ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ

MỤC LỤC
1
LỜI NÓI ĐẦU
Ta đã được biết nhiều về hình học xạ ảnh. Về mặt tập hợp, không gian xạ
ảnh là tập tất cả các đường thẳng của không gian affine cùng đi qua một điểm
và một tập hợp như vậy được gọi là bó đường thẳng. Vậy không gian tất cả
các mặt phẳng cùng đi qua một điểm; hay tổng quát hơn là tập tất cả các p-
phẳng (p
≥
2) của không gian affine cùng đi qua một điểm là không gian gì?
Không gian tổng quát này chính là không gian Grassmann hay đa tạp
Grassmann. Đa tạp Grassmann này có các tính chất gì liên quan đến hình học
nói chung, hình học đại số nói riêng?
Với mong muốn hiểu biết tốt hơn vấn đề vừa nêu nên dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, tôi chọn đề tài:
“ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ
TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ”
Luận văn được chia làm hai chương
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất liên
quan chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn như đa tạp khả vi,tác động của
một nhóm trên một tập hợp và không gian quỹ đạo và một số kiến thức liên
quan
CHƯƠNG 2. ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT
HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ
Trong chương này trình bày một số định nghĩa về đa tạp Stiefel, đa tạp
Grassmann ; trình bày và chứng minh một số tính chất hình học và tính chất
hình học đại số của nó. Đây là một trong những nội dung chính của đề tài.
Nhiều kết quả của chương này là đã được đề cập trong các tài liệu tham khảo,
2
nhưng hầu hết các chứng minh là do chúng tôi trình bày, sắp xếp theo cách

hiểu của bản thân. Ngoài ra, có một số kết quả, nhất là những kết quả về tính
chất hình học đại số của đa tạp Grassmann, đều do chúng tôi phát biểu và
chứng minh, chứ chưa được đề cập trong tài liệu tham khảo.
3
LỜI CẢM
ƠN
Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc của mình tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ
Nguyễn Huỳnh Phán
– người
đã nhiệt tình từng bước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ
việc gợi ý, cung cấp các
tài
liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp
thực hiện và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình
thực
hiện luận văn đến việc chỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài
luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học,
khoa Toán của Trường Đại
học

Vinh và khoa quản lý Sau đại học của
Trường Đại học Đồng Tháp
đã giúp tôi hoàn thành tất cả các học phần của
Khóa học, nâng cao
được
trình độ kiến thức chuyên môn và các phương
pháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt là
luận

văn
tốt
nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn sự quan các bạn cùng khóa học, gia đình đã
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn
tốt nghiệp.
Chân thành cảm
ơn!
Đồng Tháp, ngày 31 tháng 08 năm 2013
Tác giả
Huỳnh Đình Bảo Huy
4
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất liên quan
chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn như đa tạp khả vi,tác động của một
nhóm trên một tập hợp và không gian quỹ đạo và một số kiến thức liên quan.
1.1 ĐA TẠP KHẢ VI
Trong mục này trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi như là định nghĩa,
ví dụ minh họa, một số tính chất của đa tạp khả vi và có chứng minh chi tiết.
1.1.1 Định nghĩa
• Giả sử
M
là
2
T
không gian. Nếu
U
mở trong
M

và
*
U
là tập mở trong
n
R
và
*
:U U
ϕ
→
đồng phôi thì
( , )U
ϕ
được gọi là một bản đồ của
M
.
• Với
p U∈
thì
( )
n
p R
ϕ
∈
, nên
( )
1 2
( ) , , ,
n

p x x x
ϕ
=
. Khi đó
( )
1 2
, , ,
n
x x x

được gọi là tọa độ của p đối với
( , )U
ϕ
và
( , )U
ϕ
được gọi là hệ tọa độ địa
phương
• Giả sử
1 1
( , )U
ϕ
và
2 2
( , )U
ϕ
là 2 bản đồ của
M
sao cho
1 2

W U U= ∩ ≠ ∅
.
Khi đó
1 1
( , )U
ϕ
và
2 2
( , )U
ϕ
được gọi là phù hợp nếu ánh xạ
1
2 1
ϕ ϕ
−
o
:
1 1 2 2 1 2
( ) ( )U U U U
ϕ ϕ
∩ → ∩
là vi phôi ( song ánh và khả vi hai chiều)
Chú ý: Ta thấy
1 2
U U∩ ≠ ∅
và
1
2 1 1 1 2 2
: W (W) W (W)
ϕ ϕ ϕ ϕ

−
= → =o
,
1 1 1
2 1 1 2
( )
ϕ ϕ ϕ ϕ
− − −
=o o
và
1
2 1
ϕ ϕ
−
o
được gọi là công thức đổi tọa độ từ
1 1
( , )U
ϕ
sang
2 2
( , )U
ϕ
đối với các điểm
Wp ∈
. Ta quy ước là nếu
1 2
U U∩ = ∅
thì
1 1

( , )U
ϕ
và
2 2
( , )U
ϕ
là phù hợp.
Ví dụ 1: Trong
2
¡
ta lấy
( )
{ }
1 2 2
; / 1M S x y x y= = + =
5
Đặt
( )
{ }
(
)
( )
{ }
( )
1 2 *
1
; S / x 0 1 ; 1;1 , U 1;1U x y y y y= ∈ > = − ∈ − = −
Và
*
1 1

:U U
ϕ
→
;
(
)
2
1 ;y y y− a
Khi đó
1 1
( , )U
ϕ
là một bản đồ của
1
S
Chứng minh:
*
1
ϕ
là song ánh
Giả sử
(
)
2
1 ;A a a−
và
(
)
2
1

1 ;bB b U− ∈
sao cho
1 1
( ) ( )A B
ϕ ϕ
=
. Khi đó
a b
=

và do đó
A B=
. Vậy
1
ϕ
là đơn ánh.
Với bất kỳ
( )
1;1y ∈ −
, lấy
(
)
2
1 ;X y y−
thì
1
X U∈
và
( )
1

X y
ϕ
=
. Vậy
1
ϕ
là
toàn ánh
*
1
ϕ
là liên tục: điều này hiển nhiên vì
1
ϕ
là phép chiếu.
*
1
1
ϕ
−
là liên tục
Ta có
1 *
1 1
:U U
ϕ
−
→

(
)
2
1 ;x x x
−
a
Vì các hàm tọa độ
1 2
1 2 1
1 1
: 1 , :x x x x
ϕ ϕ
− −
−
a a
liên tục nên
1
1
ϕ
−
liên tục
Do đó
1
ϕ
là đồng phôi
Vậy
1 1
( , )U
ϕ
là một bản đồ của

1
S
.
Ví dụ 2: Trong
2
¡
ta lấy
( )
{ }
1 2 2
; / 1M S x y x y
= = + =
Đặt
( )
{ }
(
)
( )
{ }
( )
1 2 *
2 2
; / 0 ; 1 / 1;1 , 1;1U x y S y x x x U= ∈ > = − ∈ − = −
6
và
*
2 2 2
:U U
ϕ
→

(
)
2
; 1x x x
−
a
Khi đó
( )
2 2
;U
ϕ
là một bản đồ của
1
M S=
và
( )
1 1
;U
ϕ
với
( )
2 2
;U
ϕ
là
phù hợp
Chứng minh:
+ Chứng minh tương tự ví dụ 1 thì ta có
( )

2 2
;U
ϕ
là bản đồ của
1
S
+ Ta chứng minh
( )
1 1
;U
ϕ
và
( )
2 2
;U
ϕ
là phù hợp.
Thật vậy
( )
{ }
1
1 2
W ; / 0, 0U U x y S x y= ∩ = ∈ > >

( )
1 1
W (W) 0;1
ϕ
= =
,

( )
2 2
W (W) 0;1
ϕ
= =
Do đó
( ) ( )
1
2 1
: : 0;1 0;1f
ϕ ϕ
−
→
o

2
1t t
→ −
Khi đó: f là song ánh
f là hàm số khả vi vì
( )
'
2
( ) , 0;1
1
t
f t t
t
−
= ∈

−

1
f
−
là hàm số khả vi vì
( )
1
: (0;1) 0;1f
−
→

2
1x x
−
a
Vậy
( )
1 1
;U
ϕ
và
( )
2 2
;U
ϕ
là phù hợp
1.1.2 Định nghĩa
7
• Giả sử Giả sử

M
là
2
T
không gian.

A
=
{
( )
;
i i
i I
U
ϕ
∈
là họ các bản đồ trên
M
} nếu
A
thỏa mãn:
i/
i
i I
U M
∈
∪ =
ii/
( )
;

i i
U
ϕ
và
( )
;
j j
U
ϕ
là phù hợp, với mọi
i j≠
thì ta nói
A
là một Atlat của
M
• Hai Atlat
( )
{ }
( )
{ }
; , ;
i i j j
i I
j J
A U B V
ϕ ϕ
∈
∈
= =
được gọi là phù hợp nếu

( )
;
i i
U
ϕ
và
( )
;
j j
V
ϕ
phù hợp với
,i j∀
Nhận xét: Nếu
A
và
B
là hai Atlat phù hợp thì
A B∪
cũng là một Atlat
1.1.3 Định nghĩa
• Nếu
A
là một Atlat cực đại trên
M
( tức là
A
không nằm trong bất kỳ
Atlat nào) thì
A

được gọi là một cấu trúc khả vi trên
M
• Một
2
T
- không gian
M
có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi n-
chiều.
Nhận xét:
• Atlat cực đại
A
gọi là cấu trúc khả vi thì
1
i j
ϕ ϕ
−
o
là vi phôi với mọi i, j
• Khi nói M là đa tạp khả vi thì ta chỉ cần chỉ ra một Atlat với số bản đồ
ít nhất có thể để tính toán các phép tính khả vi trên nó.
Ví dụ 1: Lấy
( )
{ }
1 2 2
; / 1M S x y x y
= = + =
. Ta đã chứng minh được
( )
1 1

