Đề cương ôn tập học kỳ II lớp 12 môn Toán

Đề cương ôn thi học kỳ II năm học 2009 – 2010
CHỦ ĐỀ 1 : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Lưu ý:
1. Đối với phương pháp đổi biến số
+ Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa
22
xa −
thì đặt x = a sint hoặc x = acost
+ Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa
22
xa +
thì đặt x = a tant hoặc x = a cott
2. Đối với phương pháp nguyên hàm ( hoặc tích phân) từng phần cần chú ý
* Với
∫
+ dxbaxxf )ln()(
Đặt
ln( )
( )
u ax b
dv f x dx
= +


=

ta có
( )
adx
du
ax b

v f x dx

=

+


=

∫
* Với
∫
+ dxbaxxf )sin()(
Đặt
( )
sin( )
u f x
dv ax b dx
=


= +

ta có
( )
1
cos( )
du f x dx
v ax b
a

′
=



= − +


* Với
∫
+ dxbaxxf )cos()(
Đặt
( )
cos( )
u f x
dv ax b dx
=


= +

ta có
( )
1
sin( )
du f x dx
v ax b
a
′
=




= +


* Với
dxexf
bax
∫
+
)(
Đặt
( )
ax b
u f x
dv e dx
+
=


=

ta có
( )
1
ax b
du f x dx
v e
a

+
′
=



=


* Với
dx
dcx
dcx
e
bax






+
+
∫
+
)cos(
)sin(
Đặt tuỳ ý.
Phần 1 : NGUYÊN HÀM
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1.
dx
x
xx
∫
−+
3
623
2.
xdx
∫
2
cos
3.
xdx
∫
2
tan
4.
dx
e
x
x
∫
− 31
5.
∫
xdxx 5cos.3cos

6.

dxx
∫
2
cot
7.
xdx
∫
2
sin
8.
∫
xdxx 3cos4sin
9.
dxe
x
∫
+32
10.
∫
+ dxx)21(
11.
dxxxx )23)(2(
2
+−
∫
12.
( )
dx
x
x

∫
+
4
3
2
13.
∫
+ dxx )2(
2
14.
dxxxx )5)(4(
3
−+
∫

15.
( )
dx
x
x
∫
+
2
2
2
1
16.
dxx )72(
3
−

∫
17.
dxx
∫
−
3
)3(
18.
( )
( )
dxxxxx 12 +−
∫
19.
dx
x
x
∫






−
2
3
1
3
1
20.

dx
x
xx
∫
+ 32
2
21.
( )
dx
x
xxx






−+
∫
−
1
3
32
22.
dxxx
∫









+
2
3
3
4
10
2
5
23.
dx
x
xxx
∫
+−+
2
23
12
24.
∫
−+ dxxx )4)(12(
25.
( )
dx
x
x
∫

+
4
3
2
Bài 2: Dùng phương pháp đổi biến số tìm các nguyên hàm sau đây:
26.
dx
x
x
∫
−
3
2
1
9
28.
dxxx
∫
−
4
2
1
27.
∫
+ 45x
dx
29.
( )
∫
+

2
1 xx
dx
30.
( )
∫
+
5
4
3
56x
dxx
31.
∫
−1cos2sin xx
dx 32.
dxxx
∫
+12
2
33.
dxxx
∫
+ 43
32
Trường THPT Lê Thế Hiếu Trang 1
Đề cương ôn thi học kỳ II năm học 2009 – 2010
Bài 3: Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần hãy tìm các nguyên hàm sau:
34.
( )

dxex
x2
13
−
∫
+
39.
∫
xdxxln
35.
( )
dxxx 23ln2 −
∫

40.
dxex
x 322 +
∫
36.
dxex
x
∫
+132
41.
xx 2cos3
2
∫
37.
( )
dxxx 62sin

2
+
∫
42.
xdxe
x
sin
∫
38.
( )
dxxe
x
∫
−
−
54cos
32
43.
( )
dxxe
x
∫
− 73sin
2
Bài 4: Dùng phương pháp đồng nhất hệ số hãy tìm các nguyên hàm sau đây:
44.
dx
xx
x
∫

−+
+
54
42
2
45.
∫
−− 752
3
2
xx
xdx
46.
dx
xx
x
∫
−−
+
6
3
2
47.
3 2
2
4 2 5
3 4
x x x
dx
x x

+ − +
+ −
∫
Phần II : TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính các tích phân:
1.
dx
x
x
2
4
2
2
1
3
∫






+
2.
( )
dxxxx
∫
−
3
0

52
3.
dx
x
e
x
∫






+
+
1
0
8
3
2
4.
( )
dxxx 34
1
0
3
−
∫
−
5.

