Bài giảng toán rời rạc pot

Bài giảng
Toán rời rạc
1
LỜI NÓI ĐẦU
Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của
nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối
tượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy
tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là
toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc
lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole.
Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với
các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m,
lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã,
Trong các cấu trúc, đối tường rời rạc không có một cấu trúc nào là cơ
bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu
như bất kỳ các kiểu khác. Do vậy, trong modul này, nội dung sẽ trình bày
những cấu trúc cơ bản và quan trọng nhất. Điều này cũng đúng với vị trí của
modul (vì người học sẽ tiếp cận modul Toán rời rạc 2 nói về lý thuyết đồ thị
cũng như về ngôn ngữ hình thức)
Có thể nói toán học rời rạc là môn tiên quyết và hiệu quả nhất để
người học nâng cao tư duy toán học trong phân tích, thiết kế thuật toán và
rèn luyện kỹ năng lập trình với những thuật toán phức tạp. Không những thế
nó còn là “cửa ngõ” để người học có thể tiếp cận với rất nhiều modul trong
khoa học máy tính (như Chương trình dịch, lý thuyết tính toán, Trí tuệ
nhân tạo, ). Mặc dù đã rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, tuy
nhiên tài liệu không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Chúng tôi
rất mong được sự góp ý quí báu của tất cả đọc giả và các bạn đồng
2
nghiệp. Mọi góp xin gửi về: Khoa Công nghệ Thông tin – Trường ĐHSPKT
Hưng Yên
3

BÀI 1: TỔNG QUAN MÔN HỌC
1.1. MỞ ĐẦU
1.1.1 Giới thiệu
Toán học rời rạc ngày nay đã trở thành quen thuộc trong những năm gần
đây bởi những ứng dụng to lớn của nó trong các ngành tinh học. Toán học rời
rạc là một ngành toán học giải quyết các đối tượng hay cấu trúc rời rạc. Đối
tượng rời rạc là những đối tượng mà chúng có thể được phân biệt, phân tách
ra khỏi nhau để có thể đếm được. Số tự nhiên, số hữu tỉ (được coi như là tỉ
số của 2 số tự nhiên), môtô, nhà, người, … là những đối tượng rời rạc.
Mặt khác số thực bao gồm số vô tỉ là không rời rạc (chúng ta biết rằng
giữa hai số thực khác nhau luôn tồn tại một số thực khác chúng). Thuật
ngữ “Toán học rời rạc ” cũng để phân biệt với “Toán học liên tục”. Trong
khi các đối tượng rời rạc thường được coi như có sự liên quan mật thiết tới số
tự nhiên thì các đối tượng liên tục là số thực Trong modul này, chúng ta sẽ
nghiên cứu những đối tượng rời rạc như số tự nhiên, mệnh đề, tập, quan hệ,
hàm, đồ thị, hay lý thuyết số, …tất cả chúng đều rời rạc. Chúng ta sẽ học các
khái niệm, tính chất và quan hệ giữa chúng với nhau và với các đối tượng
khác.
Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với
các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số

học

modulo

m ,
lý

t h uyết

nhóm

hữu
hạn, lý

thuyết mật

m ã ,
- Có thể nêu ra đây một vài ví dụ dùng tới toán học rời rạc:
- Có bao nhiêu password hợp lệ cho một hệ thống máy tính ?
- Có tồn tại một đường nối giữa 2 máy tính trong một mạng
- Có bao nhiêu địa chỉ internet hợp lệ?
- Đường đi ngắn nhất giữa 2 máy tính trong một mạng là gì?
- Có bao nhiêu bước trong quá trình sắp xếp?
- Có bao nhiêu mạch để cộng 2 số nguyên được thiết kế?
- Khả năng trúng giải thưởng cho một vé số là bao nhiêu?
- Cách tốt nhất để lập lịch 8 cuộc họp hội đồng các thành viên mà không
có bất kỳ sự cạnh tranh nào, giả thiết đưa ra là 1 vài người có tên trong hơn 1
hội đồng.
- Làm thế nào chúng ta có thể lập lịch tất cả các nhiệm vụ trong dự án
lớn này
4
(giống như 1 dự án xây dựng hoặc dự án để bắt đầu đưa 1 sản
phẩm mới ra thị trường).
Sẽ có đủ số điện thoại để cung cấp tất cả điện thoại, máy fax, và điện
thoại di động trong cho Việt Nam?
- Làm thể nào chúng ta có thể mô hình và phân tích 1 sự thay đổi dân
số, hoặc thay đổi lượng tiền trong một dự án đầu tư
Modul sẽ học những cấu trúc rời rạc và các kỹ thuật để giải quyết
những vấn đề này.

Vậy một câu hỏi đặt ra là : Toán rời rạc được dùng khi nào? Thực tế
Toán học rời rạc được dùng rất đa dạng trong nhiều chuyên ngành, lĩnh vực.
Tuy nhiên, có thể thấy phần lớn nó được dùng khi liên quan tới:
- Đếm các đối tượng
- Xem xét quan hệ giữa những tập hữu hạn (hoặc đếm được)
- Phân tích quá trình có số bước hữu hạn.
- Cơ bản về tất cả những xử lý thông tin số: Những thao tác trên các cấu
trúc rời rạc trong bộ nhớ.
- Nó là ngôn ngữ cơ bản và là khái niệm nền tảng cho tất cả các lĩnh
vực trong khoa học máy tính.
- Các khái niệm rời rạc cũng được sử dụng rộng rãi trong toán học, kỹ
thuật, kinh tế, sinh học,…
Đặc biệt toán học rời rạc là một công cụ tuyệt vời để suy luận logic.
1.2 TẠI SAO LẠI HỌC TOÁN RỜI RẠC
Có một số lý do quan trọng để nghiên cứu Toán học rời rạc.
Thứ nhất, thông qua modul này, người học có thể phát triển khả năng
toán học, đó là khả năng hiểu và tạo ra các chủ đề của toán học. Người học
sẽ vô cùng khó khăn để tiến xa trong ngành tin học mà không có những kiến
thức toán học này.
Thứ hai, Toán học rời rạc cung cấp cơ sở toán học để mở ra cánh cửa
cho người học có thể tiếp tục với những modul cao hơn cho các khóa học của
khoa học máy tính, bao gồm: cấu trúc dữ liệu, thuật toán, lý thuyết cơ sở
dữ liệu, lý thuyết automat, ngôn ngữ hình thức, trình biên dịch, bảo mật máy
tính, thiết kế mạch máy tính, mạng máy tính và hệ điều hành, …sinh viên có
thể nhận thấy những khóa học trên vô cùng khó khăn nếu không có một cơ sở
toán học của modul Toán học rời rạc này.
Toán học rời rạc là toán tính toán
Khoa học máy tính hiện đại được xây dựng hầu hết dựa trên Toán học
rời rạc, đặc biệt là toán tập hợp và lý thuyết đồ thị. Điều này có nghĩa là: các
5

nhà lập trình máy tính và sinh viên muốn học các thuật toán cơ bản thì sẽ
phải cần một nền tảng Toán học rời rạc chắc chắn. Bởi vậy, tại hầu hết các
trường đại học, môn Toán học rời rạc là bắt buộc với sinh viên bậc đại học.
Toán học rời rạc là toán thế giới thực
Nhiều sinh viên than phiền về tính truyền thống của toán cấp 3 như: đại
số, đồ thị, lượng giác, và phần tương tự như vậy- câu hỏi đặt ra là: “học toán
cấp 3 với nội dung truyền thống như vậy tốt ở điểm nào?” Một vài chủ đề
trừu tượng của toán học thường làm sinh viên sợ và không vượt qua được.
Ngược lại, Toán học rời rạc , đặc biệt là toán đếm và xác suất, cho phép sinh
viên ( kể cả h/s đang học cấp 3
– nhanh chóng tìm ra vấn đề quan trọng trong thế giới thực những
vấn đề khó nhưng lại rất thú vị).
Toán học rời rạc dạy suy luận toán học và các kỹ thuật chứng minh
Đại số thường dạy sinh viên nhớ chuỗi các công thức và thuật toán (ví dụ,
công thức quadratic, các hệ thống phương trình tuyến tính ), và hình
học thường được dạy như là 1 chuỗi các bài tập áp dụng “định nghĩa – định
lý – chứng minh”.
Còn với Toán học rời rạc , sinh viên sẽ suy nghĩ linh hoạt và sáng tạo.
Có các mối quan hệ giữa 1 vài công thức. Có 1 số khái niệm cơ bản để làm
chủ và ứng dụng Toán học rời rạc trong nhiều cách khác nhau.
Toán học rời rạc rất vui
Nhiều sinh viên, đặc biêt là những sinh viên sáng dạ và năng động tìm
ra rằng đại số, hình học và thậm chí cả tích phân không gây thích thú. Hiếm
khi những chủ đề này gây thích thú như những chủ đề Toán học rời rạc .
Khi chúng ta hỏi sinh viên về chủ đề mà họ thích, hầu hết đều nhận được trả
lời là toán tập hợp hoặc lý thuyết số. (Khi chúng ta hỏi sinh viên về chủ đề
mà ít gây thích thú với họ nhất, phần đa trả lời là “hình học”). Và thật đơn
giản hầu hết sinh viên đều nhận ra rằng Toán học rời rạc nhiều niềm vui hơn
đại số và hình học.
1.3 TOÁN HỌC RỜI RẠC NGHIÊN CỨU NHỮNG GÌ?

Toán học rời rạc là tên chung của nhiều ngành toán

học có đối tượng
nghiên cứu là các tập

hợp

rời

rạc , các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất
hiện khoa

học
m áy

tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được
gọi là toán học dành cho máy tính.
Có thể nói toán học rời rạc ngày càng có tầm quan trọng trong nhiều
ngành khoa học máy tính cũng như trong công việc lập trình. Có nhiều khái
6
niệm của toán học được nghiên cứu trong Toán học rời rạc. Chúng ta có thể
nhắc tới một số chủ đề trong Toán học rời rạc sau đây khi chúng đã được áp
dụng rất nhiều trong khoa học máy tính:
Algorithmics – Thuật toán, còn gọi là giải thuật, là một tập hợp hữu
hạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn
tất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này
được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán.
Nói cách khác, thuật toán là một bộ các qui tắc hay qui trình cụ thể nhằm
giải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp một
kết quả từ một tập hợp của các dữ kiện đưa vào. Thuật toán đôi khi còn được

gọi là phương thức, thủ tục, hay kỹ thuật.
Trong ngành khoa học m áy tính , thì thuật toán là được thể hiện
thông qua một chương trình

m áy tính (hay một tập hợp các chương trình máy
tính) được thiết kế để giải quyết một số loại vấn đề một cách có hệ
thống. Một thí dụ kinh điển trong ngành khoa học máy tính là thuật toán
đệ

quy dùng để giải bài

toán

t h áp

H à Nội
Boolean Algebra – cách tính toán và biểu diễn các biểu thức trên hệ cơ
số, nó cũng nghiên cứu các khái niệm điện tử học như cổng logic….
Combinatorics – Là một nhánh của toná học nghiên cứu tới liệt kê, tổ
hợp, hoán vị các tập phần tử, những tính chất và những quan hệ của chúng.
Computability and Complexity Theories – Lý thuyết về độ phức tạp và
khả năng tính toán - Liên quan tới combinatorics và algorithmics, nhưng
nó tập trung vào những giới hạn về thực hành cũng như lý thuyết trong các
mô hình tính toán khác nhauđể giải quyết bài toán. Lý thuyết về độ phức tạp
và khả năng tính toán. Trong khoa học máy tinh, nó thường dùng ký hiệu O
(Big-O).
Counting – Liên quan tới các khái niệm và kỹ thuật đếm, liệt kê và tính
toán trong các hệ số khác nhau.
Graph Theory – Lý thuyết đồ thị - Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấu
trúc, nhiều bài toán thực tế có thể được biểu diễn bằng đồ thị. Ví dụ, cấu trúc

liên kết của một website có thể được biểu diễn bằng một đồ thị có hướng
như sau: các đỉnh là các trang web hiện có tại website, tồn tại một cạnh có
hướng nối từ trang A tới trang B khi

và

chỉ

khi A có chứa 1 liên kết tới B. Do
vậy, sự phát triển của các thuật

toán xử lý đồ thị là một trong các mối quan
tâm chính của khoa

học

m áy

tính
Information Theory – Lý thuyết thông tin – Áp dụng toán học vào truyền
thông, nó dựa phần lớn vào xác suất và thông kê để nghiên cứu những lĩnh
vực như phân tích dữ liệu, mạng, truyền thông, tính toán lượng tử …
7
Logic – Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của
triết

học . Kể từ giữa thế kỉ 19 logic đã thường được nghiên cứu trong toán
học và luật. Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoa học m áy tính
và trí tuệ nhân tạo . Là một ngành khoa học hình thức , logic nghiên
cứu và phân loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả hai đều

thông qua việc nghiên cứu các hệ

thống

hình

thức của việc

suy

luận và qua
sự nghiên cứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên.
Mathematical Relations – Quan hệ - liên quan tới lý thuyết tập, các quan
hệ là việc gán một giá trị cho một tổ hợp của k-phần tử.
Number Theory – Là một nhánh lớn của toán học nghiên cứu những
tính chất của số nguyên.
Proofs – chứng minh – Dùng lập luận logic toán học để chứng minh một
biểu thức là đúng, sai.
Functions- Hàm - Trong toán

học , khái niệm hàm số (hay hàm) được
hiểu tương tự như khái niệm ánh

xạ . Nếu như ánh xạ được định nghĩa là một
qui

tắc tuơng ứng áp dụng lên hai tập

hợp bất kỳ (còn được gọi là tập nguồn
và tập đích), mà trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn) tương

ứng với một và chỉ một phần tử thuộc tập hợp kia (tập hợp đích), thì ta hoàn
toàn có thể coi hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồn
và tập đích đều là tập

hợp

số
Set Theory – Nghiên cứu tập các phần tử. Mặc dù bất ký một kiểu đối
tượng nào cũng có thể tập hợp lại thành tập nhưng lý thuyết tập thường áp
dụng cho các đối tượng trong toán học.
Linear algebra - Đại số tuyến tính - được sử dụng nhiều trong toán học,
như trong đại

số

đại

cương , giải

tích

hà m , hình

học

giải

tích để giải các
bài toán như phép
quay trong không

gian , nội

suy

bình

phương

nhỏ

nhất , nghiệm của hệ
phương

trình
vi

phân , tìm đường

tròn qua ba điể m Nó cũng có vô vàn ứng dụng
trong khoa

học
tự

nhiên (vật

lý , công

nghệ ) và khoa

học

x ã

hội (kinh

tế ), vì các
mô hình phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể
xấp xỉ bằng mô hình tuyến tính.
Ký hiệu “→” :≡ “có thể được định nghĩa bởi”
8
Như chúng ta đã thảo luận phần trước, các cấu trúc toán học có thể được
xây dựng hay chỉ ra thông qua các cấu trúc đơn giản hơn. Chính biểu đồ trên
phác thảo một vài cách mà các cấu trúc rời rạc (và liên tục) đa dạng cuối
cùng cũng được tạo nên từ cấu trúc rời rạc rất đơn giản là tập (set), cấu trúc
này chúng ta sẽ sớm tiếp cận. Biểu đồ cũng cho chúng ta thấy được phần nào
quan hệ của các đối tượng toán học. Tuy nhiên, biểu đồ đã được đơn giản hóa
đi rất nhiều, nhiều cấu trúc khác cũng như các cách định nghĩa các cấu trúc
thông chúng đã được lược bỏ. Ví dụ, các tập có thể được định nghĩa thông
qua các hàm, hoặc các quan hệ. Không có một cấu trúc nào là cơ bản thực
sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ
các kiểu khác. Các tập chỉ có thể là điểm bắt đầu nhưng chúng phổ cập được
bởi vì định nghĩa của chúng quá đơn giản. Trong modul này, chúng ta sẽ
xem xét biểu đồ chi tiết để thấy được các cấu trúc này liên hệ với nhau như
thế nào.
1.4 HỌC TOÁN RỜI RẠC NHƯ THẾ NÀO?
Một số lời khuyên cho người học để có thể đạt hiệu quả cho modul này
như sau:
Thứ nhất, sinh viên hãy coi bài tập như một phần quan trọng trong quá

trình học. Người học sẽ học được phần lớn kiến thức thông qua bài tập, do
vậy sinh viên hãy làm càng nhiều bài tập càng tốt, bao gồm cả bài tập cuối
mỗi phần và các bài tập giảng viên cung cấp. Sinh viên hãy cố gắng tự
giải bài tập trước khi xem lời giải. Đây là một yêu cầu rất quan trọng với
sinh viên, người học chỉ có thể đạt được nhiều kiến thức nhất khi trải qua quá
9
trình tự làm, tự học.
Thứ hai, sinh viên không được bỏ một buổi học nào, thời gian học trên
lớp là quá trình trao đổi rất tốt giữa giảng viên và sinh viên.
Thứ ba, nếu học viên học ít hơn 3 ngày trong tuần trong quá trình học
modul này thì học viên đang lãng phí thời gian của mình, do vậy tốt nhất
cho học viên là học tập thường xuyên.
Thứ tư, hãy tạo cho mình môi trường học tập thoải mái: có thể đan xen
giữa việc giải toán, nghỉ ngơi và …giải toán.
Cuối cùng, không bao giờ quên bài giảng
Hãy nhớ là: cho dù là bạn có khả năng vượt qua các kỳ thi bằng cách học
rất ít trước kỳ thi, nhưng với cách học như vậy thì kiến thức toán mà bạn học
sẽ chỉ đi vào “bộ nhớ tạm thời” mà thôi. Kết quả cuối cùng là kiến thức
toán của bạn sẽ ở mức độ mà không tồn tại lâu dài do cách học “sổi”,
và chính thói quen học tập nghiên cứu như vậy của bạn sẽ làm hại chính
bạn.
10
BÀI 2: LOGIC
Logic sử dụng để biểu diễn những luận điểm chính xác các mênh
đề toán học. Những luật trong logic được dùng để phân biệt những luận
điểm đúng và sai. Bài học này cũng giúp người học cách thức để hiểu và xây
dựng các luận điểm toán học đúng đắn.
Logic là nội dung trung tâm của khoa học máy tính từ khi ngành
này được hình thành: công trình của Alan Turing về Entscheidungsproblem
theo sau từ công trình của Kurt Gödel về các định lý về sự không toàn vẹn, và

khái niệm của các máy tính dành cho mục đích tổng quát bắt nguồn từ
công trình này đã có tầm quan trọng mang tính nền tảng đối với các nhà
thiết kế máy tính trong những năm 1940.
Trong những năm 1950 và 1960, các nhà nghiên cứu dự đoán rằng khi
tri thức của con người có thể được biểu diễn bằng logic và các ký hiệu toán
học, sẽ có khả năng tạo ra một máy tính có khả năng lập luận, hay nói cách
khác là trí tuệ nhân tạo. Điều này hóa ra là khó khăn hơn đã dự đoán do sự
phức tạp trong lập luận của con người. Trong lập trình logic, một chương
trình bao gồm một tập hợp các tiên đề và các luật. Các hệ thống lập
trình logic như Prolog tính toán các hệ quả của các tiên đề và luật để trả lời
một truy vấn.
Ngày nay, logic được ứng dụng rộng rãi trong các lãnh vực của trí tuệ
nhân tạo, và khoa học máy tính, và những ngành này cung cấp một nguồn
dồi dào các bài toán trong logic hình thức và phi hình thức. Lý thuyết lý
luận là một ví dụ tốt cho thấy logic được áp dụng vào trí tuệ nhân tạo như thế
nào.
Thêm vào đó, máy tính có thể được sử dụng như công cụ cho các nhà
logic học. Ví dụ, trong logic biểu tượng và logic toán học, các chứng minh
bởi con người có thể được hỗ trợ bởi máy tính. Sử dụng chứng minh định lý
tự động, máy tính có thể tìm ra và kiểm tra các chứng minh, cũng như là làm
việc với những chứng minh quá dài cho việc viết ra
2.1. LOGIC MÊNH ĐỀ (propositional logic)
2.1.1 Những khái niệm cơ bản
Các đối tượng cơ bản mà chúng ta khảo sát ở đây là các phát biểu hay các
mệnh đề.
Trong lôgic toán, một phân ngành lôgic học, cơ sở của mọi ngành toán
học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ là mệnh đề lôgic là một khái niệm
nguyên thủy, không định nghĩa.
Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lí của nó, được quy
11

định như sau: Mỗi mệnh đề có đúng một trong hai giá trị chân lí 0 hoặc 1.
Mệnh đề có giá trị chân lí 1 là mệnh đề đúng, mệnh đề có giá trị chân lí 0 là
mệnh đề sai.
Kí hiệu:
•
Người ta thường dùng các chữ cái a, b, c, để kí hiệu cho các
mệnh đề.
•
Nếu mệnh đề a có giá trị chân lí là 1 thì ta kí hiệu G(a) = 1; nếu
mệnh đề a có giá trị chân lí là 0 thì ta kí hiệu là G(a) = 0.
Chẳng hạn, để kí hiệu a là mệnh đề "Paris là thủ đô của nước Pháp" ta sẽ
viết:
•
a = "Paris là thủ đô của nước Pháp" hoặc
•
a : "Paris là thủ đô của nước Pháp".
Ở đây, a là mệnh đề đúng nên G(a) = 1. Chú ý:
1. Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với
một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng
sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm
nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Chẳng hạn:
•
Sáng nay bạn An đi học.
•
Trời mưa.
•
Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè.
2. Ta thừa nhận các luật sau đây của lôgic mệnh đề:
•
Luật bài trùng: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; không

có
mệnh đề nào không đúng cũng không sai.
•
Luật mâu thuẫn: Không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai.
3. Có những mệnh đề mà ta không biết (hoặc chưa biết) đúng hoặc sai
nhưng
biết "chắc chắc" nó nhận một giá trị. Chẳng hạn:
•
Trên sao Hỏa có sự sống.
Mệnh đề và câu
Mệnh đề có thể là một câu nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề.
Có thể chia các câu trong khoa học cũng như trong cuộc sống ra làm hai loại:
loại thứ nhất gồm những câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách
quan và loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đúng hoặc sai một
thực tế khách quan nào. Những câu thuộc loại thứ nhất là chính những mệnh
đề. Vì vậy có thể nói: "Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất hoặc đúng
hoặc sai".
12
Ví dụ:
1. "Paris là thủ đô của nước Pháp" ← là mệnh đề đúng.
2. "Nước Việt Nam nằm ở châu Âu" ← là mệnh đề sai.
3. "Tháng 12 có 28 ngày" ← là mệnh đề sai.
4. "Một năm có 12 tháng và mỗi tuần có 7 ngày" ← là mệnh đề đúng.
5. "20 là số chẵn" ← là mệnh đề đúng.
6. "Số 123 chia hết cho 3" ← là mệnh đề đúng.
7. "2 cộng với 3 bằng 7" ← là mệnh đề sai.
8. "15 lớn hơn 30" ← là mệnh đề sai.
9. Các câu sau:
"Cuốn sách này giá bao nhiêu tiền?"
"Bao giờ lớp mình đi tham quan Đền Hùng?"

"Ôi! ngôi nhà mới đẹp làm sao!"
"Tất cả hãy anh dũng tiến lên!"
đều không phải là mệnh đề.
Nhận xét: nói chung những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh
đều không
phải là mệnh đề.
Mệnh đề lôgic và mệnh đề mờ
Nếu như trong Lôgic toán, một mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá
trị chân lí
0 hoặc 1 thì trong Trí tuệ nhân tạo người ta dùng lôgic mờ, mà ở đó giá
trị chân lí của một mệnh đề là một số nằm giữa 0 và 1. Mệnh đề có giá trị
chân lí 0 là sai, có giá trị chân lí 1 là đúng. Còn giá trị chân lí nằm giữa 0 và
1 chỉ ra mức độ thay đổi của chân lí.
2.1.2 Các phép toán lôgic cơ bản
Trong toán học, khi có hai số, người ta dùng các phép toán số học (cộng,
trừ, nhân, chia, ) tác động vào chúng để nhận được những số mới. Tương tự,
khi có mệnh đề, người ta dùng các phép lôgic tác động vào chúng để
nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta trình bày định nghĩa và các
tính chất cơ bản của các phép toán này.
Phép phủ định
Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu là , đúng khi a sai và sai
khi a đúng.
13
Ví dụ 1:
Nếu a = "Paris là thủ đô của nước Pháp" thì mệnh đề phủ định có thể
diễn đạt như sau:
•

= "Không phải Paris là thủ đô của nước Pháp"
•

hoặc

= "Paris không phải là thủ đô của nước Pháp".
Ở đây G(a) = 1 còn G(
a

) = 0.
Ví dụ 2:
Nếu b = "15 lớn hơn 30" thì mệnh đề phủ định

có thể diễn đạt như sau:
•

= "Không phải 15 lớn hơn 30"
•
hoặc

= "15 không lớn hơn 30"
•
hoặc = "15 nhỏ hơn 30"
Ở đây G(b) = 0 còn G(

) = 1.
Ví dụ 3:
Nếu c = "Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ" thì mệnh đề phủ định

có
thể diễn đạt như sau:
• = "Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi bỏ".
Nếu qua xác minh mệnh đề c đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định

