Đề-Đáp án HSG Toán 6 Y6.9

đề thi học sinh giỏi Toán 6 .9
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5đ)
Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau và a>b. Chứng minh rằng:
a. (a, a+b)=1
b. (b, a-b) =1
Bài 2: (2.5đ)
Với q, p là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng:
A=P
4
q
4


240
Bài 3: (2đ)
Tìm các nguyên tố x, y thỏa mãn : (x-2)
2
.(y-3) = - 4
Bài 4: (2đ)
Tính tổng: B =
100.97
2

10.7
2
7.4
2
4.1
2

++++
Bài 5: (2đ)
Cho hai tia 0x và 0y không đối nhau, tia 0z nằm giữa hai tia 0x, 0y; tia 0t
nằm giữa hai tia 0x và 0z. Chứng tỏ rằng tia 0t nằm giữa hai tia 0x, 0y và tia
0z nằm giữa hai tia 0t và 0y.
Hết đề thi
Đáp án đề Toán 6 .9
Bài 1: (1,5đ)
a. Ta đặt: (a, a+b) =d 0,25đ
Suy ra a

d và (a+b)

d
b. Vậy [ (a+b)-a]

d hay b

d 0,25đ
Mà a

d nên d là ớc chung của a và b
Nhng a và b là hai số nguyên tố cùng nhau nên d =1
Vậy (a, a+b) =1 (đpcm) 0,5đ
c. Ta đặt: (b, a-b)=d
Suy ra b

d và (a-b)

d

Vậy [ (b+(a-b]

d hay a

d 0,25đ
Mà b

d nên d là ớc chung của a và b
Nhng a và b là hai số nguyên tố cùng nhau nên d =1
Vậy (b, a-b) =1 (đpcm) 0,25đ
Bài 2: (2,5đ)
Ta có: A=p
4
- q
4
= p
4
- q
4
+1-1
=(p
4
1 ) (q
4
- 1); 240 = 8 .2.3.5
0,5đ
Muốn chứng minh A

240 ta chứng minh A đồng thời chia hết cho 8, 2, 3, 5
* Chứng minh =(p

4
1 )

8
Do p >5 nên p là số lẻ
p
4
1 = (p-1) (p+1) (p
2
+1)
> (p-1 và (p+1) là hai số chẵn liên tiếp => (p-1) (p+1)

8 0,5đ
* Chứng minh =(p
4
1 )

2
+ Do p là số lẻ nên p
2
là số lẻ -> p
2
+1

2 0,25đ
* Chứng minh =(p
4
1 )

3

p > 5 nên p có dạng:
p = 3k +1 > p 1 = 3k + 1 1 = 3k

3 > p
4
1

3
hoặc p = 3k + 2 > p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k +3

3 > p
4
-1

3 0,25đ
* Chứng minh =(p
4
1 )

5
p có thể là dạng:
P = 5k +1 > p 1 = 5k + 1 - 1 = 5k

5 > p
4
- 1

5
hoặc p = 5 k+ 2 > p
2

+ 1 = (5k +2)
2
+1 = 25k
2
+ 20k +5

5 > p
4
- 1

5
0,25đ
hoặc p = 5k +3 > p
2
+1 = 25k
2
+ 30k +10

> p
4
1

5
hoặc p = 5k +4 > p + 1 = 5k +5

5 > p
4
1

5

0,25đ
Vậy p
4
1

8 . 2. 3 . 5 hay p
4
1

240
Tơng tự ta cũng có q
4
- 1

240
Vậy: [(p
4
- 1) (q
4
1)]

240 hay A=P
4
q
4


240 (đpcm)
0,5đ
Bài 3: (2đ)

Theo bài ra (x-2)
2
.(y-3) = - 4 ;
Mà (x-2)
2
không âm nên chỉ xảy ra:
(x-2)
2
.(y-3)= 2
2
.(-1)
hoặc (x-2)
2
.(y-3)= 1.(-4) 0,5đ
* Xét (x-2)
2
.(y-3)= 2
2
.(-1)



=
=




=
=

=
=
2
4
2
22
13
2)2(
22
y
x
y
x
y
x
0,5đ
hoặc



=
=

=
=
2
0
2
22
y
x
y
x
0,5đ
* Xét (x-2)
2
.(y-3)= 1.(-4)



=
=




=
=




=

=
1
3
1
12
43
1)2(
2
y
x
y
x
y
x
hoặc



=
=




=
=
1
1
1
12

y
x
y
x
0,5đ
Bài 3: (2đ)
Ta có:
)
4
1
1
1
(
3
1
4.1
1
=


)
4
1
1
1
(
3
2
4.1
2

=
)
7
1
4
1
(
3
2
7.4
2
=
)
10
1
7
1
(
3
2
10.7
2
=

)
100
1
99
1
(

3
2
100.97
2
=
(0,5đ)
Cộng vế với vế ta đợc:
B=
)
100
1
99
1

10
1
7
1
7
1
4
1
4
1
1
1
(
3
2
++++

B=
50
33
100
99
.
3
2
)
100
1
1
1
(
3
2
==
(0,5đ)
Bài 5: (2đ)
0 B
C
D
x
t
z
y
A
Trên các tia 0x và oy lấy hai điểm A và B khác
điểm 0. Vì tia 0z nằm giữa hai tia 0x và 0y
nên cắt đoạn AB tại C. Vì tia 0t nằm giữa hai

tia 0x và 0z nên nó cắt AB tại D. (0,5đ).
Từ đó suy ra điểm D nằm giữa hai điểm A
và B. Vậy tia 0t nằm giữa hai tia 0x và 0y.
(0,5đ)
Hai điểm A và B nằm khác phía với điểm C,
còn hai điểm A và D nằm cùng phái với điểm
C nên hai điểm B và D nằm khác phía với
điểm C, hay điểm C nằm giữa hai điểm B và
D. Vậy tia 0z nằm giữa hai tia 0y và 0t. (0,5đ)
Hết đáp án
Không phải là đáp án:
Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp), nếu có
lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp tại trang

Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh