Bài giảng toán cao cấp a1 cao đẳng đh công nghiệp TP HCM

ĐH Cơng nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

TỐN CAO C P A1
CAO Đ NG
PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH
S ti t: 45
----Chương 1. Hàm số một biến số
Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến số
Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến số

Chương 4. Chuỗi số
Chương 5. Đại số tuyến tính
Tài liệu tham khảo

1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp
(bậc Cao đẳng)
– ĐH Cơng nghiệp TP. HCM.
2. Nguyễn Đình Trí – Tốn cao cấp Tập 1, 2
(Dùng cho SV Cao đẳng)
–NXB Giáo dục.

Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên
ThS. Đoà
T i Slide bài gi ng Tốn A1 CĐ t i
Tố A1

dvntailieu.wordpress.com

§1.
§2.
§3.
§4.

Chương 1. Hàm s m t bi n s
Bổ túc về hàm số
Giới hạn của hàm số
Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn
Hàm số liên tục
…………………………….

§1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ
1.1. Khái niệm cơ bản
1.1.1. Định nghĩa hàm số
• Cho X ,Y ⊂ ℝ khác rỗng.
Ánh xạ f : X → Y với x ֏ y = f (x ) là một hàm số.
Khi đó:
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X.
– Miền giá trị (MGT) của f là:
G = y = f (x ) x ∈ X .

{

}

Chương 1. Hàm s m t bi n s

Nhận xét
– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.

– Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

1.1.2. Hàm số hợp
• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện Gg ⊂ D f .
Khi đó, hàm số h(x ) = ( f
hàm số hợp của f và g.
Chú ý
(f

g )(x ) = f [g(x )] được gọi là

g )(x ) ≠ (g

f )(x ).

VD 2. Hàm số y = 2(x 2 + 1)2 − x 2 − 1 là hàm hợp của

f (x ) = 2x 2 − x và g(x ) = x 2 + 1 .

Toán cao c p A1 Cao đ ng

Chương 1. Hàm s m t bi n s

– Nếu f (x1 ) = f (x 2 ) ⇒ x1 = x 2 thì f là đơn ánh.
– Nếu f(X) = Y thì f là tồn ánh.
– Nếu f vừa đơn ánh vừa tồn ánh thì f là song ánh.
VD 1.
a) Hàm số f : ℝ → ℝ thỏa y = f (x ) = 2x là đơn ánh.
b) Hàm số f : ℝ → [0; +∞) thỏa f (x ) = x 2 là toàn ánh.
c) Hsố f : (0; +∞) → ℝ thỏa f (x ) = ln x là song ánh.

• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu:
f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df .
• Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu:
f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df .

Chương 1. Hàm s m t bi n s

1.1.3. Hàm số ngược
• Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f,
ký hiệu g = f −1 , nếu x = g(y ), ∀y ∈ G f .

Nhận xét
– Đồ thị hàm số y = f −1(x )
đối xứng với đồ thị của
hàm số y = f (x ) qua
đường thẳng y = x .
VD 3. Cho f (x ) = 2x thì
f −1(x ) = log2 x , mọi x > 0.

1


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 1. Hàm s m t bi n s

1.2. Hàm số lượng giác ngược

1.2.1. Hàm số y = arcsin x
• Hàm số y = sin x có hàm ngược trên
 π π
f −1 : [−1; 1] → − ; 
 2 2


x ֏ y = arcsin x .

 π π
− ;  là
 2 2



VD 4. arcsin 0 = 0 ;

π
arcsin(−1) = − ;
2
3
π
arcsin
= .
2
3

Chương 1. Hàm s m t bi n s

1.2.2. Hàm số y = arccos x
• Hàm số y = cos x có hàm ngược trên [0; π] là

f −1 : [−1; 1] → [0; π]
x ֏ y = arccos x .
π
VD 5. arccos 0 = ;
2
arccos(−1) = π ;
arccos

3
π
−1 2π
= ; arccos
=
.
2
6
2
3

Chú ý

arcsin x + arccos x =

Chương 1. Hàm s m t bi n s

1.2.3. Hàm số y = arctan x

 π π
• Hàm số y = tan x có hàm ngược trên − ;  là


 2 2



 π π
−1
f : ℝ → − ; 



 2 2


x ֏ y = arctan x .
VD 6. arctan 0 = 0 ;
π
arctan(−1) = − ;
4
π
arctan 3 = .
3
Quy ước. arctan (+∞) =

π
π
, arctan (−∞) = − .

