Bộ đề thi vào 19 có đáp án

ôn tập toán - bài tập đại số
I Căn bậc hai.
Dạng I : Căn bậc hai - Định nghĩa , kí hiệu.
Ví dụ 1 : Tìm x biết x
2
= 8.
Giải : x =
228 =
Ví dụ 2 : Tìm x biết
21 =x
Giải : Ta có
5
5
1
41
01
=



=





=

x
x
x

x
x
23và 32
4và
sánh So : 3 dụVí
15
23321812
1823;1232;15164
co Ta : Giai
<<
==>=
Ví dụ 4 : Tính
25,074,5 +
Giải :
9,85,34,55,0.74,525,074,5 =+=+=+
Bài tập tự giải :
1) Tìm x biết
25)21)
22
==+ xbxa
2) Tính
4916.100
2
1
)
4
1
.25,0) +++

ba

3) So sánh
33và 52
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của y biết:
a)y = x
2
2x +3 b)y =
11129
2
++ xx
Dạng 2 : Căn thức bậc hai- điều kiện tồn tại- hằng đẳng thức
AA =
2
Ví dụ 1 : a) Tìm x để biểu thức
42 x
có nghĩa ?
Giải : Ta có
42 x
có nghĩa khi
2042 xx
b) Tìm x để
5
2
+x
có nghĩa?
Giải : Ta thấy
xx 0
2
nên
5
2

+x
có nghĩa với mọi x.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình :
132 += xx
Giải : Pt
4
4
2
3
132
032
=





=





+=

x
x
x
xx
x

Ví dụ 3 : Tính
( )
62531
2

Giải : Ta có :
( )
( )
232323625
133131
2
2
===
==
Bài tập tự giải :
1) Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa :

5
2
)2)305)2)
2


x
dxcxbxa
2) Rút gọn biểu thức :
1212)
612336615)
22
++++

+
xxxxb
a
3) Giải phơng trình: x
2
+2x = 3-
22
4) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
xx 423
Dạng 3 :Quy tắc khai phơng.
Ví dụ 1 : Tính .
10521.5441.25
441.25
==: cóTa
Ví dụ 2 : Tính
aaba 16.4)12.3)
Giải : a)
63612.312.3 ===
b)
aaaaaa 86416.416.4
2
===
Ví dụ 3 : Tính a)
16
9
:
25
36
)
49

4
)
225
81
22
c
ba
b

Giải : a)
5
3
15
9
225
81
225
81
===
b)
7
2
49
4
49
4
22
ab
baba
==

c)
15
24
4
3
:
5
6
16
9
:
25
36
16
9
:
25
36
===
Ví dụ 4 : Tính
a)
( )( )
32233223 +
b)
( )
2:24621622128 +
Giải :
a)
( )( ) ( ) ( )
61218322332233223

22
===+
b)
( )
1032329.281232812642:24621622128 =+=+=+
Bài tập :
1) Rút gọn biểu thức
a)
2
45.320 a
b)
( )
)0(
1
2
4
<<

babaa
ba
2) Rút gọn và tính giá trị biểu thức :

( )
2-x =++= khixxA
2
9614
3) Tính : a)
( ) ( )
22
22.23

b)(1+
)321)(32 ++
c)
87)714228( ++
d)
)4,032)(10238( +
e)
( )
10:450320055015 +
4)Tính a)
347)32( +=A
b)
154)610( +=B
5)Tìm x biết:
a)
54 =x
b)
21)1(9 =x
c)
06)1(4
2
= x
6)Tìm x biết:
a)
11)8)(7( += xxx
b)
213 =++ xx
7) Phân tích thành tích:
a)
1528 +

b)
15531 +++
c)
21151410 +++
d)
83183 +++
e)
86 ++ xx
f)
baabbab +++
Dạng 4 : Các phép toán về căn bậc hai :
Ví dụ 1 :
353.575
2
==

123.232
2
==
Ví dụ 2 :
5
5
1
5
5
5
1
2
==

9
62
6.3
64
)6(3
64
63
4
2
===
Ví dụ 3 :
)37(2
37
)37(8
37
8
=


=
+
Bài tập :
1) So sánh
53và 20
2) Khử mẫu :
5335
35
)
3
6

)

