8 LY THUYET ON THI VAO LOP 10

tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9

Phần I: Đại số
A. Kiến thức cần nhớ.
I. CĂN THứC BậC HAI CÔNG THứC BIếN Đổi : CÔNG THứC BIếN Đổi :
1. Điều kiện để căn thøc cã nghÜa : A cã nghÜa khi A  0

2. Các công thức biến đổi căn thức.
1) A2 A
2)

AB  A. B

3)

A
A

B
B

( B 0)

 A B  A2 B

5) 

 A B 

( A 0; B 0)

( A 0; B  0)

4) A2 B  A B
2

AB

6)

( A 0; B 0)
( A  0; B 0)

A 1

B B

AB

( AB 0; B 0)

7) A  A B ( B  0)
B

B

8)

C
C ( A B )


A  B2
A B

( A 0; A  B 2 )

9)

C
C( A  B )

A  B2
A B

( A 0; B 0; A  B )

II. Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn
xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x
và x đợc gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa
độ thỏa mÃn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
III. Hàm số bậc nhất
1. Khái niệm hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các sè
cho tríc vµ a 0
2. TÝnh chÊt
Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
3. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0))
Đồ thị cđa hµm sè y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0,
- trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hµm sè y = ax + b (a 0)
TH 1 : Khi b = 0 thì hàm số trở thành y = ax
có đồ thị là đờng thẳng đi qua O(0; 0) và điểm M(1; a)
TH 2 : Khi b 0 thì hàm số y = ax + b có đồ thị là đờng thẳng cắt 2 trục tọa độ
Bớc 1. Xác định giao với 2 trục tọa độ :
* Giao víi trơc tung : Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b)
* Giao với trục hoành : Cho y = 0 thì x = -

b
b
ta đợc điểm Q(- ; 0)
a
a

Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị của hàm số y = ax + b
108


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9

4. Vị trí tơng đối của hai ®êng th¼ng
Cho hai ®êng th¼ng (d): y = ax + b (a 0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a 0). Khi đó
(d) và (d') cắt nhau a  a'
(d) // (d')  a = a' vµ b  b'
a a '
d d '  
b b '

TH đặc biệt :
a a '
b b '

(d) và (d') cắt nhau tại 1 điểm thuộc trục tung 
d  d '  a.a '  1

5. X¸c định tọa độ giao điểm của 2 đờng thẳng
Bài toán 1 : Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) vµ (d’) : y = a’x + b (a 0)
Tìm tọa độ giao điểm của 2 đờng thẳng trên
y ax b
y ax b’

Bíc 1 : Ta cã täa ®é giao ®iĨm cđa (d) vµ (d’) lµ nghiƯm cđa hƯ pt 

Bíc 2 : Giải pt hoành độ giao điểm : ax + b = ax + b ta tìm đợc x y
Bớc 3 : KL : Vậy (d) và (d) cắt nhau tại A(x; y)
Bài toán 2 : Cho hai đờng thẳng (d): ax + by = c và (d): ax + by = c
Tìm tọa độ giao điểm của 2 đờng thẳng trên
ax by c
ax b’y  c’

Bíc 1 : Ta cã täa ®é giao ®iĨm cđa (d) vµ (d’) lµ nghiƯm cđa hƯ pt

Bớc 2 : Giải hệ pt trên ta tìm đợc x vµ y
Bíc 3 : KL : VËy (d) vµ (d) cắt nhau tại A(x; y)
6. Hệ số góc của ®êng th¼ng y = ax + b (a 0))
 Gãc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó
A là giao điểm của đờng th¼ng y = ax + b víi trơc Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y =
ax + b và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
7* Nên biết thêm :
* Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x 1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức : AB ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2 FZXA
- Täa ®é trung ®iĨm M của AB đợc tính bởi công thức : xM

x A  xB
y  yB
; yM  A
2
2

* PT ®êng thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) có hệ số góc k: y = k(x - x0) + y0
IV.Hµm sè bËc hai
a. Định nghĩa : Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
b. TÝnh chÊt
+ Hµm sè y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R
+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0))
109


