Bài tập hệ thức lượng giác ppsx

2 2
1.a b
= +
2
7. .c a
=
2
2. .b a
=
2 '
3. .h b=
8. .ah b
=
2 2
1 1 1
4.
b c
= +
5.sin cosB C
a
= =
6.sin cosC B
a
= =
9.tan cotB C
c
= =
10.cot tanB C
b

= =
Bài1. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h,BC = a,
AC = b,AB = c gọi BH = c’,CH = b’. Hãy điền vào ô trống các hệ thức
sau:
2
c
'
b
'
c
2
h
'
c
c
b
c
b
c
A
B
C
H
a
b
c
b’
c’
h

Bài 2. Cho tam giác ABC như hình vẽ sau. Em hãy cho biết :

AC AB
− =
uuur uuur
2
BC
=
uuur
AC AB BC
− =
uuur uuur uuur
2 2 2
2
( ) 2BC AC AB AC AB AC AB
= − = + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur
A
B
C
Trả Lời

Người ta muốn đo khoảng cách hai điểm A,B mà không thể
đến trực tiếp được vì ở hai bên đầm lầy ( hình vẽ).
A
B
Để giải quyết vấn đề này chúng ta cần học bài hôm nay!
Để giải quyết vấn đề này chúng ta cần học bài hôm nay!

§ 3:
§ 3:
CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC


VÀ GIẢI TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC
1. Định lý côsin
a.Bài toán: Hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí với vận
tốc v1=30km/h,v2=50km/h theo hai hướng hợp với nhau một
góc (như hình vẽ). Hỏi sau một giờ hai tàu cách nhau bao
xa?
3
0
K
m
/
h
5
0
K
m
/
h
A
B
C
3

0
K
m
5
0
K
m
?
45
o
0
45

2 2 2
2 .BC AB AC AB AC= + −
uuur uuur uuur uuur uuur
2 2 2
2
30 50 2.30.50. 1278,67( )
2
35,76
BC Km
BC km
⇔ = + − ≈
⇒ ≈
Trả Lời:
Từ bài toán trên ta thấy trong một tam giác khi biết hai cạnh
và góc xen giữa ta sẽ tính được cạnh còn lại đó chính là
định lý cosin
Định Lý Cosin

2 2 2
2 . . osABC AB AC AB AC c⇔ = + −
2 2 2
2 osCc a b abC= + −
2 2 2
2 osAa b c bcC= + −
2 2 2
b 2 osBa c acC= + −
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC=a, AB=c, CA=b Ta có:
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC


VÀ GIẢI TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC
BC AC AB
= −
⇒
uuur uuur uuur

Ví Dụ 1: Hãy sử dụng định lý vừa tìm được để tìm lời giải bài
toán đo khoảng cách giữa các điểm mà không đến trực tiếp
được (hình vẽ).
Ta chọn điểm C sao cho từ đó có thể nhìn thấy điểm
A,B và đo độ dài BA, BC và góc BAC
Giả sử các số liệu đo được như hình vẽ ta có
A
B
C
Hướng dẫn:

75
o
20m
23m
2 2 2 o
2 . . os75 690,9( ) 26,3AB AC BC AC BC C m AB m= + − ≈ ⇒ ≈
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

C
C
âu hỏi:
âu hỏi:
Có tính được các góc của tam giác khi biết độ dài
Có tính được các góc của tam giác khi biết độ dài
ba cạnh không?
ba cạnh không?
A
B
C
a
b
c
?
Trả lời: Từ đẳng thức

2 2 2
2 osAa b c bcC
= + −
2 2 2

b
osA=
2
c a
c
bc
+ −
2 2 2
b
osA=
2
c a
c
bc
+ −
b.Hệ quả:
2 2 2
osB=
2
a c b
c
ac
+ −
2 2 2
osC=
2
a b c
c
ab
+ −

Ta có:
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC


VÀ GIẢI TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC

C
C
âu hỏi:
âu hỏi:
Hãy tìm điều kiện của các cạnh để tam giác ABC
Hãy tìm điều kiện của các cạnh để tam giác ABC
có:
có:


+ Góc A vuông?
+ Góc A vuông?


+ Góc A nhọn?
+ Góc A nhọn?


+ Góc A tù?
+ Góc A tù?
** Chú ý:
** Chú ý:

A Vuông
A Nhọn
A Tù
2 2 2
a b c⇔ = +
2 2 2
a b c
⇔ < +
2 2 2
a b c⇔ > +
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC


VÀ GIẢI TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC

V
V
í dụ 3:
í dụ 3:
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng
2 2 2
osA osB osC
a b c 2
c c c a b c
abc
+ +
+ + =

2 2 2
cosB
=
b 2
a c b
abc
+ −
Trả lời: Từ hệ quả ta có
2 2 2
cosA b
=
a 2
c a
abc
+ −
2 2 2
cosC
=
c 2
a b c
abc
+ −
Suy ra
2 2 2
osA osB osC
a b c 2
c c c a b c
abc
+ +
+ + =