+
22
1
c)ba
3) Tính :
272
3
2
25,4
3
1
572) ++a

1622732
2
1
4) +b
4) Tính
6
1
.
3
216
28
632
)

a
b)
57
1
:
31
515
21
714











+

c)
1027
1528625
+
++
4) Rút gọn biểu thức:
b.a0,b0,a với >>

+
baab
abba
a
1
:)
b)
1a0,a với >

+
+
+
1
1
1
1
a
aa
a
aa
II : Hàm số bậc nhất - Định nghĩa Tính chất.
Dạng 1 : Hàm số bậc nhất
Ví dụ 1 : Các hàm số sau, hàm số nào đồng biến , nghịch biến ?
a) y = 2x- 3 b) y = 1 2x c) y = (1 -
3x)2 +
Giải : a) a= 2 > 0 : Đồng biến
b) a = - 2 < 0 : Nghịch biến
c) a = 1 -
2
< 0 : Nghịch biến.
Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số sau đồng biến , nghịch biến ?
y = ( 2m 1 ) x + m 2

Giải : Hàm số đồng biến khi 2m 1 > 0
2
1
m >
Hàm số nghịch biến khi 2m 1 < 0
2
1
m <
Ví dụ 3 : Cho hàm số y = -2x + b . Tìm b biết khi x = 2 thì y = -1?
Giải : Thay x =2 , y = -1 vào ta có : -2 . 2 +b = -1
3b1b4 ==+
vậy y = -2x + 3.
Ví dụ 4 : Cho hàm số y = mx 3 . Tìm m biết khi x=2 thì y=1?
Giải : Thay x=2 , y=1 vào ta có : m.2 3 = 1 => m= 2 ; vậy y=2x- 3.
Ví dụ 5 : Cho hàm số y= ( m-1)x + 3.
a) Tìm m để đồ thị hàm số song song đờng thẳng y=2x?
b) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ tam giác cân?
c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành 1 góc 45
0
?
Giải :
a) m-1=2 => m=3 vậy y =3x+3
b) Đồ thị cắt Oy tại (0;3) , cắt Ox tại
1m
3


nên

=
=
==


2m
0m
11m3
1m
3
c) Để

0
45=
thì hay
= 11m




=
=
2m
0m
Ví dụ 6 : Tìm m để các đờng thẳng sau song song?
y=(m-3)x + 2 , y=(3m 7)x 3 .
Giải : để 2 đờng thẳng song song thì m-3 = 3m 7 => m= 2
Ví dụ 7 : a) Chứng minh 3 đờng thẳng sau đồng quy : y=2x + 1 (1), y=-x+1 (2)
y=

)3(1x
2
1
+
b) m=? để các đờng thẳng sau đồng quy : : y=mx + 2 (1), y=-x + 3 (2) , y=2x 1 (3) ?
Giải :
a) Giao của (1) và (2) là (0;1) thay vào (3) thoả mãn .Vậy 3 đờng đồng quy .
b) Giao của (2) và (3) là (4/3;5/3) thay vào (1) đợc m=2.
Ví dụ 8: CMR đờng thẳng y = mx+3 - m luôn đi qua 1 điểm cố định ?
Giải :
y = mx+3 - m => m(x-2) = y-3 ,không phụ thuộc m khi x=2,y=3.Từ đó đờng thẳng luôn đi
qua điểm cố định ( 2;3) với mọi m.
Ví dụ 9 : Tìm m để 2 đờng thẳng sau vuông góc ? y = 2x - 3 ; y = (m-2)x + 3
Giải : 2 đờng thẳng vuông góc khi tích 2 hệ số góc bằng 1 tức là 2(m-2) = 1 suy ra m=5/2.
Ví dụ 10 :
Viết phơng trình đờng thẳng di qua A(1;3) và song song đờng thẳng y = 2x 1 (1) ?
Giải : PT đờng thẳng qua A có dạng y = ax + b, ta có a.1 + b = 3 , mặt khác đờng thẳng
song song (1) => a = 2 từ đó b = 1 . Vậy y = 2x + 1.
Dạng 2 . Hệ ph ơng trình.
Ví dụ 1 : giải hệ phơng trình :