;U
ϕ

và
( )
2 2
;U
ϕ
là hai bản đồ của M.
Đặt
( )
{ }
(
)
( )
{ }
( )
1 2 *
3 3
; / x 0 1 ;y / y 1;1 , 1;1U x y S y U= ∈ < = − − ∈ − = −
8
và
*
3 3 3
:U U
ϕ
→

(
)

2
1 ;yy y
− −
a

( )
{ }
(
)
( )
{ }
( )
1 2 *
4 4
; / 0 ; 1 / 1;1 , 1;1U x y S y x x x U= ∈ < = − − ∈ − = −
và
*
4 4 4
:U U
ϕ
→

(
)
2
; 1x x x
− −
a
Tương tự, ta cũng chứng minh được
( )

3 3
;U
ϕ
và
( )
4 4
;U
ϕ
là hai bản đồ của M
Do đó
( )
{ }
4
1
;
i i
i
U
ϕ
=
là một Atlat của M
Vậy
1
M S
=
là một đa tạp khả vi 1 – chiều
Nhận xét: Cho M là đa tạp n – chiều . Ta thấy nếu N là tập mở trong M thì N
cũng là một đa tạp n – chiều
Chứng minh:
Thật vậy, ta thường lấy Atlat của N là thu hẹp của Atlat của M trên N.

Bây giờ giả sử M là đa tạp m – chiều với tập bản đồ bảo hòa là
( )
{ }
;
i i
i I
A U
ϕ
∈
=
và N là đa tạp n – chiều với tập bản đồ bảo hòa là
( )
{ }
;
j j
j J
B V
ϕ
∈
=
.
Ký hiệu
i j
: ( ) ( )
n m
i j i i j j
f U V U V
ϕ ϕ
+
× → × ⊂

¡

( )
1 1
( ; ) ; ; ; ; ;
m n
a b a a b ba
9
Khi đó
{ }
,
i j i j
i j
U V f
×
là một Atlat của tập tích Đềcác M
×
N
Vậy M
×
N là một đa tạp (m + n ) – chiều.
Ví dụ 2 : Xét GL(n, R) ={các tự đẳng cấu tuyến tính của
n
R
}. Khi đó
GL(n, R) là đa tạp khả vi
2
n
- chiều.
Chứng minh: Ta đồng nhất

2
n
Mat(n n, R) R
× ≡
.
Xét ánh xạ
det : Mat(n n, R) R
× →

ign
ij
S
1i 2i ni
1 2 n
n
A = x detA = (-1) x x x
s
σ
σ
∈
 
→
 
∑
Ở đây phần tử (hay là biến)
ti
t
x
, t = 1, 2, …, n là phần tử nằm ở hàng t,
cột i

t
của ma trận A. Do đó, rõ ràng det A là một đa thức bậc n, thuần nhất của
n
2
biến từ biến x
11
, x
12
,…, x
1n
, …. cho tới các biến x
n1
, x
n2
, , x
nn
. S
n
là
nhóm tất cả các song ánh (còn gọi là phép thế) trên tập n số 1, 2, …, n (có n!
song ánh như vậy), sgn
σ
là dấu của phép thế
σ
.
Cho nên khi đó:
•
det
là ánh xạ (chính xác là hàm số) khả vi
•

1 1
det ( ,0) det (0, ) GL(n,R)
− −
−∞ ∪ +∞ =
suy ra
GL(n,R)
là mở trong
2
n
R
.
Do đó
GL(n,R)
, đa tạp khả vi n
2
- chiều.
10
1.2 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM TRÊN MỘT TẬP HỢP VÀ
KHÔNG GIAN QUỸ ĐẠO
1.2.1 Định nghĩa tác động của một nhóm trên một tập hợp
Cho G là nhóm và E là tập hợp. Ta nói một phép toán trái của G trên E
hoặc nói nhóm G tác động trái trên tập hợp E nếu có ánh xạ từ G
×
E vào E;
(s, x)
a
s. x thỏa mãn 2 điều kiện sau:
• e . x = x với mọi x trong E
• (s.t).x = s.(t.x) với mọi t,s trong G và mọi x trong E
Từ định nghĩa ta suy ra s

-1
. (s). x = x với mọi x và mọi s, do đó với mọi s
∈
G, ánh xạ x
a
s.x là song ánh từ E vào E với ánh xạ ngược là x
a
s
-1
.x
1.2.2 Định nghĩa không gian quỹ đạo
Mỗi x
∈
E, tập G.x = {s.x ; s
∈
G} gọi là G - quỹ đạo hoặc là quỹ đạo
của x ( đối với phép toán của G trong E).
Tập
x
S
= {s
∈
G; s.x = x } là một nhóm con của G, gọi là ổn định
tử của x. Ánh xạ s
a
s.x từ G lên G.x phân tích được thành

