ĐỀ CƯƠNG TOÁN LTTN ( ĐỦ HẾT)

GV: LÊ VĂN VINH CHUYÊN TOÁN LÝ LTĐH ĐT: 0987690103
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TỐT NGHIỆP 2010
Kh¶o s¸t hµm sè VÀ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
1. Hàm bậc ba:
Bài 1: ( 3 điểm ) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
– 3x
2
+ m = 0.
Bài 2 ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + m – 2 . m là tham số
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
Bài 3: (3,0 điểm). Cho hàm số
3 2
3 1y x x
= − + +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt
3 2
3 0x x k

− + =
.
Bài 4: (3 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4.
2. Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị (C
m
): y = x
3
– 3x
2
– m cắt trục hoành Ox tại ba
điểm phân biệt.
Bài 5: (3 điểm ): Cho hàm số y =
3
3 1x x− +
( C ).
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại tâm đối xứng của đồ thị.
Bài 6: ( 3,0 điểm) Cho hàm số
3
3 2y x x
= − + −
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
3. Dựa vào đồ thị (C), định m để phương trình

3
3 2 0x x m
− + + =
có ba nghiệm phân
biệt.
Bài 7: (3.0 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2.
Biện

luận

theo

m
số
nghiệm
thực
của

phư
ơng

trình

3 2
2 3 1x x m

+ − =
.
Bài 8: ( 3,0 điểm ) Cho hàn số y = x
3
+ 3x
2
+ 1.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m:
x
3
+ 3x
2
+ 1 =
2
m
Bài 9 ( 3 điểm): Cho hàm số :
23
23
+−=
xxy

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo m số nghiệm phương trình:
13
23
+=−
mxx
Bài 10: (3.0 điểm ) Cho hàm số
3 2

y x 3x 1= − + −
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình
3 2
x 3x k 0
− + =
có đúng 3 nghiệm phân biệt.
- 1 -
GV: Lấ VN VINH CHUYấN TON Lí LTH T: 0987690103
2. Hm hu t:
Bi 1 : (3,0 im) . Cho hm s
3 2
1
x
y
x

=
+
, cú th l (C)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s.
2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú tung bng -2.
Bi 2: (3 im) Cho hm s
1x
x23
y


=

, cú th (C).
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng d: y = mx + 2 ct th (C) ca
hm s ó cho ti hai im phõn bit.
Bi 3: (3,0 im)Cho hm s
2 1
2
x
y
x

=

(C) .
1.Kho sỏt v v th (C) hm s.
2.Tỡm phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti im M thuc (C) v cú honh x
o
= 1
Bi 4: ( 3.0 im) Cho hm s
3
32
+

=
x
x
y
( C )
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ( C ) ca hm s
2. Gi A l giao im ca th vi trc tung. Tỡm phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) ti A.

Bi 5 .(3 im). Cho hm s
1
12
+
+
=
x
x
y
cú th l (C)
1/ Kho sỏt hm s v v (C)
2/ Vit phng trỡnh ng thng qua M(1 ; 0) ct (C) ti hai im A, B nhn M lm
trung im.
Bi 6: ( 3 im) Cho hm s
( )
1
1
1
x
y
x
+
=

cú th l (C)
1. Kho sỏt hm s (1)
2.Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn i qua im P(3;1).
Bi 7: ( 3,0 im ) Cho hm s
2x 1
y

x 1
+
=

cú th (C)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C).
2. Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im M(2;5) .
Câu 8.( 3,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
3
x
y
x
+
=

2.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đờng tiệm cận đứng bằng
khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Bi 9: (3,5 im)
1. Kho sỏt v v th (C) ca hm s :
x
x
y
+

=
1
1

2. Vit png trỡnh tip tuyn ca th (C).Bit tip tuyn ú qua im M(1;2)
Bi 10 : ( 3 điểm) Cho hàm số
3 2
1
x
y
x

=

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (c) của hàm số.
2. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (c) tạ điểm có tung độ bằng 1.
- 2 -
GV: LÊ VĂN VINH CHUN TỐN LÝ LTĐH ĐT: 0987690103
3. Hàm trùng phương:
Bài 1: (3,0 điểm) Cho hàm số
4 2
2y x x= − +
1.Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
4 2
2 0x x m
− + =
Bài 2: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số
12
24
++−= xxy
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Dùng đồ thị (C ), biện luận theo

m
số nghiệm thực của phương trình
2
2
)1(
22
=+−
m
x
.
Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
+3, có đồ thị là ( C ).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao của ( C ) với trục Oy.
Bài 4: (3.0 điểm) Cho hàm số
4 2
2 1.y x x= - +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
hàm số trên.
2. Từ
( ),C
tìm m để phương trình
4 2
2 0x x m- + + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 5: (3,0 điểm):