=+
=
8y2x3
1y3x2
Giải :

=+
=
8y2x3
1y3x2



=
=




=
=




=+
=

1y
2x
1y3x2
13y13
16y4x6
3y9x6
Ví dụ 2 : Cho hệ phơng trình :

=+
=+
5y2mx
4yx2
a) Giải hệ khi m=1
b) Tìm m để hệ có 1 nghiệm , VSN , VN ?
Giải :
a) m=1 ta có hệ :



=
=




=+
=




=+
=+

=+
=+
2y
1x
5y2x
3x3
5y2x
8y2x4
5y2x
4yx2
b) Hệ đã cho



=+
=

(*)5)x24(2mx
x24y
(*)
3x)4m( =
, Từ đó :
Phơng trình có 1 nghiệm khi
4m04m
Phơng trình VSN :không xảy ra.
Phơng trình VN khi m-4=0 tức là m = 4.
Ví dụ 3 : Lập phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm A(1;2) và B(-1;3) ?
Giải : Phơng trình đờng thẳng có dạng y = ax + b (a

0

).
Đờng thẳng đi qua A,B nên ta có hệ phơng trình :
2
5
x
2
1
y
2
5
b
2
1
a
3ba
2ba
+=







=
=

=+
=+
Bài tập :
1) Giải hệ phơng trình







=+
=



=+
=+







=

=

+






=++
=

+



=+
+=
5
y
4
x
3
1
y
1
x
1
)e

5y3x8
2y2x4
)d
1
1y
3
1x
2
2
1y
1
2x
1
)c
0)y2x(4)2y3(3
1
2y3
3x2
)b;
4yx
x4y
)a
2) Tìm a,b để hệ có nghiệm x=2 , y=5 ?



=
=+
3aybx
abyx3

3) Tìm a để hệ có nghiệm âm ?



=
=
2ayx5
1y6x3
4) Cho hệ phơng trình :



=
=+
2ayx
m2ymx
a) Tìm m để hệ có nghiệm (x=1;y=1)
b) Tìm m để hệ có VSN ; VN ?
5) Giải hệ phơng trình :





=
=
=
20yz
15xz
12xy

6) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua :
a) A(1;2) , B(1;3)
b) A(2;3) , B(-1;3)
c) A(-1;4) , B(2;5).
III Ph ơng trình bậc hai, quy về bậc hai.
Ví dụ 1 : Giải Pt : 9x
2
-30x+225=0.
Giải :
01800225.9)15(
2
<==
Phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải Pt : 3x
2
+10x - 48= 0.
Giải :
13
016948.35'
2
=
>=+=
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
6
3
135
x
3
8
3

135
x
21
=

==
+
=
Ví dụ 3 : Với giá trị nào của k thì phơng trình :
a) 2x
2
+kx k
2
= 0 có 2 nghiệm phân biệt?
b) 25x
2
+mx+2 = 0 có nghiệm kép?
c) 5x
2
+18x+m = 0 vô nghiệm?
Giải :
a) phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi
k0k90k8k0
222
>>+>
0

b) Phơng trình có nghiệm kép khi
210m0200m0
2

===
c) Phơng trình vô nghiêm khi
5
81
m0m5810' ><<
Ví dụ 4 : Với giá trị nào của b thì phơng trình (b -1)x
2
- (b+1)x- 72=0 có 1 nghiệm bằng
3 ? Tìm nghiệm còn lại?
Giải : Thay x=3 vào phơng trình ta có :
(b-1).9 (b+1).3 72 = 0
=>b=14.
Thay b=14 vào ta có : 13x
2
-15x-72=0 , theo Viet ta có x
1
.x
2
=-72/13 từ đó x
2
=-72/39.
Ví dụ 5: Cho phơng trình x
2
+3x-1=0. Không giải phơng trình hãy tính
2
2
1
2
x
1

x
1
+
?
Giải : Theo Viet ta có



=
=+
1x.x
3xx
21
21

11
1
19
)xx(
xx2)xx(
x
1
x
1
2
21
21
2
21
2

2
1
2
=
+
=
+
=+
Ví dụ 6 : Cho phơng trình x
2
- 2(m-1)x-2(m+5) = 0.
a) Giải phơng trình khi m=2.
b) Trong trờng hợp phơng trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
, hãy lập 1 hệ thức giữa chúng không
phụ thuộc vào m?
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x
1
2
+x
2
2
Giải :
a) m=2 ta có phơng trình : x
2
-2x-14=0
151x
15141'