2
2

Chương 1. Hàm s m t bi n s

1.2.4. Hàm số y = arccot x

• Hàm số y = cot x có hàm ngược trên (0; π) là
f −1 : ℝ → (0; π)
x ֏ y = arc cot x .
π
VD 7. arc cot 0 = ;
2
3π
arc cot(−1) =
;
4
π
arc cot 3 = .
6
Quy ước. arc cot(+∞) = 0, arc cot(−∞) = π.

Chương 1. Hàm s m t bi n s

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới
hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ], ký hiệu
lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm được δ > 0

x →x 0

sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) − L < ε .
Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới
hạn là L (hữu hạn) khi x → x 0 ∈ [a ; b ], ký hiệu
lim f (x ) = L , nếu mọi dãy {xn} trong (a ; b ) \ {x 0 } mà
x →x 0

x n → x 0 thì lim f (x n ) = L .
n →∞

Toán cao c p A1 Cao đ ng

π
, ∀x ∈ [−1; 1].
2

Chương 1. Hàm s m t bi n s

Định nghĩa 3 (giới hạn tại vơ cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi x → +∞ ,
ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho trước ta tìm
x →+∞

được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f (x ) − L < ε .
• Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = L , nếu ∀ε > 0 cho
x →−∞

trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho

khi x < N thì f (x ) − L < ε .
Định nghĩa 4 (giới hạn vơ cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là +∞ khi x → x 0 , ký hiệu
lim f (x ) = +∞ , nếu ∀ M > 0 lớn tùy ý cho trước ta
x →x0

tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < x − x 0 < δ thì
f (x ) > M .

2


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 1. Hàm s m t bi n s

Chương 1. Hàm s m t bi n s

• Tương tự, ký hiệu lim f (x ) = − ∞ , nếu ∀ M < 0 có trị
x →x0

tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được δ > 0 sao cho
khi 0 < x − x 0 < δ thì f (x ) < M .
Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vơ cùng) khi x → x 0
với x > x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu
hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L .

x →x0 +0

x →x+
0

• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi x → x 0
với x < x 0 thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu
hạn), ký hiệu lim f (x ) = L hoặc lim f (x ) = L .
x → x 0 −0

x →x−
0

Chú ý. lim f (x ) = L ⇔ lim− f (x ) = lim+ f (x ) = L .
x →x0

x →x

x→x

0

0

2.2. Tính chất
Cho lim f (x ) = a và lim g (x ) = b . Khi đó:
x →x 0

x →x 0

1) lim [C .f (x )] = C .a (C là hằng số).
x →x 0

2) lim [ f (x ) ± g (x )] = a ± b .
x →x 0

3) lim [ f (x )g (x )] = ab ;
x →x 0

f (x ) a
= , b ≠ 0;
g (x )
b
5) Nếu f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) thì a ≤ b .
6) Nếu f (x ) ≤ h (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) và
lim f (x ) = lim g (x ) = L thì lim h (x ) = L .

4) lim

x →x 0

x →x 0

x →x 0

Chương 1. Hàm s m t bi n s

Chương 1. Hàm s m t bi n s

Định lý

• Nếu lim u(x ) = a > 0, lim v(x ) = b thì:
x →x 0

2) Xét L = lim

lim [u(x )]v (x ) = a b .

A. L = 9 ;

B. L = 4 ;

.

