Hệ thống bài tập hệ thức lượng trong tam giác( Sưu tầm)

Hệ thức lượng trong tam giác
Câu 1. Cho tam giác ABC có: a=10, b=14, c=15. Tính diện tích tam giác
S
ABC
, h
a
, m
a
Câu 2. Cho tam giác ABC. Gọi r

là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
r
a
, r
b
, r
c
lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C của
tam giác. Chứng minh rằng:
a)
2
C
tan)(
2
B
tan)(
2
A
tan)( cpbpapr
−=−=−=
b)

;
2
C
tan;
2
B
tan;
2
A
tan p
c
rp
b
rp
a
r
===
Câu 3. Tính các góc của tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thoã mãn hệ
thức: b(b
2
–a
2
)=c(c
2
–a
2
) (b
≠
c)
Câu 4. Cho tam giác ABC thoã mãn điều kiện:






=
=
−+
−+
Cba
b
bca
bca
cos.2
2
333
CMR tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 5. CMR trong tam giác ta có:
S
cba
CBA
4
222
cotcotcot
++
=++
Câu 6. Cho tam giác ABC thoã mãn:
444
cba
+=

a. CMR tam giác ABC có ba góc nhọn
b. Chứng minh rằng: 2sin
2
A=tanB.tanC
Câu 7. Cho tam giác ABC với các đường trung tuyến thoã mãn:
1
≠=
c
m
b
m
b
c
CMR: 2cotA = cotB + cotC
Câu 8.Chứng minh rằng với tam giác bất kỳ ta có:
2
C
tan
2
B
tan
2
A
tan.pr
=
Câu 9. CMR nếu:
)cot(cot
2
1
cot CAB

+=
thì
)
22
(
2
1
2
cab
+=
Câu 10. Giả sử các góc của tam giác ABC thoã mãn hệ thức:
sinB = 2sinC.cosA
a) CMR ta có: b =2c.cosA
b) Suy ra tam giác ABC cân tại B
Câu 11. Tam giác ABC có AB =8, AC= 9 và BC =10. Một điểm M nằm trên
cạnh BC sao cho BM =7. Tính độ dài đoạn thẳng AM.
Câu 12.
a) Tam giác ABC có b = 7, c = 5 và cosA =2/5. Tính h
a
và bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác R
b) Tám giác ABC có A =7, b =8, c =6. Tính h
a
và m
a
.
Câu 13. Các cạnh của tam giác ABC lần lượt là 2,
13,6
+
. Tính các góc

của tam giác.
Câu 14. Trong tam giác ABC ta có a =13, b =4 và cosC =-5/13. Tính bán
kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác
Câu 15. Tính các cạnh và góc của tam giác, biết rằng độ dài ba cạnh là ba số
nguyên liên tiếp và góc lớn nhất gấp 2 lần góc nhỏ nhất.
Câu 16. Gọi S là diện tích tam giác ABC, CMR:
a)
CBARS sin.sin.sin
2
2
=
b)
C
C
Sbac
sin
cos1
4
2
)(
2
−
+−=
c).
sinC)sinBRr(sinAS
++=
d)
2
A
tan)( appS

−=
Câu 17. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a.
2
cos
2
cos
2
cos4
CBA
Rp
=
b.
2
sin
2
sin
2
sin.4
CBA
Rr
=
Câu 18. Cho tam giác ABC có b + c =2a. CMR:
a. sinB + sinC = 2sinA b.
hchb
a
h
112
+=
Câu 19. Cho tam giác ABC. Giả sử 4A=2B=c

a. Tính các góc A, B, C
b. CMR:
cba
111
+=
Câu 20. Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC thoã mãn điều
kiện
444
cba
+=
a. CMR
222
acb
>+
suy ra các góc của tam giác đều nhọn
b. CMR tanB.tanC =2sin
2
A
Câu 21. Cho tam giác ABC, I
a
là đường phân giác trong của góc A. CMR:
)(
2
apbcp
cb
a
I
−
+
=

Câu 22. Cho tam giác ABC có B =60
0
, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác bằng 2. Tính bán kính đương tròn qua A, C và tâm I của đường tròn nội
tiếp tam giác ABC.
Câu 23. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC,
ICA, IAB. CMR: R
1
R
2
R
3
=2R
2
.r
Ngày 3
Câu 1. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu:
1
( )( )
4
S a b c a c b= + − + −
Câu 2. Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu:
1 osB 2
sinB
2 2
4
c a c
a c
+ +
=

−
Câu 3. Chứng minh rằng tam gác ABC cân nếu:
2 2
os os 1
2 2
(cot cot )
2 2
2
sin sin
c A c B
g A g B
A B
+
= +
+
Câu 4. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu:
3
2
( )
36
S a b c= + +
Câu 5. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu thoã mãn điều kiện sau:
2
1
1
osAcosB=
4
a b c
b a ab
c



+ − =





Câu 6. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu:
2 3 3 3
3 2 (sin sin sin )S R A B C= + +
Câu 7. Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu thoã mãn điều kiện sau:
3
2
a
b c h
a
+ = +
Câu 8. Cho tam giác ABC thoã mãn:
osB osC sin sin
b c a
c c B C
+ =
Câu 9. CMR trong mọi tam giác ta có:
2 2 2
a
. osA+ac.cosB+ba.cosC=
2
b c
bc c