( )
dxx
6
5
2
52
∫
−
6.
( )
dxx
2
4
1
23
∫
+
7.
( )
dxex
x
∫
−
−
+
0
3
3
8.
dx

x
xxx
∫
+−
3
1
23
9.
( )
dxe
x
∫
−
1
0
3
5
10.
∫
2
1
2
4
x
e
dx
11.
( )
dxee
xx

∫
−
−
−
1
1
12.
(
)
dxe
x
∫
−
1
0
1
13.
( )
dxxx
∫
−
−
4
1
42
3
Bài 2: Tính các tích phân sau (dùng phương pháp đổi biến số )
14.
∫
−

2
2
0
2
1 dxx
15.
dxxx
∫
+
2
1
2
3
16.
∫
−
−
1
1
21
dxe
x
17.
( )
dxxx
∫
+
1
0
2

3
2
1
18.
∫
2
3
5sin
π
π
x
dx

19.
( )
dxxx
∫
+
1
0
32
5
20.
∫
+
1
0
4
3
3 x

dxx
21.
dxxx
∫
+
2
0
cos8sin
π
22.
∫
−
x
x
dx
1
2
4
Bài 3: Tính các tích phân sau (dùng phương pháp tích phân từng phần)
23.
( )
dxex
x
∫
+
1
0
12
24.
( )

xdxx sin61
2
0
∫
−
π
25.
( )
dxex
x21
2
1
0
32
−
∫
+

26.
( )
dxex
x3
2
1
32
∫
−
+
27.
dxex

x
∫
2
1
22
28.
xdxx 3sin
2
0
2
∫
π
29.
( )
xdxxx 2cos52
2
∫
−
−
π
π
30.
( )
xdxx
e
ln1
1
∫
+
31.

dx
x
x
∫
2
1
2
ln

32.
( )
xdxx
e
3ln32
1
∫
+
33. I
( )
xdxx sin12
2
1
2
∫
−=
34. I
∫
=
2
2

3
3sin
π
xdxe
x
Bài 4: Tính các tích phân sau đây (dùng phương pháp đồng nhất hệ số)
36.
2
2
1
1x
dx
x x
−
+
∫
37.
0
2
1
3 2
x
dx
x x
−
− +
∫
38.
4
2

3
1
4
dx
x
−
∫
39.
2
2
0
2
3 2
x
dx
x x+ +
∫
Trường THPT Lê Thế Hiếu Trang 2
Đề cương ôn thi học kỳ II năm học 2009 – 2010
PHẦN III : ỨNG DỤNG
Bài tập 1: Hãy tính thể tích củ vật thể sinh bởi hình (H) khi (H) xoay quanh 0x
a. (H)=
, 0, ; 0
3
y tgx x x y
 
= = = =
 
 
π

b. (H)=
{ }
62,64
22
+−−=+−=
xxyxxy
Bài 2: Miền (B) giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y =
1
1
+
−
x
x
và hai trục toạ độ.
a.Tính diện tích của miền (B) b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay (B) quanh trục 0x.
Bài 3: Miền (D) giới hạn bởi đồ thị (C) của hsố y =
1
1
+
−
x
x
và hai tiệm cận của(C) và hai đthẳng x =3, x =-3.
a.Tính diện tích của miền (D). b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay (D) quanh trục 0x
Bài 4: Miền (E) giới hạn bởi y = e
.,1,ln; exxxy
x
===
a. Tính diện tích của miền (E). b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay (E) quanh trục 0x
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi.

