Bài giảng toán rời rạc pptx

Tr−êng §¹i häc Vinh
NguyÔn Trung Hßa
To¸n rêi r¹c
Vinh - 2010
0
Chơng 1. Quan hệ
1.1. Quan hệ hai ngôi v các tính chất
1.1.1. Định nghĩa v các ví dụ
Trongcuộcsốngtathờng gặp rất nhiều hi ện tợng đợc diễn tả bởi
thuật ngữ quan hệ, chẳng hạn quan hệ bạn bè, quan hệ đồng hơng, quan hệ
thầy trò, Hoặc cuối năm học ta thờng quan tâm đến điểm trung bình chung
học tập của các thnh viên trong lớp, khi đó ta có mối quan hệ giữa sinh viên
của lớp v số thực l điểm trung bình chung học tập của các sinh viên. Hay
cuối học kỳ ta phải xếp lịch thi học kỳ, khi đó ta thờng xét quan hệ giữa
lớp trong khoa v môn đợc lớp đó học trong học kỳ, gọi tắt l quan hệ Học,
chẳng hạn 45A Học xác suất; 44B Học toán rời rạc; 44B Học kinh tế, 44A
Học tâm lý học, 44A Học kinh tế Có nghĩa l ta phải ghép cặp (lớp x, môn
y) v hiểu l lớp x học môn y. Nh vậy, tập tất cả các cặp (lớp x, môn y) sao
cho lớp x học môn y đặc trng cho quan hệ Học,v ta có thể coi quan hệ Học
l tập con của tích đề-các của hai tập các lớp v các môn học. Hình thức hoá
các hiện tợngấytacókháiniệmquanhệ,l một khái niệm rất quan trọng
của toán học v đợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt l trong tin học.
Một quan hệ hai ngôi từ tập A đến tập B l một tập con R của tích đề
các A
ì B.Nếu(a, b) R thì ta nói rằng a có quan hệ R với b v ký hiệu
aRb thay thế cho ký hiệu (a, b).
Ví dụ 1. Quan hệ Họckỳ4= {(a, b) với a l một lớp nođócủakhoá
44, còn b l một môn m lớp a học trong học kỳ 4 (năm học 2004-2005)}.
Rõ rng quan hệ Họckỳ4l một tập con của quan hệ Học đã nói ở trên.
Ví dụ 2. Quan hệ trực thuộc (hnh chính) l tập con I c ủa tích đề-các
của tập H tất cả các huyện của V iệt nam v tập T l tập tất cả các tỉnh của

Việt nam. Khi đó (Hng nguyên, Nghệ an), (Tĩnh gia, Thanh hoá), (Hơng
sơn, H tĩnh), (Nam đn, Nghệ an) l nhữngphầntửcủatậpIv ta th ờng
nói Hng nguyên trực thuộc Nghệ an, Tĩnh gia trực thuộc Thanh hoá, Hơng
sơn trực thuộc H tĩnh, Nam đn trực thuộc Nghệ an.
Ví dụ 3. Một hm số bất kỳ trên miền xác định D l một quan hệ từ D
đến R,m mỗi phần tử của quan hệ nyl một cặp (x, f(x)),v đây l một
loại quan hệ hai ngôi đặc biệt, ở chỗ mọi x D đềucóv chỉ có duy nhất
một f(x) tơng ứng.
1
Trong số các quan hệ hai ngôi, ta quan tâm đặc biệt đến các quan hệ hai
ngôi trên một tập:
Một quan hệ hai ngôi R trên tập A l một quan hệ từ A đến A,nghĩa
l R l tập con của bình phơng đề các A ì A.
Ví dụ 4. Xét tập A tất cả sinh viên lớp 48K, ta có các quan hệ hai ngôi
sau:
a. Quan hệ đồng hơng, gồm tất cả các cặp hai sinh viên (a, b) sao cho
a có gia đình cùng huyện với b.
b. Quan hệ công tác, gồm tất cả các cặp h ai sinh viên (a, b) sao cho a
có công việc cần trao đổi với b.
c. Quan hệ bạn thân, gồm tất cả các cặp hai sinh viên (a, b) sao cho a
chơi thân với b.
d. Quan hệ lớn tuổi hơn, gồm tất cả các cặp hai sinh viên (a, b) sao cho
a sinh trớc b.
Ví dụ 5. Xét tập các số nguyên Z:
a. Quan hệ đồng d theo mô đun 5 trên tập các số nguyên Z đợc định
nghĩa nh sau: a đợc gọi l đồng d với b theo mô đun 5 khi v chỉ khi a
v b
có cùng số d khi chia cho 5.
b. Quan hệ < trên tập Z.
1.1.2. Các phép toán trên tập các quan hệ

Giả sử có các quan hệ hai ngôi từ tập X đến tập Y , khi đó chúng đều l
các tập con của tích đề-các X ì Y , nên có thể xét các phép toán tập hợp l
phép hợp, phép giao, phép trừ, phép lấy hiệu đối xứng. Chúng đợc xem l
các phép toán trên các quan hệ v kết quả của chúng đều l cácquanhệhai
ngôi từ X đến Y .
Ta sẽ xây dựng viphéptoánmới.
Phép nghịch đảo: Giả sử R l một quan hệ hai ngôi từ tập X đến tập
Y . Quan hệ ngợc (nghịch đảo) của quan hệ R l quan hệ S từ Y đến X sao
cho S = {(y,x)|(x, y) R}.Quanhệngợc của R đợc ký hiệu bởi R
1
.
Ví dụ 1. Nếu X = {1, 2, 3, 4}, Y = {a, b, c}, R = {(1,b), (2,a), (4,c)}
thì R
1
= {(b, 1), (a, 2), (c, 4)}.
Phép hợp thnh: Giả sử R l một quan hệ hai ngôi từ tập X đến tập Y ,
S l một quan hệ hai ngôi từ tập Y đến tập Z. Hợp thnh của các quan hệ
2
R v S l quan hệ T từ X đến Z với T = {(x, z)|y Y sao cho (x, y)
R v (y, z) S}. Quan hệ hợp thnh T đợc ký hiệu bởi R S hoặc RS.
ChúýrằngRS có thể l tập rỗng mặc dầu R v S đều khác rỗng v phép
hợp thnh có tính chất kết hợp, nghĩa l (R S) V = R (S V ).
Ví dụ 2. Giả sử X = {1, 2, 3, 4}, Y = {a, b, c
}, Z = {, , },
R = {(1,b), (2,a), (3,b), (4,c)}, S = {(a, ), (b, ), (c, )}, khi đó
RS = {(1, ), (2, ), (3, ), (4, )}.
Phép luỹ thừa: Giả sử R l một quan hệ hai ngôi trên tập X. Luỹ thừa
bậc n của quan hệ R ,kýhiệul R
n
,vớin =1, 2, l quan hệ đợc xác