+ +
Câu 10. CMR:
2 2 2
cot
4
b c a
gA
S
+ −
=
Câu 11. Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP gặp nhau
tại G. Đặt góc
α
=
AGB
. Chứng minh rằng:
2 2 2
cot cot
6
a b c
C
S
α
+ +
− =
Câu 12. Cho tam giác ABC (B>C). Gọi M là trung điểm của BC. Đặt
·
AMB
α
=

. CMR:
cot cot 2cotgC gB g
α
− =
Câu 13. Cho tam giác ABC. M là một điểm trong tam giác sao cho
·
·
·
MAB MBC MCA
α
= = =
. Chứng minh rằng:
cot cot cot cotg gA gB gC
α
= + +
Câu 14. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy 3 điểm M, N, P sao cho:
BM = MN =NP. Đặt
·
·
·
; ;BAM MAN NAC
α β γ
= = =
. CMR:
2
(cot cot )(cot cot ) 4(1 cot )g g g g g
α β β γ β
+ + = +
Câu 15. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có:
1

2 2
( sin 2 sin 2 )
2
S b C c B= +
Câu 16. Chứng minh rằng trong tam giác ABC:
cotgA=2(cotgB + cotgC)
là điều kiện cần và đủ để hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với
nhau
Câu 17. Cho tam giác ABC thoã mãn hệ thức:
( )h p p a
a
= −
Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
Câu 18. Cho tam giác thoã mãn:
r r r r
c a b
= + +
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
Câu 19. CMR nếu
2 2 2
4 3a b c S+ + =
thì tam giác ABC đều.
Câu 20.CMR:
4 osCr r r r Rc
a b c
+ + − =
Câu 21. CMR:
4r r r R r
a b c
+ + = +

Câu 22. CMR:
1 1 1 1
r h h h
a b c
= + +
Câu 23. CMR:
2
osA+bcosB+ccosC
pr
ac
R
=
Câu 24.
1 osA+cosB+cosC
r
c
R
+ =
Câu 25. CMR:
. . .S r r r r
a b c
=
Câu 26.CMR:
2
ab bc ca
h h h
a b c
R
+ +
+ + =

Câu 27.CMR:
2
r r r r r r p
a b b c c a
+ + =
Câu 28. CMR:
. .
4
abc
r r r p
a b c
R
=
Câu 29. CMR:
2
h h h
p a p b p c
a b c
r r r a b c
a b c
− − −
 
+ + = + +
 ÷
 
Câu 30. CMR:
A B C
2 tan tan tan
2 2 2
a b c

g g g
r r r
a b c
 
+ + = + +
 ÷
 
Câu 31. CMR:
2 2 2 2
4 16 2( )a b c r Rr ab bc ca+ + + + = + +
Ngày 4
Chứng minh tam giác cân hoặc vuông:
Câu 1.Cho tam giác ABC có:
3 2 2 3 2 2 3 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b c b c a c a b− + − + − =
Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Câu 2. Cho tam ABC có:
h h h h h h
a b c b c a
h h h h h h
b c a a b c
+ + = + +
Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Câu 3. Cho tam giác ABC có
2
4 .r r c
c
=
. Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Câu 4. Cho am giác ABC có:

2 2
os os 1
2 2
(cot cot )
2 2
2
sin sin
c A c B
g A g B
A B
+
= +
+
Chứng
minh rằng tam giác ABC cân
Câu 5. Cho am giác ABC có
1 osB 2
sinB
2 2
4
c a c
a c
+ +
=
−
Chứng minh rằng tam giác
ABC cân
Câu 6. Cho tam giác ABC có: a =2bcosC. CMR tam giác ABC cân
Câu 7. Cho tam giác ABC có:
( )h p p a

a
= −
Câu 8. Cho tam giác ABC có:
1
2 2
( )
4
S a b= +
Chứng minh rằng tam giác
ABC vuông cân
Câu 9. Cho tam giác ABC có:
(1 2)p R= +
. Chứng minh rằng tam giác ABC
vuông cân
Câu 10. Cho tam gi ác ABC có
h r r
a b c
=
chứng minh rằng tam giác ABC
cân
Câu 11. Cho tam giác ABC có
2 2 2
4 ( )a b p p c R= −
Chứng minh rằng tam giác
ABC cân.
Câu 12. Cho tam giác ABC có:
2 2
sin sin
2 2
sin sin

c b C B
C B
c b
− −
=
+
+
. Chứng minh rằng tam
gi ác ABC vuông hoặc cân
Câu 13. Cho tam giác ABC có:
(a+b)(a+c-b)(b+c-a)
osA=
2
c
abc
. CMR tam giác
ABC vuông
Câu 14. Cho tam giác ABC có:
( )S p p c= −
. CMR tam giác ABC vuông
Câu 15. Cho tam giác vuông có:
( )( )S p b p c= − −
. CMR tam giác ABC
vuông
Câu 16. Cho tam giác ABC có:
r r r r
a b c
= + +
. CMR tam giác ABC vuông
Câu 17.Cho tam giác ABC có:

2 2 2
1 os os os 0c A c B c C+ − − =
. CMR tam giác
ABC vuông