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
4 2
2 3y x x
= − +
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 6: ( 3 điểm )
Cho hàm số y =
4 2
- x + 2x + 3 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. T×m m để Ph¬ng tr×nh
4 2
- 2 0 x x m+ =
cã 4 nghiƯm ph©n biƯt.
Bài 7: ( 3 điểm )
Cho hàm số y =
4
2
x 5
- 3x +
2 2
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. ViÕt ph¬ng tr×nh tiếp tuyến tại ®iĨm cã hoµnh ®é x = 1
Bài 8: ( 3 điểm ) Cho hàm số y =
4 2
x + 2(m+1)x + 1
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. T×m m ®Ĩ hµm sè cã 3 cùc trÞ.

Bài 9: (3,0 ®iĨm) Cho hµm sè
4 2
y x 2x 1= − −
cã ®å thÞ (C)
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
2. Dïng ®å thÞ (C), h·y biƯn ln theo m sè nghiƯm thùc cđa ph¬ng tr×nh
4 2
x 2x m 0 (*)− − =
Bài 10 : (3,5 ®iĨm) Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
+ 1 có đồ thò (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của pt : x
4
– 2x
2
+ 1 - m = 0.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 1).
- 3 -
GV: LÊ VĂN VINH CHUYÊN TOÁN LÝ LTĐH ĐT: 0987690103
4. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=f(x) liên tục trện đoạn [a; b]
Bài 3. 1) Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a)
3
3 2y x x
= − + −
trên
[ ]

3;0−
b)
3 2
1
x
y
x
+
=
+
trên
[ ]
0;2
c)
4
1
2
y x
x
= − +
+
trên
( )
1;
− +∞
d)
2
2y x x
= + −
e)

2 cos2 4sin , 0;
2
y x x x
π
 
= + ∈
 
 
f)
sin 2 , ;
2 2
y x x x
π π
 
= − ∈ −
 
 
g)
[ ]
3 2
1
3 , 2;4
4
y x x x
= − ∈ −
j)
2
1
1
x

y
x
+
=
+
trên đoạn
[ ]
1;2
−
h)
4 2
sin 4sin 5y x x
= − +
i)
2
4y x x= + −
k) y = x
2
.e
x
trên [-3;2] m)
1
.
x
y x e
−
=
, với
[ ]
2;2x

∈ −
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bài 1: Giải các phương trình:
a)
5
1
5.25.3
1x1x2
=−
−−
b)
2655
x1x1
=+
−+
c)
3x4x2x1x
5353.7
++++
−=−
d)
82.124
5x1x5xx
22
−=−
−−−−−
e)
09.66.134.6
xxx
=+−

f)
016,0.25,62.1225
xxx
=−−
Bài 2: Giải các phương trình:
a)
1x2x2
2
x
92
+−+
=
b)
1008.5
1x
xx
=
+
c)
502.5
1x
1x2
x
=
+
−
Bài 3: Giải các phương trình:
a)
2
3 2.3 15 0

x x
− − =
b)
1 3
5 5 26 0
x x
− −
+ − =
c) 3
3.4 2.10 25 0
x x x
− − =

Bài 4: Giải các phương trình:
a)
1x3xx
250125
+
=+
b)
8
2
537
7
2
537
xx
=









−
+








+
c)
( ) ( )
1 2
2 1
10 3 10 3
x x
x x
− −
+ +
− = +
Bài 6: Giải các bất phương trình:
a)
077.649

xx
<−−
b)
1x
x
1x
1x
32.25,04
++
−
≤
c)
0273.43
2x2x2
>+−
++
d)
x
x
x
5.210.72.5
−<
e)
04.66.139.6
xx2xx2xx2
222
<+−
−−−
Bài 7: Giải các bất phương trình:
a)