định bởi hệ thức truy hồi R
n
= R
n1
R với R
1
= R.
Ví dụ 3. Giả sử X = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}.Ta
có
R
2
= RR = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 2)},
R
3
= R
4
= {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)},
v do đó R
n
= R
3
với mọi n 3.
1.1.3. Các tính chất có thể có của quan hệ hai ngôi trên một tập
a. Quan hệ hai ngôi R trên một tập X đợc gọi l có tính chất phản xạ
nếu với mọi a X đều có aRa.
Ví dụ 1. Quan hệ đồng hơng ở ví dụ 4, quan hệ đồng d ởvídụ5
(mục 1.1.1) l cácquanhệcótínhphảnxạ.
b. Quan hệ hai ngôi R trên một tập X đợc gọi l có tính chất đối xứng
nếu với mọi a, b X, aRb khi v chỉ khi bRa.
Ví dụ 2. Cácquanhệđồnghơng, bạn thân ở ví dụ 4; quan hệ đồng d

ởvídụ5(mục1.1.1)l các quan hệ có tính đối xứng.
c. Quan hệ hai ngôi R trên một tập X đợc gọi l có tính chất phản
xứng nếu với mọi a, b X sao cho aRb v bRa thì a = b.
Ví dụ 3. Quan hệ < trên tập Z (ví dụ 5 mục 2.1.1) có tính phản xứng.
d. Quan hệ hai ngôi R trên một tập X đợc gọi l có
tính chất bắc cầu
nếu với mọi a, b, c X sao cho aRb v bRc thì aRc.
Ví dụ 4. Các quan hệ đồng hơng,lớntuổihơnởvídụ4;cácquanhệ
đồng d, < ở ví dụ 5 (mục 1.1.1) có tính chất bắc cầu.
Sau đây ta có định lý về mối liên hệ giữa quan hệ bắc cầu R v các luỹ
thừa của R.
3
Định lý 1. Qu an hệ R trên tập A có tính bắc cầu khi v chỉ khi R
n
R với
mọi n =1, 2, 3,
Chứng minh. Cần: Rõ rng R
1
R, tức l với n =1điều kiện cần đã
đúng.
Giả sử R
n
R ta sẽ chứng minh R
n+1
R. Thật vậy, theo định nghĩa
của luỹ thừa bậc n củaquanhệtacóR
n+1
= R
n
R nghĩa l với mọi (x, z),

(x, z) R
n+1
khi v chỉ khi tồn tại y A sao cho (x, y) R
n
v (y,z) R.
Theo giả thiế quy nạp, (x, y ) R
n
kéo theo (x, y) R v do R có tính chất
bắc cầu nên từ (x, y) R v (y, z ) R suy ra (x, z) R.VậyR
n+1
R.
Đủ: Giả sử (x, y) R v (y, z) R,khiđó(x, z) R
2
. Theo giả thiết
R
n
R với mọi n =1, 2, nên ta có ngay R
2
R,suyra(x, z) R,tức
l R có tính bắc cầu.
Bitập:
1. Có bao nhiêu quan hệ khác nhau từ tập có m phần tử đến tập có n phần
tử?
Quan hệ bù của quan hệ R,kýhiệul
R,l tập các cặp đợc sắp
{(a, b)|(a, b) / R}.TìmR
1
v R trong các trờng hợp sau:
2. R l quan hệ < trên Z.
3. R l quan hệ chia hết trên N

+
4. R l quan hệ hm , nghĩa l R = {(a, f(a)) f(a) l ảnh của a qua
ánh xạ f.
5. Liệt kê 16 quan hệ khác nhau trên tập {0, 1}
6. Trongsố16quanhệkhácnhautrêntập{0, 1}, những quan hệ nol
a. Phản xạ
b. Đối xứng.
c. Phản xứng.
d. Bắc cầu.
7. Có bao nhiêu quan hệ trên tập gồm n phần tử l
a. Phản xạ
b. Đối xứng.
c. Phản xứng.
8. Cho R l quan hệ có tính phản xạ trên tập A. Chứng minh rằng R
n
cũng
cótínhphảnxạvớimọisốnguyêndơng n.
4
9. Cho R l quan hệ có tính đối xứng trên tập A. Chứng minh rằng R
n
cũng có tính đối xứng với mọi số nguyên dơng n.
10. Chỉ ra một ví dụ về một quan hệ bắc cầu R sao cho R
2
= R
1.2. Biểu diễn quan hệ
1.2.1. Ma trận logic v các phép toán trên các ma trận logic
Giả sử a, b l các biến (biến boolean) chỉ nhận một trong hai g iá trị 0
hoặc 1 (giá trị logic).
Ta gọi tuyển của a v b l giá trị
c = a b :=

1 nếu a =1hoặc b =1
0 nếu a = b =0,
ký hiệu tuyển của a v b bởi a b.
Ta gọi hội của a v b l giá trị
c = a b :=

1 nếu a = b =1
0 nếu a =0hoặc b =0,
ký hiệu hội của a v b bởi a b.
Ma trận logic cỡ m ì n l một ma trận có
m dòng v n cột, trong đó
các phần tử của nó chỉ nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1.
Giả sử cho hai ma trận A =[a
i,j
] v B =[b
i,j
] cũng cỡ.
a. Tuyển (tổng boolean) của hai ma trận A v B,kýhiệuA B,l ma trận
C =[c
i,j
] trong đó c
i,j
= a
i,j
b
i,j
.
b. Hội của hai ma trận A v B,kýhiệuA B,l ma trận C =[c
i,j

] trong
đó c
i,j
= a
i,j
b
i,j
.
c. Tích boolean của ma trận A cỡ m ì n v ma trận B cỡ n ì p l ma trận
C = A B := [c
i,j
] cỡ m ì p trong đó
c
i,j
=(a
i,1
b
1,j
) ããã (a
i,k
b
k,j
) ããã (a
i,n
b
n,j
)
(các dấu ngoặc có thể đợc bỏ đi). Ta ký hiệu tích boolean của hai ma trận
A v B l A B
Dễ thấy rằng ma trận vuông I

n
=[
i,j
] cấp n trong đó

i,j
=

1 nếu i = j
0 nếu i = j
5
l ma trận đơn vị đối với phép nhân boolean, nghĩa l với mọi ma trận A cỡ
mìn (hoặc mọi ma trận B cỡ nìp) ta đều có AI
n
= A (hoặc I
n
B = B).
Đồng thời tích boolean có tính chất kết hợp, nghĩa l A(B C)=(AB)C
nếu một trong hai vế của đẳng thức nytồntại.
ThuậttoántínhtíchboolecủamatrậnA cỡ m ì n v ma trận B cỡ
n ì p,lu trữ kết quả vomatrậnC.
Với i := 1 đến m
Với j := 1 đến p
c
i,j
:= 0
với k := 1 đến n
c
i,j
:= c

i,j
(a
i,k
b
k,j
).
Vì tích boolean của các ma trận logic có tính chất kết hợp nên ta có thể
định nghĩa luỹ thừa boolean nh sau:
d. Luỹ thừa boole bậc r của một ma trận vuông logic A cấp n,kýhiệu
bởi A
[r]
đợc định nghĩa bằng truy hồi nh sau:
A
[r]
= A A
[r1]
, với r =1, 2, v A
[0]
= I
n
.
hoặc đợc xác định bởi
A
[r]
= A A ãããA


rlần
1.2.2. Biểu diễn quan hệ bằng ma trận
a. Xây dựng biểu diễn

Cho A l tập hợp hữu hạn có m phần tử đã đợc đánh số thứ tự A =
{a
1
,a
2
, a
m
} v B l tập hợp hữu hạn có n phần tử đã đợc đánh số thứ tự
B = {b
1
,b
2
, b
n
} . Khi đó tích đề các A ì B có m ì n phần tử v một cách
tự nhiên ta có thể biểu diễn chúng nh l một bảng gồm m dòng v n cột,
trongđóvịtríởdòngi cột j l cặp (a
i
,b
j
).VìR l một tập con của tích đề
các Aì B, nên biểu diễn của R sẽ đợctạonêntừbảngởtrênbằngcáchcặp
no thuộc R sẽ đợc thay bởi 1, cặp no không thuộc R sẽ đợc thay bởi 0.
Từ đó ta có định nghĩa biểu diễn sau: Giả sử R l mộtquanhệtừtậpA đến
tập B v cácphầntửcủaA, B đã đợc sắp xếp theo một thứ tự cố định no
6
đó A = {a
1
,a
2