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục
đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là ®iĨm thÊp nhÊt cđa ®å thÞ
+ NÕu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
* Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi ®ã
 y ax 2

Täa ®é giao ®iĨm cđa (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình :

y mx n

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình : ax2= mx + n (*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu pt : ax2= mx + n vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu pt : ax2= mx + n có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ NÕu pt : ax2= mx + n cã hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm
phân biệt

110


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
* bổ sung : bài toán về lập phơng trình đờng thẳng
Bài toán 1: Lập phơng trình của đờng thẳng (d) đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc

bằng k.
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d) là : y = ax + b (*)
- Hệ số a = k
- Xác định b: (d) ®i qua M(x0; y0) nªn ta cã y0 = kx0 + b  b = y0 – kx0
- Thay k; b vừa tìm đợc vào (*) ta có phơng trình của (d)
Bài toán 2: Lập phơng trình của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d) là : y = ax + b
* Vì (d) đi qua A và B nên ta có:
* Giải hệ ta tìm đợc a và b phơng trình của (d)
Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(x 0; y0) và tiếp xúc với
Parabol (P): y = mx2
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d) là : y = ax + b
Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
mx2= ax + b (*)
Vì (d) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép.
Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (1)
Mặt khác: (d) qua A(x0; y0) do đó ta có y0 = ax0 + b (2)
Từ (1) và (2) tìm đợc a và b Phơng trình đờng thẳng (d)
Bài toán 4: Lập phơng trình của đờng thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc với đờng
cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d) là : y = kx + b
Phơng trình hoành ®é ®iĨm chung cđa (d) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*)
Vì (d) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đợc b và suy ra
phơng trình của (d)
* tìm điểm cố định của đồ thị hàm sốm
Bài toán : Để tìm điểm cố định của hàm số f(x) ta làm nh sau
Bớc 1 :
Gọi M(x0; y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) luôn đi qua víi mäi m
Bíc 2 : Ta thay täa ®é cđa M vµo hµm sè y = f(x)
 y A ax A  b


 y B ax B  b

 g  x 0 ;y 0  0
 h  x 0 ;y 0 0

Biến đổi hàm số f(x) vỊ d¹ng : m.g(x 0; y0) +h(x0; y0) = 0 víi mäi m  
Bíc 3 : Gi¶i hƯ pt trên ta tìm đợc x0 và y0 KL

111


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
V. Phơng trình bậc hai .
Xét phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0)
C«ng thøc nghiƯm
C«ng thøc nghiƯm thu gän
2
 = b - 4ac
' = b'2 - ac víi b = 2b'
Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm
- Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm
phân biÖt: x1 

 b 
2a

;

x2 

 b 
2a

NÕu  = 0 : Phơng trình có nghiệm kép
x1 x2

b
2a

Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm

phân biệt: x1  

b '  '
a

;

x2 

 b '  '
a

- Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm kÐp:
x1  x2 

 b'
a

- NÕu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm

8. Hệ thức Vi - et và øng dơng.
* HƯ thøc Vi - et:
b

 S  x1 x2 a
Nếu x1, x2 là nghiệm của phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) th×: 
 P  x .x  c
1 2

a

- Mét sè øng dơng:
* T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình:
x2 - Sx + P = 0 (§iỊu kiƯn S2 - 4P  0)
* NhÈm nghiƯm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0) (a 0))
NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 =

c
a

NÕu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 =

c
a

VI. Giải bài toán bằng cách lập pT, hệ phơng trình

Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình

Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình
Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm nào
thích hợp với bài toán và kết luận

112


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
B. các dạng bài tập
Dạng 1: Rút gän biĨu thøc
 §Ĩ rót gän biĨu thøc A ta thực hiện các bớc sau:
- Quy đồng mẫu thức (nếu có)
- Đa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia....
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng.
Dạng 2: Bài toán tính toán
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.
Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán rút gọn biểu thức A
Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a
- Rót gän biĨu thøc A(x).
- Thay x = a vào biểu thức rút gọn.
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B
- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa : A = B A - B = 0
- Phơng pháp 2: Biến ®æi trùc tiÕp : A = A1 = A2 = ... = B
- Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh.
A = A1 = A2 = ... = C
A=B
B = B1 = B2 = ... = C

- Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng.
A = B A' = B' A" = B"  ...... (*)
(*) ®óng do ®ã A = B
- Phơng pháp 5: Phơng pháp quy nạp.
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

1. BĐT Cô si:

* Cho 2 số không âm x, y ta có : x + y

2 x .y

* Cho 3 số không âm x, y, z ta cã : x + y + z 
 xyz


3



hay

 xy
x.y 

 2 

3 3 x.y.z

2

hay x.y.z 

3

DÊu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
2. BĐT Bunhiacopxki.

* Cho 2 cặp số (a; b) vµ (x; y)ta cã : (a.x + b.y)2  (a2 + b2)(x2 + y2)
* Cho 2 cỈp sè (a; b; c) vµ (x; y; z)
ta cã : (a.x + b.y + cz)2  (a2 + b2 + c2)(x2 + y2+ z2 )
DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi x  y  z f
a

b

c

Mét sè phơng pháp chứng minh:
- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghÜa : A > B  A - B > 0
- Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp : A = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nếu M 0
- Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng
A > B A' > B' A" > B"  ...... (*)
(*) ®óng do ®ã A > B
- Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu : A > C và C > B A > B
- Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng
Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tơng đơng ®Ĩ dÉn
®Õn ®iỊu v« lÝ khi ®ã ta kÕt ln A > B.
- Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp.
113

tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
Dạng 5: bài toán liên quan tới phơng trình bậc hai
Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)
 C¸c phơng pháp giải:
- Phơng pháp 1: Phân tích đa về phơng trình tích.
- Phơng pháp 2: Biến đổi pt về dạng (mx + n)2 = k rồi khai căn 2 vế ta tìm đợc x
- Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm :
- Phơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn
- Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et.
Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình bậc 2 : ax2 + bx + c = 0
 XÐt hƯ sè a: Cã thĨ cã 2 khả năng
a. Trờng hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m
Giả sử a = 0 m = m0 ta có: (*) trở thành phơng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 (**)
+ NÕu b  0 víi m = m0: (**) cã mét nghiƯm x = - c/b
+ NÕu b = 0 vµ c = 0 với m = m0: (**) vô định (*) vô định
+ Nếu b = 0 và c  0 víi m = m0: (**) v« nghiƯm  (*) vô nghiệm
b. Trờng hợp a 0: Tính hc '
+ TÝnh  = b2 - 4ac
NÕu  > 0 : Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép :

x1

x1  x2 

 b 
2a

;

x2 

 b 
2a

 b
2a

NÕu  < 0 : Phơng trình vô nghiệm
+ Tính ' = b'2 - ac víi b = 2b'
 b '  '
a
'
 b
x1  x2 
a

NÕu ' > 0 : Ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt:
Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm kép:

x1

;

x2

b ' '

a

Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
* Ghi tóm tắt phần biện luận trên.
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
( a, b, c phơ thc tham sè m ) cã 2 nghiƯm ph©n biệt.
a 0

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt

'

( ) 0

Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm.
 Cã hai khả năng để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cã nghiƯm:
1. Hc a = 0, b  0
2. Hc a  0,  ( ' ) 0
Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mÃn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2.
Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm kÐp.
 a 0
 (  ' ) 0

 §iỊu kiƯn cã nghiệm kép:

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
( trong ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) v« nghiƯm.
114

tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tËp - to¸n 9
 a 0
 (  ' ) 0

Điều kiện có một nghiệm:

Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = 0
( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiƯm
 §iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:

 a 0

b 0

a 0
( ' ) 0

hoặc

Bài toán 8 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: a.c < 0
Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu.
 (  ' ) 0

 §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cùng dấu:
c

P a 0

Bài toán 10) : Tìm điều kiện của tham số m để phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0
(a, b, c phơ thc tham sè m) cã 2 nghiƯm dơng.