a. Đồ thị hàm số y = x
xx 23
23
+−
, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3
b. Đồ thị hàm số y =
3
x
, trục hoành, đường x = 2 c. Đồ thị hàm số y = 4- x
2
và trục hoành
d. Đồ thị hàm số y = x
4
3
−
, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = -2
e. Đồ thị hàm số y = x
x4
3
−
, trục hoành, đường x = -2 và đường x = 4
Bài 6 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi.
a. Đồ thị hàm số y = e
1+
x
, trục hoành, trục tung và đường thẳng x =1
b. Đồ thị hàm số y = e
1
2
−

x
, trục hoành, đường x =1 và đường x = 2
c. Đồ thị hàm số y =
x x
e e
−
−
, trục hoành, đường x =-1 và đường x = 1
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi.
a. Đồ thị hàm số y =
1
2
+x
, Ox, Oy và đường thẳng x = 4 b. Đồ thị hàm số y=
x−2
3
,Ox, đt x =-1 và x=1
Bài tập 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn.
a. H =
{ }
2,0,,2
2
===+= xxxyxy
b.H =
{ }
1,0,,2
2
===−= xxxyxy
c. H =
{ }

xyxy =−= ,2
2
d. H =
{ }
4,27
22
+=−= xyxy
Bài 9 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành của hình phẳng H
a. H =
{ }
(4 ), Oxy x x
= −
b. H =
{ }
, Ox, 0, 3
x
y e x x
= = =
Bài 11 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x = 0, x = 1, y = 0, y = 5x
33
24
++ x
b. y = x
3,1
2
=++ yx
c.
2
2, 3y x y x

= + =
d. y = 4x - x
0,
2
=y
e. y = lnx, y = 0,x = e g. x = y
8,1,
3
== xy
Bài 12 : Tính diện tích của hình phẳng bởi.:a.y=x(x-1)(x-2),y=0 b.x=-
xyyx cos,0,,
2
===
π
π
Bài 14: Tính diện tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hp giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay
xung quanh trục 0x:
Trường THPT Lê Thế Hiếu Trang 3
Đề cương ôn thi học kỳ II năm học 2009 – 2010
a.y = 0, y = 2x-x
2
b.y =cosx, y=0, x=0, x =
4
π
c.y = sin
2
x ,y=0 ,x=0 , x=
π
d. y=xe
2x

, y=0, x=0, x=2
Bài 15: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hp giới hạn bởi các đường y = sinx, y = 0 , x = 0, x =
4
π
khi nó quay quanh trục 0x
Bài 16 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình elip
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, khi nó quay quanh trục 0x.
Bài 17 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x
2
và
y = x
3
xung quanh trục 0x
Bài 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.
a. xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a (a > 0) b.y = e
x
, y =e
x−
, x = 1
Bài 20: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a. y = x
2
1
e
2
x
, x =1 , x = 2 , y = 0 khi nó quay xung quanh 0x
b. y = lnx , x = 1 ,x = 2, y = 0 khi nó quay xung quanh 0x
c. y
32
x=
, y = 0, x = 1 khi nó quay xung quanh trục 0x
CHỦ ĐỀ 2: SỐ PHỨC
Bài1. Thực hiện các phép tính sau:
a.
( 2 7 ) (14 ) (1 2 )i i i− + + − + −
b.
(2 17 ) (4 ) (11 3 )i i i− + + − −

c.
( 5 7 ) (9 3 ) (11 6 )i i i− − − − − +
d.
( 2 7 ) (14 ) (1 2 ) ( 2 5 )i i i i− + − − + − − +

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a.
(2 7 )(4 )(1 2 )i i i− − +
b.
(2 7 )(4 ) (11 3 )i i i− + − −
c.