sẽ sai (hoặc đúng).
Chú ý: Mệnh đề phủ định a thường được diễn đạt là "không phải a".
Phép hội
Hội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề, đọc là a và b, kí hiệu a Λ b
(hoặc a.b), đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trường
hợp còn lại.
ảng giá trị chân lí của phép hội
a b a Λ b
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
14
Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh
đề đó bởi liên từ "và" hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là:
mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn, cùng, hoặc dùng dấu phảy hoặc không
dùng liên từ gì.
Ví dụ 1:
"Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh" là
hội của hai mệnh đề a = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội" và b =
"Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở thành phố Hồ Chí Minh". Vì hai mệnh đề
này không thể cùng đúng, nên G(a Λ b) = 0.
Ví dụ 2:
"Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng
không phải là thủ đô" là hội của hai mệnh đề a = "Thành phố Hồ Chí Minh là
thành phố lớn nhất trong cả nước" và b = "Thành phố Hồ Chí Minh không
phải là thủ đô". Rõ ràng là G(a) = 1 và G(b) = 1 nên G(a Λ b) = 1.
Ví dụ 3:
•
"Số π lớn hơn 2 song nhỏ hơn 3".

•
"Chị Nga nói thạo tiếng Pháp mà không biết tiếng Anh".
•
"ABC là tam giác vuông cân" là hội của của hai mệnh đề a = "ABC
là tam giác vuông" và b = "ABC là tam giác cân".
•
"Không những trời nắng to mà còn gió tây".
•
"Chồng cày, vợ cấy, con trâu đi bừa".
Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ "và" nhưng không có nghĩa của
mệnh đề hội. Chẳng hạn:
•
"Số lẻ và số chẵn là hai tập con rời nhau của tập số tự nhiên".
•
"Hùng đạt được tất cả 20 điểm 9 và 10".
Phép tuyển
Tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề đọc là a hoặc b, kí hiệu là a
ν b (hoặc
a+b), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại.
Bảng giá trị chân lí của phép tuyển
a b a ν b
1 1 1
1 0 1
0 1 1
15
0 0 0
Phép tuyển trên còn được gọi là phép tuyển không loại trừ.
Phép tuyển loại trừ của hai mệnh đề a và b, chỉ đúng khi hoặc a, hoặc b
đúng.
Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệ

nh đề đó bởi liên từ "hoặc" (hay liên từ khác cùng loại).
Ví dụ 1:
"Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4" là tuyển của hai mệnh đề a =
"Tháng 12 có 31 ngày" và b = "2 + 2 = 4". Ở đây G(a ν b) = 1.
Ví dụ 2:
•
"3 nhỏ hơn hoặc bằng 4"← là mệnh đề đúng
•
"Số lẻ là số có chữ số tận cùng bằng 1, 3, 5, 7 hoặc 9"← là mệnh đề
đúng
•
"20 là số lẻ hoặc chia hết cho 3"← là mệnh đề sai
Chú ý: Trong thực tế, liên từ "hoặc" thường được dùng với hai nghĩa
"loại trừ" và "không loại trừ".
•
Phép tuyển "hoặc a hoặc b" là phép tuyển loại trừ để chỉ a
hoặc b nhưng không thể cả a lẫn b.
•
Phép tuyển "a hoặc b" là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc b
và có thể cả a lẫn b.
Chẳng hạn:
•
"Hôm nay là ngày Chủ nhật hoặc ngày lễ"← là phép tuyển không
loại trừ.
•
"20 là số lẻ hoặc nó chia hết cho 2"← là phép tuyển loại trừ.
Phép kéo theo
a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, chỉ sai khi a đúng và b
sai và đúng
trong các trường hợp còn lại.

Bảng giá trị chân lí của phép kéo theo
a b a b
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Chú ý: Mệnh đề a kéo theo b thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức
khác nhau,
16
chẳng hạn:
"Nếu a thì b"
"Có b khi có a"
"Từ a suy ra b"
"a là điều kiện đủ để có b"
"b là điều kiện cần (ắt có) để có a"
Ví dụ:
•
"15 có chữ số tận cùng bằng 5 suy ra 15 chia hết cho 5"← mệnh đề
đúng.
•
"Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn
sáng"←mệnh đề đúng
Chú ý:
1. Trong lôgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a b người ta không
quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b. Không
phân biệt trường hợp a có phải là nguyên nhân để có b hay không, mà chỉ
quan tâm đến tính đúng, sai của chúng.
Ví dụ:
•
"Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu Âu"←

mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh trái đất"
và b = "Việt Nam nằm ở Châu Âu" đều sai.
•
"Nếu tháng 12 có 31 ngày thì mỗi năm có 13 tháng" ← mệnh đề sai.
2. Theo bảng chân lí trên, ta thấy:
•
Nếu a sai thì a b luôn đúng.
•
Nếu a đúng thì a b đúng khi b đúng.
Vì vậy để chứng minh mệnh đề a b đúng ta chỉ cần xét trường hợp a
và b cùng đúng và phép chứng minh mệnh đề a b được tiến hành theo ba
bước: Bước 1. Giả sử a đúng.
Bước 2. Từ giả thiết a đúng, dùng lập luận và các mệnh đề toán học đã
biết, suy ra b đúng.
Bước 3. Kết luận a b luôn đúng.
Trong mệnh đề a b ta gọi a là giả thiết, b là kết luận.
3. Nếu ta coi là mệnh đề thuận thì b a là mệnh đề đảo,

4. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình
thức
phong phú. Chẳng hạn:
17
"Bao giờ bánh đúc có xương,
Bấy giờ dì ghẻ mới thương con chồng"
hoặc
"Chuồn chuồn bay thấp thì mưa,
Bay cao thì nắng bay vừa thì râm".
Phép tương đương
a tương đương b là một mệnh đề, kí hiệu là ab, nếu cả hai mệnh đề
a và b cùng

đúng hoặc cùng sai.
Chú ý:
Bảng giá trị chân lí của mệnh đề tương đương
a b a b
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1. Trong thực tế, mệnh đề "a tương đương b" thường được diễn
đạt dưới
nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn:
"a khi và chỉ khi b"
"a nếu và chỉ nếu b"
"a và b là hai mệnh đề tương đương"
"a là điều kiều kiện cần và đủ để có b"
2. Hai mệnh đề a, b tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là
nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị
chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai).
Ví dụ:
•
"Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt trời"
là mệnh đề đúng.
•
"12 giờ trưa hôm nay Tuấn có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào
giờ đó anh đang ở thành phố Hồ Chí Minh" là mệnh đề sai.
•
"Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên
tố" là mệnh đề đúng.
3. Một cách khác, người ta cũng nói rằng a tương đương b khi và chỉ khi
cả

hai mệnh đề a b và b a cùng đúng. Vì vậy để chứng minh mệnh đề a
18
b ta chứng minh hai mệnh đề a b và b a.
4. Các cặp mệnh đề thuận và phản đảo, đảo và phản là những cặp mệnh
đề tương đương. Đây chính là cơ sở của phương pháp chứng minh gián
tiếp trong toán học.
2.1.3 Sự tương đương lôgic và luật
Công thức
Trong phần trên ta đã xét năm phép toán trên các mệnh đề. Như vậy,
nếu có các mệnh đề a, b, c, khi dùng các phép toán lôgic tác động vào,
chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh
đề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách
khác:
Mỗi công thức được tạo thành từ những mệnh đề dưới tác dụng của các
phép toán lôgic. Như vậy ta gán cho mỗi mệnh đề có mặt trong công thức P
một giá trị chân lí, dùng bảng chân lí của các phép lôgic ta khẳng định được
công thức P là mệnh đề đúng hoặc sai. Nếu P là mệnh đề đúng (hoặc sai)
thì ta nói công thức P có giá trị chân lí bằng 1 (hoặc 0).
Ví dụ:
•
(1) là công thức có giá trị chân lí bằng 1 (với mọi mệnh đề a).
Bảng giá trị chân lí của công thức (1)
a a Λ

0 1 0 1
1 0 0 1
•
(2) là một công thức có giá trị chân lí bằng 0
(với mọi mệnh đề a, b).
Bảng giá trị chân lí của công thức (2)

19
Sự tương đương lôgic
Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P, Q tương
đương lôgic với nhau, kí hiệu là P ≡ Q, nếu với mọi hệ chân lí gán cho các
mệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lí như
nhau.
Đặc biệt, hai mệnh đề a, b gọi là tương đương lôgic, kí hiệu là a ≡
b, nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai.
Chú ý:
1. Kí hiệu a ≡ b là để chỉ hai mệnh đề tương đương lôgic chứ không
phải là hai mệnh đề bằng nhau.
2. Hai mệnh đề tương đương lôgic có thể về nội dung chúng hoàn toàn
không có liên quan.
Chẳng hạn: "Tháng 2 có 31 ngày ≡ 2 + 2 = 11".
3. Quan hệ P ≡ Q còn được gọi là một đẳng thức.
Đẳng thức
Dưới đây là một số đẳng thức thường gặp trong lôgic mệnh đề:
Phủ định của phủ định
(1) ≡ a.
Luật Đờ Moócgăng
(2) ≡
(3) ≡
Tính chất kết hợp của các phép lôgic
(4) (a Λ b) Λ c ≡ a Λ (b Λ c)
(5) (a ν b) ν c ≡ a ν (b ν c)
Tính chất giao hoán của các phép lôgic
(6) a Λ b ≡ b Λ a
(7) a ν b ≡ b ν a
(8) ab ≡ ba
Tính chất phân phối

20
(9) a Λ (b ν c) ≡ (a Λ b) ν (a Λ c)
(10)a ν (b Λ c) ≡ (a ν b) Λ (a ν c)
Tính lũy đẳng
(11)a Λ a ≡ a
(12)a ν a ≡ a
Biểu diễn phép kéo theo qua các phép lôgic khác
Biểu diễn tương đương qua các phép lôgic khác
Các đẳng thức về 0 và 1
Người ta còn dùng kí hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ một mệnh đề luôn luôn đúng
(hoặc luôn luôn sai). Ta có các đẳng thức sau về 0 và 1:
(18)a Λ 0 ≡ 0
(19)a ν 0 ≡ a
(20)a Λ 1 ≡ a
(21)a ν 1 ≡ 1
(22)a ν ≡ 1 (luật bài trung)
(23)a Λ ≡ 0 (luật mâu thuẫn)
Chứng minh đẳng thức
Để chứng minh một đẳng thức trong lôgic mệnh đề ta thường dùng
phương pháp
lập bảng giá trị chân lí.
Ví dụ 1: Chứng minh:≡
Bảng giá trị chân lí
a b

