Chuyên đề Nguyên Hàm Tích Phân Thạc sỹ Lê Văn Đoàn

15 chun

ơn thi

i h c – Cao

5

Chun

ng mơn Tốn

Ths. Lê Văn ồn

NGUN HÀM – TÍCH PHÂN –

NG D NG

A – NGUYÊN HÀM
I – KI N TH C CƠ B N
1/ Khái ni m nguyên hàm
Hàm s f ( x ) xác

nh trên K. Hàm s F ( x ) ư c g i là nguyên hàm c a f ( x ) trên K n u:

F' ( x ) = f ( x ), ∀x ∈ K .
N u F ( x ) là m t nguyên hàm c a f ( x ) trên K thì h nguyên hàm c a f ( x ) trên K là

N u m i hàm s

∫ f ( x).dx = F (x ) + C , const = C ∈ » .

f ( x ) liên t c trên K u có nguyên hàm trên K.

2/ Tính ch t nguyên hàm
Tính ch t 1:
Tính ch t 2:
Tính ch t 3:



 ∫ f ( x ).dx  =
'

∫ f ' (x ).dx = f ( x ) + C .
∫ k.f (x ).dx = k.∫ f (x ).dx (k : const ≠ 0) .
∫ f (x ) ± g (x ).dx = ∫ f (x ).dx ± ∫ g (x ).dx .

3/ B ng nguyên hàm cơ b n

∫ 0.dx = C .

∫

∫ dx = x + C .
∫
∫

∫ cosx.dx = sinx + C .

x α +1
x .dx =

+ C.
α +1
1
.dx = ln x + C .
x
α

∫ e .dx = e
x

M r ng:

∫

1
x2

x

5

∫ sinx.dx = −cosx + C .
∫
∫

+C.

dx = −

ax

a .dx =
+C.
lna
x

1
+C.
x

1
2

.dx =

∫ (1 + tan x ).dx = tanx + C .
2

cos x
1
.dx = −∫ 1 + cot 2 x .dx = −cotx + C .
2
sin x


dx
1  x−a 
+ C.

=
ln 

∫ x 2 − a 2 2a  x + a 







(

)

Lưu ý r ng:
Khi thay x b ng (ax + b) trong b ng nguyên hàm, thì khi l y nguyên hàm, ta ph i nhân
1
dx
1
k t qu thêm . Ch ng h n như: ∫
= ln ax + b + C ,...
a
ax + b a

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

Page - 1 -


Chun

Ths. Lê Văn ồn

5. Ngun hàm – Tích phân và các ng d ng

4/ Các phương pháp tính nguyên hàm thư ng g p
PP
Tích c a a th c ho c lũy th a   Khai tri n.
→
PP
Tích các hàm mũ   Khai tri n theo công th c mũ.
→
PP
Ch a căn   Chuy n v lũy th a.
→
PP
Tích lư ng giác b c m t   Bi n i t ng thành tích.
→
PP
B c ch n c a sinx và cosx   Dùng công th c h b c.
→
PP
 N u: B c t ≥ B c m u   Chia a th c.
→

Hàm h u t (không ch a căn) 
PP
ng nh t th c.
 N u: B c t < B c m u  
→
Phương pháp i bi n s .

N u

∫ f (u ).du = F (u) + C, C ∈ » và u = u (x ) có o hàm liên t
∫ f (x ) .u' (x).dx = F u (x) + C .

Tách t hàm Nhân thêm
Nguyên hàm t ng ph n.
 N u u, v là hai hàm s có

c thì:

Có s n

o hàm liên t c trên K thì

∫ u.dv = u.v −∫ v.du .

Vi phân
u = ...............   du = ........... dx

→

Ch n 
Nguyên hàm
dv = ........ dx    v = ................
→




 Nh n d ng : Tích 2 hàm khác lo i nhân nhau (mũ nhân lư ng giác, log nhân ã th c,…).
 Cách ch n : th t ưu tiên ch n u là “log – a – lư ng – mũ” và dv là ph n còn l i.
Nghĩa là : N u trong bài tốn tìm ngun hàm có ch a lnx thì ta ch n u = lnx,
còn dv là ph n còn l i, n u khơng có ln ho c log thì ta ch n u là a th c, dv
là ph n còn l i,….

Lưu ý r ng:
 Trong nguyên hàm t ng ph n: B c c a a th c và b c c a lnx tương ng v i s l n l y
nguyên hàm t ng ph n. Cách ch n u và dv cũng tuân theo qui lu t trên. Ch ng h n như
khi t u = ln2x ho c u = x2 + 1 thì ta ph i l y nguyên hàm t ng ph n hai l n trong cách
gi i m i i n k t qu sau cùng.
 Khi tính nguyên hàm c n ph i n m v ng b ng nguyên hàm cơ b n và phép tính vi phân.
 Nguyên hàm c a m t t
hàm c a nh ng hàm s
tìm nguyên hàm c a m
hi u c a nh ng hàm s

ng (hi u) c a nhi u hàm s chính là t ng (hi u) c a các nguyên
thành ph n. i u ó cũng ng nghĩa v i kh ng nh: “Mu n
t hàm s , ta ph i bi n i hàm s này thành m t t ng ho c
tìm ư c nguyên hàm (d a vào b ng nguyên hàm)”.

 Nguyên hàm c a m t tích (thương) c a nhi u hàm hàm s khơng bao gi b ng
tích (thương) c a các nguyên hàm c a nh ng hàm s thành ph n.
 Khi tính nguyên hàm c a hàm lư ng giác, c n n m v ng công th c bi n
lư ng giác.

Page - 2 -

i

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chun

ơn thi

i h c – Cao

ng mơn Tốn

Ths. Lê Văn ồn

II – D ng tốn 1. Tính ngun hàm d a vào b ng nguyên hàm cơ b n

Phương pháp: Bi n

i bi u th c hàm s

s d ng ư c b ng các nguyên hàm cơ b n.

Lưu ý :
s d ng ư c phương pháp này c n ph i :
N m v ng b ng nguyên hàm.
N m v ng phép tính vi phân.
ch ng minh F ( x ) là m t nguyên hàm c a hàm s f ( x ) . Ta ch ng minh: F' ( x ) = f ( x ) .
tìm i u ki n c a tham s sao cho F ( x ) là 1 nguyên hàm c a hàm s f ( x ) , ta th c hi n:
Cho F' ( x ) = f ( x ) .
S d ng

ng nh t th c

suy ra tham s .

Tìm nguyên hàm c a hàm s th a i u ki n cho trư c, nghĩa là :
Tìm F' ( x ) = f ( x ) + C .
K t h p i u ki n

tìm h ng s C.

Bài t p áp d ng
Bài 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau.
a/

3
f (x ) = x − 4x +
x

x4
S: F (x ) =
+ 2x 2 + 3.ln x + C .
4

b/

f (x ) = x + 3 x + 4 x

S: F (x ) =

2 3
33 4
44 5
x +
x +
x +C.
3
4
5

c/

f (x ) =

2x 4 + 2

S: F (x ) =

2 3 2
x − + C.
3
x

d/

f (x ) =

3

x2

1

+

2 x
x −1

3
3

x

+

5
5

x

S: F (x ) = x +

9 3 2 25 5 4
x +
x + C.
2
4

S: F (x ) = ln x +

1

+ C.
x

e/

f (x ) =

f/

f (x ) = 2 sin2

g/

f (x ) = tan2 x

S: F (x ) = tan x − x + C .

h/

f (x ) = cos2 x

S: F (x ) =

x

2

x
2

S: F (x ) = x + sin x + C .

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

1
1
x + sin 2x + C .
2
4

Page - 3 -


Chuyên

Ths. Lê Văn oàn

1

i/

f (x ) =

j/

f (x ) = sin x cos x

S: F (x ) = −2 cot 2x + C .

2

sin x cos2 x
4

sin5 x sin6 x
−
+ C.
S: F (x ) =
5
7

3

1
S: F (x ) = − cos 5x − cos x + C .
5

k/ f (x ) = 2 sin 3x cos 2x
l/

(

5. Nguyên hàm – Tích phân và các ng d ng

)

1
S: F (x ) = e 2x − e x + C .
2

f (x ) = e x e x − 1



e −x 


m/ f (x ) = e x 2 +



cos2 x 



S: F (x ) = 2e x + tan x + C .

n/ f (x ) = e 3x +1

S: F (x ) =

1 3 x +1
e
+ C.
3

Bài 2. Tìm nguyên hàm F ( x ) c a hàm s f ( x ) th a mãn i u ki n cho trư c.

x4
5

− x 2 + 5x − .
4
4

a/ f (x ) = x 3 − 4x + 5 , F (1) = 3

S: F (x ) =

b/ f (x ) = 3 − 5 cos x , F (π ) = 2

S: F (x ) = 3x − 5 sin x + 2 − 3π .

c/ f (x ) =

3 − 5x 2
, F (e ) = 1
x

S: F (x ) = 3 ln x −

x2 + 1
3
d/ f (x ) =
, F (1) =
x
2
e/ f (x ) = x x +

1
x

x2
S: F (x ) =
+ ln x + 1 .
2

, F (1) = −2

S: F (x ) =

π

 
f/ f (x ) = sin 2x . cos x , F '   = 0
3
 

g/ f (x ) =

3x 4 − 2x 3 + 5

h/ f (x ) =

x 3 + 3x 2 + 3x − 7

x2

i/ f (x ) = sin2

Page - 4 -

2

π π
x
, F =
 

2 4
2
 

2 5
22
x +2 x −
.
5
5

1
1
7
S: F (x ) = − cos x − cos x +
.
6
2
12

, F (1) = 2

(x + 1)

5x 2 5e 2
+
−2.
2
2

S: F (x ) = x 3 − x 2 −

5
+7.
x

S: F (x ) =

x2
8
+x +
.
2
x +1

S: F (x ) =

, F (0) = 8

x sin x 1
+
− .

2
2
2

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chun

ơn thi

i h c – Cao

ng mơn Tốn

Ths. Lê Văn oàn

Bài 3. Ch ng minh F ( x ) là m t nguyên hàm c a hàm s f ( x ) .

(

)

3
2


F (x ) = 5x + 4x − 7x + 120
a/ 
f (x ) = 15x 2 + 8x − 7






F x = ln x + x 2 + 3
 ( )


b/ 

1
f (x ) =



x2 + 3



F (x ) = (4x − 5)e x


c/ 
f (x ) = (4x − 1)e x




4



F (x ) = tan x + 3x − 5
d/ 
f (x ) = 4 tan 5 x + 4 tan 3 x + 3





 2




x + 4 
F (x ) = ln  2
x + 3







e/ 
−2x

f (x ) =



x2 + 4 x2 + 3






x2 − x 2 + 1

F (x ) = ln


x2 + x 2 + 1
f/ 


2 2 x2 −1

 f (x ) =


x4 +1



(

)(

(

)

Bài 4. Tìm i u ki n tham s m, a, b, c

)

F ( x ) là m t nguyên hàm c a hàm s f ( x ) .

F (x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4x + 3


a/ 
f (x ) = 3x 2 + 10x − 4




S: m = 1 .

F x = ln x 2 − mx + 5
 ( )


b/ 

f (x ) = 2x + 3



x 2 + 3x + 5



S: m = − 3 .

(

)

(

)

2
x


F (x ) = ax + bx + c e

c/ 
 f (x ) = (x − 3)e x




F x = ax 2 + bx + c e −2x
 ( )

d/ 


f (x ) = − 2x 2 − 8x + 7 e −2x




(
(

(

)

)

S: a = 0, b = 1, c = −4 .

S: a = 1, b = −3, c = 2 .

F x = ax 2 + bx + c e −x
 ( )

e/ 

f (x ) = x 2 − 3x + 2 e −x




S: a = −1, b = 1, c = −1 .



F (x ) = (a + 1) sin x + b sin 2x + c sin 3x

f/ 
2
3

f (x ) = cos x




S: a = b = c = 0 .

F x = ax 2 + bx + c 2x − 3
 ( )


2
g/ 

f (x ) = 20x − 30x + 7


2x − 3



S: a = 4, b = −2, c = 1 .

(

)

)

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

Page - 5 -


Chun

Ths. Lê Văn ồn

5. Ngun hàm – Tích phân và các ng d ng

III – D ng tốn 2. Tính nguyên hàm ∫ f (x) .dx b ng phương pháp

i bi n s

Phương pháp
N u f ( x ) có d ng f ( x ) = g  u ( x ) .u' ( x ) thì ra


Khi ó:

∫ f (x).dx = ∫ g(t).dt . Trong

ó

t t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) .dx .

∫ g(t).dt

d tìm ư c.

Lưu ý r ng: Sau khi tính ∫ g(t).dt ta ph i tr l i t = u ( x ) .
Lưu ý. Thư ng g p các trư ng h p sau:
D ng nguyên hàm

Cách



∫ f  f (x ) .f ' ( x ).dx

t = n f ( x ) ⇒ t n = f ( x ) ⇒ n.t n −1 .dt = f ' ( x ) .dx

n





t = (....) ⇒ dt = ...... dx

∫ f (....)  .x.dx

n

∫

1
f (lnx ). .dx
x

∫

f

∫

f

(
(
(

)

)


 dx = a .dt = a 1 + tan 2 t .dt
 x = a.tant


cos 2 t

⇒
 x = a.cott
a

2

 dx = − 2 .dt = −a 1 + cot t .dt

sin t

ch n

a 2 + x 2 .x

)

.dx

x 2 − a 2 .xch n.dx

∫

 a 
 .dx

f x





e + b


(

)

(

)

 2

 x = a = a. 1 + cot 2 x
x = a

sin t ⇒ 
sin 2 t

a
 2
x = a
= a. 1 + tan 2 x
x =

2

cos t
cos t


(

(

x = e t ⇒ t = lnx ⇒ dt =

)
)

1
.dx
x

ta thư ng hay s d ng công th c: sin2x + cos2x = 1.

 Trong d ng

Page - 6 -

1
dx
x



 x = a.sint ⇒  dx = a.cost.dt
 x = a.cost
 dx = −a.cost.dt




∫

 Trong d ng

t = ln x ⇒ dt =

a 2 − x 2 .xch n .dx
.

f

 Trong d ng

i bi n

,

ta thư ng s d ng công th c: 1 + tan 2 x =

1
2

cos x
x
ta thư ng s d ng công th c: a = b ⇔ x = log a b .

; 1 + cot 2 x =

1
sin 2 x

.

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chun

ơn thi

i h c – Cao

ng mơn Tốn

Ths. Lê Văn ồn

Bài t p áp d ng
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau.
a/

∫ (5x − 1)

d/

∫ (2x

g/

∫

x 2 + 1.xdx

∫

sin 4 x cos xdx

j/

m/

p/

11

)

7

+ 1 xdx

dx

b/

∫

e/

∫ (x

h/

(3 − 2x )

)

4

+ 5 x 2dx

3

3x 2

∫

5 + 2x 3
sin x

e −3

k/

∫

∫

x .e x

ln 3 x
dx
x

q/

∫e

b/

∫

2

dx

dx

+1

5 − 2xdx

f/

∫x

2

i/

∫

x
+5

dx

dx

(

x 1+ x

∫

∫

e

∫

e tan x

+1

c/

∫

f/

∫ 1+x

i/

∫x

l/

∫

)

2

tan xdx

l/

o/

dx

dx
x

∫

r/

cos 5 x

x

c/

5

n/

e xdx

∫
∫

2

xdx

cos2 x
x

dx
x

cos2 x

dx

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau.
a/

d/

∫

∫

g/

∫

j/

∫x

dx

(1 − x )
2

3

dx
4 − x2

x 2dx
1−x
2

2

x − 1.dx
2

dx

(1 + x )
2

e/

∫x

h/

∫x

k/

∫

2

3

1 − x 2 .dx

dx

2

+x +1
x2

x2 − 4

.dx

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

1 − x 2 .dx

dx

3

2

x 2 + 1.dx
1

x2 − 3

.dx

Page - 7 -


Chun

Ths. Lê Văn ồn

5. Ngun hàm – Tích phân và các ng d ng

IV – D ng tốn 3. Tính nguyên hàm b ng phương pháp nguyên hàm t ng ph n

Phương pháp
 N u u, v là hai hàm s có

o hàm liên t c trên K thì

∫ u.dv = u.v −∫ v.du .

Vi phân


→
u = ...............   du = ........... dx
Ch n 
Nguyên hàm
dv = ........ dx    v = ................
→




 Nh n d ng : Tích 2 hàm khác lo i nhân nhau (mũ nhân lư ng giác, log nhân ã th c,…).
 Cách ch n : th t ưu tiên ch n u là “log – a – lư ng – mũ” và dv là ph n còn l i.
Nghĩa là : N u trong bài tốn tìm ngun hàm có ch a lnx thì

ta ch n u = lnx,cịn dv là ph n cịn l i, n u khơng có ln ho c
log thì ta ch n u là a th c, dv là ph n còn l i,….

Bài t p áp d ng
Bài 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau.

1 2
1
x
x − 1 ln (1 + x ) − x 2 + + C .
2
4
2
x
2
S: F (x ) = e x − 1 + C .

(
(

∫ x ln (1 + x )
∫ (x + 2x − 1)e dx

S: F (x ) =

∫ x sin (2x + 1)dx
∫ (1 − x ) cos xdx

e/

x
∫ e .sin 2x .dx

S: F (x ) =

f/

∫ x .cos x.dx

)
)

S: F (x ) = −

a/
b/
c/
d/

2

x

x
1
cos (2x + 1) + sin (2x + 1) + C .
2
4
S: F (x ) = (1 − x ) sin x − cos x + C .
e x sin 2x − 2e x cos 2x

+ C.
5
S: F (x ) = x 2 sin x − 2 (x sin x + cos x ) + C .

2

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau.
a/

∫e

b/

∫ x. sin

c/

∫ cos (ln x )dx
ln (cos x )
∫ cos x dx

d/

e/

Page - 8 -

x

2

xdx (ÐHL − 1999)

S: F (x ) = ln (cos x ). tan x + tan x − x + C .

2

∫

(

x ln x + x 2 + k
x2 + k

1
(5 + cos 2x + 2 sin 2x )e x + C .
10
1
x
1
S: F (x ) = x 2 + sin 2x + cos 2x + C .
4
4
8
x
S: F (x ) =  cos (ln x ) + sin (ln x ) + C .

2
S: F (x ) =

cos2 xdx

)dx

S: F (x ) = x 2 + k ln(x + x 2 + k ) − x + C .

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chun

ơn thi

i h c – Cao

ng mơn Tốn

Ths. Lê Văn oàn

f/

∫

g/

∫ 1 + cos x e dx

ex
+C .
x +1

x 
 

S: F (x ) = e x tan   + C .
 
2


h/

∫ sin x ln(tan x )dx

x 
S: F (x ) = − cos x ln (tan x ) + ln tan   + C .
 

2
 

xe x

S: F (x ) =

dx
(x + 1)2
1 + sin x

x

Bài t p rèn luy n

Bài 1. Tính nguyên hàm c a các hàm s sau:

∫ x.e .dx
d/ ∫ ln (x + 1 + x ).dx
g/ ∫ x sin(2x + 1).dx
j/ ∫ x .e .dx
m/ ∫ e . (x + 1).dx
p/ ∫ e .sin x .dx
s/ ∫ sin x .dx

∫ x . cos x .dx
e/ ∫ (−x + 3x + 1).e .dx
h/ ∫ (1 − x ) cos x .dx
k/ ∫ x . ln x .dx
n/ ∫ (x + 1). cos x .dx
q/ ∫ x .cos x .dx
t/ ∫ cos x .dx

x

a/

b/

2

−x

2

2

x

x

2

x

c/
f/
i/
l/
o/
r/
u/

∫ ln x.dx
∫ x . sin x .dx
∫ (1 − 2x )e .dx
∫ x .e .dx
∫ e . cos x .dx
∫ x. cos x.dx
∫ x sin x .dx
x

−x 2

x

2

Bài 2. Tính nguyên hàm c a các hàm s sau.
a/
d/

∫e

x

b/

dx

∫ sin

3

ln x

e/

x .dx

g/

∫

j/

∫

m/

x

(ln x ) .dx
2

p/

∫

s/

∫ (1 + tan x + tan x )e dx

.dx
2

x

∫

x . ln2 x .dx

∫

∫ e . sin (2x + 1).dx

∫

sin x
∫ e . cos x .dx

x

x . cos x

(1 + sin x )

2

 ln x 





 x  dx




.dx

∫

l/

∫ cos x .ln(sin x ).dx

o/

∫

r/

∫

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

u/

x + sin x
cos2 x

.dx

x 2e xdx

∫ (x + 2)

2

2

t/

x .e x

.dx
x +1

i/

q/

1+x

ln x .dx
x

f/

∫ x .2 .dx

n/

∫ x . ln 1 − x .dx

∫

x

k/

x5
x 2 . sin x .dx

sin 2 x

c/

ln x .dx

h/

.dx

x

∫

∫

x3
1 + x2

dx

Page - 9 -


Chun

Ths. Lê Văn ồn

5. Ngun hàm – Tích phân và các ng d ng

V – D ng tốn 4. Tính nguyên hàm b ng phương pháp dùng hàm ph

tv n

: Xác

nh nguyên hàm c a hàm s f ( x ) , ta c n tìm m t hàm g ( x ) sao cho nguyên

hàm c a hàm s f ( x ) ± g ( x ) d xác

nh hơn so v i f ( x ) . T

ó suy ra nguyên

hàm c a f ( x ) .

M t th c hành:
Bư c 1. Tìm hàm g ( x ) .
nh nguyên hàm c a hàm s f ( x ) ± g ( x ) . Nghĩa là:

Bư c 2. Xác



F ( x ) + G ( x ) = A ( x ) + C1

F ( x ) − G ( x ) = B ( x ) + C2



Bư c 3. C ng (1) v i (2) , ta ư c: F ( x ) =

hàm s f ( x ) c n tìm.

(1)
(2)
1
A ( x ) + B ( x ) + C là nguyên hàm c a

2 

Bài t p áp d ng
Tính nguyên hàm c a các hàm s sau.

sin x
dx
sin x − cos x

1/

∫

3/

∫ sin x + cos xdx

sin x

sin 4 x

5/

∫

7/

∫ 2 sin

9/

∫e

∫ sin x + cos xdx

cos x

cos4 x

x . sin 2xdx

8/

∫ 2 cos

dx
−x

10/

−e
ex

dx

11/ ∫

e x + e −x

13/ ∫

sin x .dx
2013 sin x + cos x

Page - 10 -

4/

∫

ex
x

∫

6/

sin 4 x + cos 4 x
2

cos x
dx
sin x − cos x

2/

dx

12/

sin 4 x + cos 4 x

∫e
∫e

14/ ∫

2

x . sin 2xdx

e −x
x

− e −x
e −x

x

dx

+ e −x

dx

dx

6 cos x .dx
5 sin x + cos x

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chun

ơn thi

i h c – Cao

ng mơn Tốn

Ths. Lê Văn ồn

VI – D ng tốn 5. Tính ngun hàm l p hàm h u t (phân s )

Bài toán : Tính

P (x )

i P ( x ) và Q ( x ) là các a th c không ch a căn.

∫ Q ( x).dx v

Phương pháp :
N u b c c a t P ( x ) ≥ b c c a m u Q ( x ) . Ch ng h n như

∫

x 3 − 3x 2 − x + 2
x2

ti n hành chia a th c, r i dùng công th c trong b ng nguyên hàm

.dx . Ta s

tính.

N u b c c a t P ( x ) < b c c a m u Q ( x ) và Q ( x ) có d ng tích nhi u nhân t thì ta phân
tích

P (x)

Q (x )

thành t ng c a nhi u phân th c (b ng phương pháp h s b t

1

( x − a )(x − b)
mx + n

 a
A

B
1
1
b 
.


+
⇒
=
−



x−a x−b
an − bm  ax + m bx + n 

(ax + m)(bx + n )

=

A

=

+

( x − a )(x − b) (x − a )
1

( x − m)(ax

2

+ bx + c

1

( x − a ) ( x − b)
2

2

nh). Ví d như :

=

)

B
.
x−b

A
Bx + C
v i ∆ = b 2 − 4ac < 0 .
+
2
x−m
ax + bx + c

=

(

)

A
B
C
D
+
+
+
.
x − a ( x − a )2
x − b ( x − b)2

M t s lo i khác
 Lo i : I1 =

∫

dx

(x

2

+ a2



f x +



 Lo i : I 2 =

∫

 Lo i : I3 =

∫ ax

)

n

PP
, (n ∈ N*)  x = a.tant .
→



1 
1
1
PP


. 1 − 2  .dx   t = x + .

→

x 
x
x 



dx
2

+ bx + c

+ N u ∆ = 0 thì ⇒ I3 =
+ N u ∆ > 0 thì I3 =

PP
, (a ≠ 0)  Ta ti n hành xét ∆ = b 2 − 4ac .
→

∫ ax

dx
2

+ bx + c
1

=

1
2a

∫ a ( x − x )(x − x ).dx ⇒
1

−2

∫ (2ax + b)

.dx = ......

ng nh t th c ⇒ k t qu .

2

v i x1, x 2 là hai nghi m phân bi t c a phương trình ax 2 + bx + c = 0 .

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

Page - 11 -


Chuyên

Ths. Lê Văn oàn

2





b

− ∆  , r i

i m u s : ax + bx + c = a.  x +  + 
 4a 




2a 








+ N u ∆ < 0 ta bi n

2

px + q

 Lo i: I 4 = ∫

2

ax + bx + c

.dx .

+ N u ∆ ≥ 0 ta ti n hành
+ N u ∆ < 0 ta bi n

ng nh t th c bình thư ng ⇒ K t qu .

i I4 =

p
2a

∫

(2ax + b) dx


b.p 
dx
.
∫ 2
.
+ q −



2


2a  ax + bx + c
ax + bx + c 
I3 khi ∆<0

A

Tìm A :

i bi n

b
∆
= − .tant , ưa bài toán v lo i I1 mà ã bi t cách gi i.
2a
4a

t: x +

s b ng cách

5. Nguyên hàm – Tích phân và các ng d ng

t t = ax 2 + bx + c .

i bi n b ng cách

Bài t p áp d ng

Bài 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau.
1/ I 1 =

∫

2/ I 2 =

∫

(x

4

)

− 3x 2 + 2x − 1 dx

x2
x 2 + x + 1 dx

(

)

x +2

(x

2

)

− 3x + 3 dx

x3
1
S: I 1 =
− 3x + 2 ln x + + C .
3
x
x2
1
S: I 2 =
+x −
+C .
2
ln x + 2

x2 5
8
17
85
− x + ln
x−
+C .
S: I 3 =
4
4
17
8

16

3/ I 3 =

∫

4/ I 4 =

∫ 2x + 3 .dx

5/ I 5 =

∫

6/ I 6 =

∫

7/ I 7 =

∫ x (x + 1)

8/ I 8 =

∫ (x + 1)(2x − 3)

S: I 8 =

1 2x − 3
ln

+C .
5
x +1

9/ I 9 =

∫ 2x

dx

S: I 9 =

2
2x − 5
ln
+C .
3 2 (x − 1)

10/ I 10 =

∫x

S: I 10 =

1 x −5
ln
+C .
3 x −2

Page - 12 -

2x + 1
x +1

3x + 1
.dx
x −2
x3
dx
x2 + 1
dx

dx

2

− 7x + 5
dx

2

− 7x + 10

S: I 4 =

x 1
− ln 2x + 3 + C .
2 4

S: I 5 = 3x + 7 ln x − 2 + C .