/ .
P
x

G G S G x
ϕ
→ →
Ở đây
x
/G S
là lớp ghép trái
.
x
s S
theo nhóm con
x
S
; p là phép chiếu chính tắc
( p: s
a
s. S
x
) và
ϕ
là song ánh (
ϕ
: s. S
x

a
s.x )
11
G tác động trung thành trong E nếu
{ }

x
x E
S e
∈
=
I
. Ta nói rằng G tác động
tự do trong E nếu với mọi x trong E thì
{ }
x
S e=
. Nói cách khác,
x E∀ ∈
sao
cho
s.x = t.x s = t⇒
Do tác động của G, ta có một quan hệ tương đương cảm sinh trên E
cho bởi
~x y s G⇔ ∃ ∈
sao cho
.x s y=
Nói cách khác, x tương đương với y khi và chỉ khi chúng cùng một quỹ
đạo. Ký hiệu không gian thương của quan hệ tương đương này là E/G và nó
được gọi là không gian quỹ đạo. Nếu tập hợp này gồm chỉ một điểm, ta nói, G
tác động bắc cầu trên E. Vậy G tác động bắc cầu khi và chỉ khi
,x y E s G∀ ∈ ⇒ ∃ ∈
sao cho
.x s y=
.
Cho

A E⊂
, tập
{ } { }
. . ; . ;G A G a a A s a s G va a A= ∈ ≡ ∈ ∈
gọi là cái bảo
hòa của A đối với G. Ký hiệu
: /E E G
π
→
là phép chiếu chính tắc, thì
1
. ( ( ))G A A
π π
−
=
và G.A = A khi và chỉ khi
.G A A⊂
.
Tập hợp thương E/G gọi là không gian các quỹ đạo.
Bây giờ giả sử G là nhóm topo và E là không gian topo. Ta nói
G tác động liên tục trên E nếu ánh xạ
( , ) s.xs x a
liên tục.
1.2.3 Ví dụ không gian quỹ đạo
Nếu H là nhóm con của nhóm G, thế thì với các phép toán ( s, x)
a
s.x và (s,x)
a
s.x.s
-1

thì H tác động trên G
12
Với phép toán đầu , ổn định tử của mọi s trong G là nhóm đơn vị
{e} và quỹ đạo là các lớp ghép phải H.s
Với phép toán sau, ổn định tử là nhóm H
∩
T(x) , T(x) là tâm của
x, còn quỹ đạo là tập các phần tử hxh
-1
với h chạy khắp H.
1.2.4 Một số tính chất của không gian quỹ đạo
1.2.4.1 Định nghĩa
Nếu E là không gian tôpô ( đa tạp khả vi), G là nhóm topo
( nhóm Lie) G tác động lên E và ánh xạ tác động là liên tục ( khả vi) thì ta nói
G tác động liên tục trên E ( nhóm Lie G tác động khả vi trên E)
1.2.4.2 Mệnh đề
Cho G là nhóm khả metric tác động liên tục trên không gian
metric E; A là tập compac trong G và B là tập đóng (tương ứng,compact)
trong E. Thế thì tập A.B là đóng ( tương ứng, compact trong E).
Chứng minh: A.B là đóng (tương ứng, compact trong E) là do A.B là ảnh của
tập G qua ánh xạ liên tục (s, x)
a
s.x. Ta xét các dãy điểm
{ }
,
n n
s x
trong A.B
hội tụ về z
∈

E ( s
n

∈
A, x
n

∈
B). Theo giả thiết, tồn tại dãy con
k
n
s
∈
A
hội tụ về a
∈
A. Vì
1
( . )
k k k k
n n n n
X S S X B
−
= ∈
. Suy ra dãy
k
n
X
hội tụ
về a

-1
.z. Nhưng B đóng trong E nên a
-1
.z thuộc B, nên z = a.(a
-1
.z)
∈
A.B,
nghĩa là A.B đóng trong E.
1.2.4.3 Mệnh đề
• Phép chiếu chính tắc
: /E E G
π
→
liên tục.
13
•
π
là ánh xạ mở, nghĩa là ảnh của mọi tập mở qua
π
là tập mở trong
/E G
.
• Để ánh xạ
: /f E G →
E’ là liên tục, cần và đủ là hợp thành
. : 'f E E
π
→

liên tục.
Chứng minh:
• Là do định nghĩa topo trên E/G.
• Giả sử V mở trong E, ta cần chứng minh cái bảo hòa của V trong E là
G.V =
1
( ( ))A
π π
−
là mở trong E vì G.V =
s G
∈
∪
s.V, mà V mở trong E nên
s.V mở trong E, do đó G.V mở trong E.
• Kết luận (iii) là tính chất của topo thương.
Với x
∈
E, nếu V chạy khắp hệ cơ sở lân cận của x thì
( )V
π
lập nên hệ cơ
sở lân cận của điểm
(x)
π