1
=
=+=
b) Ta có x
1
+x
2
=-2(m-1)
x
1
x
2
=-2(m+5)
=> x
1
+x
2
- x
1
x
2
=7 là hệ thức cần tìm.
c)A=(x
1
+x
2
)
2
-2x
1

x
2
= 4(m-1)
2
+4(m+5) = 4m
2
+24

24 , vậy A
min
=24 <=>m=0
Ví dụ 7 : Cho phơng trình x
2
+(m+5)x+6-m=0
Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình , tìm m để 2x
1
+3x
2
=13 ?
Giải :Ta có :





=+

=
=+
13x3x2
m6xx
5mxx
21
21
21
Giải ra đợc x
1
=-3m-28,x
2
=23+2m thay vào ta có 3m
2
+62m+319=0 từ đó m=11 và m=29/3.
Ví dụ 8 . Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là 2/3 và 4/3?
Giải : ta có 2/3+4/3=2
2/3.4/3=8/9
Vậy chúng là nghiệm của phơng trình bậc hai x
2
-2x+8/9=0 hay 9x
2
-18x+8=0.
Ví dụ 9.Giải các phơng trình :
a) (2x
2
-x-1)
2
-(x
2

-7x+6)
2
=0 b) 2x
4
-7x
2
-4=0 c)
1
1x
1
1x
1
=
+


c) (y
2
+2y)
2
-3(y
2
+2y)+2=0 d)y
2
+2y-2
y2y
2
+
+1=0
Giải :

a) Biến đổi phơng trình thành (3x
2
- 8x+5)(x
2
- 6x-7)=0 , giải ra đợc x
1
=1,x
2
=5/3,x
3
=-7.
b) Đặt x
2
=t

0 ,ta có phơng trình 2t
2
7t 4 = 0, giải ra đợc t = 4 vậy x =
22
.
c) đk : x
1
, quy đồng và khử mẫu đợc phơng trình x
2
= - 1 , phơng trình vô nghiệm.
d) Đặt y
2
+2y=t , ta có phơng trình t
2
-3t+2=0; t

1
=1,t
2
=2 , từ đó có 2 phơng trình :
y
2
+2y-1=0 và y
2
+2y-2=0 giải ra đợc y=-1
2
và y=-1
3
.
e) Đặt
y2y
2
+
=t

0 , ta có phơng trình t
2
-2t+1=0, giải ra đợc t=1 vậy y
2
+2y-1=0 ,
từ đó y=-1
2
.
IV- Quan hệ giữa đờng thẳng và đờng cong.
Ví dụ 1 . Tìm giao điểm của (d):y=
2x

2
1
+
và (P):y=
2
x
4
1
Giải : Ta giải phơng trình
2
x
4
1
=
2x
2
1
+
hay x
2
- 2x 8 = 0. Giải ra đợc x
1
=4,x
2
=-2
=>y
1
=4,y
2
=1.

Vậy giao điểm là A(4;4), B(-2;1).
Ví dụ 2 . Cho đờng thẳng (d):y=mx-2 và đờng cong (P):y=x
2
. Tìm m để (d) và (P) không
cắt nhau, tiếp xúc nhau, cắt nhau tại hai điểm?
Giải : Xét phơng trình x
2
=mx-2 => x
2
-mx+2=0.
8m
2
=
Để 2 đờng không cắt nhau thì
8m
2
=
<0 hay
22
<m<
22
Để 2 đờng tiếp xúc nhau thì
8m
2
=
=0, m=
22
.
Để 2 đờng cắt nhau tại hai điểm thì
8m

2
=
>0, m>
22
hoặc m<
22
.
Bài tập tự giải:
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình y = (m-1)x + m và parabol (P) : y = x
2
. Tìm điều kiện
của m để :
a) (d) đi qua điểm có hoành độ 2 trên (P).
b) (d) tiếp xúc (P).
c)* Giải BPT (m-1)x + m > x
2
.
V- Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Dạng 1 . Toán chuyển động
a) Một ô tô dự định đi từ A đến B trong 1 thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc
35Km/h thì đến muộn 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì đến sớm 1 giờ. Tính
quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu?
Giải: Gọi quãng đờng AB là x (Km) , x>0; thời gian dự định đi là y(giờ),y>2.
Nếu xe chạy với vận tốc 35Km/h thì hết thời gian x/35 giờ và đến muộn 2 giờ nên ta có ph-
ơng trình : x/35 y = 2.
Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì hết thời gian x/50 giờ và đến sớm 1 giờ nên ta có ph-
ơng trình : x/50 y = -1.
Kết hợp 2 phơng trình ta có hệ phơng trình

=
=
1y
50
x
2y
35
x
Giải hệ đợc x=350,y=8 (thoả mãn).
Vậy quãng đờng AB dài 350Km, thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.
b) Một ca nô đi từ bến A đến bến B cách nhau 60Km, cả đi và về hết 12,5 giờ.Biết vận tốc
dòng nớc là 2Km/h , tính vận tốc thực của ca nô?
Giải : Gọi vận tốc thực của ca nô là x(Km/h),x>2.
Vận tốc ca nô lúc đi là x+2 (Km/h), lúc về là x-2(Km/h).
Thời gian ca nô đi là 60/x+2 giờ; thời gian ca nô về là 60/x-2giờ.
Theo bài ra ta có phơng trình:
04x6,9x5,12
2x
60
2x
60
2
==

+

+

Giải ra đợc x=10(Tm),x=-0,4<0(loại)
Vậy vận tốc thực của ca nô là 10Km/h.
Dạng 2 : Toán về số và chữ số
a) Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp biết tổng các bình phơng của chúng bằng 202?
Giải :Gọi số lẻ thứ nhất là n (n là STN) thì số lẻ thứ hai là n+1
Theo bài ra ta có phơng trình : n
2
+ (n+1)
2
= 202 hay n
2
+ 2n 99 = 0.
Giải ra đợc n
1
=9 (TM),n
2
=-11(loại).
Vậy 2 số lẻ là 9 và 11.
b) Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết tổng các chữ số của nó là 13 và nếu cộng 34 vào
tích 2 chữ số thì đợc chính số đó?
Giải :
Gọi số tự nhiên là
)9b0,9a1,Nb,a(ba10ab +=
Theo bài ra ta có hệ phơng trình



+=+

=+
ba1034ab
13ba
Giải hệ ta có a=7,b=6 ( thoả mãn)
Vậy số cần tìm là 76.
Dạng3 : Toán làm chung , làm riêng.
a)Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ. Hai đội
cùng làm sau 4 giờ thì đội I đợc điều đi làm việc khác, đội II làm nốt công việc trong 10
giờ . Hỏi đội II làm một mình thì hoàn thành công việc sau bao lâu?
Giải:Gọi thời gian đội II làm xong công việc một mình là x (giờ). x>12.
Mỗi giờ tổ II làm đợc 1/x công việc.
Hai tổ đã làm chung trong 4 giờ đợc 1/3 công việc , còn lại 2/3 công việc .
Theo bài ra ta có phơng trình :
10
x
1
:
3
2
=
.
Giải ra đợc x=15(thoả mãn)
Vậy tổ II làm một mình xong công việc sau 15 giờ.
c) Trong tháng đầu, hai tổ công nhân làm đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai , tổ I v-
ợt mức 15%, tổ II vợt mức 20% , nên cuối tháng hai tổ làm đợc 945 chi tiết máy. Hỏi
trong tháng đầu mỗi tổ làm đợc bao nhiêu chi tiết máy?
Giải :Gọi số chi tiết máy mà tổ I làm đợc trong tháng đầu là x ( chi tiết)
số chi tiết máy mà tổ II làm đợc trong tháng đầu là y ( chi tiết)
ĐK: x,y nguyên,dơng,nhỏ hơn 800.
Tháng đầu , hai tổ làm đợc 800 chi tiết nên ta có phơng trình x+y=800.

tổ I vợt mức 15%x chi tiết, tổ II vợt mức 20%y chi tiết nên ta có phơng trình
15%x+20%y=145.
Kết hợp 2 phơng trình ta có hệ phơng trình