( 5 )(4 3 ) (11 6 )i i i− − − + +
d.
2110 2110
(1 ) (1 )i i+ − +
e.
( 2 5 )(1 ) (1 2 )(3 )i i i i− + − + − +
f.
2 3
( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )i i i i− + − + − +
g.
3
1 3
2 2
i
 
− +
 ÷
 ÷
 
h.
3
1 3
2 2
i
 
+
 ÷
 ÷
 

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
1.
2 2
( 2 5 ) (4 8 )i i− + +
2.
3 4
(2 ) (2 )i i+ −

3.
7
5 (1 )i i−

4.
5(4 2 ) 7 (8 5 )i i i− + −
5.
2 3
(2 )(3 ) (1 2 )i i i− − − −

6.
2 2
(4 ) (1 3 )i i− − −


7.
4 4
(3 ) (4 3 )i i− − −

8.
4 4
(2 7 ) [(1 2 )(3 )]i i i+ − − +

9.
2 3
( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )i i i i− + − + − +

Bài 4. Thực hiện các phép tính sau::
1.
2
1 3
i
i
+
− −
2.
2 5
3 2
i
i
−
−

3.
5
2 5
i
i−

4.
2
1 3i+

5.
(3 )(2 6 )
1
i i
i
+ +
−

6 .
1 3
(2 )(1 4 )
i
i i
−
+ −


7.
(1 2 )( 4 )
(1 )(4 3 )
i i
i i
+ − +
− +

8.
2 5
(1 3 )( 2 )(1 )
i
i i i

− +
+ − − +

9.
2
3
( 3 2 )(1 )
(1 2 ) (3 )
i i
i i
− + −
− +

10.
(2 ) (1 )(4 3 )
3 2
i i i
i
+ + + −
−
11.
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
i
i
− +
+ −
−

12.
1 3 1 3
1 2 1 2
i i
i i
+ −
+
− +
Bài 5. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.
2
(4 3 ) (2 )i z i+ = −
b.
2
(1 ) 5i z i− =
c.
3
(1 2 ) (3 4 ) 2 3i z i i+ − − = − +

d.
( 2 7 ) (14 ) (1 2 )i z i i z− + = − + −
e.
2
( 2 5 ) ( 2 7 ) (1 )(1 2 )i z i i i+ = − + − − −


Trường THPT Lê Thế Hiếu Trang 4
Đề cương ôn thi học kỳ II năm học 2009 – 2010
f .
3

(2 7 )(4 )
z
i
i i
= −
+ +
g.
(9 3 ) (11 6 )
5 7
i i
i
z
− − +
= −
h.
(2 ) 3 4i z i− = +

i.
3 5 1 2
(1 )(4 3 )
1 3 2
i i
z i i
i i
+ +
+ = − +
−
k.
1 1 5 1 5
3 1 3 1

i i i
z
i i i
+ − −
 
+ =
 ÷
− + −
 
l.
5
(1 ) (3 2 )(1 3 )i z i i− = + +
Bài 6. Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của các số phức sau:
1
1 2
1 2
i
z
i
+ −
=
+ +
2
1 3
1 2
i
z
i
+
=

+
3
3
1 3
i
z
i
−
=
+
4
1 tan
1 tan
i
z
i
α
α
+
=
+
Bài 7. Tìm nghịch đảo của các số phức sau:
2 3i−

3
i

3
(1 )i−

2
(3 2)i−

2 2
(4 ) (1 3 )i i− − −
1 3
3 2
i
i
+
−
Bài 8. Tìm tập hợp các điểm M trong mp Oxy biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện:
1.
3 2 1z i− + =
2.
(3 2 )(1 ) 1z i i− + − =
3.
3
(1 ) 1z i− − =
4.
(1 3 ) 3 2z i z i+ − = + −
5.
4
z i
z i
−
=
+
6.
1

1
z i
=
+
7.
1
1z −
là một
số thuần ảo.
8.
z i
z i
+
−
là một sô thực dương
9.
2
( )z i−
là một số thực dương.
10.
2
( 1 )z i− +
là một số thuần
ảo.
Bài 9: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

2 2 2 4 2
4 2 3 2 2 4 2
1. 2 3 0 2. 3 2 0 3. 4 3 1 0 4. 3 4 0
3

5. 6 8 0 6. 3 4 0 7. 2 8.( 1)( 5 6) 0
z z z z z z z z
z z z z z z z z
z
+ + = − + = − + − = − − =
+ + = − + = + = + − − =
CHỦ ĐỀ 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán 1 : Các bài toán về toạ độ của vectơ, toạ độ của điểm
Bài 1: Cho
)4;0;4(),1;2;2(),3;2;1( −=−==
→→→
wvu
. Tìm tọa độ
→
x
, biết:

1
a) 2 4 , ) 5 3 , )2 3 0
2
x u v w b x u v w c u v w x
→ → → → → → → → → → → → →
= + − = − − + − + =
Bài 2: Cho
→
u
có điểm đầu là (1 ; -1 ; 3) và điểm cuối là (-2 ; 3 ; 5). Trong các vectơ sau đây vectơ nào cùng
phương với
→
u

.
→→→→→→→→→→→
+−=+=++−= kjicckjbbkjiaa 24),24),486)
Bài 3: Cho ba điểm A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4), C(x ; y ; 6). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng
Bài 4: Cho hai điểm A(-1 ; 6 ; 6), B(3 ; -6 ; -2). Tìm M thuộc Ox sao cho MA = MB
Bài 5: Tìm trên Oy điểm M cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
Bài 6: Tìm trên mặt phẳng Oxz cách đều ba điểm A(1 ; 1 ; 1), B(-1 ; 1 ; 0), C(3 ; 1 ; -1).
Bài 7: Chứng minh bốn điểm A(1 ; -1 ; 1), B(1 ; 3 ; 1), C(4 ; 3 ; 1), D(4 ; -1 ; 1) là các đỉnh của hình chữ
nhật. Tính độ dài các đường chéo, xác định tâm của hcn đó. Tính cosin của góc giữa hai vectơ
., BDAC
Bài 8: Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm của hình bình hành đó biết:
A(1 ; 1 ; 1), B(2 ; 3 ; 4), C(6 ; 5 ; 2)
Bài 9: a) Cho
)3;1;2(),1;;1( =−=
→→
bma
. Tìm m để
→→
⊥ ba
b) Cho
)0;1;2( −=
→
a
. Tìm
→
b
cùng phương với
→
a
, biết rằng

10. =
→→
ba
.
Bài 10: Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 0 ; 1), C(2 ; 1 ; 1).
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
Trường THPT Lê Thế Hiếu Trang 5
Đề cương ôn thi học kỳ II năm học 2009 – 2010
b) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
d) Tính độ dài đường cao h
a
của tam giác ABC.
e) Tính các góc của tam giác ABC.
f) Xác định tọa độ tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC.
Bài 11: Cho 3 điểm A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0)
a. Chứng minh ABC là tam giác vuông. b. Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC.
c. Tìm toạ độ điểm D sao cho A, B, C, D là các đỉnh của hình chữ nhật.
Bài toán 2 : Các bài toán về viết phương trình mặt cầu
Bài 12: Tìm toạ độ tâm và tính bán kính các mặt cầu sau:
a. x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x + 2y – 4z – 2 = 0 b. x
2
+ y
2

+ z
2
– 2x - 4y + 6z = 0
Bài 13: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:Tâm I(1 ; 0 ; -1), đường kính bằng 8.
a) Đường kính AB với A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)
b) Tâm O(0 ; 0 ; 0) tiếp xúc với m/c tâm I(3 ; -2 ; 4) và bán kính R = 1
c) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).
d) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy).
e) Tâm I(-2 ; 1 ; -3) và tiếp xúc mp(Oxz).
f) Tâm I(-2 ; 1 ; -3) và tiếp xúc mp(Oyz).
Bài 14: Viết phương trình mặt cầu trong cỏc trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
c) Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1).
Bài 15: Viết pt mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A(1; 1; 0) , B(-1; 1; 2) , C(1; -1; 2) và có tâm thuộc mp (P) :
x + y + z – 4 = 0
Bài 16: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(1; -1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 3x + 4y – z – 23 = 0 .
Tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 17: Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a.(S) có đường kính AB với A(6; 2; -5) , B(-4; 0; 7)
b.(S) có tâm I(1; 1; 2) và tiếp xúc với (P): x + 2y + 2z + 3 = 0
c. (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; -2; -1), B(-5; 10; 1), C(4; 1; 11), D(-8; -2; 2)
Bài 18: Cho phương trình x
2
+ y
2
+ z
2
– 4mx + 4y + 2mz + m
2