06,1)4,0.(2)5,2(
xx
<+−
b)
09.93.83
4x
4x
xx2
>−−
+
++
d)
x
1x
6x6
)12()12(
−
+
−
−≤+
- 4 -
GV: LÊ VĂN VINH CHUN TỐN LÝ LTĐH ĐT: 0987690103
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
Bài 1: Giải các phương trình:
a)
[ ]
{ }
4 3 2 2
log 2log 1 log (1 3log ) 1x
+ + =

b)
log ( 6) 3
x
x + =
c)
1
log (3 5) 3
x
x
+
+ =

Bài 2: Giải các phương trình:
a) log
2
(x
2
+ 3x + 2) + log
2
(x
2
+ 7x + 12) = 3 + log
2
3
b) log
3
(2 - x) - log
3
(2 + x) - log
3

x + 1 = 0
c)
3 2
1
log( 8) log( 4 4) log(58 )
2
x x x x
+ − + + = +
d)
1
log 10 1 log3 log( 1)
2
x x
+ − = − −

e)
2
2 1
2
log ( 1) log ( 1)x x
− = −
f)
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x
+ + + + + = +

Bài 3: Giải các phương trình:
a)
3 4 12

log log logx x x+ =
b)
2 3 6
log log logx x x
+ =

c) log
5
(5
x
- 1). log
25
(5
x + 1
- 5) = 1 d) log
x
(5x
2
).log
5
2
x = 1
Bài 4: Giải các bất phương trình:
a) log
3
(x + 2) > log
x+2
81 b)
2)
4

1
x(log
x
≥−
c)
15
2
3
<
−
x
x
log
d)
13
2
3
>−
−
)x(log
xx
NGUYÊN HÀM
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1.
3 2
( ) 2 3 2f x x x x= − + −
; 2.
2
( ) 3 3f x x x x
= + + +

; 3.
( ) sin 2cos( 1) 3f x x x
= + + +
;
4.
2
2 1
( )
3
x
f x
x x
+
=
+ +
; 5.
3 2
( ) (2 1) 5f x x x x= + + +
; 6.
5
( ) sin .cosf x x x=
;
7.
( ) .sinf x x x
=
; 8.
2
( ) .sinf x x x=
; 9.
2

( ) .cosf x x x=
;
10.
( ) (2 1).cos(3 2)f x x x
= + −
; 11.
( ) .cos
x
f x e x=
; 12.
2
( ) lnf x x=
.
TÍCH PHÂN
Dạng 1. Phương pháp đổi biến số và sử dụng định nghĩa, tính chất tính tích phân :
Bài 1. Tính các tích phân sau :
1)
( )
1
3
0
1I x x dx= +
∫
ĐS :
9
20
2)
2
4
2

1
I x dx
x
 
= +
 ÷
 
∫
ĐS :
275
12

3)
1
5 3 6
0
(1 )I x x dx= −
∫
ĐS :
1
168
4)
3
3
2
0
1
x dx
I
x

=
+
∫
ĐS :
4
3
5 )
2
0
sinx
1 cos
dx
I
x
π
=
+
∫
ĐS : ln2 6 )
22
3
3
1
3 5I x dx= +
∫
ĐS :
65
4
7 )
1

3 4 3
0
(1 )I x x dx= +
∫
ĐS :
15
16
8)
1
3 2
0
2I x x dx= −
∫
ĐS :
8 2 7
15
−
9)
1
2 2
0
5
( 4)
x
I dx
x
=
+
∫
ĐS :

1
8
10)
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
ĐS :
2(2 2 1)
3
−
- 5 -
GV: LÊ VĂN VINH CHUN TỐN LÝ LTĐH ĐT: 0987690103
11)
2
2
2
2
0
1
x dx
I
x
=
−

∫
ĐS :
1
8 4
π
−
12)
2
2009
0
sin cosI xdx
π
=
∫
ĐS :
1
2010
13)
2 3
2
5
4
dx
I
x x
=
+
∫
ĐS :
1 5

ln
4 3
14)
1
0
2 1
xdx
I
x
=
+
∫
ĐS :
1
3

15)
4
0
1
2 1
I dx
x
=
+
∫
ĐS : 2 16)
2
2
0

I x x dx= −
∫
ĐS : 1
Dạng 2. Phương pháp tích phân từng phần :
b b
b
a
a a
u dv uv v du= −
∫ ∫
Bài 2. Tính các tích phân sau :
1)
1
0
( 1)
x
I x e dx= +
∫
ĐS : e 2)
1
0
x
I xe dx=
∫
ĐS : 1
3)
1
2
0
( 2)

x
I x e dx= −
∫
ĐS :
2
5 3
4
e−
4 )
2
1
lnI x xdx=
∫
ĐS :
3
2ln 2
4
−
5)
2
0
( 1)sinxI x dx
π
= +
∫
ĐS : 2 6)
2
1
ln
e