=+
=+
145y%20x%15
800yx
Giải ra đợc x= 300, y= 500 (thoả mãn)
Vậy trong tháng đầu tổ I làm đợc 300 chi tiết máy, tổ II làm đợc 500 chi tiết máy.
Bài tập tự giải:
1) Một ôtô đi từ Hà Nội xuống Hải Phòng với vận tốc 50 km/h , lúc về xe chạy với vận tốc
nhanh hơn lúc đi 5 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 12 phút . Tính quãng đờng mà
xe chạy từ Hà Nội đến Hải Phòng.
Đáp số : 110 km
2) Hai bến A, B cách nhau 120 km . Lúc 7 giờ một ca nô đi xuôi dòng từ bến A với vận
tốc 12 km/h , cùng lúc đó một chiếc ca nô khác ngợc dòng từ bến B . Chúng gặp nhau lúc
mấy giờ , biết vận tốc của ca nô đi từ bến B là 14 km/h và vận tốc dòng nớc là 2 km/h.
Đáp số : 11giờ.
3) Tìm một số có hai chữ số biết chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 5 và nếu đổi
chỗ hai chữ số cho nhau thì đợc số mới hơn số cũ 45 đơn vị
Đáp số : 27.
4) Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể nớc thì bể đầy sau 5 giờ . Nếu vòi thứ nhất chảy một
mình trong 2 giờ và thì đợc 1/15 bể . Hỏi vòi 2 chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ?
Đáp số : 15 giờ
V- Bài tập tổng hợp
1) Cho biểu thức A=
x1

1
)
x1
1
x1
1
(:)
x1
1
x1
1
(

+
+

+
+

a)Rút gọn A
b)Tính A khi x=7+4
3

c)Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất
Giải :
)1(
1
1
11
1

1
2
1
.
1
2
1
1
1
2
:
1
2
1
1
)
1
11
(:)
1
11
()
xxxxxx
x
x
x
x
x
x
x

x
xx
x
xx
Aa

=

+=

+


=

+

=

+

++

++
=
b)
32x)32(347x
2
+=+=+=
Từ đó

2
335
)31)(32(
1
A

=
+
=
c)A đạt giá trị nhỏ nhất khi
)1( xx
lớn nhất
4
3
4
3
)
2
1
()1( = xxx
GTLN của
)1( xx
là -3/4 , vậy A nhỏ nhất là -4/3 khi và chỉ khi x=1/4
2) Cho
2
2
:)
1)1
(

+
+
+



=
a
a
aa
aa
aa
aa
A
a) Tìm TXĐ của A b) Rút gọn A c) Tìm a nguyên để A có giá trị nguyên
Giải :
a) TXĐ :