1 1 0 0
1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức và

luôn nhận giá trị chân lí như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh:
Bảng giá trị chân lí
21
a b

1 1 1 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức và
luôn nhận giá trị chân lí như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.
2.2. LOGIC VỊ TỪ (predicate logic)
2.2.1 Vị từ
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: "Số tự nhiên n chia hết cho 5".
Về phương diện ngôn ngữ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa
phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa
phải là mệnh đề. Song nếu ta thay n bằng số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn:
•
Thay n = 100 ta được mệnh đề đúng: "Số 100 chia hết cho 5".
•
Thay n = 101 ta được mệnh đề sai: "Số 101 chia hết cho 5".
Ví dụ 2: "x + 3 > 7".
Tương tự như trong ví dụ 1, x + 3 > 7 chưa phải là mệnh đề, song nếu ta
thay x bởi
một số thực cụ thể, chẳng hạn:
•
Thay x = 0 ta được mệnh đề sai: "0 + 3 > 7".
•

Thay x = 5 ta được mệnh đề đúng: "5 + 3 > 7".
Ví dụ 3: "Ông A là nhà toán học vĩ đại".
Câu trên chưa phải là mệnh đề. Nhưng nếu ta chọn "ông A" là
"Gausơ" sẽ được mệnh đề đúng: "Gausơ là nhà toán học vĩ đại", nếu ta
chọn "ông A" là "Đinh Bộ Lĩnh" thì sẽ được mệnh đề sai: "Đinh Bộ Lĩnh là
nhà toán học vĩ đại".
Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:
Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng
khi ta thay các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành
mệnh đề (đúng hoặc sai) ta sẽ gọi là hàm mệnh đề (hoặc vị từ, hàm phán
đoán, mệnh đề không xác định, mệnh đề chứa biến). Tập X gọi là miền xác
định của hàm mệnh đề đó.
Ta dùng kí hiệu: T(n), F(x), để chỉ các vị từ.
Chẳng hạn:
•
vị từ T(n) : "Số tự nhiên n chia hết cho 5" có miền xác định là tập
22
các số tự nhiên N. Tập các số tự nhiên có tận cùng bằng 0 hoặc 5 là miền
đúng của T(n).
•
vị từ F(x) = "x + 3 > 7" có miền xác định là các số thực. Tập các
số
thực lớn hơn 4 ta gọi là miền đúng của vị từ F(x).
2.2.2 Lượng từ
Mệnh đề tồn tại
Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm
từ "Tồn tại
sao cho " vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:
"Tồn tại sao cho T(x)"
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tồn tại. Kí hiệu là:

hoặc
Kí hiệu gọi là lượng từ tồn tại.
Ví dụ:
•
"Tồn tại số thực x sao cho x + 4 > 7" là mệnh đề đúng.
Kí hiệu là:
•
"Tồn tại số tự nhiên n sao cho n chia hết cho 5" là mệnh đề đúng.
Kí hiệu là:
•
"Tồn tại số thực x sao cho x2 + 1 = 0" là mệnh đề sai.
Kí hiệu là:
1. Trong thực tế, mệnh đề tồn tại còn được diễn đạt dưới những dạng
khác
nhau, chẳng hạn:
•
"Tồn tại ít nhất một sao cho T(x)".
•
"Có một sao cho T(x)".
•
"Có ít nhất một sao cho T(x)".
•
"Ít ra cũng có một người là nhà toán học".
•
"Một số người là nhà toán học".
•
"Có nhiều người là nhà toán học"
•

2. Ta dùng kí hiệu với nghĩa "Tồn tại duy nhất một

23
sao cho T(x)".
Mệnh đề tổng quát
Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ
"Với mọi
ta có " vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:
"Với mọi ta có T(x)"
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tổng quát (hoặc toàn thể,
phổ biến,
phổ cập, ). Kí hiệu là:
hoặc
hoặc
Kí hiệu gọi là lượng từ tổng quát (hay toàn thể, phổ biến, phổ cập, )
Ví dụ:
•
"Với mọi số tự nhiên n ta có n chia hết cho 5" là mệnh đề sai.
Kí hiệu là:
•
"Với mọi số thực x ta có x + 3 > 7" là mệnh đề sai.
Kí hiệu là:
•
"Với mọi số thực x ta có x2 + 1 > 0" là mệnh đề đúng.
Kí hiệu là:
Chú ý: Trong thực tế, mệnh đề tổng quát thường được diễn đạt dưới
nhiều hình thức
khác nhau, chẳng hạn:
•
"Tất cả người Việt Nam đều nói tiếng Anh".
•
"Mọi người Việt Nam đều nói thạo tiếng Anh".

•
"Người Việt Nam nào cũng nói thạo tiếng Anh".
•
"Đã là người Việt Nam thì ai chẳng nói thạo tiếng Anh".
•

24
Phủ định của mệnh đề tồn tại và tổng quát
Phủ định các mệnh đề tồn tại và tổng quát được thiết lập theo hai quy tắc
dưới đây:
Như vậy, hai mệnh đề:
•
và là phủ định của nhau.
•
và là phủ định của nhau.
Ví dụ:
•
Kí hiệu là:
•
•
•
25