∈
E/G.
1.2.4.4 Mệnh đề
Cho

1
; ': . ( ( ))A E A G A A
π π
−
⊂ = =
. Khi đó ánh xạ chính tắc
/ ( ) '/E G A A G
ϕ
π
⊃ →
đặt quỹ đạo trong E của mỗi điểm trong A với
chính quỹ đạo đó xem như quỹ đạp của một điểm thuộc không gian A’, là một
phép đồng phôi.
1.2.4.5 Mệnh đề
Nếu G và G’ tác động liên tục trên E và E’ tương ứng, thì G
×
G’ tác
động liên tục trên E
×
E’ một cách tự nhiên và
'/G G' / '/ 'E E E G E G
× × ≅ ×
1.2.4.6 Mệnh đề:
14
Cho nhóm topo liên thong G tác động liên tục trên E. Nếu E/G liên
thông thì E liên thông.
Chứng minh: Vì ánh xạ s
→
s.x liên tục nên mỗi quỹ đạo G.x liên thông.
Giả sử tồn tại 2 tập vừa mở vừa đóng rời nhau không rỗng U, V sao cho E =

U
U
V. Thế thì với mọi x
∈
E, tập
.U G xI
và
.V G xI
là hai tập mở rời nhau
có hợp bằng G.x, do đó một trong hai tập là rỗng, nghĩa là U và V là các tập
bảo hòa. Nhưng khi đó
( )U
π
và
(V)
π
là những tập mở rời nhau có hợp bằng
E/G, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy E liên thông.
1.2.5 Định nghĩa phân thớ chính
Giả sử nhóm G tác động tự do ( hay không có điểm bất động) trên tập
E. Thế thì
x E∀ ∈
ánh xạ chính tắc
.s s xa
từ
.xG G→
là song ánh
1.2.5.1 Định lý
Cho nhóm Lie G tác động tự do, khả vi trên đa tạp X (nghĩa là ánh
xạ tác động là ánh xạ khả vi). Giả sử đa tạp quỹ đạo X/G tồn tại, nghĩa là tồn

tại trên không gian thương X/G một cấu trúc khả vi sao cho phép chiếu chính
tắc
: X /X G
π
→
là ánh xạ khả vi và đồng thời là phép ngập, nghĩa là đạo hàm
của
π
là ánh xạ tuyến tính toàn ánh, thế thì:
•
( , / , )X X G
π
là một phân thớ. Một cách chính xác hơn, mỗi lớp
[ ]
/x X G∈
, có lân cận mở U của
[ ]
x
sao cho tồn tại ánh xạ
:U X
σ
→
lớp
C
∞
mà
( ( ))u u
π σ
=
với mọi

u U
∈
và ánh xạ
: ( , ) . ( )u s s u
ϕ σ
→
là một vi phôi của
U G×
lên
1
(U)
π
−
.
15
• Giả sử
{ }
( , ) X X. s G; x s.yx yℜ = ∈ × ∃ ∈ =
, tức R là đồ thị của tác động và
mọi
( , )x y R∈
, T(x,y) là phần tử duy nhất của G sao cho y = T(x,y).x . Khi đó
T là phép ngập từ
ℜ
và G
Chứng minh:
• Vì
π
là một phép ngập nên suy ra mọi điểm trong X/G tồn tại lân cận U
và

C
∞
- ánh xạ
:U X
σ
→
thỏa mãn
( ( ))u u
π σ
=
với mọi
u U∈
và tại mỗi
u U∈
,
( )
( )
u
T u
σ
σ
là phần bù của
1
( )
( ( ))
u
T u
σ
π
−

trong
( )
( )
u
T X
σ
. Hơn nữa
1
: ( )U G U
ϕ π
−
× →
cho bởi
( , ) . (u)u s s
σ
→
là song ánh nên chỉ cần chứng minh
ϕ

là phép ngập. Điều này được suy ra từ kết quả sau:
Bổ đề: Cho nhóm Lie tác động khả vi trên đa tạp khả vi X sao
cho đa tạp X/G tồn tại. Ký hiệu
: X /X G
π
→
. Nếu tồn tại
: /X G X
σ
→
lớp

C
∞
sao cho
/
1
X G
πσ
=
thì
σ
là phép dìm và ánh xạ
: /X G X X
ϕ
× →
bởi
( , ) . ( )u s s u
ϕ σ
=
là một phép ngập tràn ứng.
Chứng minh: Vì
( ) ( / )
( ). ( ) 1
u u Tu X G
T T
σ
π σ
=
nên
σ
là một phép dìm (

( )T
σ
đơn ánh). Bây giờ chứng tỏ
ϕ
là phép ngập tại điểm có dạng
( )
0
,u e
.
Đặt
0 0
( )x u
σ
=
, vậy
1
0
( )u
π
−
là quỹ đạo G.x
0
. Khi đó ánh xạ chính tắc
0
G G.x→
là một phép ngập của G lên đa tạp con
1
0
( )u
π

−
của X nên
ϕ
là ngập
tại
( )
0
,u e
. Bây giờ giả sử
( )
0 0
, /u x X G G∈ ×
. Thế thì
ϕ
phân tích được:

( / )X G G
×
X

( , )u s

ϕ

. ( )s u
σ
16
(3) (1) s
0
.x

1
0
( , . )u s s
−
(2)
1
0
. . ( )s s u
σ
−
x

( , )u t

. ( )t u
σ
Ở đây (3) là một vi phôi và (2) là một phép ngập tại
( )
0
,u e
. Vậy
ϕ
là phép
ngập tại
( )
0 0
,su
. Kết luận (a) của định lý được chứng minh.
• Ta giả thiết tồn tại nhát cắt lớp

C
∞
,
: /X G X
σ
→
sao cho
: ( , ) . ( )b s s b
ϕ σ
a
là một vi phôi của
/X G G
×
lên X ( vì bài toán có tính địa
phương). Khi đó
1
2
( ) r ( ( ))x x p x
ρ ϕ
−
=a
là ánh xạ lớp
C
∞
. Vậy T là thu hẹp của
( )
1
, (y) (x)x y
ρ ρ
−

a
lên
ℜ
, cũng là
C
∞
ánh xạ ; hơn nữa mọi
x X∈
, thu hẹp
của T lên
{ }
( . )x G x× ⊂ ℜ
là một vi phôi đa tạp con này lên G. Vậy T là phép
ngập từ
ℜ
vào G.
1.2.5.2 Định nghĩa:
Nếu các điều kiện ở định lý 1.2.5.1 thỏa mãn, ta nói rằng bộ ba
( , / , )X X G
π
là một phân thớ chính với nhóm cấu trúc G. Các thớ là các quỹ
đạo, chúng vi phôi với G. Trong trường hợp này để ký hiệu G – phân thớ
chính, ta dùng sơ đồ:
G X

π
X/G
Ví dụ: cho H là nhóm Lie con của nhóm Lie G, H tác động tự nhiên trên G
bởi
/H G G→

, H.G = H/G, giả sử đa tạp quỹ đạo G/H là tồn tại, khi đó ta có
phân thớ chính : G H
17

π
H/G
1.2.5.3 Định nghĩa:
Ta gọi một cấu xạ từ G – phân thớ chính
( , , )X B
π
vào G’ – phân thớ
chính
( ', ', ')X B
π
là cặp ánh xạ
( , )C u p
∞
với
: 'u X X
→
và
: 'G G
ρ
→
là
đồng cấu nhóm Lie sao cho sơ đồ sau giao hoán G
ρ
G’
X u X’

π

'
π
B=X/G v X’/G’=B’ ;
( . ) u(x). (s)u x s
ρ
=
. Do đó tồn tại
C
∞
ánh xạ
: 'v B B
→
để sơ đồ trên giao
hoán. Ta thấy nếu
ρ
là đẳng cấu nhóm Lie và v là vi phôi thì (u,v) là đẳng
cấu phân thớ, khi đó cặp
( )
,u
ρ
gọi là đẳng cấu phân thớ chính.
1.2.5.4 Phân thớ chính tầm thường:
Cho G tác động trên đa tạp
B G
×
bởi
( )
( )

, , ( , s)b t s b ta
các quĩ đạo sẽ
là
1
1
r ( ),p b b B
−
∈
và
1
rp
là ngập trên đa tạp quĩ đạo tồn tại. Nó được đồng
nhất với B. Bộ ba
1
( , , r )B G B p
×
được gọi là G – phân thớ tầm thường và mọi
G’ – phân thớ chính đẳng cấu với nó gọi là khả tầm thường.
1.2.6 Một số tính chất của phân thớ chính
1.2.6.1 Mệnh đề:
Cho G - phân thớ chính
( , , )X B
π
và G còn tác động khả vi bên trái trên
đa tạp F. Khi đó G tác động tự do trên
X F×
bởi
1
( , ).s (x.s,s y)x y
−

a
. Với tác
động này:
18
• Đa tạp quĩ đạo tồn tại, ký hiệu là
G
X F×
• Mỗi quĩ đạo
G
Z X F∈ ×
, ký hiệu
(Z)
F
π
là phần tử của B bằng
(X)
π

với mọi
( , )x y Z∈
. Hơn nữa
( , , )
G
F
B F B
π
×
là một phân thớ có thớ vi phôi với
F. Nói cách khác, nếu U mở trong B sao cho
1

U
π
−
khả tầm thường với nhát
cắt
C
∞
dạng
( )
1
:U U
σ π
−
→
, thì
( , ) (b).yb y
σ
a
là U – đẳng cấu của
U F×
lên
1
( )
F
U
π
−
và do đó
1
( )

F
U
π
−
khả tầm thường
Chứng minh:
• Giả sử
'ℜ
là đồ thị của tác động nói trong mệnh đề;
( )
2 2
' X X F F X Fℜ ⊂ × × × ≡ ×
thì
'ℜ
đồng nhất với tập
( , , ( ), )r y T y y
trong
F Fℜ× ×
, tức là đồ thị của ánh xạ
( , ) ( )r y T ra
. y từ
Fℜ×
vào
F
, nên nó là đa
tạp con đóng của
F F
ℜ× ×
vậy cũng là đa tạp con đóng của
2 2