( ' ) 0

c

Điều kiện có hai nghiƯm d¬ng:  P   0
a

b

 S  a 0

Bài toán 11 : Tìm tham số m để phơng trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm âm.

Điều kiện có hai nghiệm âm:


(  ' ) 0

c

P   0
a

b


 S  a 0

Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0
( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiƯm x = x1 . T×m nghiệm còn lại x2
* Tìm tham số : Thay x = x1 vµo pt (*) ta cã: ax12 + bx1 + c = 0 tìm đợc m
* Tìm nghiệm kia :
- Thay giá trị của m và x1 vào 1 hƯ thøc cđa Vi - Ðt
- gpt nµy ta tìm đợc x2
Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (
a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n biểu thức nào đó
Điều kiện : ( ' ) 0 (*)
Theo định lí Vi - et ta có:

b

x1  x2  a S

 x .x  c P
 1 2 a

T×m x1; x2 theo m
Thay x1, x2 vào biểu thức thứ 3 ta tìm đợc m
Chọn các giá trị của m thoả mÃn (*)
115


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
Bài toán 14 : Tìm hai số u vµ v biÕt tỉng u + v = S vµ tÝch u.v = P cđa chóng.
 Ta cã u và v là nghiệm của phơng trình: x2 - Sx + P = 0 (*)
Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u và v cần tìm.

Bài toán 15 :
Tìm biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt không phụ thuộc vào tham số
b1 : Tìm đk để pt cã nghiƯm : ( ’)  0
b2 : Sư dơng hƯ thøc Vi – Ðt
b3 : Khư tham sè ta đợc biểu thức cần tìm
Bài toán 16 : Tìm tham số để 2 phơng trình bậc hai tơng đơng víi nhau
 1  0
2  0

TH 1 : 2 pt cïng v« nghiƯm  

TH 2 : 2 pt cïng cã nghiƯm th× tỉng , tÝch cđa 2pt b»ng nhau 

 1 0

  2 0

 S1 S2
 P P
2
1

Bài toán 17 : Chứng minh : có ít nhất 1 trong 2 phơng trình bậc hai có nghiệm
b1 : TÝnh  1 vµ  2   1 +  2
b2 : Chøng minh :  1 vµ  2  0
Khi ®ã 1 trong 2 biĨu thøc ( 1 và 2 ) phải có ít nhÊt 1 biÓu thøc  0  1 trong 2 pt
trên có ít nhất 1 pt có nghiệm
b3 : KL
Bài toán 18 : Tìm đk để 2 phơng trình : ax2 + bx + c = 0 (1) vµ a’x2 + b’x + c’ = 0 (2)
cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung

ax 0 2  bx 0  c  0
b1 : Gäi x = x0 lµ nghiƯm chung cđa 2 pt . Khi ®ã ta cã hƯ pt  2
a’x 0  b’x 0  c’  0

b2 : Tìm x0 theo m
b3 : Thay biểu thức x0 vào 1 pt ta tìm đợc tham số
b 4: Thử lại KL
Nội dung 6: giải phơng trình
Bài toán 1: Giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0
Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình : at2 + bt + c = 0
Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x
Bảng tóm tắt
2
at + bt + c = 0
ax4 + bx2 + c = 0
vô nghiệm
vô nghiệm
2 nghiệm âm
vô nghiệm
nghiệm kép âm
vô nghiệm
1 nghiệm dơng
2 nghiệm đối nhau
2 nghiệm dơng
4 nghiệm : 2 cặp nghiệm đối nhau
Bài toán 2: Giải phơng trình dạng : A( x 2
Đặt x

1
x

1
1
)  B ( x  )  C 0
2
x
x

= t  x2 - tx + 1 = 0

Suy ra t2 = ( x 

1
x

)2 = x 2 

1
1
 2  x 2 2 t 2 2
2
x
x

Thay vào phơng tr×nh ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C - 2A = 0
116


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào x 1 = t giải tìm x.

