
≠
a
- MXĐ :
RD
=
- Tính đạo hàm
/
y
; giải phương trình
0
/
=
y
tìm
yx
⇒
2
O
O
O
O
O
O
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
- Tính giới hạn :
lim

x
y
→+∞
= +∞
;
lim
x
y
→−∞
= +∞
nếu
0
>
a

lim
x
y
→+∞
= −∞
;
lim
x
y
→−∞
= −∞
nếu
0
<
a

- Lập bảng biến thiên ( xét dấu đạo hàm
/
y
) , kết luận khoảng đồng biến , nghịch biến , điểm
cực đại , cưc tiểu của hàm số.
- Cho điểm đặc biệt :
Cho hai điểm lân cận của điểm cưc đại , cực tiểu , thường cho
2
giá trị đối nhau:
0
xx
±=

- Vẽ đồ thị : Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị , đồ thị của hàm số đối xứng qua trục
Oy
.
Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn:
cbxaxy ++=
24

( )
0
≠
a
Nếu
0
>
a
Nếu
0

<
a
Nếu phương trình
0
/
=
y
có 2
nghiệm phân biệt
321
;0; xxx =
.
+ Hàm số có ba cực trị

y

1
x

3
x

x

y

1
x

3

x

x
Nếu phương trình
0
/
=
y
có 1
nghiệm
0
=
x
+ Hàm số có không có cực trị

y

x

y

x
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
=
,

( )
0,0
≠−≠
bcada
- MXĐ :






−=
c
d
RD \

c
d
xy
−≠∀>
;0
/
Nếu
0
>−
bcad
- Tính đạo hàm
( )
2
/

dcx
bcad
y
+
−
=

c
d
xy −≠∀< ;0
/
Nếu
0
<−
bcad
- Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận :
ò
lim
x
a
y
c
→+∞
=

lim
x
a
y
c

→−∞
=
c
a
y
=⇒
là tiệm cận ngang
3
O
O
O
O
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
òNếu
c
d
xy
−≠∀>
;0
/
thì
+∞=
−
−→
c
d
x
ylim
và
−∞=

+
−→
c
d
x
ylim
òNếu
c
d
xy −≠∀< ;0
/
thì và
−∞=
−
−→
c
d
x
ylim
+∞=
+
−→
c
d
x
ylim
- Lập bảng biến thiên :
òNếu
c
d

xy
−≠∀>
;0
/

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng






+∞−∪






−∞−
;;
c
d
c
d
và không có cực trị .
òNếu
c
d
xy −≠∀< ;0

/
Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng






+∞−∪






−∞−
;;
c
d
c
d
và không có cực trị .
- Cho điểm đặc biệt :
+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho
d
b
yx
=⇒=
0
+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có): Cho

a
b
xbaxy
−=⇔=+⇔=
00
+ Cho các điểm lân cận của đường tiệm cận đứng :
c
d
x −=

- Vẽ đồ thị :
+ Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị .
+ Đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
=
gồm hai nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua
giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm






−
c
a

c
d
I ;

+ Ta vẽ hai đường tiệm cận trước ,chấm giao điểm của hai đường tiệm cận , rồi sau đó
vẽ hai nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua giao điểm
I
của hai đường tiệm cận
Các dạng đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
=
,
( )
0,0
≠−≠
bcada
4
x
∞−

c
d
−

∞+

/
y
+ +
y

∞+

c
a



c
a

∞−

x
∞−

c
d
−

∞+

/
y

y

c
a

∞+


∞−

c
a

c
d
x −=
là tiệm cận đứng
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
 5) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số :
a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số
m
số nghiệm của phương trình hoành độ giao
điểm
( )
0,
=
mxg

( )
∗
Cách giải :
+ Đưa phương trình

( )
∗
về dạng :
( )
BAmxf
+=
, trong đó
( )
xfy
=
là đồ thị
( )
C
đã vẽ và

BAmy
+=

( )
d
là đường thẳng song song hoặc trùng với trục
Ox
.
+ Số nghiệm của phương trình
( )
∗
là số hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
C
và

( )
d
+ Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp )
Chú ý : Khi biện luận chỉ dựa vào
CĐ
y
và
CT
y
của hàm số để biện luận .
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
xfy
=
tại điểm
( ) ( )
CyxM ∈
00
;
Cách giải :
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy
=
tại điểm
( ) ( )
CyxM ∈

00
;
có
dạng :
( )( )
00
/
0
xxxfyy
−=−

( )
∗
Thế
( )
0
/
00
;; xfyx
đã cho hoặc vừa tìm vào
( )
∗
ta được tiếp tuyến cần tìm.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
xfy
=
biết tiếp tuyến có hệ số góc k
cho trước:
Cách giải :

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy
=
có dạng :

( )( )
00
/
0
xxxfyy
−=−

( )
∗
Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên
( )
/
0
f x k
=
, giải phương trình này tìm được

( )
000
xfyx =⇒
.Kết luận phương trình tiếp tuyến .

d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy
=
biết tiếp tuyến song
song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước.
5
Nếu
0
/
>
y
Nếu
0
/
<
y

y

x

c
d
x −=

y

O

x

c
a
y
=

c
d
x −=
O
c
a
y
=
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
Cách giải :
Gọi
( )
0 0
;M x y
là tọa độ tiếp điểm .Phương trình tiếp tuyến có dạng :
( )( )
00
/
0

xxxfyy
−=−

( )
∗
( Ta tìm
( )
0
/
00
;; xfyx
).
ò Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng
baxyd
+=
:
thì
( )
axf
=
0
/
, giải phương trình
này tìm được
( )
000
xfyx =⇒
.Kết luận phương trình tiếp tuyến .
ò Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
baxyd

+=
:
thì

( ) ( )
a
xfaxf
1
1.
0
/
0
/
−=⇔−=
, Giải phương trình này tìm được
( )
000
xfyx =⇒
.
Kết luận phương trình tiếp tuyến .
e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
xfy
=
trên đoạn
[ ]
ba;
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm

( )
xf
/
, giải phương trình
( )
0
0
/
=
xf
tìm nghiệm
[ ]
bax ;
0
∈
+ Tính các giá trị :
( )
af
;
( )
0
xf
;
( )
bf
+ Kết luận :
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0

;
axf ; ;
a b
x Max f a f x f b
M
=

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0
;
inf ; ;
a b
M x Min f a f x f b
=
f) Tìm tham số
m
để đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy
=
hoặc tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang đi qua
điểm
( )
00
; yxM

cho trước :
Cách giải :
ò Nếu đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy
=
đi qua điểm
( )
00
; yxM
thì thế điểm
( )
00
; yxM
vào
hàm số
( )
xfy
=
ta tìm được
m
.
ò Nếu tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
xfy
=
đi qua điểm

( )
00
; yxM
thì ta tìm tiệm cận
đứng rồi sau đó thế điểm
( )
00
; yxM
vào tiệm cận đứng , ta tìm được
m
ò Nếu tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )
xfy
=
đi qua điểm
( )
00
; yxM
thì ta tìm tiệm
cận ngang rồi sau đó thế điểm
( )
00
; yxM
vào tiệm cận ngang, ta tìm được
m
g) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy

=
có cực trị (cực đại, cực tiểu ):
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
/
y
, tính
∆
hoặc
/
∆
của
/
y
.
+ Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình
0
/
=
y

có hai nghiệm phân biệt
{
m
a
⇒⇔
≠
>∆
0
0

h) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy
=
đạt cực trị tại
0
xx
=
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
+ Hàm số đạt cực trị tại
0
xx =
( )
mxf
⇒⇔
0
/
i) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy

=
đạt cực đại tại
0
xx =
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=

+ Tính đạo hàm
( )
xfy
////
=
+ Hàm số đạt cực đại tại
0
xx =

( )
( )
{
m
xf
xf
⇒⇔
=
<

0
0
0
/
0
//
6
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
k) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy
=
đạt cực tiểu tại
0
xx =
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=

+ Tính đạo hàm
( )
xfy
////
=

+ Hàm số đạt cực tiểu tại
0
xx
=

( )
( )
{
m
xf
xf
⇒⇔
=
>
0
0
0
/
0
//
m) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy
=
luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên MXD
D
của
nó.

Cách giải :
+ Tìm MXĐ
D
của hàm số
( )
xfy
=
.
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
, tính
∆
hoặc
/
∆
của
/
y
.
+ Hàm số
( )
xfy
=
đồng biến trên
D
{
mDxy

a
⇒⇔∈∀≥⇔
>
≤∆
0
0
/
0
+ Hàm số
( )
xfy
=
nghịch biến trên
D
{
mDxy
a
⇒⇔∈∀≤⇔
<
≤∆
0
0
/
0
n) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
( )
xfy
=
Cách giải :
+ Tìm điểm cực đại

( )
AA
yxA ;
và điểm cực tiểu
( )
BB
yxB ;
của hàm số
( )
xfy
=
+ Viết phương trình đường thẳng
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
AB
−
−
=
−
−
:
l) Tìm tham số
m
để hàm số

( )
xfy
=
đạt cực trị tại
0
x
và giá trị cực trị bằng
0
y
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
+ Theo đề bài ta có
( )
( )
{
m
xf
yxf
⇒
=
=
0
0
/
00

A. Công thức lượng giác:
1. Công thức lượng giác cơ bản:
2 2
sin cos 1
α α
+ =
2
2
1
1 tan ,cos 0
cos
α α
α
+ = ≠
2
2
1
1 cot ,sin 0
sin
α α
α
+ = ≠
tan .cot 1
α α
=
sin cos
tan ;cot .
cos sin
α α
α α

α α
= =
2. Bảng giá trị lượng giác của cung và góc đặc biệt:
α
0
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
6
π
4
π
3
π
2

π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
7
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ

cos
α
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
3
2
−
1−
tan
α
0
1
3
1
3
P
3−
1−

1
3
−
0
cot
α
P
3
1
1
3
0
1
3
−
1−
3−
P
3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt:
a. Hai góc đối
nhau:
( )
( )
( )
( )
cos cos
sin sin
tan tan
cot cot
α α

α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
b. Hai góc bù
nhau:

( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− = −
− = −
− = −

c. Hai góc phụ
nhau:
sin cos

2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
 
− =
 ÷
 
 
− =
 ÷
 
 
− =
 ÷
 
 
− =
 ÷

 
d. Hai góc hơn kém
nhau
π
:
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
α π α
α π α
α π α
α π α
+ = −
+ = −
+ =
+ =

4. Công thức cộng:
( )
( )
( )
( )
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
− = +
+ = −
− = −
+ = +
( )
( )
tan tan
tan
1 tan tan
tan tan
tan
1 tan tan
α β
α β
α β
α β
α β
α β
−
− =
+
+
+ =
−
5. Công thức biến đổi tích thành tổng:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
1
sin sin cos cos
2
1
sin cos sin sin
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
 
= − + +
 
 
= − − +
 
 
= − + +
 
6. Công thức nhân đôi:
2 2 2 2
2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin cos
2 tan

tan 2
1 tan
α α α α α
α α α
α
α
α
= − = − = −
=
=
−
7. Công thức biến đổi tổng
thành tích:
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
+ −

+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
8. Công thức hạ bậc:
8
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
2
2
2
1 cos2
cos
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
tan
1 cos2
α
α
α
α
α
α
α
+

=
−
=
−
=
+
B. Tính chất của lũy thừa:
Với
0; 0a b≠ ≠
và với các số nguyên m, n ta có:
1.
.
m n m n
a a a
+
=
2.
m
m n
n
a
a
a
−
=
3.
( )
n
m mn
a a=

4.
( )
.
n
n n
ab a b=
5.
n
n
n
a a
b b
 
=
 ÷
 
Cho
,m n
là những số nguyên. Khi đó
1. Với
0a
>
thì
m n
a a m n> ⇔ >
2. Với
0 1a
< <
thì
m n

a a m n> ⇔ <
C. Logarit:
1. Định nghĩa:
log
log 1 0;log 1
log ,
, , 0
a
a a
b
a
b
a
a b b
a b b b
= =
= ∀ ∈
∀ ∈ >
¡
¡
2. So sánh hai logarit cùng cơ
số
a. Khi
1
α
>
thì
log logb c b c
α α
> ⇔ >

b. Khi
0 1
α
< <
thì
log logb c b c
α α
> ⇔ <
3. Các quy tắc tính logarit:
( )
log log log
log log log
log log
a a a
a a a
a a
bc b c
b
b c
c
b b
α
α
= +
 
= −
 ÷
 
=
4. Với số

a
dương khác 1, số dương
b
và số
nguyên dương
n
, ta có.

1
log log
1
log log
a a
n
a a
b
b
b b
n
= −
=
6. Với
,a b
là số dương khác 1 và
c
là số
dương, ta có

log
log

log
a
b
a
c
c
b
=
hay
log .log log
a b a
b c c=
5. Với
a
và
b
là hai số dương khác 1, ta có

1
log
log
a
b
b
a
=
hay
log .log 1
a b
b a =

7. Với
a
là số dương khác 1,
c
là số dương
và
0
α
≠
, ta có:
1
log log
a
a
c c
α
α
=
D. Đạo hàm
1. Quy tắc tính đạo hàm
( )
' '
'u v u v± = ±
( )
'
'ku ku=
( )
' '
. 'u v u v v u= +
'

' '
2
u u v v u
v v
−
 
=
 ÷
 
2. Đạo hàm của các hàm số .
Đạo hàm của các HS sơ Đạo hàm của các HS Đạo hàm của các HS sơ Đạo hàm của các HS
9
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
cấp CB
hợp (
( )
u u x=
)
cấp CB
hợp (
( )
u u x=
)
1.Đạo hàm các HS
thường gặp
( )
( )
( )
'
'

1
'
2
' 0
1
1 1
n n
c
x
x nx
x x
−
=
=
=
 
= −
 ÷
 
( )
'
1
2
x
x
=
( )
'
1
'

2
. . '
1 '
n n
u n u u
u
u u
−
=
 
= −
 ÷
 
( )
'
'
2
u
u
u
=
4. Đạo hàm của hàm
logarit.
( )
'
1
ln x
x
=
( )

'
1
log
ln
a
x
x a
=
( ) ( )
' '
1
lg log
ln10
x x
x
= =
( )
'
'
ln
u
u
u
=
( )
'
'
log
ln
a

u
u
u a
=
( ) ( )
' '
'
lg log
ln10
u
u u
u
= =
2.Đạo hàm của hàm LG
( )
( )
'
'
sin cos
cos sin
x x
x x
=
= −
( )
'
2
2
1
tan 1 tan

cos
x x
x
= = +
( )
( )
'
2
2
1
cot 1 cot
sin
x x
x
= − = − +
( )
( )
'
'
sin '.cos
cos '.sin
u u u
u u u
=
= −
( )
( )
'
2
2

'
tan ' 1 tan
cos
u
u u u
u
= = +
( )
( )
'
2
2
'
cot ' 1 cot
sin
u
u u u
u
= − = − +
5. Đạo hàm của hàm lũy
thừa.
( )
'
1
x x
α α
α
−
=
( )

'
1
1
n
n n
x
n x
−
=
( )
'
1
. 'u u u
α α
α
−
=
( )
'
1
'
n
n n
u
u
n u
−
=
3.Đạo hàm của hàm mũ
( ) ( )

'
.ln
x x
a a a=
,
( )
0a >
( )
'
x x
e e=
( ) ( )
'
'. .ln
u u
a u a a=
( )
0a >
( )
'
'.
u u
e u e=
E.Nguyên hàm, tích phân:
1. Nguyên hàm
Công thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Một số công thức mở rộng
1.
0dx C=
∫
;

2.
1dx dx x C= = +
∫ ∫
3.
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +
+
∫

( )
1
α
≠ −
4.
1
lndx x C
x
= +
∫
5.
sin cosxdx x C= − +
∫
6.

cos sin ;xdx x C= +
∫
7.
2
1
tan ;
cos
dx x C
x
= +
∫
8.
2
1
cot .
sin
dx x C
x
= − +
∫
Với
0a
≠
.
Ta có