§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Bài toán:
Bài toán:
Cho tam giác có các cạnh BC=a, CA=b, AB= c
Cho tam giác có các cạnh BC=a, CA=b, AB= c
Gọi M là trung điểm của BC. Hãy tính
Gọi M là trung điểm của BC. Hãy tính
2
MA
a
m
A
B
C
M
b
c
a
2
Trả lời:
Áp dụng định lý côsin và tam giác AMB ta có
2
MA =
2
c
+
2
2

a
 
 ÷
 
−
2 . osB
2
a
c c
2
2
osB
4
a
c acC+ −
=
2 2 2
a
osB=
2
c b
c
ac
+ −
Mà
2
MA
=
2 2 2 2
2

4 2
a a c b
c ac
ac
+ −
+ −
( )
2 2 2
2
4
b c a+ −
2
a
m
=
=
Thay vào đẳng thức trên ta có
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, AC=b,AB=c. Gọi
là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A,B,C của
tam giác. Ta có:


c. Công thức tính độ dài đường trung tuyến
c. Công thức tính độ dài đường trung tuyến
, ,
a b c
m m m

2
a
m
=
( )
2 2 2
2
4
b c a
+ −
2
b
m
=
( )
2 2 2
2
4
a c b+ −
2
c
m
( )
2 2 2
2
4
a b c
+ −
=
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC


VÀ GIẢI TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC

Ví dụ 3:
Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC có a=3, b=5, c=7. Hãy tính độ dài
Cho tam giác ABC có a=3, b=5, c=7. Hãy tính độ dài
đường trung tuyến
đường trung tuyến
a
m
2
a
m
=
( )
2 2 2
2 5 7 3
4
+ −
≈
34,75
Ví dụ 4:
Ví dụ 4:
Cho tam giác ABC chứng minh rằng
Cho tam giác ABC chứng minh rằng
( )

2 2 2 2 2 2
3
4
a b c
m m m a b c+ + = + +
( )
2 2 2
3
4
a b c= + +
Trả lời:
Trả lời: Áp dụng công thức tính đường trung tuyến ta có
2
a
m
+
2
b
m
+
2
c
m
=
( )
2 2 2
2
4
b c a+ −
( )

2 2 2
2
4
a c b+ −
+
( )
2 2 2
2
4
a b c+ −
+
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC


VÀ GIẢI TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC
5,89
a
m
⇒ ≈

Câu hỏi trắc nghiệm
Câu hỏi trắc nghiệm
Bài 1:
Bài 1: Cho tam giác ABC có , AC=1cm, AB=2cm, Độ dài
cạnh BC bằng
60
o
A

=
(A) (B)
3 3
2
cm
(C) 3cm


(D)
3
2
cm
Bài 2:
Bài 2:
Cho tam giác ABC có AB=7 cm, BC=5cm, AC= 6cm Giá trị
Cho tam giác ABC có AB=7 cm, BC=5cm, AC= 6cm Giá trị
CosC bằng:
CosC bằng:
(A):
1
2
1
5
−
1
5
2
5
(B):
(C): (D):

3cm
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC


VÀ GIẢI TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB=2cm,BC=6cm,AC=5cm.Khi đó độ
dài đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài là
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB=7cm, BC=6cm, AC=3cm khẳng
định nào sau đây đúng:
(A): cm (B): (C): (D):
7
4
cm
49
4
cm
22
2
cm
(A): Tam giác ABC nhọn
(B): Tam giác ABC tù
(C): Tam giác ABC vuông
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC


VÀ GIẢI TAM GIÁC

VÀ GIẢI TAM GIÁC
22
4

1. Định Lý Cosin
2 2 2
2 osCc a b abC= + −
2 2 2
2 osAa b c bcC= + −
2 2 2
b 2 osBa c acC= + −
Trong tam giác ABC bất kỳ với
BC=a, AB=c, CA=b Ta có:
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
2 2 2
b
osA=
2
c a
c
bc
+ −
2.Hệ quả:
2 2 2
osB=
2
a c b
c
ac

+ −
2 2 2
osC=
2
a b c
c
ab
+ −


3. Công thức tính độ dài đường
3. Công thức tính độ dài đường


trung tuyến
trung tuyến
2
a
m
=
( )
2 2 2
2
4
b c a
+ −
2
b
m
=

( )
2 2 2
2
4
a c b+ −
2
c
m
( )
2 2 2
2
4
a b c
+ −
=
Tổng kết
Tổng kết



Qua nội dung bài học các em cần
Qua nội dung bài học các em cần
•


Hiểu được cách chứng minh định lý côsin và công thức
Hiểu được cách chứng minh định lý côsin và công thức
tính đường trung tuyến
tính đường trung tuyến
•

Bước đầu vận dụng địng lý côsin, công thức đường trung
Bước đầu vận dụng địng lý côsin, công thức đường trung
tuyến trong tính toán
tuyến trong tính toán
•


Biết cách suy ra hệ quả và các trường hợp đặc biệt của
Biết cách suy ra hệ quả và các trường hợp đặc biệt của
định lý côsin
định lý côsin
•


Bài tập về nhà 1,2,3,6 trang 59 SGK
Bài tập về nhà 1,2,3,6 trang 59 SGK
Tæng kÕt
Tæng kÕt
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
§ 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC


VÀ GIẢI TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC