giai phuong trinh vô ti

Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
A. Đặt vấn đề
Việc trình bày một lời giải của một bài toán nhiều khi không phải là khó
nhất nếu giáo viên biết khơi dậy cho học sinh tính tò mò, sáng tạo phát hiện mỗi
dạng toán có bao nhiêu dạng nhỏ, đó là những dạng nào ? thì việc tìm ra lời giải và
trình bày lơì giải lại trở nên bình thờng. Thực ra mỗi dạng toán giáo viên hớng dẫn
cho học sinh tìm ra đợc từng dạng nhỏ và phơng pháp giải cho từng dạng đó thì rèn
luyện đợc năng lực t duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời kiến thức đợc mở rộng
hơn, hệ thống hơn.
Sau nhiều năm giảng dạy bộ môn toán trung học cơ sở và tham gia bồi dỡng
học sinh giỏi. Bản thân xin phép đợc trao đổi cùng đồng nghiệp và học sinh một số
kinh nghiệm Các ph ơng pháp giải phơng trình vô tỉ
B. Nội dung
Ta hiểu phơng trình vô tỉ là phơng trình có ẩn dới dấu căn thức. Nguyên tắc
để giải phơng trình loại này là phải khử các căn thức. Tuy nhiên một điều cần lu ý
nhất đối với phơng trình vô tỉ là tính không thuận nghịch của các phép toán. Nhìn
chung những dạng phơng trình cơ bản của các phơng trình có thể đa về dạng phơng
trình đại số bậc nguyên. Vì vậy cần lu ý đến điều kiện có nghĩa của các biểu thức.
Mời các bạn hãy ham khảo các phơng pháp sau đây.
Dạng 1.
)(xf
=
)(xp
(1)
Phơng pháp:pt (1)

=



)()(
0)(
0)(
xpxf
xp
xf

Bài tập 1: Giải phơng trình:
2x
=
5
(2)
Giải: đkxđ: x
2
;
pt (2)
52 = x

7= x
(tmkđ)
Vậy nghiệm pt: x = 7
Bài tập 2: Giải phơng trình:
x210
=
2+x
(3)

Giải: ĐKXĐ:



+

02
0210
x
x

52

x
pt(3)
2210 += xx
Sáng kiến kinh nghiệm
1
Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ

3
8
= x
(TMĐK)
Vậy nghịêm của phơng trình: x =
3
8
Bài tập 3: Giải phơng trình:
12 x
=

x5
(4)
Giải: ĐKXĐ:





05
012
x
x

2
1


5 x
pt(4)
912
=
x
(5- x)

11
46
= x
(TMĐK)
Vậy nghiệm của PT:
11

46
=x
Dạng 2:
)(xf
= g(x) (5)
Phơng pháp:pt(5)





=

)()(
0)(
2
xgxf
xg
Bài toán 4: Giải phơng trình:
15
2
+=+ xx
(6)
Giải: ĐKXĐ: x+1
10

x
pt(6)
22
)1(5 +=+ xx

125
2
++=+ xxx
42
=
x
2= x
(TMĐK)
Vậy nghiệm của PT: x=2
Bài tập 5: Giải phơng trình:
52 +x
= 5 - x (7)
Giải: ĐKXĐ: 5 x
50

x
pt(7)
2
)5(52 xx =+
10
=
x
(KTMĐK)
Hoặc: x = 2 (TMĐK)
Vậy nghiệm của phơng trình: x = 2
Bài tập 6: Giải phơng trình:
48 x
- 3
12 x
= 5 (8)

Giải: ĐKXĐ.
2
1
x

pt (8)
)12(4 x
-3
12 x
= 5
Sáng kiến kinh nghiệm
2
Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ

12 x
= - 5
Vậy phơng trình vô nghiệm.
Bài toán 7: Giải phơng trình:
3636 x
-
99 x
-
44 x
= 16 -
1x
(9)
Giải: ĐKXĐ: x
1
pt(9)
)1(36 x

-
)1(9 x
-
)1(4 x
= 16 -
1x

12 x
= 16

1 x
= 8

65
=
x
(TMĐK)
Vậy nghiệm PT: x = 65
Bài toán 8: (Đề lên lớp 10 trờng ĐHQGTPHCM (04 05)
Giải phơng trình: x -
34 x
= 2 (10)
Giải: ĐKXĐ: x
2
pt (10)
2
)2(34 = xx

1
1

= x
(KTMĐ) ; x
7
2
=
(TMĐK)
Vậy nghiệm PT: x = 7
Dạng 3:
)fx
+
)(xp
= g (x) (11)
Phơng pháp: ĐKXĐ.








)(
0)(
0)(
xg
xp
xf
pt(11)
)()( xpxf +
+ 2

)().( xpxf
= g
2
(x)

)()( xgxf
=
[ ]
)()()(
2
1
xpxfxg

2
)()()((
2
1
)()(
0)()()(

=


xpxfxgxpxf
xpxfxg
(*)
Chú ý: Phơng trình (*) giải nh dạng 2:
Bài toán 9: Giải phơng trình.
12 +x
+
3x
= 4 (12)
Giải: ĐKXĐ:
3
03
012





+
x
x
x
pt(12)
)3)(12(2312 ++++ xxxx
= 16

)1)(12(2 + xx

= 18 3x. (ĐKXĐ: x
6
)
Sáng kiến kinh nghiệm
3
Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ

84
1
= x
(KTMĐK)
x
4
2
=
(TMĐK)
Vậy nghiệm PT: x=4
Dạng 4:
)(xf
+
)(xp
=
)(xg
(13)
Phơng pháp: ĐKXĐ:

0)(
0)(
0)(
xg
xp
xf
pt(13)
)()(2)()( xpxfxpxf ++
=g(x)

)()( xpxf
=
2
1

[ ]
)()()( xpxfxg
(* *)

[ ]
2
)()()(
2
1
)()(
0)()()(

+


xfxpxgxpxf
xpxfxg
Chú ý PT (**) giải nh dạng 2.
Bài toán 10: Giải phơng trình.
x12
+
7x
=
1+x
(14)
Giải: ĐKXĐ.