I x xdx=
∫
ĐS :
2
1
4
e −
7)
2
1
ln
e
I x xdx=
∫
ĐS :
3
2 1
9
e +
8)
1
2
0
x
I x e dx=
∫
ĐS : e-2
9)
1
2

0
(2 1)
x
I x x e dx= + +
∫
ĐS : 3e-4 10)
( )
3
2
0
ln 3I x x dx= +
∫
ĐS :
3 9
6ln12 ln3
2 2
− −
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1. TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cđa hµm sè y = 2 - x
2
víi ®êng th¼ng (d): y = x.
Bài 2. Cho hµm sè y =
( )
3
x 1
+
(C) . TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa
nã t¹i A(0,1).
Bài 3. Cho hµm sè y =
3x 5

2x 2
+
+
(C) . TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trơc Ox; Oy vµ ®êng
th¼ng x = 2.
Bài 4. TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng (C):
y x
=
vµ c¸c ®êng th¼ng (d): x + y - 2 = 0 ; y =
0.
Bài 5. TÝnh thĨ tÝch vËt trßn xoay t¹o nªn bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = 2x - x
2
, y = 0 khi ta quay
quanh:Trơc Ox.
Bài 6. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®ỵc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi y =
ln x
, x = 2 vµ y = 0 khi
ta quay quanh (D) quanh Ox.
Bài 7. TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng (P): y = x
2
- 2x + 2 ;tiÕp tun (d) cđa nã t¹i ®iĨm
M(3;5) vµ Oy.
Bài 8. TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®ỵc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :
y =
x
xe
, x = 1 vµ y = 0 (
0 x 1
≤ ≤
) khi ta quay quanh (D) quanh Ox.

- 6 -
GV: LÊ VĂN VINH CHUYÊN TOÁN LÝ LTĐH ĐT: 0987690103
SỐ PHỨC
1/ Tìm môđun của số phức
3
1 4 (1 )
= + + −
z i i
.
2/ Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: (2+i)
3
- (3-i)
3
.
3/ Tìm số phức z thỏa mãn:
4
1
z i
z i
+
 
=
 ÷
−
 
.
4/ Cho số phức:
( ) ( )
2
1 2 2z i i

= − +
. Tính giá trị biểu thức
.
=
A z z
.
5/ Cho số phức
1 3z i= +
. Tính
2 2
( )
+
z z
6/ Tính giá trị của biểu thức
a) Q = ( 2 +
5
i )
2
+ ( 2 -
5
i )
2
. b)
2 2
(1 3 ) (1 3 )P i i
= + + −

7/ Tìm x và y để:
a) (x + 2y)
2

= yi b) (x – 2i)
2
= 3x + yi
8/ Tìm số thực m để số phức z = m
3
-3m
2
+ 2 + mi là số thuần ảo
9/ Cho số phức
1
1
i
z
i
−
=
+
. Tính giá trị của
2010
z
.
10/ Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
a)
2
2 17 0z z+ + =
b)
2
6 10 0x x
− + =
c)

2
3 3 0z z
+ + =
d)
2
8 4 1 0z z
− + =
e)
3
8 0
+ =
x
f)
2
2 5 4 0x x− + =
g)
2
4 7 0x x
− + =
h)
2
6 25 0x x
− + =
i)
2
2 2 0x x
− + =
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy ,
cạnh bên SB bằng a

3
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và SA = b .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 45
0
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính
thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 6. Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có thể tích V.
Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo V.
Bài 7. Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM. Tính tỉ số thể tích của hai tứ
diện ABMD và ABMC.
Bài 8.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết BB’ = AB = h và góc
của B’C với mặt đáy bằng
α
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
- 7 -
GV: LÊ VĂN VINH CHUYÊN TOÁN LÝ LTĐH ĐT: 0987690103
Bài 9. Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường
vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC. Tính thể tích của lăng trụ.
Bài 10. Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = b, góc C = 60
0
.Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30