C. L = 1;

D. L = 0 .

Các kết quả cần nhớ
1
1
1) lim = −∞, lim = +∞.
−
+
x →0 x
x →0 x

1

x


1 + 1  = lim (1 + x )x = e.
lim 


x →±∞ 
x →0
x


Chương 1. Hàm s m t bi n s
2x



3x 
VD 2. Tìm giới hạn L = lim 1 +


 .
2


x →∞ 
2x + 1 

B. L = e 3 ;

C. L = e 2 ;

(

VD 3. Tìm giới hạn L = lim 1 + tan2 x
+

x →0

A. L = ∞ ;

B. L = 1;

C. L = 4 e ;

§3. ĐẠI LƯỢNG VƠ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN

D. L = 1.

)

1
4x

3.1. Đại lượng vơ cùng bé
a) Định nghĩa
• Hàm số α(x ) được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB)
khi x → x 0 nếu lim α(x ) = 0 (x0 có thể là vô cùng).
x →x 0

.

D. L = e .

(

)

VD 1. α(x ) = tan3 sin 1 − x là VCB khi x → 1− ;

β(x ) =

Toán cao c p A1 Cao đ ng

, ta có:

an

Chương 1. Hàm s m t bi n s

A. L = ∞ ;

+ bm−1x m−1 + ... + b0

nếu n = m ;
bn
b) L = 0 nếu n < m ;
c) L = ∞ nếu n > m .
sin αx
tan αx
3) lim
= lim
= 1.

αx → 0 α x
αx → 0 αx
4) Số e:
a) L =

x →x 0

 2x

VD 1. Tìm giới hạn L = lim 




x →∞  x + 3 


an x n + an −1x n −1 + ... + a0

x →∞ b x m
m

x →x 0

2x
x −1

x →x 0

1

ln2 x

là VCB khi x → +∞ .

3


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 1. Hàm s m t bi n s

Chương 1. Hàm s m t bi n s

c) So sánh các VCB
• Định nghĩa

b) Tính chất của VCB
1) Nếu α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 thì
α(x ) ± β(x ) và α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 .

Cho α(x ), β(x ) là các VCB khi x → x 0 , lim

x →x 0

2) Nếu α(x ) là VCB và β(x ) bị chận trong lân cận x 0
thì α(x ).β(x ) là VCB khi x → x 0 .
3) lim f (x ) = a ⇔ f (x ) = a + α(x ), trong đó α(x ) là

x →x 0

VCB khi x → x 0 .

Chương 1. Hàm s m t bi n s

α(x )
= k.
β(x )

Khi đó:
– Nếu k = 0 , ta nói α(x ) là VCB cấp cao hơn β(x ),
ký hiệu α(x ) = 0(β(x )) .
– Nếu k = ∞ , ta nói α(x ) là VCB cấp thấp hơn β(x ).
– Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB
cùng cấp.
– Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói α(x ) và β(x ) là các VCB
tương đương, ký hiệu α(x ) ∼ β(x ) .

Chương 1. Hàm s m t bi n s

VD 2.
• 1 − cos x là VCB cùng cấp với x 2 khi x → 0 vì:
x
2 sin 2
1 − cos x
2 = 1.
lim
= lim
2

2
x →0
x →0
2
x
x 
4 
 

2
 

• Tính chất của VCB tương đương khi x → x0
1) α(x ) ∼ β(x ) ⇔ α(x ) − β(x ) = 0(α(x )) = 0(β(x )).
2) Nếu α(x ) ∼ β(x ), β(x ) ∼ γ(x ) thì α(x ) ∼ γ(x ).
3) Nếu α1(x ) ∼ β1(x ), α 2(x ) ∼ β2(x ) thì
α1(x )α 2 (x ) ∼ β1(x )β2(x ).
4) Nếu α(x ) = 0(β(x )) thì α(x ) + β(x ) ∼ β(x ).

• sin2 3(x − 1) ∼ 9(x − 1)2 khi x → 1.

• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
Cho α(x ), β(x ) là tổng các VCB khác cấp khi x → x 0
α(x )
thì lim
bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp
x →x 0 β(x )
nhất của tử và mẫu.

Chương 1. Hàm s m t bi n s

VD 3. Tìm giới hạn L = lim

x →0

x 3 − cos x + 1
x4 + x2

Chương 1. Hàm s m t bi n s

VD 4. Tính giới hạn L = lim

.

x →0

• Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0
1) sin x ∼ x ;
2) tan x ∼ x ;
3) arcsin x ∼ x ;
x2
5) 1 − cos x ∼ ;
2

8) n 1 + x − 1 ∼

x →0

4) arctan x ∼ x

7) ln(1 + x ) ∼ x ;

VD 5. Tính L = lim

6) e − 1 ∼ x ;
x

x
.
n

Chú ý. Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta có thể thay x
bởi u(x ) trong 8 cơng thức trên.

