Tài liệu Giải phương trình vô tỉ

Violet.vn/ducnghi58
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1-Phương pháp bình phương hai vế của PT:
Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế ,đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình
phương hai vế của PT.
Ví du 1ï:Giải PT:2+
xx
=−
12
(1)
Giải:ĐK:x
2
1
≥
(2)
PT(1)
)3(212
−=−⇔
xx
;ĐK:
2
≥
x
(3)
056)5()2(12
22
=+−⇔−=−⇔
xxxx
Giải x
1
=1 không thõa mãn (4);x

2
= 5thoã mãn cả (2)và (4).Vậy PT có nghiệm x = 5
Ví dụ 2:Giải PT:
)1(121
=−−+
xx
Giải:ĐK:x
2
≥
(2) . PT(1)
1 1 2 (3)x x
⇔ + = + −
.Hai vế của (3) không âm bình
phương hai vế :x+1= 1+x-2+2
2
−
x

31212222
=⇔=−⇔=−⇔−=⇔
xxxx
,thõa mãn
ĐK (2) .Vậy PT có nghiệm x = 3.
2-Phương pháp:Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối:
Ví dụ: Giải PT:
844
2
=++−
xxx
(1) .

2
( 2) 8 2 8x x x x⇔ − + = ⇔ − + = ≥ + = ⇔ =
< + + =
=
Giải(1) Nếu x 2thì x -2 x 8 x 5,
Thuộc khoảng đang xét.
Nếu x 2thì -x 2 x 8,PT vo ânghiệm
Kết luận x 5
3-Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ:Giải pT:x
2
-
42
2
=−
x
Giải:ĐK:
2
2
≥
x
;PT đã cho có dạng:
0222
22
=−−−−
xx
Đặt :
loại)t Giảit dạng có PT
1
2

(1;20202
2
2
−===−−≥=−
tttx
Với t = 2 Thì
6622
22
±=⇔=⇔=−
xxx
Kết luận:x =
6
±
4-Phương pháp đưa về HPT hữu tỉ:
Giải PT:
312
3
=++−
xx
;
Giải:ĐK:x
)1(1
−≥
Đặt
zxyx
=+=−
1,2
3
;Khi đó x-2= y
3

;x+1 = z
2
Ta có HPT sau:





≥
=−
=+
)4(0
)3(3
)2(3
32
z
yz
zy
;Giải HPT (y = 1;z =2)thõa mãn ;Giải tìm x = 3(Thoã
mãn)
Kết luận:x= 3
5-Phương pháp BĐT:
a)Chứng tỏ tập giá trò của hai vế là rời nhau:
Ví dụ:Giải PT:
)1(23151
−=−−−
xxx
1
Violet.vn/ducnghi58
ĐK:x

1
≥
;Ta có với ĐK này thì x < 5x
Do đó
nghiệm vô PT .vậy âm không phảivế âm sốmột (1)là trái Vế
⇒−<−
151 xx
b)Sử dụng tính đối nghòch hai vế:
Ví dụ: Giải PT:
222
2414105763 xxxxxx
−−=+++++
Giải:Vế trái của PT:
5949)1(54)1(3
22
=+≥+++++
xx
Vế phải của PT:5-(x+1)
2

5
≤
Vậy hai vế của PT bằng 5
1
−=⇔
x
KL:x= -1
c)Sử dụng tính đơn điệu:
Ví dụ :Giải PT:
)1(312

3
=++−
xx
Giải :Ta thấy x =3 là nghiệm của PT
Với x >3 Thì
2.1,12
3
>+>−
xx
.Nên vế trái của (1) >3
Với -1
21;13
<+<<≤
xx
3
2-x Thì
.Nên vế trái của (1)<3
Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT
d)Sử dụng ĐK xẩy ra dấu bằng :
Ví dụ:Giải PT:
)1(2
14
14
=
−
+
−
x
x
x

x
Giải ;ĐK:x >
4
1
Áp dụng BĐT
2
≥+
a
b
b
a
Với a>0,b>0 .Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi
a=b
Do đó (1)
32)
4
1
(0141414
22
±=⇔>=+−⇔−=⇔−=⇔
xDoxxxxxxx
Thõa mãn (2)
6-Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp:
Ví dụ: Giải PT:
)1(
5
3
2314
+
=−−+

x
xx
ĐK:
3
2
≥
x
Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1)
)2314(
5
3
3 −++
+
=+⇔ xx
x
x
( )
( )
03523140523143
>+=−++⇔=−−+++⇔
xdoxxxxx
(2)
Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT.
III- LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải PT:
)1(24
2
−=−
xx
;HD:ĐK:x