, a
m
}, B = {b
1
,b
2
, b
n
}. Matrậnlogicbiểudiễnquanhệ
R l ma trận M
R
=[r
i,j
],trongđó
r
i,j
=

1 nếu (a
i
,b
j
) R
0 nếu (a
i
,b
j
) / R
Để ý rằng thứ tự của các phần tử của A v B honton tuỳ ý, tuy nhiên
phải đợc cho trớc cố định. Nói cách khác ứng với một thứ tự của các phần

tử trong A hoặc B ta sẽ có một biểu diễn ma trận của quan hệ R.Đặcbiệt
khi A = B ta quy định thứ tự của các phần tử của A v của B l nh nhau.
b. Các ví dụ.
c. Ma trận biểu diễn các quan hệ phản xạ, đối xứng, phản xứng
Biểu diễn quan hệ bởi ma trận logic cho ta một cách nhìn trực quan hơn
các quan hệ. Khi A = B, với biểu diễn nytadễdng kiểm tra các tính chất
của quan hệ R.
Quan hệ R trên tập A có tính chất phản xạ khi v chỉ khi M
R
l ma trận
cómọiphầntửtrênđờng chéo chính bằng 1.
Quan hệ R trên tập A có tính chất đối xứng khi v chỉ khi M
R
l ma
trận đối xứng qua đờng chéo chính.
Quan hệ R trên tập A có tính chất phản xứng khi v chỉ khi M
R
l ma
trận có r
i,j
=0hoặc r
j,i
=0khi i = j.
d. Ma trận biểu diễn hợp, giao của hai quan hệ.
Từ định nghĩa ma trận biểu diễn quan hệ v các định nghĩa hợp v giao
của hai quan hệ (nh l hợp v giao của hai tập hợp), tuyển, hội của các ma
trận logic ta dễ dngsuyrarằngmatrậnbiểudiễnhợpcủahaiquanhệl
tuyển của hai ma trận logic biểu diễn các quan hệ đã cho v ma trận biểu diễn
giao của hai quan hệ l hội của hai ma trận logic biểu diễn các quan hệ đã
cho.

e. Ma trận biểu diễn hợp thnh của hai quan hệ.
Định lý. Giả sử A, B, C l các tập hữu hạn có số các phần tử tơng ứng
l m, n, p.GiảsửR, S l các quan hệ hai ngôi từ A đến B v từ B đến C
tơng ứng. Gọi M
R
=[r
i,k
],M
S
=[s
k,j
],M
RS
=[t
i,j
] l cácmatrậnbiểu
diễn R, S, RS tơng ứng. Khi đó ta có
M
RS
= M
R
M
S
7
Chứng minh:
Xét t
i,j
l phầntửbấtkỳ(ởdòngi cột j)củaM
RS
.Tacót

i,j
=1khi
v chỉ khi a
i
RSc
j
,điềuđócónghĩal tồn tại b
k
no đó thuộc B để a
i
Rb
k
v b
k
Sc
j
, nghĩa l tồn tại k để r
i,k
=1v s
k,j
=1, nghĩa l
(r
i,1
s
1,j
) (r
i,k
s
k,j
) (r

i,n
s
n,j
)=1,
nghĩa l phầntửởdòngi cột j của ma trận tích M
R
M
S
bằng 1. Vậy
M
RS
= M
R
M
S
.

1.2.3. Biểu diễn quan hệ bằng đồ thị có hớng.
a. Định nghĩa đồ thị có hớng
Đồ thị có hớng l một bộ đôi G =(V,E) trong đó V l một tập hợp,
gọi l tập các đỉnh; E V
2
,l tập các cặp sắp thứ tự các phần tử của V ,
đợc gọi l tập các cạnh. Với mỗi cạnh (a, b) E,đỉnha đợc gọi l đỉnh
đầu, b gọi l đỉnh cuối của cạnh. Nếu a trùng b, cạnh (a, a) đợc gọi l một
khuyên. Đồ thị có hớng thờng đợc biểu diễn (minh hoạ) một cách trực
quan nh hình vẽ dới đây: Ví dụ.
b. Đồ thị có hớngbiểudiễnquanhệ
Từ định nghĩa đồ thị có hớng ở trên, nếu R l một quan hệ hai ngôi
trên tập hợp A,tacóthểbiểudiễnR nh l một đồ thị G =(A, R) (với tập

A đóng vai trò của tập V ;TậpR đóng vai trò của tập E). Do đó có thể đồng
nhất một quan hệ R trên tập A vớimộtđồthịcóhớng G v cách tiếp cận
nychotamộtcáchnhìntrựcquanhơn.
8
Ví dụ. Cho tập A = {1, 2, 3, 4}, R l quan hệ < t hông thờng, khi đó
đồ thị biểu diễn R đợc minh hoạ bởi hình sau:
Ví dụ. Cho đồ thị G =(V,E) đợc minh hoạ bởi hình:
Khi đó ta xác định đợc quan hệ hai ngôi E tơng ứng trên tập V =
{1, 2, 3, 4} nh sau: E = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}. Quan hệ
ny cũng có thể diễn đạt l quan hệ đồng d theo môđun 2, hoặc l quan
hệ cùng chẵn, cùng lẻ.
c. Đồ thị biểu diễn quan hệ phản xạ, đối xứng, phản xứng, bắc cầu.
Theo biểu diễn quan hệ bởi đồ thị có hớng nh trên,tanhậnthấyrằng
Quan hệ R trên tập A có tính chất phản xạ khi v chỉ khi đồ thị G =
(A, R) có khuyên ở tất cả các đỉnh của nó.
Quan hệ R trên tập A có tính chất đối xứng khi v chỉ khi trên đồ thị
G =(A, R) nếucócạnhcóđỉnhđầul a,đỉnhcuốil b, thì sẽ có cạnh ngợc
lại, có đỉnh đầu l b v có đỉnh cuối l a.
Quan hệ R trên tập A có tính chất phản đối xứng khi v chỉ khi trên đồ
thị G =(A, R) nếucócạnhcóđỉnhđầul a,đỉnhcuốil b, thì sẽ không có
cạnh ngợc lại, có đỉnh đầu l b v có đỉnh cuối l a,nghĩal với mỗi cặp
đỉnh chỉ có nhiều nhất một cạnh giữa chúng.
Quan hệ R trên tập A có tính chất bắc cầu khi v chỉ khi trên đồ thị
G =(A, R) nếucócạnhcóđỉnhđầul a,đỉnhcuốil b v có cạnh có đỉnh
đầu l b,đỉnhcuốil c thì sẽ có cạnh có đỉnh đầu l a v đỉnh cuối l c.Tuy
nhiên việc kiểm tra một quan hệ có tính bắc cầu hay không thờng khó khăn
hơn việc kiểm tra các tính chất trên.
9
Ví dụ: Kiểm tra tính bắc cầu của quan hệ sau đây:
Bitập.