S: I 6 = x 2 − ln x 2 + 1 + 1 + C .
S: I 7 = ln

x
+C .
x +1

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chuyên

ôn thi

i h c – Cao

x2 + 1

ng môn Toán

11/ I 11 =

∫

12/ I 12 =

∫x

13/ I 13 =

∫

14/ I 14 =

∫ (x + 1)(2x + 1) .dx

x2 −1

S: I 11 = x + ln

.dx

x

x +1

∫ (x − 2)(x + 3)

16/ I 16 =

(4x + 3)dx
∫ x − 4x + 3
(2x + 7)dx
2

19/ I 19 =

∫ 4x

20/ I 20 =

∫

21/ I 21 =

∫x

23/ I 23 =
24/ I 24 =
25/ I 25 =

∫

dx

3x − 2x − 1

5x − 7

2x + 5

∫

∫

27/ I 27 =

∫

2

7x − 4
− 3x + 2

x +x
dx
3
6x − 7x 2 − 3x

x3 −1

∫ 4x

3

−x

3

dx

1
2x + 1
ln
+C .
4 2x + 3
1
3x + 3
ln
+C .

4
3x + 1
9
x −1
+C .
ln
2 x +1

2
17  1 


ln 3x − 1 − 


 3x − 1 + C .

9
9 


1
x2
= ln 2
+C .
4 x +2


1 x +3
2x + 4

 +C
=  ln
−
.

4  x + 1 (x + 1)(x + 3)



S: I 25 = −

dx

x 3 − x 2 − 4x − 1
4

+C .

S: I 24

(x + 3) (x + 1)
2

3

x +3

S: I 23

)

dx

∫x

(x + 2)

+C .


1 1
 ln x − 2 − 1 ln x − 1  + C .





3 4 x + 2 2 x + 1 


S: I 22 =

dx
9x 2 − 6x + 1
+2

2

S: I 21 = 5 ln x + 1 −

dx
− 3x + 2

2

13 ln x − 3 − 7 ln x − 1

S: I 20 =

+ 8x + 3

∫ x (x

3
2
1 
ln  x − 2 (x + 2)  + C .

5 

S: I 19 =

dx

2

2

1
ln 2x + 1 + C .

2

S: I 18 =

− 5x 2 + 4
2

S: I 15 =

S: I 17 = ln

+ 5x + 6

dx

26/ I 26 =

28/ I 28 =

4

S: I 14 = ln x + 1 −

3

dx

∫x

1

x −2
ln
+C .
4 x +2

S: I 16 =

2

18/ I 18 =

22/ I 22 =

dx

1
+C .
3−x

S: I 13 =

− 6x + 9
dx
x2 − 4

∫x

x −1
+C .
x +1

S: I 12 =

dx
2

15/ I 15 =

17/ I 17 =

Ths. Lê Văn oàn

dx

S: I 26 =
S: I 27
S: I 28 =

1
x −1
+ 2 ln
+C .
x −1
x +2

1
2

+

3
+ 2 ln x − ln x + 1 + C .
x

2x
1
2
3
3
1
= − ln x + ln x − + ln x + .
3
33
2 11
3

1
7
1
9
1
x + ln x − ln x − − ln x + + C .
4
16
2 16
2

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

Page - 13 -

Chuyên

Ths. Lê Văn oàn

29/ I 29 =

x 3 − 3x + 2

∫x

(x

2

)

+ 2x + 1

(x + 2) dx

5. Nguyên hàm – Tích phân và các ng d ng

4
+C .
x +1

S: I 29 = x + 2 ln x + 4 ln x + 1 −

dx

2

30/ I 30 =

∫ x (x

2

S: I 30 = 4 ln x − 2 ln x − 1 −

)

− 2x + 1

9
+C .
x −1

Bài 2. Tính các nguyên hàm c a các hàm s .

dx

1/ J 1 = ∫

4/ J 4 =
7/ J 7 =

2/ J 2 =

x2 + 9

∫x
∫x

dx
2

5/ J 5 =

− 2x + 6
dx

2

8/ J 8 =

−x +2

(

)

(x − 1) x 2 − 1
2

(x

2

+2

)

2

(6x + 2)dx

∫

∫ (x

dx
2

)(

+ 4 x2 + 9

)

(x

+4

2

)

3

(2x + 1).dx

∫x

6/ J 6 =

x2 − x + 1

dx

∫

3/ J 3 =

+ 3x + 4

2

(x − 1)dx

∫ 4x

9/ J 10 =

2

− 8x + 5

(2x + 41x − 91)dx
=∫
(x − x − 12)(x − 1)
2

4x 2 + 3x − 1

10/ J10 = ∫

dx

∫

dx

11/ J 11

2

Bài t p rèn luy n
Bài 1. Tính nguyên hàm c a các hàm s sau:
1/

∫x

dx
2

+ 2x + 1

x + x +1
.dx
3
x
dx

4/

∫

7/

∫ (1 + x )(1 − 2x )

2/

∫ 4x

dx
2

+ 4x + 1

x5 + x4 − 8
dx
x 3 − 4x

5/

∫

8/

∫ (x − 2)(x + 3)

dx

dx

3/

∫x

2

6/

∫x

4

9/

∫ 4x

− 5x + 6
xdx

− 3x 2 + 2
dx

2

− 4x + 1

(x + 2) dx
2

10/

13/

∫

dx
3x 2 − 2x − 1
2dx

∫ x (x

2

)

+1

x 3dx

16/

∫ 1−x

19/

∫ 6x

14/

∫x

− 7x 2 − 3x

20/

4

− 2x 2 − 1

dx

∫ 4x + x

17/ ∫

4

dx
3

11/

dx

3

x 2dx

1−x
x3 −1
4

∫ 4x

3

dx
−1

12/

∫ x (x

2

)

− 2x + 1

x 2dx

15/

∫

18/

∫ 2x

21/

∫x

(x

)(

−1 x2 + 4

2

)

2xdx

− 3x − 2
dx

3

2

+8

Bài 2. Tính nguyên hàm c a các hàm s sau.