>

>









2;1
0
2
1;0
0
0
02
0
a
a
a
a
a
a
a
aa
b) Rút gọn A=
( )
( )
2

)2(2
2
2
.
11
2
2
:
)1()1(
2
2
:
)1(
)1)(1(
)1(
)1)(1(
2
2
:)
11
(
+

=
+
+++
=

++

++
=

+
+
++


++
=

+
+
+



a
a
a
a
a
aaaa
a
a
a
aa
a
aa
a

a
aa
aaa
aa
aaa
a
a
aa
aa
aa
aa
c)
2
8
2
2
8)2(2
2
)2(2
+
=
+
+
=
+

=
aa
a
a

a
A
++ 228 aaZA
Ư(8)=
{ }
8;4;2;1
Từ đó giải ra đợc a=-1;-3;0;-4;2;-6;6;-10;
Bài tập hình học
Bài 1 . Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến ã và By . Qua một
đỉm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến trên tại C và D . Các đ-
ờng thẳng AD và BC cắt nhau ở N . Chứng minh rằng :
a) MN // AC
b) CD.MN = CM.DB
Bài 2 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Gọi S là trung điểm OA , vẽ đờng tròn tâm S và
đi qua A.
a) Chứng minh các đờng tròn (O) và (S) tiếp xúc nhau tại A
b) Một đờng thẳng đi qua A gặp đờng tròn (S) tại M và đờng tròn (O) tại P . Chứng minh
SM//OP
c) Chứng minh M là trung điểm AP và OM//BP.
Bài 3 : Cho hình thang vuông ABCD với cạnh bên BC xiên . Vẽ nửa đờng tròn đờng kính
BC ở trên cùng nửa mặt phẳng có bờ BC đối với hình thang ABCD . Nửa đờng tròn này cắt
DA ở M và N . Chứng minh : a) AB.DC = DN.NA b) AB.DC = AM.MD
Bài 4 : Cho một đờng tròn (O) đờng kính CD = 2R . Từ C và D kẻ 2 tiếp tuyến Cx và Dy .
Từ một điểm E trrên đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Cx và Dy tại A , B .
a) Chứng minh góc AOB vuông và AE.EB = R
2
b) Chứng minh AB = AC + BD
c) Dựng điểm E trên đờng tròn sao cho tổng khoảng cách AC và BD ngắn nhất.
Bài 5 : Cho tam giác ABC , các đờng phân giác của các góc trong B và C cắt nhau tại S ,
các đờng phân giác ngoài của các góc B và C cắt nhau tại E . Chứng minh rằng :

a) BSCE là tứ giác nội tiếp b) A, S , E thẳng hàng
Bài 6 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB . Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến với đờng tròn . Gọi M
là một điểm trên đờng tròn . Các đờng thẳng AM và BM cắt các tiếp tuyến trên tại B và
A.
a) Chứng minh AA . BB = AB
2
b) Qua M kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O) cắt AA và BB tại C và D . Chứng minh CD =
1/2 (AA+BB)
Bài 7 : Các đờng cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H . Các đờng cao kéo dài
cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác tại D và E . Chứng minh :
a) CD = CE
b) H và E đối xứng nhau qua AC ; H và D đối xứng nhau qua BC
Bài 8 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và tia phân giác góc A gặp đờng tròn tại
M . Vẽ đờng cao AH và bán kính OA. Chứng minh rằng :
a) Đờng thẳng OM đi qua trung điểm dây BC
b) AM là tia phân giác của góc OAH
Bài 9 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên AC lấy điểm M , dựng đờng tròn đờng kính
MC . Nối BM và kéo dài gặp đờng tròn tại D . Đờng thẳng DA gặp đờng tròn tại S . CMR:
a) ABCD là một tứ giác nội tiếp. b) CA là tia phân giác của góc SCB.
Bài 10 : Hai đờng tròn (O) và (O) có bán kính R và R (R>R) tiếp xúc ngoài nhau tại C .
Gọi AC và BC là 2 đờng kính đi qua C của đờng tròn (O) và đờng tròn (O) . DE là dây
cung của đờng tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB . Gọi giao điểm thứ
hai của đờng thẳng DC với đờng tròn (O) là F .
a) Tứ giác AEBD là hình gì ? b) Chứng minh 3 điểm B,F,E thẳng hàng.
c) Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp. d) DB cắt (O) tại G.Chứng minh DF,EG, B đồng
qui.
e) Chứng minh MF = 1/2DE và MF là tiếp tuyến (O).
Bài 11 : Cho H là trực tâm của tam giác ABC .
a) Gọi H là điểm đối xứng của H qua AC . Chứng minh rằng H nằm trên đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.

b) CMR các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AHB,BHC,CHA có bán kính bằng nhau .
Bài 12 : Cho đờng tròn (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đờng tròn (O)
đờng kính BC . Gọi M là trung điểm AB . Từ M kẻ dây cung DE vuông góc AB . DC cắt đ-
ờng tròn (O) tại I .
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? tại sao ? b) Chứng minh BI // AD.
c) Chứng minh 3 điểm I , B , E thẳng hàng và MD = MI.
d) Xác định và giải thích vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với đờng tròn (O).
Bài 13 : Từ một điểm A ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai cát tuyến AB , AC và cát tuyến
AMN của đờng tròn đó . Gọi I là trung điểm của dây MN .
a) Chứng minh 5 điểm A,B, I , O ,C cùng nằm trên một đờng tròn .
b) Nếu AB = OB thì ABOC là hình gì ? Tại sao ? Tính diện tích hình tròn và độ dài đờng
tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R của (O).