1. Cho tập A = {1, 2, 3, 4}. BiểudiễncácquanhệR, S trên A bằng ma
trận với thứ tự của các phần tử của A đợc liệt kê tăng dần v R, S cho
sau đây:
a. R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (4, 2)}.
b. S = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), 3, 2), (4, 1)}
2. Cho tập A = {a, b, c, d} v các quan hệ P, Q trên tập A đợc biểu diễn
bởi ma trận sau (t
ơng ứng vớ i thứ tự đã đợc liệt kê của phần tử của
A): a. M
P
=



1010
0101
1100
0011



;b.M
Q
=



1001
0110
1010

0011



.Hãy
liệt kê các cặp thuộc mỗi quan hệ P, Q.
3. Các quan hệ đã cho trong các bitập1v 2 có những tính chất gì trong
các tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng, bắc cầu.
4. Tìm các ma trận biểu diễn của các quan hệ P
1
, P,P
2
với P l quan
hệ tìm đợc trong bitập2.
5. Tìm các ma trận biểu diễn của các quan hệ P Q, P Q, P Q, QP, P
2
,P
3
,P
4
với P v Q l cácquanhệcómatrậnbiểudiễnM
P
,M
Q
cho trong bi
tập 2.
6. Vẽ các đồ thị biểu diễn các quan hệ R, S cho trong bitập1v các đồ
thịbiểudiễncácquanhệP, Q tìm đợc trong bitập2.
7.ChứngminhrằngnếuM
R

l ma trận biểu diễn quan hệ R thì M
[k]
R
l
ma trận biểu diễn quan hệ R
k
,vớik =1, 2, 3,
1.3. Các bao đóng của quan hệ.
1.3.1. Định nghĩa bao đóng.
Một quan hệ R trên một tập A có th ể có hoặc k hông có một tính c hất P
no đó (chẳng hạn tính chất đối xứng). Nếu có một quan hệ S trên A có tính
10
chất P , chứa R sao cho mọi quan hệ có tính chất P chứa R đều chứa S thì
S sẽ đợc gọi l bao đóng của R đối với P . Chẳng hạn nếu P l tính chất
phản xạ, (đối xứng, phản xứng, bắc cầu) thì các bao đóng của R đối với P sẽ
đợc gọi l bao đóng phản xạ, (bao đóng đối xứng, bao đóng phản xứng, bao
đóng bắc cầu). Có thể nhận thấy rằng bao đóng S của một quan hệ R đối với
tính chất P l giao của mọi quan hệ chứa R v có tính chất P .
a. Xác định Bao đóng phản xạ
Bao đóng phản xạ của một quan hệ hai ngôi R trên tập A l hợp R
của R v quan hệ bằng nhau = {(a, a)|a A} trên A (Hãy chứng minh?).
b. Xác định Bao đóng đối xứng.
Bao đóng đối xứng của một quan hệ hai ngôi R trên tập A l hợp RR
1
của R v quan hệ ngợc R
1
= {(b, a)|(a, b) R} trên A (Hãy chứng minh?).
Để xác định bao đóng bắc cầu của một quan hệ R ta cần đaramộtsố
khái niệm v kết quả bổ trợ.
1.3.2. Đờng đi trong đồ thị có hớng

a. Định nghĩa. Đờng đi từ a đến b,độdi n trongđồthịcóhớng G
l một dãy có thứ tự gồm n cạnh (x
0
,x
1
), (x
1
,x
2
), ,(x
n1
,x
n
) trong G,
trong đó x
0
= a , x
n
= b v đỉnh cuối của cạnh thứ i l đỉnh đầu của cạnh
thứ i +1, (i =1, 2, n 1). Để đơn giản hơn ta c ó thể sử dụng ký hiệu
x
0
,x
1
, ,x
n1
,x
n
.Đỉnhx
0

đợc gọi l đỉnh khởi đầu v x
n
đợc gọi l
đỉnh kết thúc của đờng đi. Đờng đi có đỉnh khởi đầu v đỉnh kết thúc trùng
nhau thì đợc gọi l một chu trình. Để tránh nhầm lẫn ta quy ớc không có
đờngđiđộdi 0, nghĩa l đờng đi (a, a) l một khuyên v có độ di1.
Chú ý rằng một đờng đi thì tơng ứng với một dãy các đỉnh, tuy nhiên,
một dãy các đỉnh chachắcđãxácđịnhmộtđờng đi.
11
b. Vi dụ. Trongcácdãyđỉnhchodới đây, dãy đỉnh nol một
đờng đi trong đồ thị G chotrênhìnhvẽ? (a, b, d, c, b, a, e); (a, c, d, e, b, a, d);
(a, d, g, b),
c. Đờng đi trong quan hệ R.Địnhlývềđờng đi độ di n v quan hệ
R
n
.
Bởivìmộtđồthịcóhớng G có thể tơng ứng 1-1 với một quan hệ hai
ngôi R trên tập các đỉnh của nó, do đó từ định nghĩa đờng đi ở trên, ta có
thể định nghĩa đờng đi từ a đến b trongquanhệR l một dãy các phần tử
(x
0
,x
1
), (x
1
,x
2
), ,(x
n1
,x

n
) của quan hệ R , trong đó x
0
= a , x
n
= b
Định lý 1. Giả sử R l một quan hệ hai ngôi trên tập A.Cómộtđờng đi
chiều di n từ a đến b trong quan hệ R khi v chỉ khi (a, b) R
n
.
Chứng minh. (bằng quy nạp).
Với n =1,tacóđờng đi chiều di1từa đến b trong R nghĩa l
(a, b) R
1
, tức l (a, b) R.
Giảsửđịnhlýđúngvớin 1,nghĩal có đờngđiđộdi n 1 từ a
đến b trong R khi v chỉ khi (a, b) R
n1
.
Với n,tacóđờngđiđộdi n từ a đến b trong R khi v chỉ khi tồn
tại một dãy n phần tử thuộc R: (a, x
1
), (x
1
,x
2
), ,(x
n2
,x
n1

), (x
n1
,b).
Với n 1 phần tử đầu ta xác định một đờng đi trong R có độ di n 1,
do đó theo giả thiết quy nạp ta có (a, x
n1
) R
n1
. Kết hợp biểu thức liên
thuộc ny với phần tử thứ n của đờng đi, ta có (a, b) R R
n1
, nghĩa l
(a, b) R
n
.