Page - 14 -

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chun

ơn thi

i h c – Cao

ng mơn Tốn

dx

1/

∫x

2

3/

∫x

4

5/

∫x

7/

9/

11/

13/

∫

(

∫

10

∫

25/

27/

29/

31/

x 3dx
3

∫

+1

4

x4 +1
dx
x6 + 1

∫ (x

∫

2

2

)(

(1 + x )

1002

dx
3

∫x

4

)

− 1 dx

x 2001dx

∫x

− x3 − 2
x 3 − 3x + 2

(x

2

)

+1
xdx

x2 + 1
dx
x4 +1

dx

(x

− 3x + 2

)

+1

2

dx

(x

)

+1

2

3

x 7dx

(x

8

)

+1

2

∫

(x − 1)

5



1
1


dx

−




 2x + 1

2x + 3 

dx

(

)

x x 10 + 1

(x
6

26/

∫x

9

28/

∫x

3

∫

4

x 2dx

∫x

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

2

dx

∫

32/

dx

)

+ 2x + 1

2

∫ 1+x

∫

30/

2

dx
+x +1
x 5dx

24/

+ 5x + 1 x − 3x + 1

2

∫

22/

dx

(x

∫

20/

− 2x cos α + 1

x2 −1

∫x

18/

xdx
2

∫

16/

− 7x − 8
dx
1− x4

∫x

∫

14/

(1 − x )

17/

23/

)

+1

6

∫x

12/

2

x 2dx

∫x

21/

+1

x 3dx

15/

19/

2

2

8

6

10/

10

x 3dx

(x

∫x

8/

)

x x +1
2

2

6/

dx

)

+ 2x + 1

∫x

4/

dx

∫x

∫

− x2 + 2

x 3 − 3x + 2
2

x +2

2/

−x + 3
x 3dx

(x

Ths. Lê Văn oàn

2

)

− x dx

3

+ 4x 4 + 4x 2 + 1

dx
+ 3x 5

dx
−1

x 7dx

(x

∫x

4

)

+1

2

xdx
4

− 2x − 1

Page - 15 -


Chun

Ths. Lê Văn ồn

5. Ngun hàm – Tích phân và các ng d ng

VII – D ng tốn 6. Tính nguyên hàm l p hàm vô t (ch a căn th c)

N u g p nguyên hàm ch a căn th c d ng
Tr các trư ng h p sau:
Trư ng h p 1:

∫

f

Trư ng h p 2:

∫

f



PP
→
∫ f  u (x ) .v (x ).dx  90%

(

 x = a. tan t
PP
x 2 + a 2 .x ch n.dx  
→
 x = a. cot t

(

u (x ) .

t t=

 x = a.sint
PP
a 2 − x 2 .x ch n .dx   
→
 x = a.cost

Trư ng h p 3:

∫ f(

Trư ng h p 4:

∫

Trư ng h p 5:

∫ R 

)

)

x2 − a2

)


x = a

PP
sin t
→
.x ch n.dx   
x = a

cos t


dx

1
PP
  x − a = .
→
n
t
(x − a ) . ax 2 + bx + c
 s1

ax + b,

s2

ax + b,

s3

s

PP
ax + b,......, k ax + b    ax + b = t n .
→


(n là b i s chung l n nh t c a s1, s2, s3, …, sk)
Trư ng h p 6:

∫

Trư ng h p 7:

∫

Trư ng h p 8:

∫

Trư ng h p 9:




R









PP
 dx   t = (x + a ) + (x + b ) .
→



x + a )( x + b) 

(
1

x−a
.dx = ∫
x+a

x−a
x2 − a2

dx
ax + b + ax + c

=

.dx =∫

1
b−c ∫

a  u 2 ( x ) + α 
+
= 
2
2
u (x ) + α
u (x ) + α
v (x)

Sau ó, dùng h s b t

nh

(

2x.dx
2 x2 − a2

dx − a.∫

dx
x2 − a2

.

)

ax + b + ax + c .dx .

b.u ( x )
u 2 (x ) + α

+

c
u 2 (x) + α

.

tìm a, b, c.

Lưu ý:
 Khi

i bi n ( t n ph ) , k t qu sau cùng ph i tr v giá tr bi n cũ.
a.f ' ( x )
PP
 Ngồi ra, ta cịn g p d ng ∫
.dx  t = f ( x ) .
→
f (x)

 Có th dùng phương pháp “nh y t ng l u”

Page - 16 -

gi i d ng b c t < b c m u.

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chun

ơn thi

i h c – Cao

ng mơn Tốn

Ths. Lê Văn ồn

Bài t p áp d ng
Bài 1. Tính ngun hàm c a các hàm s sau.
1/ I 1 =

∫

3/ I 3 =

∫ x.
∫

5/ I 5 =

2/ I 2 =

4 − x .dx

x +1
3x + 1

3

x3

∫x

4/ I 4 =

5 − 2x .dx

∫

6/ I 6 =

.dx

7/ I 7 =

∫

9/ I 9 =

∫ x . (1 + x ) .dx

x 2 + 1.dx

x −1
x 2 − 2x + 2
3x 2

∫

5 + 2x 3

8/ I 8 =

∫ 1+

10/ I 10 =

∫

.dx

2/ I 2 =

∫

.dx

4/ I 4 =

∫

1 − x 2 .dx

6/ I 6 =

∫x

x2 + 2

.dx

2

3

dx

x3
3

.dx

x4 +1

.dx

x

.dx
2x + 1 + 1

Bài 2. Tính nguyên hàm c a các hàm s sau.
1/ I 1 =

∫

3/ I 3 =

∫

5/ I 5 =

∫

7/ I 7 =

1
x +4
1
2

1+x

2

dx

x 2 + 5.dx

1
3+x

1 − x 2 .dx

2

x 2dx

8/ I 8 =

∫

10/ I 10 =

∫

12/ I 12 =

∫ x.

14/ I 14 =

∫



5

 4 2x + 1 −


dx




3



2x + 1 

16/ I 16 =

∫ x.

1 3 1−x
.dx
1+x

18/ I 18 =

∫

20/ I 20 =

∫

∫

9/ I 9 = ∫

4 − x2

x2
x −1
2

1

11/ I 11 =

∫x

13/ I 13 =

∫ x.

15/ I 15 =

∫

17/ I 17 =

∫

x 2 + 3x − 6
1
2x − x 2

.dx

.dx

∫x

19/ I 19 =

.dx

dx
x 2 − 5x + 6

.dx

2

1− x2
x 2 − 5.dx

1
2x 2 + 2x + 1
1

3

1

x + x

.dx

.dx

1+x
.dx
1−x
dx

(x + 3)(x + 7)
dx
x 2 + 6x + 8

Bài t p rèn luy n
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

Page - 17 -


Chun

Ths. Lê Văn ồn

5. Ngun hàm – Tích phân và các ng d ng

Bài 1. Tính nguyên hàm c a các hàm s sau.
1/

∫ cos

3/

∫

5/

∫

2/

dx

(1 − x )

∫

5/

∫

7/

∫

9/

∫

11/

∫

13/

∫

15/

∫

17/

∫

19/

∫

21/

∫

23/

∫

25/

∫

27/

x
x +2

.
dx

x 2 − 25

x −1

(x + 1)

x2 + 1

dx

dx

(x + 1).

3 + 2x − x 2
dx

(2x + 3)

4x 2 + 12x + 5

dx
x 2 + 2x + 3
dx
x2 − x −1

x2 + x + 1
dx

dx

(1 − x )
2

2/

∫

4/

∫
∫
∫

x 2 − 16.dx

∫

dx

12/

∫

14/

∫

16/

∫

18/
20/

26/

∫

3

dx
x2 + x + 1

x 2 + 9.dx
1
6−x

28/

2

(x − 1)

.dx

1 − x2
dx

(x − 1).

−x 2 + 2x + 3
dx

(x + 1).