( )
( )
( )
1

1
ax b
ax b dx C
a
α
α
α
+
+
+ = +
+
∫

( )
1
α
≠ −

ln
1
ax b
dx C
ax b a
+
= +
+
∫

( )
( )

cos
sin
ax b
ax b dx C
a
+
+ = − +
∫

( )
( )
sin
cos
ax b
ax b dx C
a
+
+ = +
∫

( )
( )
2
tan
1
;
cos
ax b
dx C
ax b a

+
= +
+
∫

( )
( )
2
cot
1
.
sin
ax b
dx C
ax b a
+
= − +
+
∫
10
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
9.
;
x x
e dx e C= +
∫
10.
ln
x
x

a
a dx C
a
= +
∫
,
( )
0 1 ;a< ≠

( )
;
ax b
ax b
e
e dx C
a
+
+
= +
∫

2. Tích phân
a/. T/c: Giả sử các hàm số
,f g
liên tục trên
K
và
, ,a b c
là ba số bất kì thuộc
K

. Khi đó ta có:
1.
( )
0
a
a
f x dx =
∫
2.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
3.
( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx+ =
∫ ∫ ∫
4.
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
 
+ = +
 ∫ ∫ ∫
5.
( ) ( )

b b
a a
kf x dx k f x dx=
∫ ∫
( với
.k ∈¡
)
b/. Phương pháp tính tích phân:
** Phương pháp đổi biến số:
( ) ( ) ( )
( )
( )
'
b u b
a u a
f u x u x dx f u du
 
=
 ∫ ∫
Trong đó:
( )
u u x=
có đạo hàm liên tục trên
K
, hàm số
( )
y f u=
liên tục và sao cho hàm hợp
( )
f u x

 
 
xác định trên
K
;
a
và
b
là hai số thuộc
K
.
c/. Phương pháp tích phân từng phần:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
' | '
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
Hay
|
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫

Trong đó các hàm số
,u v
có đạo hàm liên tục trên
K
và
,a b
là hai số thuộc
K
d/. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể .
** Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
:
: 0
2 : ;
C y f x
Ox y
dt x a x b

=

=


= =

là
( )
b
a
S f x dx=

∫
** Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
( ) ( )
1
2
:
:
2 : ;
C y f x
C y g x
dt x a x b

=

=


= =

là
( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫
** Thể tích của vật thể:
( )
b
a

V S x dx=
∫
(với S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mp vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x (
a x b≤ ≤
) )
** Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
:
: 0
2 : ;
C y f x
Ox y
dt x a x b

=

=


= =

(quay quanh trục hoành)

( )
2
b
a
V f x dx
π

 
=
 ∫
11
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
** Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:
( ) ( )
:
: 0
2 : ;
C x g y
Oy x
dt y a y b

=

=


= =

(quay quanh trục tung)
( )
2
b
a
V g y dy
π
 
=

 ∫
F. KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƯƠNG SỐ PHỨC
I. SỐ PHỨC
1/ Số i:
2
1i = −
2/ Số phức dạng:
a bi
+
( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo
a, b là các số thực )
3/ Tập số phức:
£
4/ Số phức bằng nhau: Cho
1 1 1 2 2 2
, zz a bi a b i= + = +
.

1 2
1 2
1 2
= z
a a
z
b b
=

⇔

=


5/ Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức
z a bi= +
M được viết dạng:
( ) ( ) ( )
; M a b hay M a bi hay M z+
6/ Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho
1 1 1 2 2 2
, zz a bi a b i= + = +
a/
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i+ = + + +
b/
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i− = − + −
c/
( )
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
.z z a a bb a b a b i= − + +
7/ Số phức liên hợp của
z a bi= +
là:
z a bi a bi= + = −
( Chú ý:
z z=
)
8/ Môđun của số phức
z a bi= +

:
2 2
z a b= +
9/ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số:
1
2
1
z z
z
−
=
II. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1/ Căn bậc hai của số phức:
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn
2
z w=
đgl một căn bậc hai của w.
a/ w là số thực:
+ Căn bậc hai của 0 là 0
+
0a >
: có 2 căn bậc hai là
à -a v a
+
0a <
: có 2 căn bậc hai là
à - a i v a i− −
Chú ý: Hai căn bậc hai của -1 là i và -i
b/
( )

, ; 0w a bi a b b= + ∈ ≠¡
:

( )
,z x yi x y= + ∈¡
là căn bậc hai của w khi và chỉ khi:
( )
2
2
z w x yi a bi= ⇔ + = +

Do
( )
2
2 2
2x yi x y xyi+ = − +
nên
2 2
2
2
x y a
z w
xy b

− =
= ⇔

=

Mỗi cặp số thực

( )
;x y
nghiệm đúng hệ pt trên cho ta một căn bậc hai
x yi+
của số phức w.
2/ Phương trình bậc hai:
( )
2
0 1 ,( 0; , ,Az Bz C A A B C+ + = ≠
là những số phức).
Xét
2
4B AC∆ = −
12
O
b
a
M
x
y
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
+ Nếu
0
∆ ≠
, (1) có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
,
2 2
B B
z z

A A
δ δ
− + − −
= =

( với
δ
là một căn bậc hai của
∆
)
+ Nếu
0∆ =
, (1) có nghiệm kép:
1 2
2
B
z z
A
= = −
Chú ý: Nếu
∆
là số thực dương, (1) có 2 nghiệm:
1 2
,
2 2
B B
z z
A A
− + ∆ − − ∆
= =