1.3.3. Xác định bao đóng bắc cầu
a. Định nghĩa quan hệ liên thông. Cho R l mộtquanhệtrêntậpA.
Quan hệ liên thông R

tơng ứng với R l quan hệ bao gồm các cặp (a, b)
12
sao cho có một đờng đi trong R từ a đến b.
R

= {(a, b)|a = x
0
,x
1
, ,x

n
= b sao cho (x
i1
,x
i
) R, i =1, n}.
Từ định lý ở cuối mục trớc ta nhân thấy ngay rằng R

l hợp của tất cả các
tập R
n
, n =1, 2, , tức l
R

=


n=1
R
n
b. Các ví dụ
Định lý 2. Bao đóng bắc cầu của quan hệ R chính l quan hệ liên thông R
tơng ứng với R.
Để chứng minh các định lý tiếp theo ta sử dụng khái niệm đỉnh trong
của một đờng đi:
Giả sử a = x
0
,x
1
, ,x

m1
,x
m
= b l một đờng đi trong R từ a đến
b. Khi đó các đỉnh x
i
với 0 <i<nđợc gọi l các đỉnh trong của đờng đi
đã cho. Chú ý rằng bản thân a hoặc b cũng có thể l các đỉnh trong.
Định lý 3. (về Biểu diễn của bao đóng bắc cầu R

)Giả sử A l một tập có
n phần tử v R l quan hệ hai ngôi trên A đợc biểu diễn bởi ma trận logic
M
R
. Khi đó bao đóng bắc cầu R

của R đợc biểu diễn bởi ma trận logic
M
R

= M
R
M
[2]
R
M
[n]
R
.
Chứng minh. Trớc tiên ta chứng minh nhận xét sau:

Nếucómộtđờng đi trong R từ a đến b thì có một đờng đi trong R
từ a đến b với độ di không quá n, hơn nữa nếu a = b thì có một đờng đi
trong R từ a đến b với độ dibéhơnn.
Thậtvậy,giảsửcómộtđờngđiđộdi m trong R từ a đến b l
a = x
0
,x
1
, ,x
m1
,x
m
= b,nghĩal ta có m +1đỉnh trên đờng đi ny.
Tuy nhiên tập A chỉ có n đỉnh v giả sử m>n, khi đó theo nguyên lý
Dirichle sẽ có ít nhất hai đỉnh x
i
,x
j
, (i<j) thuộc đờng đi cùng l một đỉnh
của x A,tứcl đờng đi đang xét chứa một chu trình x, x
i+1
, ,x
j1
,x
(cóđộdi l>0).
Nếu x
i
hoặc x
j
l đỉnh trong, loại bỏ chu trình nytavẫncómộtđờng

đi từ a đến b v có độ di m
1
= m l<m. Cứloạibỏcácchutrình
13
nh trên sau k bớc nođótasẽcómộtđờng đi từ a đến b có độ di
m
k
<m
k1
< <m
1
<mvới các đỉnh trong đôi một khác nhau v khác
với các đỉnh a, b (trừ trờng hợp đặc biệt a = x
0
x
m
= b). Do đó,
-nếua = x
0
x
m
k
= b,đờngđicótốiđan đỉnh phân biệt v có đỉnh
đầutrùngđỉnhcuối,dođóđộdi m
k
< n.
-nếua = b,đờngđicótốiđan-1đỉnhphânbiệt,nêncóđộdi m
k
<n.
Từ nhận xét trên, ta nhận thấy mỗi phần tử (a, b) R

tơng ứng với
một đờngđicóđộdi không quá n trong R,điềuđócũngcónghĩal
R

= R R
2
R
n
do đó theo tính chất liên hệ giữa các phép toán ma trận v phép toán quan hệ
ta có
M
R

= M
R
M
[2]
R
M
[n]
R
.
e. Các thuật toán xác định bao đóng bặc cầu của quan hệ R
Thuật toán 1.
Từ định lý trên, ta có thuật toán sau đ ể xác định ma trận M
R

biểu diễn
bao đóng bắc cầu của quan hệ R có ma trận M

R
.
A := M
R
M
R

:= A;
Với i := 2 đến n
A := A M
R
M
R

:= M
R

A
Thuật toán 2. (Warshall, 1960), (Roy, 1959).
Thuật toán Warshall sẽ xây dựng dãy các ma trận logic W
0
,W
1
, ,W
n
trong đó W
0
= M
R
, W

k
=[w
(k)
ij
] sao cho w
(k)
ij
=1khi v chỉ khi có một
đờngđitừđỉnha
i
đến đỉnh a
j
m mọiđỉnhtrongcủanóchỉthuộck đỉnh
đầu tiên a
1
, ,a
k
trongdanhsáchcácđỉnh(đãđợc sắp) của tập nền A.
Rõ rng W
n
theo định nghĩa trên chính l ma trận M
R

,biềudiễncủaR

.
Ta sẽ xác định W
k
qua W
k1

nh sau:
Giả sử W
k
=[w
(k)
ij
] l ma trận logic trong dãy trên, khi đó
w
(k)
ij
=1khi v chỉ khi có một đờngđitừđỉnha
i
đến đỉnh a
j
m mọi đỉnh trong của nó chỉ thuộc tập {a
1
, ,a
k
} gồm k đỉnh đầu tiên
14
trong danh sách các đỉnh (đã đợc sắp) của tập nền A. Có ba khả năng xảy
ra:
-Hoặctậpcácđỉnhtrongcủađờng đi ny không chứa a
k
,đờng đi ny
chính l đờng đi tơng ứng với w
(k1)
ij
=1.
-Hoặctậpcácđỉnhtrongcủađờng đi nyđiquaa

k
chỉ một lần. Khi
đó đờng đi nysẽđợc xét nh l sự nối tiếp của hai đờng đi, từ a
i
đến
a
k
v từ a
k
đến a
j
,m các đỉnh trong của mỗi đờng ny chỉ thuộc tập các
đỉnh {a
1
, ,a
k1
}. Điều đó đồng nghĩa với w
(k1)
ik
=1v w
(k1)
kj
=1.
-Hoặctậpcácđỉnhtrongcủađờng đi nyđiquaa
k
quá 1 lần, khi đó
ta sẽ xác định đợc đờngđimớichỉđiquaa
k
đúng 1 lần bằng cách bỏ đi
(các) chu trình xuất phát v kết thúc tại a

k
(tức l ta quy về khả năng thứ hai
ởtrên.
Vậy w
(k)
ij
=1khi v chỉ khi w
(k1)
ij
=1hoặc w
(k1)
ik
=1v w
(k1)
kj
=1,
tức l:
w
(k)
ij
= w
(k1)
ij
(w
(k1)
ik
w
(k1)
kj
).