X F×
. Từ đây ta
nhận được (i)
• Để chứng minh kết luận này, ta giả thiết X tầm thường; B = U. Thế thì
F
π
là tràn ánh lớp
C
∞
. Mặt khác với
x X∈
, đặt
( )
( ) T , ( ( ))s x x x G
σ π
= ∈
. Ta
có
( ( )) .s( )x x x
σ π
=
. Nếu
:f X F B F× → ×
cho bởi
( ) ( )
1
( , ) ( , . )x y x s x y
π
−
a

.
Ngoài ra f là
C
∞
ánh xạ nên tồn tại
:
G
g X F B F× → ×
lớp
C
∞
sao cho
( , ) ( , )x y g x y=
. Ta kiểm được g là ánh xạ ngược của
( , ) ( ).b y b y
σ
a
. Từ đây ta
nhận được (ii)
1.2.6.2 Định nghĩa

G
X F×
gọi là không gian phân thớ với thớ loại F ứng với X và tác
động của G lên F
1.2.6.3 Định lý
19
Cho G – phân thớ chính
( , , )X B
π

và H là nhóm con ( đóng) của G tác
động trên X bởi thu hẹp của G. Thì đa tạp quĩ đạo X/H tồn tại và
( , / , )X X H
π

là H – phân thớ chính. Hơn nữa nếu mỗi H – quĩ dạo được chứa trong một G
– quĩ đạo duy nhất thì tương ứng
π
đặt H – quĩ đạo với G – quĩ đạo là một
phân thớ có thớ vi phôi với không gian thuần nhất G/H.
Chứng minh:
Ký hiệu
ℜ
( tương ứng
'
ℜ
) là G – đồ thị ( tương ứng, H – đồ thị) và
mỗi
(x, y)∈ℜ
.
( , )T x y
là phần tử duy nhất trong G sao cho
( , ).yx T x y=
;
:T G
ℜ →
là ngập, ta có
1
' T ( )
−

ℜ = ℜ
nên
'
ℜ
là đa tạp con đóng vì T ngập. Từ
đây ta được
( , / , )X X H
π
là H – phân thớ .
Tiếp theo, để ý là G tác động khả vi bên trái trên G/H, nên định nghĩa
được phân thớ
( / )
G
X G H
×
tương ứng, với nền X/G. Ký hiệu:
0
: ( / ) /
G
X G H X G
π
× →
là phép chiếu . Ta xây dựng vi phôi
: ( / ) /
G
X G H X H
π
× →
sao cho sơ đồ sau giao hoán:

( / )
G
X G H×
u X/H

0
π

π
X/G
20
CHƯƠNG II
ĐA TẠP GRASSMANN
VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ
TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ
Trong chương này trình bày một số định nghĩa về đa tạp Stiefel, đa
tạp Grassmann ; trình bày và chứng minh một số tính chất hình học và tính
chất hình học đại số của nó. Đây là một trong những nội dung chính của đề
tài, nó bao gồm nhiều kết quả đã được đề cập trong các tài liệu tham khảo,
nhưng hầu hết các chứng minh là do chúng tôi trình bày, sắp xếp theo cách
hiểu của bản thân. Ngoài ra, có một số kết quả, đặc biệt là những kết quả về
tính chất hình học đại số của đa tạp Grassmann, đều do chúng tôi phát biểu và
tự chứng minh, chứ chưa có trong các tài liệu tham khảo.
2.1 Định nghĩa đa tạp Stiefel
Ký hiệu R
pxn
là tập hợp các ma trận cấp p
×
n lấy phần tử trên trường số
thực R. Ký hiệu V

p,n
là tập tất cả các bộ phận gồm p vectơ độc lập tuyến tính
trong không gian vectơ n chiều R
n
. Mỗi bộ thế này còn gọi là một p- mục
tiêu. V
p,n
được gọi là đa tạp Stiefel các p – mục tiêu trong R
n
. Ta sẽ đồng
nhất mỗi p-mục tiêu như vậy với một ma trận X cấp p
×
n có
hạng bằng p (rankX = p).
21
2.2 Mệnh đề: V
p, n
= { X
∈
R
pxn
, rank X = p} là tập mở Zariski trong R
pxn
.
Chứng minh: Từ định nghĩa ta thấy, X
∉
V
p,n
khi và chỉ khi mọi định thức
con cấp p của X đều triệt tiêu. Mỗi ma trận X, có tất cả

p
n
C
định thức con cấp
p như vậy, mà mỗi chúng, như đã nói ở Ví dụ 2, mục 1.1.3, Chương I, là một
đa thức thuần nhất bậc p gồm p
2
biến. Như vậy, phần bù của V
p,n
trong không
gian ma trận
p n
R
×
là nghiệm của một họ
p
n
C
các đa thức. Do đó nó là một
tập đóng đại số Zariski, cho nên V
p, n
là một tập mở Zariski với cấu trúc tôpô
tự nhiên.