+ 4m = 0 (1). Tìm m để (1) là phương trình
một
mặt cầu và tìm m để bán kính mặt cầu đó là nhỏ nhất.
Bài toán 3 : Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
Bài 19: Viết PTTQ của mặt phẳng (α) biết:
a.(α) đi qua A(3; 4; -5) và song song với các vecto
u
(3; 1; -1) ;
v
(1; -2; 1)
b.(α) đi qua A(1; 0; 0) ; B(0; 2; 0) và C(0; 0; 2) c.(α) đi qua N(1; -2; 3) và chứa Ox
d.(α) đi qua M(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng (Q): x + y + z +1= 0
e.(α) đi qua E(1; 0; 1) , F(2; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P) có PTTQ : x + 2y + 3z + 3 = 0
Bài 20: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(1; 2; 3) , B(3; 4; -1)
a. Viết PTTQ của mp trung trực (P) của AB b. Viết PTTQ của mặt phẳng qua A và song song với
(P)
c. Viết PTTQ của mặt phẳng (Q) qua A , vuông góc với (P) và vuông góc với mặt phẳng Oyz
Bài 21: Viết PTTQ của mặt phẳng (α) biết:
a.(α) đi qua A(3; -2; 3) và song song với các trục toạ độ Ox , Oy
b.(α) đi qua B(-2; 3; 1) và vuông góc với các mp(P
1
): 2x + y + 2z – 10 = 0 (P
2
): 3x + 2y + z + 8 = 0
Bài 22: Viết PTTQ của mặt phẳng (P) biết:
a.(P) đi qua A(4; -1; 1) , B(3; 1; -1) và cùng phương với trục Ox b.(P) chứa Oy và đi qua C(4; 3; 1)
Bài 23 : Lập pt mặt phẳng (P) đi qua A(1,2,1) và chứa đường thẳng d:
2
2
3

1
1
3 +
=
+
=
− zyx
Trường THPT Lê Thế Hiếu Trang 6
Đề cương ôn thi học kỳ II năm học 2009 – 2010
Bài toán 4: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng – đk để hai mặt phẳng song song, vuông góc
Bài 24: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
a. 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và 3x – y + z – 1 = 0 b. –x + y – z + 4 = 0 và 2x – 2y + 2z – 7 = 0
c. x + y + z – 3 = 0 và 2x + y – 2z – 3 = 0 d. 3x + 3y – 6z – 12 = 0 và 4x + 4y -8z – 16 = 0
Bài 25: Cho hai mặt phẳng có phương trình : (m
2
– 5 )x – 2y + mz + m – 5 = 0 và x + 2y – 3nz + 3 = 0 với
m , n là các tham số. Tìm m và n để hai mặt phẳng :
a.song song b.trùng nhau c.cắt nhau
Bài 26: Xác định m để hai mp sau song song với nhau
a. (d) : 2x + my + 3z - 5 = 0, (d’):6x - y - z - 10 = 0 b. (d) : 2x + my + 2mz - 9 = 0, (d’) : 6x - y - z - 10 = 0
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng
Bài 27: Viết PTTS và PTCT của đường thẳng đi qua 2 điểm A(-1; 4; 3) và B(2; 1; 1)
Bài 28: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1; -2; 3) và song song với đường thẳng d:





=
−−=

+=
tz
ty
tx
4
2
31
Bài 29: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(2; 3; -4) và vuông góc với mphẳng (P) : x – 2y + z – 6 = 0
Bài 30: Mp (P) đi qua 3 điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3). Hãy viết phương trình tham số, phương trình
chính tắc của đt (d) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với (P).
Bài toán 6: Xét vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng
Bài 31: Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a.d:
12
2
2
1 zyx
=
−
−
=
−
và d
’
:






=
+−=
−=
4
35
2
z
ty
tx
b.d :





=
=
−=
t4z
ty
t1x
và (d’) :





=
+=
−=

1z
t24y
t2x

c.d :
2
2z
1
1y
2
3x
−
−
=
+
=
−
và d’:
3
2z
4
2y
1
1x −
=
+
=
−
Bài 32: Chứng minh rằng d:






=
−−=
+=
tz
ty
tx
2
42
61
vuông góc với mặt phẳng (P): 3x – 2y + z –2010 = 0
Bài 33: Viết PTTQ của mp chứa đt d:
2
2
3
2
2
1 −
=
−
+
=
− zyx
và vuông góc với mp(Q): 3x + 2y – z – 5 = 0
Bài 34: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
a)
( )

1
: 3
2
x t
d y t
z t
= +


= −


= +

(P): x – y + z + 3 = 0 b)
( )
12 4
: 9
1
x t
d y t
z t
= +


= +


= +


và (P): y + 4z + 17 = 0
Bài toán 7 (*): Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng, phương trình
đường vuông góc chungcủa hai đường thẳng chéo nhau
a.Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P)
*Phương pháp : + Gọi ∆
’
là hình chiếu vuông góc của ∆ lên (P)

⇒ ∆ = (P) ∩ (Q) với (Q) chứa ∆ và (Q) vuông góc với (P)
+ Viết PTTQ của mặt phẳng (Q)
+ Lấy M∈ ∆, xác định hình chiếu vuông góc M
’
của M xuống (P)
Trường THPT Lê Thế Hiếu Trang 7
Đề cương ôn thi học kỳ II năm học 2009 – 2010
+ Khi đó ∆
’
là đường thẳng đi qua M
’
và có VTCP = [
1
n
ur
,
2
n
uur
]
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp :

+ Giả sử A(x
A
; y
A
; z
A
) ∈ ∆, B(x
B
; y
B
; z
B
) ∈ ∆
’
sao cho:
1 1
2 2
. 0
. 0
AB n AB n
AB n AB n
 
⊥ =
 
⇔
 
⊥ =
 
 
uuur ur uuur ur

uuur uur uuur uur
(*)
+ Giải hệ pt (*) tìm toạ độ A, B
+ Khi đó đường thẳng đi qua AB là đường thẳng cần tìm
Bài 36: Viết phương trình hình chiếu vuônggóc của đường thẳng ∆ xuống mặt phẳng (P)
biết phương trình của ∆ và (P) là:
a. d:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
1
39
412
và (P): 3x + 5y – z – 2 = 0 b.d::





−=
+=
+=

t4z
t2y
2t1x
, (P) : 2x + 2y + z = 0
c.
( )
2
1
3
4
4
:
−
+
=
−
=
zyx
d
, (P): x-y+3z+8=0
Bài 37: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau
a. (d
1
):





−−=

+=
−=
tz
ty
tx
32
3
21
và (d
2
):





−=
+=
=
tz
ty
tx
23
1
2
b.
( )
1
2
3

1
2
1
:
1
−
=
−
=
+ zyx
d
;
( )
25
2
2
2
:
2
−
=
+
=
− zyx
d
Bài toán 8: Các bài tập về khoảng cách
Bài 38: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M(1; -2; 3). Tính khoảng cách từ M đến:
a. Mặt phẳng Oyz b. Mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 3 = 0
Bài 39: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng
∆

1
:
4
2
1
2
3
1 +
=
+
=
− zyx
và ∆
2
:
1
3
32
1
−
−
==
+ zyx
a. Chứng minh 2 đường thẳng trên chéo nhau b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên.
c. Chứng minh ∆
1
song song với mặt phẳng (P) : 6x – 14y – z – 40 = 0
d. Tính khoảng cách từ ∆
1
đến (P)

Bài 40: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho A(-2; 1; 2) , đường thẳng d:
3
1
2
1
2
1 +
=
−
=
+ zyx
và
mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 5 = 0. Tìm trên đường thẳng d những điểm cách đều A và (P).
Bài 41: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho M(-1; 2; -3) và (P): 4x – y + 4z – 15 = 0
a. Tìm toạ độ hình chiếu H của M lên (P) b. Tìm toạ độ M
’
đối xứng với M qua (P)
Bài 42: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho A(2; -1; 2) , đường thẳng ∆





−=
+=
+−=
tz
ty
tx
4

1
21
a. Tìm toạ độ hình chiếu H của M xuống đường thẳng ∆
b. Tìm toạ độ M
’
đối xứng với M qua ∆
GVBM:
Nguyễn Văn Ái
Trường THPT Lê Thế Hiếu Trang 8