Từ đó ta có thuật toán Warshall sau đây:
W := M
R
Với k := 1 đến n
Với i := 1 đến n
Với j := 1 đến n
w
ij
:= w
ij
w
ik
w
kj
.
Bitập.
1. Cho R l quan hệ {(a, b)|a = b} trên tập hợp các số nguyên Z. Tìm bao
đóng phản xạ của R.
2. Cho R l quan hệ {(a, b)|a lớc của b} trên tập hợp các số tự nhiên
N. T ìm bao đóng đối xứng của R.
3. Chứng minh rằng:
Bao đóng phản xạ của quan hệ R l S = R I.
Bao đóng đối xứng của quan hệ R l S = R R
1
.
4. ChứngminhrằngnếuR l quan hệ trên tập hữu hạn A đợc biểu diễn
bởi ma trận M
R
, thì:
a. Ma trận biểu diễn bao đóng phản xạ của R l M

R
I
n
.
15
b. Ma trận biểu diễn bao đóng đối xứng của R l M
R
M
t
R
trong đó
M
t
l ma trận chuyển vị của M.
5. Dùng các thuật toán 1 v 2 để t ìm bao đóng bắc cầu của các quan hệ sau
đây:
a. R = {(1, 0)} trên tập A = {0, 1}
b. R = {(a, b), (a, c)} trên tập A = {a, b, c}.
c. R = {(a, a), (a, b), (b, c), (b, d), (c, a), (d, a), (d, b)} trên tập A =
{a, b, c, d}.
6. Giả sử A l một tập gồm n chữ cái nođó, (n<20). R l một quan hệ
hai ngôi trên A.Viếtmộtchơng trình thực hiện các công việc sau đây:
a. Nhập số phần tử n của tập A v cácphầntửcủaA (l các chữ cái).
b. N hập các cặp thuộc quan hệ R trên A.
c. XácđịnhmatrậnbiểudiễnquanhệR v in ra mnhìnhmatrậnđó.
d. Tìm v in ra mnhìnhmatrậnbiểudiễnquanhệbaođóngbắccầu
của R.
e. In ra mn hình tất cả các cặp phần tử của bao đóng bắc cầu của R.
1.4. Quan hệ tơng đơng v quan hệ thứ tự.
1.4.1. Quan hệ tơng đơng

Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp A đợc gọi l quan hệ tơng đơng
nếu nó có (thỏa mãn) ba tính chất phản xạ, đối xứng v bắc cầu.
Ví dụ 1. Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Trên A ta định nghĩa quan
hệ R nh sau:
a, b A thì aRb a+b =2k với k l một số nguyên dơng
nođó.
Dễ thấy R l quan hệ tơng đơng trên A.
Ví dụ 2. Xét tập A l tập hợp các sinh viên của lớp 48K v xét quan hệ
R l quan hệ đồng hơng (cùng huyện) trên A.
Dễ thấy R l quan hệ tơng đơng trên A.
Ví dụ 3. Xét tập hợp Z các số nguyên v quan hệ R l quan hệ đồng
d theo modun 5 trên Z.KhiđóR cũng l quan hệ tơng đơng trên Z.
1.4.2. Tập thơng
Mệnh đề. Mỗi quan hệ tơng đơng R trên một tập A sẽ xác định một
phân hoạch của tập A, nghĩa l xác định một sự phân chia tập A thnh các
16
tập con A
1
,A
2
, ,A
q
nođóthỏamãncáctínhchất:
q

i=1
A
i
= A (1)
A

i
A
j
= với i = j (2)
sao cho hai phần tử a, b cùng thuộc một tập con A
i
khi v chỉ khi aRb.
Thật vậy, với mỗi a A,gọiR
a
l tập tất cả các phần tử của A có quan
hệ với a, khi đó dễ thấy

aA
R
a
= A
mặt khác nếu R
a
R
b
= thì tồn tại c R
a
R
b
v với mọi x R
a
ta có xRa, aRc, cRb suy ra xRb, nghĩa l x R
b
v ngợc lại. Vậy nếu
R

a
R
b
= thì R
a
R
b
. Đánh số các tập con dới dạng A
1
,A
2
, , A
q
ta
có điều phải chứng minh.
Mỗi tập con thuộc phân hoạch của A đợc xác định theo quan hệ tơng
đơng R đợc gọi l một lớp tơng đơng của A theo quan hệ tơng đơng
R. Lớp tơng đơng của A theo quan hệ tơng đơng R, chứa phần tử a
thờng đợc ký hiệu l
a.
Tập hợp bao gồm tất cả các phần tử, trong đó mỗi phần tử l một lớp
tơng đơng của A theo quan hệ tơng đơng R đợc gọi l tập thơng của
tập A theo quan hệ tơng đơng R,kýhiệul A/R.
Ví dụ 4.
-Quanhệtơng đơng trong ví dụ 1 xác định phân hoạch của tập A thnh
hai tập A
1
= {1, 3, 5, 7, 9} = 1=3=5=7=9 v A
2
= {2, 4, 6, 8} = 2=

4=6=8.Tậpthơng A/R = {A
1
,A
2
} = {1, 2}.
-Quanhệtơng đơng trong ví dụ 2 xác định phân hoạch của tập A
thnh các tập A
i
m mỗi A
i
l tập tất cả các sinh viên của A thuộc cùng một
huyện. Có thể coi tập thơng l tập các huyện có sinh viên thuộc lớp 48K.
-Quanhệtơng đơng trong ví dụ 3 xác định phân hoạch của tập A
thnh năm tập A
0
= {5k | k Z}, A
1
= {5k +1 | k Z}, A
2
=
{5k +2 | k Z}, A
3
= {5k +3 | k Z}, A
4
= {5k +4 | k Z}.
Tập thơng Z/R = {
0, 1, 2, 3, 4},(chínhl Z
5
quen thuộc).
17

Ngợc lại, nếu có một phân hoạch tập A (nghĩa l có sự phân chia tập A
thnhcáctậpconthỏamãn(1)v (2) thì phân hoạch đó xác định một quan
hệ tơng đơngtrêntậpA.
Thật vậy, giả sử A
1
,A
2
, ,A
q
l một phân hoạch của tập A. Ta xác định
quan hệ R trên A nh sau:
a, b A, aRb A
i
sao cho a A
i
,b A
i
,
khi đó R l quan hệ trên A v
- Tính chất phản xạ thỏa mãn vì với mọi a A,dođiềukiện(1)ắttồn
tại i để a A
i
,dođóaRa.
- Tính chất đối xứng thỏa mãn vì với mọi a, b A,nếuaRb thì
A
i
sao cho a A
i
,b A
i

, tức l A
i
sao cho b A
i
,a A
i
, tức l
bRa.
- Tính chất bắc cầu thỏa mãn vì với mọi a, b, c A,nếuaRb v bRc thì
từ aRb suy ra A
i
sao cho a A
i
,b A
i
v từ bRc suy ra A
j
sao cho b
A
j
,c A
j
. Tuy nhiên theo điều kiện (2) ta có i = j,dođóA
i
sao cho a
A
i
,c A
i
,tứcl aRc.