2
≥
Bình phương hai vế giải x = 2
Bài 2:Giải PT:
2
4
1
2
1
=++++
xxx
(1);HD:Đặt t=
4
1
0
4
1
2
−=⇒≥+
txx
(1)
2
2
1
2
=







+⇔
t
Giải t =
22
2
1
2
−=⇔−
x
2
Violet.vn/ducnghi58
Bài 3:GiảiPT:
)1(
1
1
x
xx
=++
; HD:ĐK:x >0 Biến đổi(1)
⇔
…
3
1
3
1
1
=⇔






=
≤
⇔
x
x
x
Bài 4:Giải PT:
341)
121)
11)
=++−
=+−−
−=+
xxc
xxb
xxa
;
HD:Dùng Phương pháp bình phương hai vế
Kết quả:câu a x=3;b)x=
2
51
−−
;c)x =0;x=3
Bài 5:Giải PT:
x
x

xx
+=
−
−+
3
1
32
2
(1);HD:ĐK:



>⇔
≥+−
>
1
0)3)(1(
1
x
xx
x
(1)
xx
+=+⇔⇔
33...
Bình phương hai vế giải kết quả x=-3;x=-2(KTM)PT vô
nghiệm.
Bài 6:Giải các PT sau:
3
53

14
5);121)
2
=
−+
−
−−−=−
x
x
xbxxa
;HD câu a)PT Vô nghiệm;câu b)PT có vô số
nghiệm x
5
≥
Bài 7:Giải PT:a)
533
−=−
xx
;b)
725
=−+
xx
Câu: a) Biến đổi Tương đương





=+−
≥

022299
3
5
2
xx
x
Câu: b)Tương tự
Bài 8 :Giải PT:3x
2
+2x =
xxx
−++
12
2
(1);HD:Biến đổi (1)
01233
22
=−+−+
xxxx
Dùng Phương pháp đặt ẩn phụ:
0
2
≥=+
txx
Giải PT ẩn t có hai nghiệm t=1;t=
3
1
−
Thay giải tìm x
Bài 9:Giải :

5168143);34412)
22
=−−++−++=+−++−
xxxxbxxxxa
HD:Biến đổi về PT chứa dấu giá trò tuyệt đối
Câu:a)
12
≤≤−
x
; Câu b)
101
≤≤
x
Bài 10:Giải PT:x
2
+4x +5 = 2
32
+
x
(1);HD ĐK: x
3
2
−
≥
;Biến đổi (1)
( )
( )
( )
( )




=−+
=+
⇔=−+++⇔
0132
01
01321
2
2
2
2
x
x
xx
Bài 11:Giải các PT:
122);2344)
1252)44)42)
22
22
−=+−+=+−
−−=+−−=−−=−
xxxexxxd
xxxxcxxbxxa
Câu a,b,,d,e;Dùng phép biến đổi



=
≥

⇔=
2
0
BA
B
BA
Câu c:Dùng phương pháp đặt ẩn phụ
3
Violet.vn/ducnghi58
Bài 12:GiảiPT:
)1(11642)
)1(2414105763)
2
222
+−=−+−
−−=+++++
xxxxb
xxxxxxa
Dùng BĐT:
Câu a)VT
5
≥
;VP
5
≤
.Do đó PT có nghiệm khi và chỉ khi hai vế bằng nhau:x=-1
Câub)VT:Áp dụng BĐT Bu nhiacốp xki :
( )
24)2)(11(4.12.1
22

2
≤⇒≤+≤−+−
VTxx
Dấu
“=” xẩy ra khi và chỉ khi ….x=3
VP:=…=(x-3)
2
+2
2≥
;Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x =3
Vậy PT có nghiêm là x= 3
Bài 13:Giải PT:
2)3)(1(31
=−+−−++
xxxx
HD:ĐK:
31
≤≤−
x
;Đặt t =
xx
−++
31
;Với ĐK t
0
≥
PT có dạng:t
2
-2t = 0

4
Violet.vn/ducnghi58
5