2x 2 + 2x + 1

1+x
.dx
1−x
1 + x2

∫
∫

.dx

2x + 1 + 2x − 1

∫

24/

x −1
2

dx

∫

22/

1 − 4x − x 2 .dx

x2

∫ x.

10/

4−x .
dx
2

x2

1

8/

.
dx

8 + x2

x 2 − 1.dx

6/

x − 2x + 1.dx

x2

1 + x 3 dx

23

6/

.dx

2

∫x+

∫ x.

x

Bài 2. Tính nguyên hàm c a các hàm s sau.
1
1/ ∫
.dx
x +1 − x −1
3/

∫x

4/

x .dx

x4
xdx

.dx

9x 2 − 6x
4x + 5

dx
x 2 + 6x + 1
dx
3

3x + 1 − 2x + 1

dx

(x

2

+ 16

)

3

2xdx

∫x+

x2 − 1

VIII – D ng tốn 7. Tính ngun hàm l p hàm lư ng giác
Page - 18 -

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chun

ơn thi

i h c – Cao

ng mơn Tốn

Ths. Lê Văn ồn

Phương pháp
PP
Tích b c nh t c a các hàm lư ng giác  dùng công th c bi n
→

i tích thành t ng :

1

 sin (a + b) x + sin (a − b) x  .
2
1
sin ax. sin bx =  cos (a − b) x − cos (a + b)x  .

2
1
cos ax. cos bx =  cos (a + b) x + cos (a − b) x  .

2
sin ax. cos bx =

PP
N u g p b c ch n c a sinx và cosx  dùng công th c h b c :
→

 2

cos x = 1 + 1 cos 2 x


2 2

 2
1 1

sin x = − cos 2x


2 2


2


1 1

2
 4
2
 − cos 2 x  = 1 − 1 cos 2x − 1 cos2 2x = ...


sin x = sin x = 

2 2



4 2
4




2


1 1

2

1 1
1




⇒ cos4 x = cos2 x =  + cos 2 x  = + cos 2x + cos2 2x = ...



4 2
4
2 2



3





cos6 x = cos 2 x 3 =  1 + 1 cos 2 x  = ...




2 2








(

(

)

(

M t s phương pháp

)

)

i bi n thông thư ng

i v i l p nguyên hàm lư ng giác

D ng: I1 =

→
∫ f (cosx ) .sinx.dx  t = cosx .

D ng: I2 =

→
∫ f (sinx ) .cosx.dx  t = sinx .

PP

PP


 I = f ( tanx ) . 1 dx
PP
 t = tanx .
→
D ng:  3 ∫
cos 2 x
2
 I3 = ∫ f ( tanx ) . 1 + tan x dx


(

)


I =
D ng:  4

 I4 =


∫ f (cotx ). sin x .dx
∫ f (cotx ).(1 + cot x ).dx

D ng: I5 =

∫ (

1

2

PP
  t = cot x
→

2

sin 2 x
f sin x ; cos x .sin2x.dx  t =  2
→
 cos x
2

2

)

PP


 t = sinx + cosx
 I6 = ∫ f (sinx + cosx ) . (sinx − cosx ) dx
PP
D ng: 
 
→
 I6 = ∫ f (sinx − cosx ) . (sinx + cosx ) dx
 t = sinx − cosx
 of tomorrow are in the seeds of today……”
“All the flower


2dt


Page - 19 -


Ths. Lê Văn oàn

Page - 20 -

Chuyên

5. Nguyên hàm – Tích phân và các ng d ng

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

15 chuyên

∫

ôn thi

i h c – Cao

dx
=
a sin x + b cos x ∫

=

ng mơn Tốn

dx
a 2 + b 2 sin ( x + α )
1

2 a 2 + b2

∫

Ths. Lê Văn oàn

=∫

dx
x + α

 cos  x + α 





2 a 2 + b2 sin 


 2 
 2 





̉
ሖ
x + α
ôibiên t
dx


ሱۛۛۛۛۛۛۛۛۛሮ t = tan 


 2 

x + α 2 x + α



 cos 




tan 



 2 
 2 





ሗ
ሖ
B (c. cos x − d. sin x ) Đô୬୥୬୦â୲୲୦ứୡ
a. sin x + b. cos x
=A+
ሱۛۛۛۛۛۛۛۛۛሮ A, B .
c. sin x + d. cos x
c. sin x + d. cos x

B (c. cos x − d. sin x )

a. sin x + b. cos x + m
C
=A+
+
c. sin x + d. cos x + n
c. sin x + d. cos x + n c. sin x + d. cos x + n
ሗ
ሖ
Đô୬୥୬୦â୲୲୦ứୡ

ሱۛۛۛۛۛۛۛۛۛሮ A, B, C
Bài t p áp d ng
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau.
1/

∫ tan xdx

2/

∫ cot xdx

3/

∫ cos

xdx

4/

∫ sin

5/

∫ tan

xdx

6/

∫ cot

7/

∫ sin

xdx

8/

∫ cos

9/

∫ tan

11/

∫ cos

13/

∫ cot

15/

∫ cos

18/

2

2

3

2

xdx

2

xdx

3

xdx

3

xdx

4

xdx

3

xdx

10/

∫ cot

4

xdx

12/

∫ sin

4

xdx

14/

∫ tan

xdx

16/

∫ sin

∫ sin x. sin 3xdx

19/

∫ cos 7x . cos 3x.dx

21/

∫ sin 5x .cos x .dx

22/

∫ sin x sin 2x cos 5xdx

23/

∫ cos x cos 2x cos 3x.dx

24/

∫ cos 5x cos 4x sin 3x .dx

6

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

4

6

xdx

xdx

Page - 21 -


Chun

Ths. Lê Văn ồn

5. Ngun hàm – Tích phân và các ng d ng

Bài 2. Tính các nguyên hàm.
1/

∫ sin x . cos

3/

∫ sin

3

3

2/

x . cos4 x .dx

sin 3 x

5/

∫

7/

∫ sin

9/

∫ sin x cos x (1 + cos x ) dx

cos 4 x
5

x . cos4 x .dx

sin 3 x

∫

∫ cos

cos2 x
5

.dx

xdx

∫

15/

∫ (tan x + e

sin x

17/

∫

1 − 2 sin2 x
1 + sin 2x

19/

∫

1
dx
sin x

21/

∫

sin x cos3 x

23/

∫ 6 − 5 sin x + sin

1 + cos2 x

dx

cos xdx

2

x


x


1 + tan x . tan  sin xdx




2



25/

∫

27/

∫ 1 + cos x dx

29/

∫

31/

∫

33/

∫

35/

∫ 1 + sin x

cos 2x

.dx

dx
sin 3 x cos 3 x
dx
3

cos x sin x

∫

sin 2x

∫e

16/

∫ (e
∫

4 − cos2 x

∫

1
dx
cos x

22/

)

cos x dx

∫

14/

sin 2x cos x
dx
1 + cos x

10/

cos3 xdx
1 + sin x

20/

13/

Page - 22 -

4

18/

∫

dx

∫ sin

12/

11/

4 sin3 x
dx
1 + cos x

sin x

x . cos x .dx

8/
2

3

3

6/

.dx

xdx

1

∫ sin

4/

x .dx

∫

sin 2x 1 + sin2 x dx

24/

∫

cos 3x
dx
sin x

26/

∫

sin 3x − sin 3 3x
dx
1 + cos 3x

28/

∫

30/

∫

32/

∫

34/

∫ 1 − cos x

36/

∫ 1 + cos x dx

4 − cos2 x
cos x

sin x

dx

sin 2xdx

)