.
Nếu
∆
là số thực âm, (1) có 2 nghiệm:
1 2

,
2 2
B i B i
z z
A A
− + −∆ − − −∆
= =
.
III. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1/ Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi
góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đgl một acgumen của z,

ϕ
một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng:
2k
ϕ π
+

ϕ
2/ Dạng lượng giác của số phức:
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +

( trong đó
r z=
;
ϕ
một acgumen của z )
Chú ý:
z a bi
= +
đgl dạng đại số của số phức z.
3/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác:
Nếu
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
cos sin ; cos sin , ( 0, 0)z r i z r i r r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = + ≥ ≥
Thì
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
cos sinz z r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + + 
 

( ) ( )
1 1
1 2 1 2 2
2 2
cos sin ( 0)
z r

i khi r
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + − > 
 
4/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng
a/ Công thức Moa-vrơ:
( ) ( )
cos sin cos sin
n
n
r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = + 
 
b/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
có hai căn bậc 2 là:
1
cos sin
2 2
z r i
ϕ ϕ
 
= +
 ÷

 
2
cos sin
2 2
cos sin
2 2
z r i
r i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
π π
 
= − +
 ÷
 
 
   
= + + +
 ÷  ÷
 
   
 
13
O
b
a
M
x
y
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ

Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: TỌA ĐỘ VECTƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
1. ; ;
2.Cho ; ; ; ; ;
* ; ;
* ; ;
3.Cho ; ; ; ; ;
cp
B A B A B A
AB x x y y z z
u x y z v x y z
u v x x y y z z
k u kx ky kz
u x y z v x y z
x y z
u v u kv k
x y z
= − − −
= =

± = ± ± ±
=
= =
⇔ = ⇔ = = =
uuur
r r
r r
r
r r
r r r r
4. Nếu điểm
( )
; ;
M M M
M x y z
chia đoạn AB theo tỉ số
1k
≠
thì
1
1
1
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x

k
y ky
y
k
z kz
z
k
−

=

−

−

=

−

−

=

−

5. Nếu
( )
; ;
I I I
I x y z

là trung điểm của đoạn AB thì:
2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

=


+

=



6. Nếu
( )
; ;
G G G
G x y z
là trọng tâm của tam giác ABC thì :
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
+ +

=


+ +

=



+ +

=


7. Nếu
( )
; ;
E E E
E x y z
là trọng tâm tứ diện ABCD thì:
4
4
4
A B C D
E
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
+ + +


=


+ + +

=


+ + +

=


14
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
BÀI 2: TÍCH VÔ HƯỚNG – TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG.
Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; ; ; ;a x y z b x y z= =
r r
1. Tích vô hướng của hai vectơ:
1 2 1 2 1 2
. . . .a b x x y y z z
= + +
r r
2. Độ dài vectơ:
2 2 2
1 1 1
a x y z

= + +
r
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
(khoảng cách giữa hai điểm A và B)
3. Bình phương vô hướng:
2
2
2 2 2
1 1 1
a a x y z
= = + +
r r
4. Tính chất hai vectơ vuông góc:
1 2 1 2 1 2
0a b x x y y z z
⊥ ⇔ + + =
r r
5. Góc giữa hai vectơ: Gọi
ϕ
là góc giữa hai vectơ
a
r
và
b
r
thì

1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
os
.
.
x x y y z za b
c
a b
x y z x y z
ϕ
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
6. Tích có hướng của hai vectơ:
a. Định nghĩa:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
y z z x x y
a b
y z z x x y
 
 
=
 ÷
 

 
r r
b. Tính chất:
TC1:
, ; ,a b a a b b
   
⊥ ⊥
   
r r r r r r
TC2:
a
r
cùng phương với
b
r
khi và chỉ khi
, 0a b
 
=
 
r r r
TC3:
, . sina b a b
ϕ
 
=
 
r r r r
(
ϕ

là gó giữa hai vectơ
a
r
và
b
r
)
2.
1
,
2
ABC
S AB AC
 
=
 
V
uuur uuur
3. Ba vectơ
a
r
,
b
r
,
c
r
đồng phẳng khi và chỉ khi
, . 0a b c
 

=
 
r r r
Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi
, . 0AB AC AD
 
≠
 
uuur uuur uuur
4. Thể tích của hình hộp ABCD. A’B’C’D’:
, . 'V AB AD AA
 
=
 
uuur uuur uuur
(AB,AD, AA’ là 3 cạnh xuất phát
từ đỉnh A)
5. Thể tích của tứ diện:
1
, .
6
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuur uuur
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
2 2 2
0 (1)( )Ax By Cz D A B C+ + + = + +

Với
( )
; ;n A B C
=
r
là vectơ pháp tuyến của mp
15
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
2. mp
( )
α
qua
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và có vtpt
( )
; ;n A B C=
r
thì pt có dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
0 2A x x B y y C z z
− + − + − =
3. Pt của các mp tọa độ:
• Mp (Oxy): z = 0
• Mp (Oyz): x = 0
• Mp (Oxz): y = 0
4. VTTĐ giữa hai mặt phẳng: (Nâng cao)
Cho 2 mp

( )
( )
: 0
: ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
α
β
+ + + =
+ + + =
*
( )
α
cắt
( )
β

⇔
: : ' : ': 'A B C A B C
≠
( Hai vectơ không cùng phương ).
*
( ) ( )
/ /
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
*

( ) ( )
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
Chú ý: mp
( )
α
0Ax By Cz D
+ + + =
Nếu
( ) ( )
/ /
β α
thì
( ) ( )
: ' 0 'Ax By Cz D D D
β
+ + + = ≠
5. Khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
đến mp
( )
: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
( )