Tốn cao c p A1 Cao đ ng

sin

(

ln(1 − 2x sin2 x )
sin x 2 . tan x

)

.

x + 1 − 1 + x 2 − 3 tan2 x
sin x 3 + 2x

.

Chú ý
Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho
hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu
tử hoặc mẫu của phân thức.
e x + e −x − 2
(e x − 1) + (e −x − 1)
VD 6. lim
= lim
x →0
x →0
x2
x2
x + (−x )
= lim
= 0 (Sai!).
x →0
x2

4


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 1. Hàm s m t bi n s

3.2. Đại lượng vô cùng lớn
a) Định nghĩa
• Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL)
khi x → x 0 nếu lim f (x ) = ∞ (x0 có thể là vô cùng).
x →x 0

VD 7.

cos x + 1

là VCL khi x → 0 ;
2x 3 − sin x
x3 + x −1
là VCL khi x → +∞ .
x 2 − cos 4x + 3

Nhận xét. Hàm số f (x ) là VCL khi x → x 0 thì
1
là VCB khi x → x 0 .
f (x )

Chương 1. Hàm s m t bi n s

b) So sánh các VCL
• Định nghĩa

Cho f (x ), g(x ) là các VCL khi x → x 0 , lim

x →x 0

Khi đó:
– Nếu k = 0 , ta nói f (x ) là VCL cấp thấp hơn g(x ).

– Nếu k = ∞ , ta nói f (x ) là VCL cấp cao hơn g(x ).

– Nếu 0 ≠ k ≠ ∞ , ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL
cùng cấp.

– Đặc biệt, nếu k = 1, ta nói f (x ) và g(x ) là các VCL
tương đương. Ký hiệu f (x ) ∼ g(x ) .

Chương 1. Hàm s m t bi n s

VD 8.
•

3

1

khi x → 0 vì:
2x + x
3
1 
2x 3 + x
x


lim  :
 = 3 lim

= 3 lim
= ∞.

3
 x 3 2x 3 + x 

x →0 
x →0
x →0 x 3
x

x

3

là VCL khác cấp với

3

3

3

• 2 x + x − 1 ∼ 2 x khi x → +∞ .

Chương 1. Hàm s m t bi n s

• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp
Cho f(x) và g(x) là tổng các VCL khác cấp khi x → x 0
f (x )

thì lim
bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất
x →x 0 g(x )
của tử và mẫu.

VD 9. Tính các giới hạn:
x 3 − cos x + 1
x 3 − 2x 2 + 1
A = lim
; B = lim
.
3
x →∞
x →+∞
3x + 2x
2 x 7 − sin2 x

Chương 1. Hàm s m t bi n s

Đ4. HM S LIấN TC
4.1. nh ngha
ã S x 0 ∈ D f được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu

∃ε > 0 : ∀x ∈ (x 0 − ε; x 0 + ε) \ {x 0 } thì x ∉ Df .
• Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu lim f (x ) = f (x 0 ).
x →x 0

• Hàm số f(x) liên tục trên tập X nếu f(x) liên tục tại mọi
điểm x 0 ∈ X .
Quy ước

• Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm cơ lập của f(x).

Tốn cao c p A1 Cao đ ng

f (x )
=k.
g(x )

Chương 1. Hàm s m t bi n s

4.2. Định lý
• Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại
x0 là hàm số liên tục tại x0.
• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó.
• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất trên đoạn đó.

4.3. Hàm số liên tục một phía
• Định nghĩa
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu
lim f (x ) = f (x 0 ) ( lim f (x ) = f (x 0 )).
−
x →x 0

+
x →x 0

• Định lý
Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu
lim f (x ) = lim f (x ) = f (x 0 ).

−
x →x 0

+
x →x 0

5


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 1. Hàm s m t bi n s

 3 tan2 x + sin2 x


, x >0
VD 1. Cho hàm số f (x ) = 
.