+ cos x cos xdx

sin 2xdx

(

cos 2x
sin2 x . cos2 x
1
sin 4 x

)

3

.dx

.dx

dx
sin 4 x cos 4 x

dx

1 − cos x

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chuyên
37/

ôn thi

∫

i h c – Cao

sin x cos x
sin x + cos x
4

4

ng mơn Tốn

Ths. Lê Văn ồn
38/

dx

∫

sin 2xdx
4 − cos2 2x

Bài 3. Tính các nguyên hàm.

sin 2x

1/

∫ 1 + cos

3/

∫ sin 2x (1 + sin x ) dx

2

2/

dx

x

3

2

4/

sin 4x

∫ 1 + cos

2

∫

e tan x
cos2 x

x

dx

dx

(tan x + 1)

2

5/
7/

9/
11/

∫

∫

dx
1 + tan x

(

8/

)

∫

sin x + 9 cos2 x

∫

tan 4 x
dx
cos 2x

12/

dx

2

∫

10/

sin 3 x

∫ tan

tan2 x + 1 cos5 x
1

∫ 2 − cos
∫

6/

2

x

dx

tan3 x
dx
cos 2x
1

14/

13/

∫

cos4 2x

15/

∫

sin x + 2 sin 2x − cos x

17/

∫(

dx

dx
2

2

)

2

sin x + cos x dx

∫

16/

∫

18/

∫

cos2 x

dx

1
2

6

dx

xdx

(

sin2 xdx

cos4 x tan2 x − 2 tan x + 5

)

dx
2

sin x cos2 x

dx
sin2 x 4 cot x

Bài 4. Tính các nguyên hàm.
1/

∫

sin x − cos x
dx
sin x + cos x

2/

∫

3/

∫

1 + sin 2x + cos 2x
dx
sin x + cos x

4/

∫

6/

∫

8/

∫

5/

7/

∫

∫


π

sin x − dx




4


sin 2x + 2 (1 + sin x + cos x )

sin2 x
6

cos x

dx

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

cos 2x
sin x + cos x + 2

cos 2x .dx

(sin x + cos x + 2)

2

cos 2xdx

(sin x − cos x + 3)

2

dx
3

sin11 x cos x

Page - 23 -


Chun

Ths. Lê Văn ồn

9/

∫

5. Ngun hàm – Tích phân và các ng d ng
10/

∫

tan 4 x

dx
cos 2x

dx

2/

∫

cos x

dx

4/

∫

dx
sin x cos3 x

Bài 5. Tính các nguyên hàm.
1/

∫

3/

∫

5/

∫

cos x
2 + cos 2x

cos x
1 + cos2 x
1
2

sin x cot x
3 cot x + 1
dx
sin2 x

7/

∫

9/

∫

11/

∫ cos x

13/

∫

15/

6/

dx

cos x + sin x
3 + sin 2x

8/

∫

1 + cos2 x
sin 2x

cos x + 4 sin x
2

sin 3 x − sin x
sin 3 x

dx

cot x .dx

∫

12/

tan xdx

∫

10/

dx

2

∫

∫

16/

∫

2/

∫

dx

sin 2x + sin x
1 + 3 cos x

dx

sin x + cos x
3

sin x − cos x

dx

2 sin 2x + sin x

∫

14/

7 + cos 2x

6 cos x − 2

dx

sin x − cos x
1 + sin 2x

sin x cos xdx
4 cos2 x + 9 sin2 x
6

1 − cos 3 x . sin x cos5 xdx

tan x . cos 3 x − cos x

cos 3 x

.dx

Bài 6. Tính các nguyên hàm.
1/
3/

∫

∫

sin x .dx
sin x + cos x

sin 4 x .dx

sin6 x .dx

4/

∫

6/

∫ 2 sin

x sin 2xdx

8/

∫

dx
4 sin x + 3 cos x + 5

10/

∫ 1 + sin x

12/

∫

sin 4 x + cos4 x
cos6 x .dx

5/

∫

7/

∫ 2 cos

9/

∫

11/

∫ 1 + cos x + sin x

Page - 24 -

cos x .dx
sin x − cos x

sin x + cos x
6

6

2

dx

sin6 x + cos6 x
2

x sin 2xdx

dx
cos x + sin x + 1
sin xdx

sin x + 7 cos x + 6
dx
4 sin x + 3 cos x + 5

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”


15 chun

ơn thi

ng mơn Tốn

sin 3x sin 4x
dx
tan x + cot 2x

13/

∫

15/

∫ cos

17/

∫ cos

19/
21/

i h c – Cao

Ths. Lê Văn oàn

sin 3 xdx
3 sin 4x − sin 6x − 3 sin 2x

14/

∫

x cos 2xdx

16/

∫ sin

x cos 5xdx

18/

∫ cos 3x . tan x .dx

∫ cos 5x . tan x .dx

20/

∫ (sin

∫

2

3

3

x . sin 3xdx

4

)(

∫

cot4 x
dx
cos 2x

2/

∫

dx

π


cos x cos x + 


4




4/

∫ 2 sin x + 1

6/

1
dx
sin 2x − 2 sin x

)

x + cos4 x sin6 x + cos6 x dx

∫

22/

Bài 7. Tính các nguyên hàm.
1/

∫

dx

π



sin x sin x + 


4



3/

∫

dx

π


sin x sin x + 


3



5/

∫ 2 cos x + 1

dx


π


tan x tan x + dx



4



7/

∫

9/

∫

11/

∫ 2+

13/

∫

15/

∫

17/

∫

19/

∫

3 sin x + cos x
8 cos xdx
3 sin 2x − cos 2x

2 sin x + 3 cos x
dx
sin x + 2 cos x
sin x + 2 cos x
3 sin x + cos x
cos2 x
sin x + 3 cos x

dx
2 + sin x + cos x


π 
π




tan x +  cot x + dx

 


3 
6

 


dx
3

)

dx

sin x + 7 cos x + 6
dx
4 sin x + 3 cos x + 5

“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”

8/

∫

10/

dx

(

dx

∫ 2 sin x − cos x + 1

12/

∫ 1 + sin 2x dx

14/

∫

dx

sin x

sin x + 2 cos x

(

3 sin x + cos x

)

2

dx

4 sin x + 3 cos x
dx
sin x + 2 cos x

16/

∫

18/

∫ 2 sin x − cos x + 1 dx

20/

∫

5 sin x

dx
3 sin x − 2 sin x cos x − cos2 x
2

Page - 25 -