0
.
Tính thể tích của lăng trụ.
Bài 11. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng 60
0
.
Tính thể tích của khối hộp đó theo a.
Bài 12. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba điểm
A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 60
0
. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
Bài 13. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Gọi M là trung điểm của AA’. Mặt phẳng đi qua
M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 14. Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng a và góc của hai đường chéo
của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh bằng
α
. Tính thể tích của lăng trụ.
Bài 15. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đoạn nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau là
2
2a
Tính thể tích của hình lập phương.
Bài 16. Cho khối lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O và hình chiếu C’ trên
đáy (ABC) trùng với O. Cho khoảng cách từ O đến CC’ là a và số đo nhị diện cạnh CC’ là 120
0
.
Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 17. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C
Bài 18. Đáy của khối chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh
huyền vuông góc với đáy, mỗi mặt bên tạo với đáy một góc 45

0
. Tính thể tích khối chóp.
Bài 19. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng
α
.
Tính thể tích khối chóp.
Bài 20. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với đáy bằng 60
0
.
Tính thể tích khối chóp.
Bài 21. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AC = a, SA
⊥
(ABC), góc giữa cạnh bên
SB và đáy bằng 60
0
. Tính thể tích tứ diện SABC.
Bài 22. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên hợp với đáy một
góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
⊥
(ABC), góc giữa mặt
bên (SBC) và đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp.
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi I là trung điểm của AB, SI
⊥
(ABCD), góc giữa mặt bên (SCD) và đáy bằng 60
0

. Tính thể tích khối chóp.
Bài 25. Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và
OA = a, OB = b, OC = c. Tính thể tích khối chóp.
- 8 -
GV: LÊ VĂN VINH CHUN TỐN LÝ LTĐH ĐT: 0987690103
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Vấn đề1. Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
Bài 1.Trong hệ tọa độ Oxy cho
(1; 2;1)a
= −
r
,
( 2;1;1)b
= −
r
,
3 2c i j k
= + −
r
r r
r
.Tìm tọa độ các véctơ
a)
3 2u a b
= −
r
r r
b)
3v c b
= − −

r r r
c)
w 2a b c
= − +
uur r r r
d)
3
2
2
x a b c
= − +
r r r r
Bài 2.Trong hệ tọa độ Oxy cho
(1; 1;0)a
= −
r
,
( 1;1;2)b
= −
r
,
2c i j k
= − −
r
r r
r
,
d i
=
r r

a)xác định k để véctơ
(2;2 1;0)u k
= −
r
cùng phương với
a
r
b)xác định các số thực m,n,p để
d ma nb pc
= − +
r r r r
c)Tính
, , 2a b a b+
r r r r
Bài 3.Cho A(2;5;3) , B(3;7;4) , C(x;y;6)
a)Tìm x,y để ba điểm A,B ,C thẳng hàng
b)Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz.Tính độ dài đoạn AB
c)Xác định tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MA+MB nhỏ nhất
Bài 4.Trong hệ tọa độ Oxy cho
1
(1; 2; )
4
a = −
r
,
( 2;1;1)b
= −
r
,
3 2 4c i j k

= + +
r
r r
r
a) Tính các tích vơ hướng
.a b
r r
,
.c b
r r
. b)Tính
os(a,b)C
r r
,
os(a,i)C
r r
Bài 5. Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.
b)Tính cos các góc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB
d)Tìm tọa độ điểm M thỏa
2 0MA MB MC
+ − =
uuur uuur uuuur r
Bài 6.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2).
a)Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB b)Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC
Vấn đề 2 : Mặt cầu
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau:
a) x
2

+ y
2
+ z
2
– 8x + 2y + 1 = 0 b) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x + 8y – 2z – 4 = 0.
c) 3x
2
+3y
2
+ 3z
2
+ 6x – 3y + 15z – 2 = 0 d) x
2
+ y
2
+ z
2
- 2mx + 2ny – 6pz
– 1 = 0
e)
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 9x y z− + + + − =
f)
2 2 2