2x


α, x ≤ 0




Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là:
1
3
A. α = 0 ;
B. α = ;
C. α = 1;
D. α = .
2
2


ln(cos x )

,x ≠0

VD 2. Cho hàm số f (x ) =  arctan2 x + 2x 2
.


2α − 3, x = 0



Giá trị của α để hàm số liên tục tại x = 0 là:
17
17
3
3
A. α = ; B. α = − ; C. α = − ; D. α = .
12

12
2
2

§1.
§2.
§3.
§4.
§5.

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé
Đạo hàm
Vi phân
Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị
Công thức Taylor
Quy tắc L’Hospital
………………………………………………………

§1. ĐẠO HÀM
1.1. Các định nghĩa
a) Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận (a ; b) của
x 0 ∈ (a ; b ). Giới hạn:
f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 )
∆y
lim
= lim
∆x → 0 ∆ x
∆x → 0

∆x
(nếu có) được gọi là đạo hàm của y = f (x ) tại x 0 .
Ký hiệu là f ′(x 0 ) hay y ′(x 0 ).

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

c) Đạo hàm vơ cùng
∆y
• Nếu tỉ số
→ ∞ khi ∆x → 0 thì ta nói y = f (x ) có
∆x
đạo hàm vơ cùng tại x 0 .
• Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vơ cùng
một phía.

VD 1. Cho f (x ) = 3 x ⇒ f ′(0) = ∞,
f (x ) = x ⇒ f ′(0+ ) = +∞ .
Chú ý
Nếu f (x ) liên tục và có đạo hàm vơ cùng tại x 0 thì tiếp
tuyến tại x 0 của đồ thị y = f (x ) song song với trục Oy .

Toán cao c p A1 Cao đ ng

Chương 1. Hàm s m t bi n s

4.4. Phân loại điểm gián đoạn
• Nếu hàm số f (x ) không liên tục tại x 0 thì x 0 được gọi
là điểm gián đoạn của f (x ).
• Nếu tồn tại các giới hạn:

−
+
lim f (x ) = f (x 0 ), lim f (x ) = f (x 0 )
−
x →x 0

−
f (x 0 ),

+
x →x 0

+
f (x 0 )

nhưng
và f (x 0 ) khơng đồng thời bằng
nhau thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn loại một.
Ngược lại, x 0 là điểm gián đoạn loại hai.
……………………………………………………………………………

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

Nhận xét. Do ∆x = x − x 0 nên:
f ′(x 0 ) = lim

f (x ) − f (x 0 )

x →x 0

x − x0

.

b) Đạo hàm một phía
Cho hàm số y = f (x ) xác định trong lân cận phải
f (x ) − f (x 0 )
(x 0 ; b ) của x 0 . Giới hạn lim
(nếu có)
+
x − x0
x →x 0
được gọi là đạo hàm bên phải của y = f (x ) tại x 0 .
+
−
Ký hiệu là f ′(x 0 ). Tương tự, f ′(x 0 ).
Nhận xét. Hàm số f (x ) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi
−
+
f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ) = f ′(x 0 ).

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

1.2. Các quy tắc tính đạo hàm

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:
(u ± v )′ = u ′ ± v ′ ;
(uv )′ = u ′v + uv ′ ;

′
k 
 u ′ u ′v − uv ′

  = −kv ′ , k ∈ ℝ ;
  =
.
 
 
2
 
 
v 
v 

v
v2
2) Đạo hàm của hàm số hợp f (x ) = y[u(x )]:
f ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) hay y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ).

3) Đạo hàm hàm số ngược của y = y(x ):
1
x ′(y ) =
.
y ′(x )

6


ĐH Công nghi p Tp.HCM

dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

( )′ = α.x

α−1

;

3) (sin x )′ = cos x ;
5) (tan x )′ =

1
2

cos x
= 1 + tan2 x ;

2)

(

1

sin2 x

• Cho hàm số y = f (x ) có phương trình dạng tham số
x = x (t ), y = y(t ). Giả sử x = x (t ) có hàm số ngược
và hàm số ngược này có đạo hàm thì:
y′
y ′(t )
′
y ′(x ) =
hay yx = t .
x ′(t )
x t′

x = 2t 2 − 1

VD 2. Tính y ′(x ) của hàm số cho bởi 
, t ≠ 0.
y = 4t 3



x = et


′
VD 3. Tính yx (1) của hàm số cho bởi 
.
2

y = t − 2t




Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

VD 5. Tính f (n )(x ) của hàm số f (x ) = (1 − x )n +1 .

x − 3x − 4

.