2.3 Định nghĩa đa tạp Grassmann
Đa tạp Grassmann G
p, n
là họ tất cả các p- phẳng cùng đi qua 1 điểm
trong không gian afin R
n

. Khi p = 1, như ta đã biết, đó là không gian xạ ảnh
P
n-1
. Như vậy, khái niệm đa tạp Grassmann là sự tổng quát hóa khái niệm
không gian xạ ảnh.
2.4. Một số cách xây dựng đa tạp Grassmann
Trong mục này ta sẽ trình bày các cách xây sựng đa tạp Grassmann.
22
2.4.1 Ta xét một tác động của nhóm tuyến tính tổng quát GL(p,R) tất cả các
ma trận thực, cấp p
×
p không suy biến trên V
p, n
cho bởi :
( , ) XT X Ta
,
( , )T GL p R
∈
,
X
∈
V
p, n
(nhân ma trận T với bên trái ma trận X). Tác động
này là giải tích và tự do, nghĩa là ánh xạ
, ,
: ( , )
p n p n
GL p R V V
ϕ

× →
xác định
bởi
( , ) XT X Ta
là ánh xạ giải tích và
X
p
T X T I
= ⇔ =
( ma trận đơn vị
cấp p x p). Thật vậy, phép nhân hai ma trân T và x cho ta một họ pn ánh xạ
tọa độ tương ứng với các phần tử thứ (i,j) của ma trân tích TX. Phần tử thứ (i,
j) xác định bởi hàng i (i = 1, 2, …, p) của ma trận T nhân với cột j (j = 1, 2,
…, n) của ma trận X, nên nó có dạng
t
i1
x
j1
+ t
i2
x
j2
+ … + t
ip
x
jp
.
Đây là một đa thức thuần nhật bậc 2, 2p biến (là các biến t
i1
, t

i2
, , t
ip
, x
j1
,
x
j2
…., x
jp
). Nên phép nhân hai ma trận là ánh xạ giải tích, nghĩa là tác động
trên là giải tích.
Không gian quỹ đạo của tác động này, ký hiệu bởi
, ,
/ ( , )
p n p n
G V GL p R
=
.
2.4.2 Mệnh đề: Mỗi quỹ đạo của tác động này được đồng nhất với một p-
phẳng trong không gian afin R
n
, nên không gian quỹ đạp
, ,
/ ( , )
p n p n
G V GL p R
=
cũng sẽ được gọi là đa tạp Grassmann.
23

Chứng minh. Gọi O là điểm mà tất cả các p-phẳng trong R
n
đi qua. Mỗi p-
phẳng được xác định duy nhất bởi một không gian vẹc tơ con p- chiều của
không gian vecto R
n
và điểm O. Nhưng mỗi không gian vectơ lại sinh bởi một
p-mục tiêu và hai p-mục tiêu cùng sinh ra một không gian vecto khi và chỉ khi
chúng cùng một quỹ đại bởi tác động nói trên. Do đó, mỗi quỹ đạo của tác
động này được đồng nhất với mộp p-phẳng qua điểm O và ngược lại.
2.4.3 Ký hiệu NV
p, n
là tập hợp tất cả các bộ p véc tơ trực chuẩn trong không
gian vecto Ơclit R
n
; nghiã là

1
2
i i j
,
p
p×n
p, n
X
X
; X = 1 và X , X =
X
NV X= R
i j

δ
 
 
 
 
 
 
≡ ∈
 
 
 
 
 
 
 
M
Ở đây, mỗi X
i
là một vecto hàng thứ I, gồm n tọa độ của ma trận X.
2.4.4 Mệnh đề : NV
p, n
là tập đóng đại số Zariski trong không gian vecto R
p x n
gồm tất cả các ma trận chữ nhật cấp p
×
n.
Chứng minh. Vì
24

1

i
2

i j
,
p
p, n
X
X = 1 (1)
X

X , X = (2)
X
X = NV
i j
δ
 
 


 
∈ ⇔

 


 
 
M

Nhưng mỗi điều kiện (1) và (2) đều cho bởi các đa thức nhiều biến, nên NV
p, n
là tập đóng đại số Zariski.
2.4.5 Mệnh đề: NV
p, n
là tập compact trong R
p x n
.
Chứng minh. Điều kiện (1) trong Mệnh đề 2.4.4 trên nói lên rằng mỗi X là
một phần tử của tích Đềcác p mặt cầu đơn vị trong không gian R
n – 1
. Cho nên
NV
p, n
là tập bị chặn và do đó theo Mệnh đề trên, NV
p, n
đóng nên nó compact.
Xét tác động của nhóm trực giao O(p,R) trên NV
p, n
cho bởi:

( , ) XT X Ta
,
( , )T O p R
∈
,
Nghĩa là ta có thể xem giống như thu hẹp tác động của GL(p, R) trên V
p, n
.
Từ đây ta có không gai quỹ đạo NV

p, n
/ O(p, R).
2.4.6 Mệnh đề: Tác động của O(p, R) trên NV
p, n
là giải tích, tự do.
25