25
4 5 3 0
4
x y z x y z+ + − + + + =
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Mặt cầu có tâm I(1; - 3; 5) và bán kính R =
3
b) Tâm I(3;-2; 1) và qua điểm A(2; -1; -3).
c) Đường kính AB với A(4; -3; 3), B(2; 1; 5).
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).
Bài 4: Cho mặt cong (S
m
): x
2
+ y
2
+ z
2
– 4mx + 4y + 2mz + m
2
+ 4m = 0.
a) Tìm điều kiện của tham số m để (S
m
) là mặt cầu.
b) Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A(0; 1; 0), B(1; 0; 0), C(0; 0; 1) và tâm I có tọa độ
thỏa mãn phương trình: x + y + z – 3 = 0.
- 9 -
GV: LÊ VĂN VINH CHUN TỐN LÝ LTĐH ĐT: 0987690103
Bài 6: Lập phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Oz, tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) và có bán

kính bằng 3.
Vấn đề 3 : Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
Bài 1: Viết phương trình của mp (P)
a) Qua điểm E(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x + 2y – 5z = -1.
b) Qua điểm M(1; -2; 4) và vuông góc với hai mặt phẳng: 3x –2y + 2z + 7 = 0; 5x – 4y + 3z + 1 = 0.
c) Qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y – z = 0.
d) Qua ba điểm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)
e) Qua ba điểm A(2; 0 ; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4).
Bài 2: Cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
b) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BD.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B và song song với CD
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt 4x – 3y -12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có
phương trình: x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4 y – 6x – 2 = 0.
Bài 4: Viết phương trình mp đi qua M(1;2;-4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A,B, C sao cho
OA = OB = OC = a
Bài 5:Viết phương trình tham số của đường thẳng
a)Đi qua A(1;2;-1) và có vectơ chỉ phương là
(1; 2;1)a
= −
r
b) đi qua hai điểm I(-1;2;1), J(1;-4;3).
c)Đi qua A và song song với đường thẳng

1 2 1
2 1 3
x y z
− − +
= =
−

d)Đi qua M(1;2;4) và vng góc với mặt phẳng 3x- y + z -1= 0
Bài 6:Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng
a)Qua A(3;-1;2) và song song với đường thẳng
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

b)Qua A và song song với hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 ; x+ y - z + 3= 0
c)Qua M(1;1;4) và vng góc với hai đường thẳng (d
1
):
1 2
3
x t

y t
z t
= −


= +


= −

và (d
2
):
1 2 1
2 1 3
x y z
− − +
= =
−
Bài 7:Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a)Viết phương trình đường thẳng qua A và vng góc với mặt phẳng (BCD).
b)Viết phương trình đường thẳng qua I(1;5;-2) và vng góc với cả hai đường thẳng AB,CD.
Bài 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình :
x + 2y + z – 1 = 0.
1) Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng (P).
2) Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).

- 10 -
GV: LÊ VĂN VINH CHUYÊN TOÁN LÝ LTĐH ĐT: 0987690103
Baøi 9:Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d)

1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

lên mặt phẳng (P):x+ y - z + 3= 0
Vấn đề 3 : Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, vị trí tương đối của đường
thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Baøi 1: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
a) (d)
1 7 3
2 1 4
x y z− − −
= =
và (d’)
6 1 2
3 2 1
x y z− + +
= =
−

b) (d)

1 2
2 2 1
x y z− −
= =
−
và (d’)
8 4
2 3 1
x y z+ −
= =
−

c) (d)
2 1
4 6 8
x y z− +
= =
− −
và (d’)
7 2
6 9 12
x y z− −
= =

d) (d)
1 2
3
x t
y t
z t

= −


= +


= −

và (d’) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 3 3 9 0, : 2 3 0x y z x y z
α β
− − − = − + + =
Baøi 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có.
a)(d)
12 9 1
4 3 1
x y z− − −
= =
và
( )
:3 5 2 0x y z
α
+ − − =
b)(d)
1 3
2 4 3
x y z+ −
= =
và

( )
:3 3 2 5 0x y z
α
− + − =
c)(d)
9 1 3
8 2 3
x y z− − −
= =
và
( )
: 2 4 1 0x y z
α
+ − + =
Baøi 3: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0) C(2;-3;2) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
a)Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BC
b)Tính khoảng cách từ A,B,C đến mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
c)Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mp
( )
α
Baøi 4: Cho tứ diện ABCD.Biết rằng A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a)Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD

b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
c)Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp (BDC)
d) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng DB
e)Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp (BCD)
- 11 -