10) loga x

(

1
1− x2

x

1
)′ = x .ln a ;

;

12)(arccos x )′ =

;

14) (arc cot x )′ =

−1
1 − x2

;

;

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

1

1
)′ = x ;

11) (arcsin x )′ =

1.3. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

2

8) a x

9) ln x

4) (cos x )′ = − sin x ;

VD 6. Tính y (n ) của hàm số y =

= ex ;

7) e x

( x )′ = 2 1x ;

6) (cot x )′ = −

( )′ = a .ln a ;

( )

Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

1) x α

′

13) (arctan x )′ =

1
1 + x2

−1
1 + x2

.

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s

Phé

1.4. Đạo hàm cấp cao
• Giả sử f (x ) có đạo hàm f ′(x ) và f ′(x ) có đạo hàm thì
( f ′(x ))′ = f ′′(x ) là đạo hàm cấp hai của f (x ).
• Tương tự ta có:
′
f (n )(x ) = f (n −1)(x ) là đạo hàm cấp n của f (x ).

(

)

VD 4. Cho hàm số f (x ) = sin 2 x . Tính đạo hàm f (6)(0).
A. f (6)(0) = 32 ;

B. f (6)(0) = −32 ;

C. f (6)(0) = −16 ;

D. f (6)(0) = 0 .

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

1.5. Đạo hàm của hàm số ẩn
• Cho phương trình F (x , y ) = 0 (*).
Nếu y = y(x ) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó
sao cho khi thế y(x ) vào (*) ta được đồng nhất thức thì
y(x ) được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*).

′
• Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được Fx′ + Fy′.yx = 0 .

′
Vậy yx = −

Fx′
, F ′ ≠ 0.
Fy′ y

′
y ′(x ) = yx được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn y(x ).

Toán cao c p A1 Cao đ ng

7


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

VD 7. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi xy − e x + e y = 0 .

Tính y ′(x ).
VD 8. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bi:

Đ2. VI PHN
2.1. Vi phõn cp mt
ã Hm s y = f (x ) được gọi là khả vi tại x 0 ∈ D f nếu
∆f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) có thể biểu diễn dưới

xy − e x + ln y = 0 (*). Tính y ′(0).

∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )
dạng:
với A là hằng số và 0(∆x ) là VCB khi ∆x → 0 .

VD 9. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi:
y
ln x 2 + y 2 = arctan . Tính y ′(x ).
x
Chú ý
Ta có thể xem hàm ẩn y(x ) như hàm hợp u(x ) và thực
hiện đạo hàm như hàm số hợp.

Nhận xét

VD 10. Cho hàm ẩn y(x ) xác định bởi:

• ∆f (x 0 ) = A.∆x + 0(∆x )⇒

y 3 + (x 2 + 1)y + x 4 = 0 . Tính y ′(x ).

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

∆f (x 0 )
∆x

=A+

0(∆x )
∆x

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

∆f (x 0 )

2.2. Vi phân cấp cao
• Giả sử y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n thì

∆x
  →0  A ⇒ f ′(x 0 ) = A .
 →
∆x
⇒ df (x 0 ) = f ′(x 0 ).∆x hay df (x ) = f ′(x ).∆x .
• Chọn f (x ) = x ⇒ df (x ) = ∆x ⇒ dx = ∆x .

⇒

Khi đó, đại lượng A.∆x được gọi là vi phân của hàm số
y = f (x ) tại x0. Ký hiệu df (x 0 ) hay dy(x 0 ).

d n y = d (d n −1y ) = y (n )dx n
được gọi là vi phân cấp n của hàm y = f (x ).

Vậy df (x ) = f ′(x )dx hay dy = y ′dx .

VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số y = ln(sin x ).