x

Bài toán 3: Giải phơng trình dạng : A( x 2
Đặt x

1
x

1
1
) B ( x )  C 0
2
x
x

= t  x2 - tx - 1 = 0

Suy ra t2 = ( x 

1
x

)2 = x 2 

1
1
 2  x 2  2 t 2 2
2
x
x

Thay vào phơng trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = 0  At2 + Bt + C + 2A = 0
Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào x 1 = t giải tìm x.
x

Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao
Dùng các phép biến đổi đa phơng trình bậc cao về dạng:
+ Phơng trình tích
+ Phơng trình bậc hai
Nội dung 7: giải hệ phơng trình
Bài toán 1: Giải hệ phơng trình
* phơng pháp giải:
+ Phơng pháp đồ thị
+ Phơng pháp cộng
+ Phơng pháp thế
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ
Bài toán 2: Tìm tham số để hệ pt có nghiệm cho trớc
* phơng pháp giải:
B1 : Thay nghiệm đó vào 2 pt của hệ
B 2 : Giải hpt mới ta tìm đợc tham số
B 3 : KL
Bài toán 3: Tìm tham số để 2 hÖ pt cã nghiÖm tháa m·n : x = kyy
* phơng pháp giải:
Cách 1 :
B1 : Tìm x, y theo tham sè
B 2 : Thay x, y võa t×m đợc vào biểu thức (*)
B 3 : Giải pt ta tìm đợc tham số KL
Cách 2 :
B1 : Thay x = kyy vµo 2 pt cđa hƯ
B 2 : Giải hpt ta tìm đợc tham số KL

* Chú ý :
Với Cách 1 ta có thể giải quyết đợc các bài tập sau :
1. Tìm tham số để hệ pt cã nghiÖm tháa m·n : mx + ny = ky
2. Tìm tham số để hệ pt có nghiệm thỏa m·n : mx2 + ny2 = ky
ax  by c

a ' x  b ' y c '

x

x

xm

xm

3. TQ : Tìm tham số để hệ pt có nghiệm thỏa mÃn : a.xm + byn = c ( m, n  Z )y
Một số bài toán ta làm theo cách 2 sẽ dễ dàng hơn cách 1 :
xm

C

Chẳng hạn : Tìm tham sè ®Ĩ hpt

2 x  y 5

 x  y 1  3m

cã nghiÖm tháa m·n : y = 3x

x
Bài toán 4: Tìm tham số để 2 hệ phơng trình tơng đơng với nhau
* phơng pháp giải:
B1 : Giải 1 trong 2 hƯ pt
B 2 : Thay nghiƯm cđa hpt vừa tìm đợc vào hpt kia
B 3 : Giải hpt mới ta tìm đợc tham số KL
117


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
Nội dung 8: giải phơng trình vô tỉ
Bài toán 1: Giải phơng trình dạng f ( x) g ( x) (1)
Ta có


Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm của (1)
Bài toán 2: Giải phơng trình dạng f ( x) h( x)  g ( x)
 §iỊu kiƯn cã nghÜa của phơng trình :
Với điều kiện trên thoả mÃn ta bình phơng hai vế để giải tìm x.
Nội dung 9: giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối
Bài toán: Giải phơng trình dạng f ( x) g ( x)
Phơng pháp 1: f ( x) g ( x)



Phơng pháp 2: Xét 2 TH
* Nếu f(x) 0  f(x) = g(x)
* NÕu f(x) < 0  - f(x) = g(x)
Phơng pháp 3:Với g(x) 0 ta cã f(x) =  g(x)
f ( x)  g ( x)

 g ( x ) 0
 
 f ( x)  g ( x)

( 2)

2

(3)

f
( x)
0


0
h ( x )

0
 g ( x)

 g ( x ) 0

2
 g ( x)
f ( x)

2

Nội dung 10: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
- Biến đổi hàm sè y = f(x) sao cho: y = k - A 2n , n Z  y  k
Do ®ã ymax = k khi A = 0
- Biến đổi hàm sè y = f(x) sao cho: y = k + A2n , nZ  y  k
Do ®ã ymin = k khi A = 0
Phơng pháp 2: Dựa vào bất đẳng thức : Cô si - Bunhiacopxki.

1. BĐT cô si:
2

* Cho 2 số không âm x, y ta có : x + y
* Cho 3 số không âm x, y, z ta cã : x + y
 xyz


3



 xy
2 x .y
x.y 

 2 
+ z  3 3 x.y.z hay x.y.z

hay

3

Dấu = xảy ra khi và chØ khi x = y = z
2. B§T Bunhiacopxki.

* Cho 2 cặp số (a; b) và (x; y)
ta có : (a.x + b.y)2  (a2 + b2)(x2 + y2)
* Cho 2 cặp số (a; b; c) và (x; y; z)
ta cã : (a.x + b.y + cz)2  (a2 + b2 + c2)(x2 + y2+ z2 )
DÊu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x y z f
a

b

118

c




tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9

Phần II: hình học
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
b2 = a.b' ; c2 = a.c'
h2 = b'.c'
a.h = b.c
a2 = b2 + c2

A
b
c

B

h
c'

1
1 1
2 2
2
h
b
c

b'
C

H
a

2. Tỉ số lợng giác của gãc nhän.
0 < sin < 1

tan  

0 < coss < 1

sin 
cos 

1  tan 2  

sin2 + cos2 = 1 tan.cot = 1

cot  

1
cos 2 

cos 
sin 

1  cot 2  

1
sin 2 

3. HÖ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
b = a.sinB = a.cosC
c = a.sinC = a.cosB
b = c.tanB = c.cotC
c = b.tanC = b.cot B
4. Đờng tròn.
- Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc một và chỉ một đờng tròn.
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng tròn có 1 tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng.
- Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây : Trong một đờng tròn
+ Đờng kính vuông góc với 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

+ Đờng kính đi qua trung điểm của 1 dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây
ấy
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
Trong một đờng tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
- Liên hệ giữa cung và dây: Trong một ®êng trßn hay trong hai ®êng trßn b»ng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Số điểm
chung

Vị trí tơng đối
- Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau

Hệ thức liên hệ
giữa d và R
d
2
- Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau
d=R
1
119

tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
- Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau
d>R
0
- Vị trí tơng đối của hai đờng tròn:
Số điểm
chung

Vị trí tơng đối
- Hai đờng tròn cắt nhau

Hệ thức liên hệ
giữa d và R
R - r < OO' < R + r

2
- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xóc ngoµi

OO' = R + r
1

+ TiÕp xóc trong

OO' = R - r

- Hai đờng tròn không giao nhau
+ (O) vµ (O') ë ngoµi nhau

OO' > R + r

+ (O) ®ùng (O')
OO' < R - r

0
+ (O) vµ (O') ®ång tâm

OO' = 0

5. Tiếp tuyến của đờng tròn
- Tính chất của tiếp tuyến : vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
+ Đờng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính
+ Đờng thẳng đi qua 1 điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm ®ã.
* TÝnh chÊt cđa 2 tiÕp tun c¾t nhau
A
MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
+ MA = MB
+ MO là phân giác của góc AMB
O
+ OM là phân giác của góc AOB
M
* Tiếp tuyến chung của 2 đờng tròn:
là đờng thẳng tiếp xúc với cả 2 đờng tròn ®ã:
TiÕp tun chung ngoµi
TiÕp tun chung trong
B

d

d

d'

O
O'

O
O'

d'

6. Gãc víi ®êng tròn
Loại góc

Hình vẽ
A

B

1. Góc ở tâm

Công thức tính số đo
AOB sd AB

O

120

tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tËp - to¸n 9
A

B

2. Gãc néi tiÕp

AMB  1 sd AB
2

O

M
x

3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung.