Ví dụ 5. Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} v phân hoạch A
1
= {1, 4, 5},
A
2
= {3}, A
3
= {2, 6}. Khi đó quan hệ tơng đơng R tơng ứng l
R = {(1, 1), (1, 4), (1, 5), (4, 1), (4, 4), (4, 5), (5, 1),
(5, 4), (5, 5), (3, 3), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (6, 6)}
.
1.4.3. Quan hệ thứ tự
Một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp A đợc gọi l quan hệ thứ tự nếu n ó
có (thỏa mãn) ba tính chất phản xạ, phản xứng v bắc cầu. Ngời ta thờng
ký hiệu quan hệ thứ tự bởi ký hiệu <
v nếu a<b hoặc b<a thì ta nói rằng
hai phần tử a v b so sánh đợc với nhau. Tập A với quan hệ thứ tự đợc gọi
l tập sắp thứ tự.
Ví dụ 6. Quan hệ <
trênZ l quan hệ thứ tự.
Ví dụ 7. Quan hệ quan hệ bao hm giữa các tập con của một tập hợp
X l quanhệthứtựtrêntậpP(X) tất cả các tập con của X.
Ví dụ 8. Quan hệ Chia hết cho, ký hiệu l
.
.
., trên N l quan hệ thứ t ự.
18
Trongvídụ6,vớia, b tùyýtaluôncóa<b hoặc b<a.Cácquan
hệthứtựcótínhchấtmọicặpphầntửđềucóthểsosánhđợc thì đợc gọi
l quan hệ thứ tự ton phần hoặc thứtựtuyếntính. Trongcácvídụ7v 8,

không phải hai phần tử bất kỳ đều có thể so sánh đợc. Các quan hệ thứ tự
nh vậy đợc gọi l quan hệ thứ tự bộ phận.
Từ quan hệ thứ tự <
,nếua<b v a = b thì ta viết a<bv ta nói rằng
<l thứtựchặt.Nh vậy một quan hệ thứ tự chặt chỉ thỏa mãn hai tính
chất phản xứng v bắc cầu.
Giả sử R l quanhệthứtựtrêntậpA. B l một tập con của A.Khiđó
R (B ì B) l một quan hệ thứ tự trên B v ta cũng ký hiệu l R,đợc gọi
l thứ tự trên B cảm sinh bởi thứ tự trên A hoặc l thu hẹp của thứ tự R trên
B.
Giả sử X l một tập hợp sắp thứ tự. Một phần tử a X đợc gọi l
phần tử tối tiểu của X nếu từ x<
a kéo theo x = a.
Chẳng hạn tập Z với quan hệ <
trong ví dụ 6 không có phần tử tối tiểu.
Giả sử X khác rỗng. Tập P(X) \{} với quan hệ (quan hệ bao hm
thu hẹp trên P(X)) chứa ít nhất một phần tử tối tiểu v mọi tập con một phần
tử của X đếu l phần tử tối tiểu.
Giả sử X l một tập hợp sắp thứ tự. Một phần tử a X đợc gọi l
phần tử bé nhất của X nếu từ x X đều có a<
x.
Chẳng hạn tập với quan hệ trong ví dụ 7 l phần tử bé nhất.
Một tập hợp đợc gọi l sắp thứ tự tốt nếu nó l tậpsắpthứtựv mọi
tập con khác rống của nó đều có phần tử bé nhất.
Ví dụ tập hợp các số tự nhiên với quan hệ thứ tự <
thông thờng l tập
sắp thứ tự tốt.
Bitập.
1.Chứngtỏrằngmỗiquanhệtơng đơng đều có thể biểu diễn bởi ma
trận khối dạng

M
R
=




A
11
A
12
ããã A
1k
A
21
A
22
ããã A
2k
.
.
.
.
.
. ããã ããã
A
k1
A
k2
ããã A

kk




19
trong đó
A
ij
=

ma trận có mọi phần tử bằng 1 nếu i = j
ma trận không (có mọi phần tử bằng 0) nếu i = j
2. Cóthểcóbaonhiêuquanhệtơng đơng trên một tập có n phần tử?
1.5. Quan hệ n ngôi v các ứng dụng của nó.
1.5.1. Quan hệ n ngôi v cơ sở dữ liệu quan hệ
a. Định nghĩa quan hệ n ngôi. Cho n tập hợp A
1
,A
2
, ,A
n
. Một tập
con R củatíchđềcácA
1
ì A
2
ì ì A
n
đợc gọi l một quan hệ n ngôi

trên các tập đã cho. Mỗi tập A
i
đợc gọi l một miền của quan hệ, còn n
đợc gọi l bậc củaquanhệđó.
b. Mô hình quan hệ của dữ liệu
Thông thờng mỗi miền A
i
đợc đặc trng bởi một thuộc tính A
i
xác
định miền đó, v do đó mỗi phần tử thuộc quan hệ n ngôi R l một bộ
(a
1
,a
2
, ,a
n
) các giá trị mang thuộc tính tơng ứng, còn gọi l một hng
của quan hệ R.Ngời ta chỉ xét các quan hệ R hữu hạn do đó thờng dùng
bảng để biểu diễn quan hệ n ngôi R. Mỗi bảng bao gồm n cột, mỗi cột l
một thuộc tính, còn mỗi phần tử đợc viết trên một hng. Số hng trong phần
nội dung của bảng l số phần tử của quan hệ R.
Ví dụ 1. Quan hệ Sinh viên 43E3, đợc biểu diễn trong bảng dới đây:
Số tt Họ v tên Năm sinh Quê quán
1 Nguyễn V ăn An 1985 Nghệ an
2 Trần Ngọc Bình 1984 Ninh bình
3 Phạm Ngọc Hùng 1983 Nam định
4 Trần Hồng Sơn 1985 Nghệ an
5PhanPhiThờng 1984 H tĩnh
6PhanPhiThờng 1985 Thanh hoá

gồm 4 thuộc tính: Số thứ tự, Họ v tên, Năm sinh, Quê quán. Thuộc tính số
thứtựđặctrng cho miền A
1
l tập con của tập các số tự nhiên. Thuộc tính
Họ v tên đặc trng cho miền A
2
các xâu ký tự. Thuộc tính Năm sinh đặc
trng cho miền A
3
l tập con của tập các số tự nhiên. Thuộc tính Quê quán
đặc trng cho miền A
4
cácxâukýtựchỉtêncủacáctỉnh.
20
Dễ dng nhận thấy rằng bảng trên l một tập hợp 6 phần tử dữ liệu có
cùng kiểu (bản ghi), mỗi thuộc tính sẽ l một trờng của kiểu bản ghi đó.
Kiểu dữ liệu của từng trờng sẽ xác định cá c tập A
i
l các miền của quan hệ.
Rõ rng từ ví dụ trên, ta bắt đầu thấy đợc một mối liên hệ giữa khái niệm
toán học trừu tợng quan hệ n ngôi v khái niệm ở thực tế cuộc sống v
trong tin học (dữ liệu). Mối liên hệ ấy sẽ đợc xem xét dới tên gọi Mô hình
quan hệ của dữ liệu. Vấn đề l ti ếp tục xây dựng các thao tác (phép toán)
thích hợp trên các quan hệ để tác động vocácdữliệu.
1.5.2. Các phép toán: hợp, giao, tich đề các, kết nối, chiếu, chọn.
Định nghĩa 1. Hai q uan hệ đợc gọi l khả hợp nếu chúng đều l tập
con của tích đề các của n tập đã cho. Nh vậy, hai quan hệ khả hợp phải
cùng bậc v cácphầntửthuộcmỗiquanhệấyđềul cácbộcóthứtựcùng
các thuộc tính tơng ứng.
Từ định nghĩa của tính khả hợp ta có thể định nghĩa hợp, giao, hiệu của

hai quan hệ n ngôi, đó chính l hợp, giao, hiệu của các tập hợp tơng ứng.
Định nghĩa 2. Tích đề các của quan hệ n ngôi R v m ngôi S l quan
hệ n + m ngôi R ì S bao gồm tất cả các bộ có n thnh phần đầu thuộc quan
hệ R v có m thnh phần sau thuộc quan hệ S.
Định nghĩa 3.
Phép chiếu
i
1
i
2
i
m
đối với một quan hệ hai ngôi R lên
các tập hợp A
i
1
,A
i
2
, ,A
i
m
,kýhiệu
i
1
i
2
i
m
(R), tạo nên một quan hệ m

ngôi (m<
n) trên các tập hợp A
i
1
,A
i
2
, ,A
i
m
bao gồm tất cả các phần
tử l các bộ thu đợc từ các bộ của R bằng cách xoá đi n m thnh phần
không thuộc các tập nói trên. Nh vậy phép chiếu thực chất l phép loại bỏ đi
một số thuộc tính v giữ lại một số các thuộc tính của quan hệ đó. Để tránh
nhầmlẫnhoặcmấtmátdữliệu,thôngthờng ta chỉ thực hiện phép chiếu lên
các tập hợp m tập các thuộc tính tơng ứng tạo nên một khoá phức hợp K.
Định nghĩa 4. Phép nối tự nhiên J
p
(R, S)(p< min {m, n} l quan hệ
bậc m + n p bao gồm tất cả các bộ m + n p thnh phần
(a
1
,a
2
, ,a
mp
,c
1
,c
2

, ,c
p
,b
1
,b
2
, ,b
np
)
trong đó
(a
1
,a
2
, ,a
mp
,c
1
,c
2
, ,c
p
) R
21
v
(c
1
,c
2
, ,c

p
,b
1
,b
2
, ,b
np
) S
Định nghĩa 5. Phép chọn
F
(R)={r R|F (r) đúng} l một tập con
tất cả các phần tử r của R sao cho hệ thức Boole F no đó đúng đối với
những phần tử ấy của R.Nh vậy, bằng cách chỉ ra các hệ thức F ,nócho
phép ta có thể chọn đợcnhữngphầntửcủaR thoả mãn điều kiện đã cho.
c. Một số ví dụ. (Xem Rosen)
1.5.3. Khoá của một quan hệ R.
Một thuộc tính A
i
đặc trng cho một miền A
i
của quan h ệ n ngôi R
đợc gọi l một khoá cơ bản của quan hệ R nếu với mỗi giá trị bất kỳ a
i
A
i
ta tìm đợc nhiều nhất một phần tử (a
1
,a
2
, ,a

n
) R. Nói cách khác, hai
phần tử khác nhau thuộc R có giá trị khác nhau thuộc A
i
. Điềuđócũngcó
nghĩa l một khoá cơ bản của một quan hệ l một thuộc tính, đặc trng cho
một miền, đủ để phân biệt các phần tử của quan hệ ấy.
Nói chung, với một quan hệ n ngôi R ta khó xác định khoá cơ bản trừ
khi đã cố tình tạo ra một khoá khi xây dựng quan hệ đó. Do đó ngời ta
thờng phải xác định khoá phức hợp. Khoá phức hợp của một quan hệ l một
tập hợp các thuộc tính đủ để phân biệt các phần tử của quan hệ R.Dễthấy
rằng, nếu một tập các thuộc tính K l khoá của R thì tập K

chứa K cũng
sẽ l một khoá của R. Tập hợp tất cả các thuộc tính hiển nhiên l một khoá
v nó đợc gọi l một siêu khoá.
Ví dụ. Quan hệ Sinh viên 43E3, gồm 4 thuộc tính: Số thứ tự; Họ v
tên; Năm sinh; Quê quán thờng đợc biểu diễn trong bảng dới đây:
Số tt Họ v tên Năm sinh Quê quán
1 Nguyễn V ăn An 1985 Nghệ an
2 Trần Ngọc Bình 1984 Ninh bình
3 Phạm Ngọc Hùng 1983 Nam định
4 Trần Hồng Sơn 1985 Nghệ an
5PhanPhiThờng 1984 H tĩnh
6PhanPhiThờng 1985 Thanh hoá
22
Với quan hệ Sinh viên 43E3 nh trên, ta xác định đợc thuộc tính Số tt l
một khoá cơ bản. Từng thuộc tính trong ba thuộc tính còn lại không phải l
khoá (hãy tự kiểm tra?). Tuy nhiên hai trong ba thuộc tính đó l một khoá
(phức hợp).

23
Chơng 2. Lý thuyết tổ hợp
2.1. Một số nguyên lý cơ bản
2.1.1. Mở đầu - Sơ lợc về tổ hợp
Trongrấtnhiềubi toán thực tế, cần phải quan tâm đến tập hợp các đối
tợng đợc sắp xếp thep một trật tự nođó,sauđâytasẽgọitắtcụmtừny
bởi thuật ngữ cấu hình v thờng phải trả lời các câu hỏi:
i. Có hay không một cấu hình cho trớc?
ii. Có bao nhiêu cấu hình cho trớc?
iii. Cách thức để liệt kê hay chỉ rõ các cấu hình đó nh thế no?
Câu hỏi thứ nhất liên quan đến một lớp các bitoánm ta sẽ gọi l các
bi toán tồn tại. Câu hỏi thứ hai liên quan đến lớp các bitoánđếmv câu
hỏi thứ ba liên quan đến lớp các bitoánliệtkê.Phơng pháp để giải quyết
các bi toán thuộc các lớp bi toán nói trên cũng mang các đặc thù khác nhau.
Phơng pháp để giải quyết các bi toán tồn tại thờng sử dụng các công cụ
chứng minh diễn dịch (suy diễn) hoặc phản chứng. Đối v ới các bitoánđếm
thờngsửdụngcáccôngcụchứngminhquynạphoặccáccôngcụtínhtoán,
còn đối với các bitoánliệtkêthờng sử dụng các cách thức, các thuật toán
để chỉ ra một cách tờng minh các cấu hình cần tìm.
Để giải quyết các bi toán tổ hợp ta sẽ sử dụng một số các nguyên lý cơ
bản. Các nguyên lý nyl cáccôngcụquantrọngđểgiảicácb
itoánđếm,
các bitoántồntạiv các bitoánliệtkê.
2.1.2. Nguyên lý nhân
Giả sử có một việc đợc tách thnh k côngđoạn. Côngđoạn1cóthể
thực hiện đợc bằng n
1
cách; công đoạn 2 có thể thực hiện đợc bằng n
2
cách; ; công đoạn k cóthểthựchiệnđợc bằng n

k
cách. Khi đó sẽ có
n
1
ì n
2
ì ì n
k
cách thực hiện công việc nói trên.
Ví dụ 1: Từ H tĩnh đến H nội cần phải đi qua Vinh. Biết rằng từ H
tĩnh đi Vinh có 2 phơng án: xe máy hoặc ô tô. Từ Vinh đi H nội có 3
phơng án: xe máy hoặc ô tô hoặc tu hoả. Hỏi có bao nhiêu phơngánđi
từ H tĩnh đến H nội.
Giải: áp dụng trực tiếp nguyên lý nhân ta có số phơngánđitừH tĩnh
đến H nội bằng 2 ì 3=6.
24