Bai tap Cong thuc luong Giac

Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 2
Lượng giác
Quế võ, tháng 1 năm 2009
1
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2
Biến đổi lượng giác là một nội dung cơ bản và quan trọng trong quá trình học tập
lượng giác. Thành thạo các phép biến đổi lượng giác là một hành trang rất tốt tạo cho các
bạn sự tự tin và linh hoạt khi học tập về các phần khác của chương trình lượng giác, nếu
các bạn thấy được tinh thần và phương pháp của lượng giác được vận dụng như thế nào
trong các bài toán thì các bạn sẽ thấy được toàn bộ nét đặc trưng và vẻ đẹp của lượng giác.
Để giúp các bạn có một bộ tài liệu tương đối đầy đủ để học về lượng giác,chúng tôi
đã tập hợp các tài liệu để biên soạn chuyên đề này.Chúng tôi đã tham khảo và biên tập một
hệ thống các bài tập khá đa dạng và phong phú.Các bài tập được biên soạn theo 2 hướng
Một số bài tập chúng tôi cung cấp luôn lời giải. Tất nhiên các lời giải đưa ra không phải
bao giờ cũng là cách giải duy nhất và hay nhất. Đối với các bài này thì các bạn cần suy
nghĩ theo các hướng mở sau:
• Giải thích được các phép biến đổi và lập luận trong lời giải
• Tìm một lời giải khác nếu có thể
• Lí giải xem tại sao lại giải như vậy
• Tìm cách vận dụng bài toán
• Nêu các bài tập tương tự.
Một số bài tập chúng tôi không cung cấp lời giải.Những bài tập này thuộc dạng cơ
bản, dễ hoặc tương tự, đề nghị các bạn suy nghĩ và tự giải quyết.
Chú ý: Đối với các bài toán có phần hướng dẫn đi kèm,các hướng dẫn đó có tính chất giúp
các bạn phát hiện ra vấn đề chứ không phải là cách trình bày.
2
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2
A. TÓM TẮTGIÁO KHOA
I. Đơn vị đo góc và cung:

1. Độ:

beïtgoùc
0
1 Goùc
180
1
=
2. Radian: (rad)

rad
0
180
π
=
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135

0
150
0
180
0
360
0
Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
π
π
2
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Định nghĩa:

2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2
DB,
k ,
2

2
- D
2k
2
2
B
2k
3
x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),(
∈+=
πα
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α
.
y
x
o
180
O
+
−
x
y

O
C
A
B
D
x
y
B
α
M
α
(điểm gốc)
+
t
O
A
(điểm ngọn)
πα
2kAB
+=
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2
III. Định nghĩa hàm số lượng giác:

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x
'
Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y
'

Oy : trục sin ( trục tung )
• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox và y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta định nghĩa:




cos
sin
tg

cot
OP
OQ
AT
g BU
α
α
α
α
=
=
=
=

b. Các tính chất :
• Với mọi
α
ta có :
1 sin 1 hay sin 1
α α
− ≤ ≤ ≤
1 cos 1 hay cos 1
α α
− ≤ ≤ ≤
•
tg xaùc ñònh
2
k
π
α α π

∀ ≠ +
•
cotg xaùc ñònh k
α α π
∀ ≠

c. Tính tuần hoàn


4
y
t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1
−
Q
B
T
α
M
α
A
P

U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
+
−
+
−
x
y
O
C
A
B
D
1
1
1
=
R
1
−
1
−
'x
'u
u
t
't

'y
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2

sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
g k g
α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =

)( Zk ∈
IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
- 3
-1
- 3 /3
(Ñieåm goác)
t
t'
y

y'
x
x'
u
u'
- 3
-1
- 3 /3
1
1
-1
-1
-
π
/2
π
5
π
/6
3
π
/4
2
π
/3
-
π
/6
-
π

/4
-
π
/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2
3 /2
2 /2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π
/3
π
/4
π
/6
3 /3
3
B
π
/2
3 /3
1
3
O

Góc
Hslg
0
0
30
0
45
0

60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
0
6
π
4
π
3
π

2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
π
π
2
sin
α
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1

0 0
cos
α
1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
−
2
2
−
2
3
−
-1 1
5
+
−
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2
tg
α
0
3
3

1
3
kxđ
3−
-1
3
3
−
0 0
cotg
α
kxđ
3
1
3
3
0
3
3
−
-1
3−
kxđ kxđ
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau :
vaø -
α α
(tổng bằng 0) (Vd:
6

&
6
ππ
−
,…)
2. Cung bù nhau :
vaø -
α π α
( tổng bằng
π
) (Vd:
6
5
&
6
ππ
,…)
3. Cung phụ nhau :
vaø
2
π
α α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6

ππ
,…)
4. Cung hơn kém
2
π
:
vaø
2
π
α α
+
(Vd:
3
2
&
6
ππ
,…)

5. Cung hơn kém
π
:
vaø
α π α
+
(Vd:
6
7
&
6

ππ
,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −

− =
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π


cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
− =
− =
− =
− =

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −

6
Đối cos
Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2

π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2
5. Cung hơn kém
π
:

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:

2 2
cos sin 1
sin
tg =
cos

cos
cotg =
sin
α α
α
α
α
α
α
α
+ =

2
2
2
2
1
1 tg =
cos
1
1 cotg =
sin
tg . cotg = 1
α
α
α
α
α α
+
+

2. Công thức cộng :


cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tg
tg( + ) =
1 .
tg tg
tg( ) =
1 .
tg tg
tg tg
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −

−
−
−
+
3. Công thức nhân đôi:
7
Hơn kém
π
tang , cotang
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2

α α α
α
α
α α
α α α
α
α
α
= −
= −
= −
= −
=
=
−
2 2
2
2
4 4

2
cos2 cos sin
2 cos 1
1 2sin
cos sin
sin 2 2sin .cos
2
2
1
tg
tg
tg

4 Công thức nhân ba:

3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −

5. Công thức hạ bậc:


α
α
α

α
α
α
α
2cos1
2cos1
;
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
+
−
=
−
=
+
= tg

6.Công thức tính
sin ,cos ,tg
α α α
theo
2
t tg
α
=

22
2
2
1
2
;
1
1
cos;
1
2
sin
t
t
tg
t
t
t
t
+
=
+
−
=
+
=
ααα

7. Công thức biến đổi tích thành tổng :


[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
8
4
cos33cos
cos
3
αα
α
+

=
4
3sinsin3
sin
3
αα
α
−
=
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2

cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2 sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β

α β
α β α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
+
+ =
−
− =

9. Các công thức thường dùng khác:

cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π π
α α α α

π π
α α α α
+ = − = +
− = + = − −

8
4cos35
sincos
4
4cos3
sincos
66
44
α
αα
α
αα
+
=+
+
=+

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Phần 1 Đẳng thức lượng giác không điều kiện
1: Đẳng thức với biến
Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điều
kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường
vận dụng các công thức lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.Tuy nhiên do số
luợng các công thức lượng giác khá nhiều nên các bạn có thể gặp khó khăn trong việc lựa
chọn công thức nào cho hợp lí.Vì vậy một yêu cầu đặc biệt quan trong là khi thực hiện các

phép biến đổi là các bạn cần phảp có một định hướng rõ ràng để tránh việc lúng túng khi
lựa chon công thức
Các bài toán chứng minh đẳng thức
Khi gặp các bài toán dạng này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong đề bài.Từ đó
dẫn đến các hướng để giải quyết:
• Hướng 1: Biến đổi vế trái sao cho bằng vế phải.Thông thường ta dựa vào chính vế
phải,từ về trái ta tìm cách phân tích,tách.ghép,biến đổi... làm xuất hiện các biểu thức trong
vế phải
Bài 1:
9
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2
Chứng minh rằng
sin x sin y x y
cotg( )
cosx cos y 2
− +
= −
−
Hướng dẫn:
Bởi vì
x y
cos
x y
2
cotg
x y
2
sin
2
+

 
 ÷
+
 
 
=
 ÷
+
 
 
 ÷
 
.Nên ta biến đổi vế trái sao cho tử thức và mẫu thức xuất
hiện cos
x y
2
+
 
 ÷
 
,sin
x y
2
+
 
 ÷
 
.
Khi đó ta có:
x y x y

2cos sin
sin x sin y x y
2 2
cotg
x y x y
cosx cos y 2
2sin sin
2 2
+ −
− +
= = −
+ −
−
−
• Hướng 2:Biến đổi vế phải sao cho bằng vế trái.Ta xuất phát từ VP tìm cách làm xuất
hiện các biểu thức trong vế trái.Các bạn có thể lấy ngay ví dụ một để thực hiện theo hướng
này hoặc theo dõi ví dụ sau:
Bài 2:
Chứng minh rằng:
cos x sin x cos2x
cos x sin x 1 sin 2x
+
=
− −
Hướng dẫn:

( ) ( )
( )
2 2
2 2 2

cosx sin x cosx sin x
cos2x cos x sin x cosx sin x
1 sin 2x cosx sin x
cos x sin x 2sinxcosx
cosx sin x
+ −
− +
= = =
− −
+ −
−
Nhận xét:
Cũng có thể nhân cả tử và mẫu của VT với
( )
cosx sin x−
để làm theo hướng thứ
nhất.Nhưng thông thường thì việc tách ra bao giờ cũng dễ hơn việc thêm vào.
• Hướng thứ 3: biến đổi cả vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức trung gian.
Bài 3: Chứng minh rằng:
n n
n n
n
tg cos tg cos
(n Z )
1 cotg .cos
1 cotg .cos
α α α α
α α
α α
+

 
+ +
= ∈
 ÷
+
+
 
Ta có
( )
n
n
n
tg cos tg cos
tg
1
1 cotg .cos
1 .cos
tg
α α α α
α
α α
α
α
 
 ÷
 
+ +
= =
 ÷
 ÷

+
 
 ÷
+
 ÷
 
(1)
10
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2

( )
( )
n n n n
n
n n
n
n
tg cos tg cos
tg
1
1 cotg .cos
1 .cos
tg
α α α α
α
α α
α
α
+ +
= =

+
+
(2)
Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.
Bài 4: chứng minh:
4 4
6 6
sin cos 1 2
sin cos 1 3
x x
x x
+ −
=
+ −
Hướng dẫn:
Ta có
4 4 2 2 2 2
sin os 1 1 2sin os 1 2sin osa c a ac a ac a+ − = − − = −

6 6 2 2 3 2 2 2 2
2 2
sin os 1 (sin os ) 3sin os (sin os ) 1
3sin os
a c a a c a ac a a c a
ac a
+ − = + − + −
= −
Do đó
4 4 2 2
6 6 2 2

sin cos 1 2sin os 2
sin cos 1 3sin os 3
x x ac a
x x ac a
+ − −
= =
+ − −
Bài 5: Chứng minh rằng:
8 4tan 2tan tan cot
8 16 32 32
π π π π
+ + + =
(*)
Ta có: (*)
8 cot tan 2tan 4tan
32 32 16 8
π π π π
⇔ = − − −
Mà
2 2
cosa sin cos a-sin 2cos2a
cota-tana= 2cot2a
sina cosa sinacosa sin2a
a a
− = = =
Do đó:
(*)
cot tan 2tan 4tan 8
32 32 16 8
2cot 2tan 4tan 8

16 16 8
4cot 4tan 8
8 8
π π π π
π π π
π π
 
⇔ − − − =
 
 
 
⇔ − − =
 
 
⇔ − =

8cot 8
4
π
⇔ =
(hiển nhiên đúng).
Bài 6: Chứng minh:
2 2 2
2 2 3
a/cos x+cos x cos x
3 3 2
1 1 1 1
b/ cotx - cot16x
sin2x sin4x sin8x sin16x
π π

   
− + + =
 ÷  ÷
   
+ + + =
11
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2
a/ Ta có:
2 2 2
2 2
cos x+cos x cos x
3 3
1 1 4 1 4
(1 cos2x) 1 cos 2x+ 1 cos - 2x
2 2 3 2 3
3 1 4 4
cos2x + cos 2x+ cos - 2x
2 2 3 3
3 1 4
cos2x + 2cos2xcos
2 2 3
3 1
cos2x +
2 2
π π
π π
π π
π
   
− + +

 ÷  ÷
   
   
   
= + + + + +
 ÷  ÷
   
   
   
 
   
= + +
 ÷  ÷
 
   
 
 
= +
 
 
= +
-1
2cos2x
2
3
2
 
 
 ÷
 

 
 
=
b/ Ta có:
cosa cosb sin osa-sinacosb sin( )
cota - cotb =
sina sinb sin inb sin asinb
bc b a
as
−
− = =
Do đó:
sin(2 ) 1
cot cot2 (1)
sinxsin2x sin 2
x x
x x
x
−
− = =
sin(4 2 ) 1
cot 2 cot 4 (2)
sin 2 sin 4 sin 4
sin(8 4 ) 1
cot 4 cot8 (3)
sin 4 sin8 sin8
sin(16 8 ) 1
cot8 cot16 (4)
sin16 sin8 sin16
x x

x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
−
− = =
−
− = =
−
− = =
Lấy (1) + (20 + (3) + (4) ta được:
1 1 1 1
cotx - cot16x =
sin2x sin 4 sin8 sin16x x x
+ + +
Bài 7: Chứng minh:
4 4
6 6
8 8
1
/sin os (3 os4x)
4
1
/sin os x= (5 3 os4x)
8
1

