Đề thi HSG Toán 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2010

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1

 
  
 

− =


+ + =


y xy x
y x y x
Câu 2 . 
 
      − − − ≥x x x x

Câu 3  a !"#$%&'()*+
{ }
  ,  A x y x y x y a= ∈ + =¡
-!
{ }

 
  ,  B x y x y x y a
= ∈ + <
¡

.&&/&/0&1)aA-!B23&456&7
Câu 4)/&8923:7-;)&<
= == = =BC a AC b AB c

>O-!G?@% !ABC<D-!>A&1))/&ABC=
S-!R?@% !EF&-!/2FBC<D)/&ABC.
)@G
    
H + + = −a b c R OG

#6

I &a S A=
@G
AG
-734&-;OG
Câu 5)#$%&EabcJ:72
  

  a b b c c a
+ + ≥
+ + + + + +
@G
a b c ab bc ca+ + ≥ + +


KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKHếtKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinhLLLLLLLLLLLLLLLLLSBDLLLLLLL
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
————————————
Đáp án gồm 03 trang
Câu 1 (2,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
MND7xOyO+& <D7yOxOE4&4xyO 0,5
MND7
xy ≠
NA@)-;xP&"-;Q.@)+&
     



           
xy
x
y
xy x y x xy y x xy y x

=


=−



+ + + − − = ⇔ − + = ⇔
0,75
K R;
xy =


y
x
=
)S-!Q.@)+&
 

  
  


x x x
x
− = ⇔ = − ⇔ = −
T4

y = −
0,5
K R;


x
y = −

)S-!Q.@)+&
 
 
  U 
 
x x
x x x
 
− − − = ⇔ = ⇔ =
 ÷
 
T4
y = −

0,5
R*S&4)



   ==  = 

x y
 
= − − −
 ÷
 
0,25
Câu 2 (2,5 điểm):
'(B+#)7
.V



   


=


− − = ⇔

= −

x
x x
x
0,5
.V


 
   

− ≥


− − >


x x
x x

0,5
)+&


≥


≤

x
x
0,5
)+&



>



< −

x
x
0,5
WD+)+&&1)9Q. !

≥
x
=



≤ −x
X&

=
x

0,5
Câu 3 (1,5 điểm):
HDC Toán HSG lớp10 THPT năm học 2009-2010

Nội dung trình bày Điểm
A B∩ = ∅ ⇔
-;Y
x y ∈¡
J
x y a+ =

 
x y a+ ≥
Z:7!S-;
 
  x a x a x+ − ≥ ∀ ∈¡

0,25
V)S
  
  ax a x a a x− + − ≥ ∀ ∈¡
0,25

ND7aO[-;>
x ∈¡
0,25
ND7
a
≠
[-;>
x
∈
¡
2-!&\2
I   I
  

H     I 
a a
a
a a a a a a
> >
 
⇔ ⇔ ≥
 
∆ = − − ≤ − ≤
 
0,5
R*S&/&/0&5&1)a !a OX&
a
≥
 0,25
Câu 4 (2,5 điểm).

Nội dung trình bày Điểm
a) (1 điểm)
R !>A)/&89]
 = + +
uuur uuur uuur uuur
OG OA OB OC
0,25
^7S)

 
H        = + + = + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OG OA OB OC R OAOB OB OC OA OC
0.25
_!
    


 
+ − −
= =
uuur uuur
OA OB AB R c
OA OB
%-;)@&&C <
0.25
.T4#7S)
    
H + + = −a b c R OG
0,25

b) (1,5 điểm).
.)&4
 #S bc A=
T

I &a S A=
#7S)

 &#a bc A=
^6E`0 F&#&)/&89)+&
  
b c a+ =

0.5
>_ !7&1)9
  
 
I  
H H
b c a
AG AM
+ −
= =
 0,25
.?5)
  
 

H
+ −

= −
b c a
OG R
 0,25
a4
  
  

H
b c a
AG OG R
+ −
+ = +
 0,25
.T-!#7S)
   
AG OG R OA+ = =
.T4
AG OG⊥
& 0,25
Câu 5 (1 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
.TD)&4
  
      
  a b b c c a
− + − + − ≤
+ + + + + +

)S


  
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
+ + ≤
+ + + + + +

0,25
HDC Toán HSG lớp10 THPT năm học 2009-2010

  
  
     

       
a b b c c a
a b a b b c b c c a c a
+ + +
+ + ≤
+ + + + + + + + +


0,25
bE`9Z.^-)&c)&4
  
  
     
       
a b b c c a

a b a b b c b c c a c a
+ + +
+ +
+ + + + + + + + +


  
I 
       
a b c
a b b c c a a b c
+ +
≥
+ + + + + + + +

0,25
.T-!)&4

  
I 

       
a b c
a b b c c a a b c
+ +
≤
+ + + + + + + +

   
         a b c a b b c c a a b c⇔ + + ≤ + + + + + + + +


ab bc ca a b c⇔ + + ≤ + +
&
a7G2-!&\2
a b c= = =

0,25
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKVDKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
HDC Toán HSG lớp10 THPT năm học 2009-2010
I