+


01
07
012
x

x
x


7
12 x
pt(14)

12- x + x 7 + 2
)7)(12( xx
= x+1

24192
2
xx
= x 4

0352845
=+
xx

5
44
1
= x
(TTMĐK)
x
8
2
=

(TMĐK)
Vậy nghiệm PT: x
;
5
44
1
=
x
8
2
=
Dạng 5:
)(xf
+
)(xp
=
)(xg
=
)(xh
(15)
Phơng pháp: + ĐKxđ:

0)(
0)(
0)(
0)(
xh
xg
xp
xf
pt(15)

2
)()( xpxf
+p(x) +f(x) = g(x) + h (x) + 2
)()( xhxg +
Sáng kiến kinh nghiệm
4
Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ

)()( xpxf
-
)()( xhxg
=
2
1
g (x) + h(x) f(x) p(x)
(***)
Chú ý:
PT (***) tuỳ vào từng trờng hợp để giải.

Bài tập 11: Giải phơng trình.
x
+
9+x
=
1+x
+ x + 4 (16)
Giải: ĐKXĐ:







+
+
+

04
01
09
0
x
x
x
x

0

x
pt(16)

x + x + 9 + 2
)9( +xx
= x + 1 + x + 4 + 2
)4)(1( ++ xx

xx 92
2
++
=
45
2
++ xx

xx 9
2
+
= -x

0
=
x
(TMđK)
Vậy nghiệm PT: x = 0
Dạng 6:
)(xf
+
)(xh

+ n
)()( xhxf
= g(x) (15)
Phơng pháp: đặt. t =
)(xf
+
)(xh
(t
)0

2
t
=
)()( xhxf
+ f(x) + h(x)
Thay vào Pt: (15) ta có: t + n
)()()((
2
1
2
xgxhxft =
(* * *)
Chú ý
: Giải Pt (* * * * ) đối với ẩn t, rồi thay vào tìm x.
Bài toán 12: Giải phơng tình.
1+x
+
2x
+ 2
2

2
xx
= 13 2x; (16)
Giải: ĐKXĐ: 2
2
13
x
Đặt t =
1+x
+
2+x
(t
)0
)2)(1(221
2
++++= xxxxt
)2)(1)(2 + xx
=t
2
-2x+1
Thay vào PT (16) ta có: t +
2
t
- 2x + 1 = 13 2x
012
2
=+ tt
3
1
= t

(TMĐK)
t
4
2
=
(KTMĐK)
Sáng kiến kinh nghiệm
5
Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
Ta có: 2
2
2
xx
= 10 2x
2
x
-x-2= 25 10x + x
2
3= x
(TMĐK)
Vậy nghiệm pt: x = 3
Dạng 7:
'
2
/
'
)((ã cxbxaaxb +

+
= px

rqx +
2
Trong đó: px
)()(
22
cxbxalbaxkrqx

+

+

++=++

Phơng pháp: Đặt
bax +
= u
0



cxbxa

+

+

2
ã
= v
0

Bài toán 13. Giải phơng trình 2 (x
)23
2
+ x
= 3
8
2
+x
Đặt.
2+x
= u
0

xx 2
2

+ 4 = v
0
Ta có: 2u
vuv .32
22
=+
Ta giải (* * * * * )theo phơng trình đối xứng rồi thay vào tìm x.
* Lu ý: không phải bao giờ cung giải phơng trình vô tỉ một cách máy móc
mà còn tuỳ vào từng phơng trình để có những cách giải nhanh hơn hoặc
nhiều phơng pháp khác.
Ví dụ: Bài toán 14: Giải theo phơng trình.
x+3
+
x6

-
)6)(3( xx +
= 3
Cách 1:
theo phơng pháp bình phơng:
Cách 2:
đặt
x+3
=u
0

x6
=v
0
Cách 3
: Đặt.
)6)(3( xx +
= t
0
Cách 4:
Đặt.
x+3
+
x6
= t
0
C. Kết luận.
Tôi mạnh dạn viết đề tài SKKN Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ Sau
khi đã tham khảo đồng nghiệp, tự đọc nhiều tài liệu , đặc biệt là bản thân tự sáng
tạo và nhất là đã kiểm nghiệm trong quá trình dạy toán THCS đồng thời đợc bồi d-

ỡng học sinh giỏi: có 56% đạt loại giỏi, 40% đạt loại khá và 4% đạt loại trung bình.
Mặc dầu bản thân tôi đã rất cố gắng tham khảo học hỏi để viết đề tài này, tuy nhien
Sáng kiến kinh nghiệm
6
Các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
không thể tránh khỏi những thiếu sót vì vậy mong sự đống góp chan thanh cua các
đồng nghiệp và học sinh để đề tài này hoàn thiện hơn. xin chân thành cảm ơn.
Điều mong muốn lớn nhất của tôi là viết đợc một cuốn sách có đầy đủ phơng
pháp giải các dạng toán THCS vì vậy đề tài Các phơng pháp giải phơng trình vô
tỉ là nối tiếp đề tài Các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên đã đạt bậc 3
năm học 2006 2007 do vậy rất mong sự giúp đở để bản thân tôi hoàn thành tâm
nguyện ấp ủ bấy lâu.
Mã Thành, ngày 30 tháng 04 năm 2008
Ngời viết


Sáng kiến kinh nghiệm
7