( )
0 0 0
0
2 2 2
;
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
1. Phương trình đường thẳng:
Đường thẳng d đi qua
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và có VTCP
( )
; ;u a b c=
r
. Khi đó:
a. Phương trình tham số của đt d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct

= +


= +


= +

( )
t
∈
¡
b. Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
( )
0 0 0
. . 0
x x y y z z
a bc
a b c
− − −
= = ≠
2. VTTĐ giữa hai đường thẳng:
PP1:
Bước 1: Giải hệ pt hai đt d
1
và d
2
:
- Hệ có 1 nghiệm
⇒

d
1
cắt d
2
- Hệ có vô số nghiệm
⇒
d
1

≡
d
2
- Hệ vô nghiệm ta có bước 2:
Bước 2: Tìm VTCP
1
u
ur
của đường thẳng d
1
và VTCP
2
u
uur
của đường thẳng d
2
- Nếu
1
u
ur
cùng phương

2
u
uur
thì d
1
// d
2
- Nếu
1
u
ur
kh ông cùng phương
2
u
uur
thì d
1
chéo d
2
16
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
PP2: Tìm VTCP
1
u
ur
của đường thẳng d
1
và VTCP
2
u

uur
của đường thẳng d
2
TH1: Nếu
1
u
ur
cùng phương
2
u
uur
th ì ta tìm
1 1
M d∈
+ Nếu
1 2 1 2
/ /M d d d∉ ⇒
+ Nếu
1 2 1 2
M d d d∈ ⇒ ≡
TH2: Nếu
1
u
ur
không cùng phương
2
u
uur
thì ta tìm
1 1

M d∈
v à
2 2
M d∈
+ Nếu
1 2 1 2
, . 0u u M M
 
= ⇒
 
ur uur uuuuuur
d
1
cắt d
2
+ Nếu
1 2 1 2
, . 0u u M M
 
≠ ⇒
 
ur uur uuuuuur
d
1
và d
2
chéo nhau.
Ghi chú:
1) Đường thẳng
1 2 1 2

. 0d d u u
⊥ ⇔ =
ur uur
1) Để CM d
1
và d
2
chéo nhau ta CM:
1 2 1 2
, . 0u u M M
 
≠
 
ur uur uuuuuur
3. Vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng
∆
đi qua
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và có VTCP
( )
; ;u a b c=
r
và mp
( )
: 0Ax By Cz D
α
+ + + =

có VTPT
( )
; ;n A B C
=
r
a.
( )
( )
( )
0
. 0
/ /
u n u n
M
α
α

= ⊥

∆ ⇔

∉


r r r r
b.
( )
( )
( )
0

. 0u n u n
M
α
α

= ⊥

∆ ⊂ ⇔

∈


r r r r
c.
∆
cắt
( )
α
. 0u n
⇔ ≠
r r
* Chú ý:
( )
, 0
u kn
u n
α

=


∆ ⊥ ⇔
 
=

 

r r
r r r
4. Một số dạng toán về khoảng cách:
a. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng
∆
đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
có VTCP
u
r
( )
0
,
,
u M M
d M
u
 
 
∆ =
r uuuuuur
r

b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
1
∆
và
2
∆
1
∆
đi qua điểm M
1
và có VTCP
1
u
r
1
∆
đi qua điểm M
1
và có VTCP
2
u
r
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
,
,
u u M M

d
u u
 
 
∆ ∆ =
 
 
ur uur uuuuuur
ur uur
c. Cho đường thẳng
( )
/ /
α
∆
thì
( )
( )
( )
( )
, ,d d M
α α
∆ =
, với
( )
M
∈ ∆
d. Cho mp
( ) ( )
/ /
α β

thì
( ) ( )
( )
( )
( )
, ,d d M
α β β
=
, với
( )
M
α
∈
e. Chiều cao h của hình chóp S. ABCD:
( )
( )
,h d S ABCD
=
17
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
BÀI 5: GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng
1
∆
và
2
∆
lần lượt có các VTCP là
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2

; ; , ; ;u a b c u a b c= =
ur uur
. Gọi
( )
¼
1 2
,
ϕ
= ∆ ∆
( )
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
os os ,
.
a a b b c c
c c u u
a b c a b c
ϕ
+ +
= =
+ + + +
ur uur
Chú ý:
1 2 1 2
. 0u u
∆ ⊥ ∆ ⇔ =
ur uur
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho hai đường thẳng
∆
có VTCP
( )
; ;u a b c=
uur
v à mp
( )
α
c ó VTPT
( )
; ;n A B C=
r
( )
2 2 2 2 2 2
sin os ,
.
Aa Bb Cc
c u n
A B C a b c
ϕ
+ +
= =
+ + + +
r r
(
ϕ
l à góc giữa đường thẳng
∆
và mp (

∆
))
3. Góc giữa hai mặt phẳng:
Cho hai mp
( )
: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
có VTPT
( )
; ;n A B C=
r
và
( )
: ' ' ' ' 0A x B y C z D
β
+ + + =
có
VTPT
( )
' '; '; 'n A B C=
r
( )
2 2 2 2 2 2
' ' '
os os , '
. ' ' '
AA BB CC
c c n n
A B C A B C

ϕ
+ +
= =
+ + + +
r ur
BÀI 6:
a. Phương trình mặt cầu (S):
1. Dạng 1: Mặt cầu (S) tâm
( )
; ;I a b c
; bán kính R có pt là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
2. Dạng 2: Pt
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 0x y z ax by cz D a b c D
+ + − − − + = + + − >
, tâm
( )
; ;I a b c
, bán kính
2 2 2
R a b c D
= + + −
b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:
Cho mặt cầu (S):

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
và mp
( )
: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
• Nếu
( )
( )
,d I R
α
>
thì mp
( )
α
không cắt mặt cầu (S).
• Nếu
( )
( )
,d I R
α
=
thì mp
( )
α
tiếp xúc mặt cầu (S) tại H (

( )
IH
α
⊥
tại H). Mp
( )
α
được gọi là
tiếp diện của (S) tại H.
• Nếu
( )
( )
,d I R
α
<
thì mp
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có pt là
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0
x a y b z c R
Ax By Cz

− + − + − =


+ + =



.
• Đường tròn (C) đgl đường tròn giao tuyến.
18
h
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
• Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của tâm I trên mp
( )
α
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 12
*** Cách vẽ hình + một số công thức ( CHƯƠNG I, II)

1. Khối chóp: Thể tích
1
3
V =
S
đ
.h , với h: chiều cao

* Khối chóp có đáy là một tam giác bất kì

19
h
h
h
h
h
h

h
h
h
h
h
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ

* Khối chóp có đáy là một tứ giác

(Chú ý: Đáy là tứ giác ( hoặc hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông).)
20
Trường hợp có một cạnh bên
vuông với đáy.
Khối tứ diện đều
Trường hợp có một cạnh
bên vuông với đáy
Khối chóp đều.
Trường hợp đáy là một
tứ giác thường
Trường hợp đáy là hình
thang hay hình thang
vuông ( nêú là hình thang
vuông nên kí hiệu góc
vuông ).
h
h
h
h
c
b

a
h
Diện tích hình tròn:
2
S R
π
=
(với R là bk)
Chu vi đường tròn:
2 R
π
Diện tích xung quanh của hình nón: S
xq
=
rl
π
( với l là đường sinh)
Diện tích toàn phần của hình nón: S
tp
= S
xq
+ S
đ
Thể tích của khối nón:
1
3
V =
S
đ
.h , (với h là chiều cao).

TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
2. Khối lăng trụ: Thể tích
V =
S
đ
. h ,với h là chiều cao
( và khối hộp)
3. Khối nón:

21
Trường hợp đáy là
hình thang cân.
Khối lăng trụ có đáy là
một tam giác bất kì.
Khối lăng trụ đứng có đáy là
một tam giác bất kì.
Khối hộp( các mặt đều là
hình bình hành).
Khối hộp CN
(Có thể chọn chiều cao là
a,b,c tuỳ theo hình vẽ )
Khối lập phương
R
H
h
B
S
A
a
a

m
h
a
b
c
M
H
C
B
A
h
a
a
a
A
B
C
H
m
h
b
a
c
M
H
C
B
A
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
4. Khối trụ:

* Diện tích hình tròn:
2
S R
π
=
(với R là bk)
* Chu vi đường tròn:
2 R
π
* Diện tích xung quanh của hình trụ:
2
xq
S Rh
π
=
( với h là chiều cao và h= l là đường sinh)
* Diện tích toàn phần của hình trụ: S
tp
= S
xq
+ 2S
đ
* Thể tích của khối trụ:
V =
S
đ
.h
5. Khối cầu:
Diện tích mặt cầu:
2

4S R
π
=
Thể tích khối cầu:
3
4
3
V R
π
=

6. Một số công thức khác: Các hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC với AB=c, AC=b, BC=a.
• Diện tích tam giác ABC:
1)
1 1 1
. . .
2 2 2
a b c
S a h b h c h= = =
2)
1
. .sin
2
S a b C=
3)
,(
2
a b c
S pr p

+ +
= =
, r là bk đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
4)
4
abc
S
R
=
, ( R là bk đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

5)
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c= − − −
( CT Hê- rông)
• Độ dài đường trung tuyến:
2
2 2 2
1
2 2
a
a
m b c
 
= + −
 ÷
 
, trung tuyến kẻ từ B, C viết tương tự.
• Độ dài đường cao (trung tuyến) trong tam giác đều cạnh a là
3

2
a
• Đường chéo của hình vuông cạnh a là
2a
• Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ góc vuông
bằng nửa cạnh huyền.
• Đường cao trong tam giác vuông ABC:

2 2 2
1 1 1
h a c
= +
Phương pháp tọa độ trong không gian:
1. Định nghĩa: Hệ gồm ba trục
, ,Ox Oy Oz
đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông
góc trong không gian.
2. Tọa độ của vectơ:
( ) ( )
; ; ; ;u x y z u x y z u xi y j zk= ⇔ ⇔ = + +
r r r r r r
. Hiển nhiên theo định nghĩa ta có:

( ) ( ) ( )
1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1i j k= = =
r r r
Từ định nghĩa về tọa độ của vectơ, ta có các tính chất sau:
22
R
h

h
R
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
Cho các vectơ
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
; ; ; ; ;u x y z u x y z= =
ur uur
và số
k
tùy ý, ta có:
a.
1 2
1 2 1 2
1 2
x x
u u y y
z z
=


= ⇔ =


=

ur uur
b.
( )
1 2 1 2 1 2 1 2

; ;u u x x y y z z± = ± ± ±
ur uur
c.
( )
1 1 1 1
; ;ku kx ky kz=
ur
d.
1 2 1 2 1 2 1 2
u u x x y y z z= + +
uruur
e.
2
2 2 2
1
1 1 1 1
u u x y z= = + +
ur r
f.
( )
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos ,
.
x x y y z z
u u
x y z x y z
+ +

=
+ + + +
uuruur
với
1 2
0, 0u u≠ ≠
ur uruur
g.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 0u u u u x x y y z z⊥ ⇔ = ⇔ + + =
ur uur ur uur
3. Tọa độ của điểm:

( )
; ; .M x y z OM xi y j zk= ⇔ = + +
uuuur r r r
4. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm mút
Cho hai điểm
( )
; ;
A A A
A x y z
và
( )
; ;
B B B
B x y z
. Ta có:
a.
( )

; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
b.
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −

5. Tích có hướng của hai vectơ:
Định nghĩa:
Tích có hướng (hay tích vectơ ) của hai vectơ
( )
; ;u a b c=
r
và
( )
'; '; 'v a b c=
r
là một vectơ,
kí hiệu là
,u v
 
 
r r
(hoặc
u v∧
r r
), được xác định bằng tọa độ như sau:

( )
, ; ; ' ' ; ' ' ; ' '
' ' ' ' ' '
b c c a a b
u v bc b c ca c a ab a b
b c c a a b
 
 
= = − − −
 ÷
 
 
r r
* Tính chất:
a. Vectơ
,u v
 
 
r r
vuông góc với cả hai vectơ
u
r
và
v
r
, tức là:
, . , . 0u v u u v v
   
= =

   
r r r r r r
b.
( )
, . .sin , .u v u v u v
 
=
 
r r r r r r

c.
, 0u v
 
=
 
r r r
khi và chỉ khi 2 vectơ
u
r
và
v
r
cùng phương.
6. Phương trình mặt cầu:
* Mặt cầu tâm
( )
0 0 0
; ;I x y z
, bán kính
R

có phương trình

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0 0 0
.x x y y z z R− + − + − =

* Phương trình
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
là phương trình của mặt cầu khi và chỉ
khi
2 2 2
a b c d+ + >
. Khi đó tâm mặt cầu là điểm
( )
; ;I a b c− − −
và bán kính mặt cầu là
2 2 2
R a b c d= + + −

Phương trình mặt phẳng trong không gian:
23
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ
1. Mp
α
( )
( )
0 0 0

; ;
; ;
M x y z
n A B C



=


r
có phương trình là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Nếu đặt
( )
0 0 0
D Ax By Cz= − + +
ta có phương trình tổng quát của mặt phẳng
α
là:
0Ax By Cz D+ + + =
trong đó
2 2 2
0A B C+ + >
2. Các trường hợp riêng:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có dạng:
1
x y c

a b z
+ + =
3. Vị trí tương đối của của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
lần lượt có phương trình:
( )
( )
: 0
: ' ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
α
β
+ + + =
+ + + =
a. Hai mp đó cắt nhau
⇔

: : ': ': 'A B C A B C≠
.
b.
( ) ( )
//
' ' ' '
A B C D

A B C D
α β
⇔ = = ≠
.
c.
( ) ( )
.
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
4. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng:
Trong không gian
Oxyz
cho điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và mặt phẳng
( )
: 0Ax By Cz D
α
+ + + =
.
Khoảng cách từ
0
M
đến mp
( )

α
là:
( )
( )
0 0 0
0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
Phương trình đường thẳng:
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng.
* Pt tham số của đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và vectơ chỉ phương
( )
, ,u a b c=
r
có dạng
0
0

0
,
x x at
y y bt t
z z ct
= +


= + ∈


= +

¡

* Phương trình chính tắc của đương thẳng
d
:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
với
0abc
≠
.
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Trong không gian cho đường thẳng
d

đi qua điểm
0
M
có vectơ chỉ phương
u
r
và đường
thẳng
'd
đi qua điểm
'M
có vectơ chỉ phương
'u
ur
. Ta có:

d
và
'd
trùng nhau
, 'u u⇔
r ur
và
'MM
uuuuur
cùng phương
0 0
, ' , ' 0.u u u M M
   
⇔ = =

   
r ur r uuuuuuur r

0 0
, ' 0
// '
, ' 0
u u
d d
u M M

 
=
  
⇔

 
≠

 

r ur r
r uuuuuuur r
24
TỔ TOÁN - TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ

d
và
'd
cắt nhau

0 0
, ' 0
, ' . ' 0
u u
u u M M

 
≠
  
⇔

 
=

 

r ur r
r ur uuuuuuur

d
và
'd
chéo nhau
, 'u u⇔
r ur
và
0 0
'M M
uuuuuuur
không đồng phẳng

0 0
, ' . ' 0u u M M
 
⇔ ≠
 
r ur uuuuuuur
3. Khoảng cách:
 Khoảng từ điểm
1
M
đến đường thẳng
∆
đi qua điểm
0
M
và có vectơ chỉ phương
u
r
là:
( )
0 1
1
,
,
M M u
d M
u
 
 
∆ =

uuuuuur r
r
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆
và
'∆
, trong đó
∆
đi qua điểm
0
M

và có vectơ chỉ phương
u
r
, còn
'∆
đi qua điểm
'
0
M
và có vectơ chỉ phương
'
u
ur
là:
( )
'
0 0
, ' .

, ' .
, '
u u M M
d
u u
 
 
∆ ∆ =
 
 
uuuuuur
r ur
r ur

25