1

xBA
sd AB
2

A

B

O

B
A

4. Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn

AMB 1 ( sd AB  sdCD
 )
2

M
O
C

D
M

AMB  1 ( sd AB sdCD
)
2

D

C

5. Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn
O
A
B

Chú ý: Trong một đờng tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 cã sè ®o b»ng nưa sè ®o cđa gãc ở tâm cùng chắn
một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn
nửa đờng tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.
7. Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d
Rn
- Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l
180

8. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R2
2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0: S R n lR

360

9. Các loại đờng tròn
Đờng tròn ngoại
tiếp tam giác

Đờng tròn nội tiếp
tam giác

2

Đờng tròn bàng tiếp
tam giác

121


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
A

A

A

O

B
C

O

F

B

B

E

J

C

C

Tâm đờng tròn là giao
của ba đờng phân giác
Tâm đờng tròn là giỏo trong của tam giác
của 3 đờng trung trực
của

Tâm của đờng tròn bàng tiếp trong góc A
là giao điểm của hai đờng phân giác các
góc ngoài tại B hoặc C hoặc là giao điểm
của đờng phân giác góc A và đờng phân
giác ngoài tại B (hoặc C)

10. Mt s hình không gian
* Hình trụ : Sxq = 2rh ; Stp = 2rh + r2;V = Sh = r2h
* H×nh nãn: Sxq = 2rl; Stp = 2rl + r2; V =

1
r 2h
3

1
3
4
* Hình cầu. Smặt cầu = 4R2 = d; V = R3

3

* H×nh nãn cơt: Sxq = (r1 + r2)l; V =  h(r12  r22  r1 r2 )

11. Tø gi¸c néi tiÕp:
 DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách ®Ịu mét ®iĨm.
- Tø gi¸c cã 2 ®Ønh kỊ nhau cùng nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại dới 2 góc bằng nhau
B. các dạng bài tập.
Dạng 1: Chứng minh hai gãc b»ng nhau.
- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba
- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai góc bằng nhau khác
- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau
- Hai gãc cïng phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh tơng ứng song song hoặc vuông góc
- Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị
- Hai góc ở vị trí đối đỉnh
- Hai góc của một cân hoặc đều
- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba
- Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều
- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
- Hai cạnh bên của hình thang cân
- Hai dây căng hai cung bằng nhau trong 1 đờng tròn hoặc 2 đờng bằng nhau.
Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song

- Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai gãc b»ng nhau:
+ ë vÞ trÝ so le trong; ở vị trí so le ngoài
+ ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành
122


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
- Chúng song song với hai đờng thẳng vuông góc khác.
- Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác.
- Đờng kính đi qua trung điểm của 1 dây hoặc 1 cung căng dây thì vuông góc với dây
- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau.
Dạng 5: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
* Hai tam giác thờng:
- Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g)
- Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)
- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuông:
- Có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau
- Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau
- Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau
Dạng 6: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy.
- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong
(hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia)
- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.
Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng

* Hai tam giác thờng:
- Có hai góc bằng nhau đôi một
- Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ
- Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ
* Hai tam giác vuông:
- Có một góc nhọn bằng nhau
- Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ
Dạng 8: Chứng minh đẳng thức hình học
Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*)
- Chøng minh: MAC  MDB hc MAD  MCB
- NÕu 5 ®iĨm M, A, B, C, D cïng n»m trên một đờng thẳng thì phải chứng minh các tích
trên cïng b»ng tÝch thø ba:
 MAE ~  MFB
MA.MB ME.MF
 
 MA.MB  MC.MD
 MCE ~  MFD
MC.MD  ME.MF

Tøc là ta chứng minh:

Trờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB
 ta chøng minh : MTA  MBT
 hc dïng hệ thức lợng trong tam giác vuông
Dạng 9: Chứng minh tø gi¸c néi tiÕp
* DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c nội tiếp :
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc bên trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm, điểm đó là tâm của đờng tròn đi qua 4 điểm đó
- Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới 2 góc = nhau

- Dùng hƯ thøc : MA.MB = MC.MD  2  ®ång d¹ng  2 gãc = nhan   néi tiÕp
D¹ng 10: Chứng minh MT là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R)
- Chøng minh : OT  MT t¹i T (O; R)
- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bằng bán kính
- Dùng góc nội tiếp
Dạng 11: Các bài toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc
- Dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông
123


tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng bài tập - toán 9
- Dựa vào tỷ số lợng giác
- Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
- Dựa vào công thức tính độ dài, diện tÝch, thÓ tÝch...

124