/sin os (35 28 os4x+cos8x)
64
a x c x c
b x c c
c x c x c
+ = +
+ +
+ = +
a/ Ta có: sin
4
x + cos
4
x = (sin
2
x + cos
2
x)
2
– 2sin
2
xcos
2
x
12
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2

2
2
1 sin 2
4

1
1 (1 os4x)
4
3 1
os4x
4 4
x
c
c
= −
= − −
= +
b/ Ta có: sin
6
x + cos
6
x = (sin
2
x + cos
2
x)(sin
4
x – sin
2
xcos
2
x + cos
4
x)

4 4 2
1
(sin os ) sin 2
4
x c x x= + −

( )
3 1 1
os4x 1 os4x
4 4 8
c c
 
= + − −
 ÷
 
(do kết quả câu a)

3 5
os4x+
8 8
c=
c/ Ta có:
8 8 4 4 2 4 4
sin os (sin os ) 2sin osx c x x c x xc x+ = + −
2 4
2
2
1 2
(3 os4x) sin 2
16 16

1 1 1
(9 6 os4x+cos 4 ) (1 os4x)
16 8 2
c x
c x c
= + −
 
= + − −
 
 
2
9 3 1 1
os4x + (1 os8x) (1 2 os4x+cos 4 )
16 8 32 32
9 3 1 1 1
os4x + os8x+ os4x - (1+cos8 )
16 8 32 16 64
35 7 1
os4x+ os8x
64 16 64
c c c x
c c c x
c c
= + + − −
= +
= +
Bài 8: Chứng minh: sin3x.sin
3
x + cos3x.cos
3

x = cos
3
2x
Cách 1:
13
Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2
sin3x.sin
3
x + cos3x.cos
3
x =
3 3 3 3
4 6 6 4
4 4 6 6
2 2 2 2 2 2 4 2 2 4
2 2
(3sinx 4sin )sin (4 os 3 osx) os
3sin 4sin 4 os 3 os
3(sin os ) 4(sin os )
3(sin os )(sin os ) 4(sin os )(sin sin os os )
3 os2x + 4cos2x(1-sin xcos x)
=-3co
x c x c c x
x x c x c x
x c x x c x
x c x x c x x c x x xc x c x
c
= − + −
= − + −
= − − −

= − + − − + +
= −
2
2
2 3
1
s2x + 4cos2x(1 sin 2 )
4
os2x(-3 + 4 - sin 2x)
=cos2x(1 - sin 2x) = cos 2
x
c
x
−
=
Cách
Cách 2:
sin3x.sin
3
x + cos3x.cos
3
x =
3 3
3
3sinx - sin3x 3cosx + cos3x
sin3 os3x
4 4
3 1
(sin3 sinx+cos3xcosx) ( os 3 sin 3 )
4 4

3 1
os(3x - x)+ os6x
4 4
1
= (3 os2x + cos3.2x)
4
os 2
x c
x c x x
c c
c
c x
   
= +
 ÷  ÷
   
= + −
=
=
Bài 9: Chứng minh
2 2 2
2 2
2 2 2
1 cos (1 cos ) os sin
(1 ) cot cot cot 1
2sin sin sin sin
a a c b c
b c a
a a b c
+ − −

− + − = −
HD
Ta có
*
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
os sin cot 1
cot .cot cot .cot
sin .sin sin sin
cot (1 cot ) (1 cot ) cot .cot 1 (1)
c b c b
b c b c
b c c b
b c b b c
−
− = − −
= + − + − = −
*
2 2
2 2
1 cos (1 cos ) 1 cos (1 cos )
(1 ) (1 )
2sin sin 2sin 1 os
1 cos 1 cos 1 cos 2cos
(1 ) cot (2)
2sin 1 cos 2sin 1 cos
a a a a
a a a c a

a a a a
a
a a a a
+ − + −
− = −
−
+ − +
= − = =
+ +
Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh.
Các bạn làm thêm một số bài sau:
14