VD 1. Tính vi phân cấp 1 của f (x ) = x 2e 3x tại x 0 = −1.

VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số y = e 2x .

VD 2. Tính vi phân cấp 1 của y = arctan(x 2 + 1) .

VD 6. Tính vi phân cấp 2 của f (x ) = tan x tại x 0 =

VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số y = 2

ln(arcsin x )

.

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

§3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
3.1. Các định lý
3.1.1. Bổ đề Fermat
Cho hàm số f (x ) xác định trong (a ;b ) và có đạo hàm tại

x 0 ∈ (a ;b ). Nếu f (x ) đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất)
tại x 0 trong (a ;b) thì f ′(x 0 ) = 0 .
3.1.2. Định lý Rolle
Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ] và khả vi trong
(a ;b ). Nếu f (a ) = f (b ) thì ∃c ∈ (a ;b ) sao cho f ′(c ) = 0 .

Toán cao c p A1 Cao đ ng

π
.
4

Chú ý
Khi x là một hàm số độc lập với y thì cơng thức
d ny = y (n )dx n khơng cịn đúng nữa.

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

3.1.3. Định lý Cauchy
Cho hai hàm số f (x ), g(x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi
trong (a;b ) và g ′(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ;b).
Khi đó, ∃c ∈ (a;b) sao cho:
f (b) − f (a ) f ′(c)
=
.
g(b) − g(a ) g ′(c)
3.1.4. Định lý Lagrange
Cho hàm số f (x ) liên tục trong [a ;b ], khả vi trong (a;b ).
Khi đó, ∃c ∈ (a;b) sao cho:

f (b ) − f (a )
= f ′(c ).
b −a

8


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

3.2. Cực trị của hàm số
3.2.1. Hàm số đơn điệu
a) Định nghĩa
Cho hàm số f (x ) liên tục trong trong (a;b ). Khi đó:
• f (x ) được gọi là tăng (đồng biến) trong (a;b ) nếu
f (x1 ) − f (x 2 )
> 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a ;b) và x1 ≠ x 2 .
x1 − x 2

• f (x ) được gọi là giảm (nghịch biến) trong (a;b ) nếu
f (x1 ) − f (x 2 )
< 0 , ∀x1, x 2 ∈ (a;b ) và x1 ≠ x 2 .

x1 − x 2

• f (x ) được gọi là đơn điệu trong (a;b ) nếu
f (x ) tăng hay giảm trong (a;b ).

• Nếu f (x ) đơn điệu trong (a;b ) và liên tục trong (a;b ] thì
f (x ) đơn điệu trong (a;b ] (trường hợp khác tương tự).
b) Định lý
Cho hàm số f (x ) khả vi trong trong (a;b). Khi đó:
• Nếu f ′(x ) > 0, ∀x ∈ (a ;b ) thì f (x ) tăng trong (a;b ).
• Nếu f ′(x ) < 0, ∀x ∈ (a;b ) thì f (x ) giảm trong (a;b ).
VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của y = ln(x 2 + 1).
x2 + 1
VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của f (x ) =
.
(x − 1)2
1
VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của y =
.
x 2 − 2x

VD 4. Tìm các khoảng đơn điệu của y = e

x 3 −4

.

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

3.2.2. Cực trị
a) Định nghĩa
Nếu f (x ) liên tục trong (a ;b) chứa x 0 và f (x 0 ) < f (x )
hay f (x 0 ) > f (x ), ∀x ∈ (a;b ) \ {x 0 } thì f (x ) đạt cực tiểu
hay cực đại tại x 0 .
b) Định lý
Cho f (x ) có đạo hàm đến cấp 2n trong (a ;b) chứa x 0

3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
a) Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x ) có MXĐ D và X ⊂ D .
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f (x ) trên X nếu:
∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = M và f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X .
Ký hiệu là: M = max f (x ).

thỏa f ′(x 0 ) = ... = f (2n −1)(x 0 ) = 0 và f (2n )(x 0 ) ≠ 0 .

• Nếu f (2n )(x 0 ) > 0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 .

x ∈X

• Nếu f (2n )(x 0 ) < 0 thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 .
4

3

VD 5. Tìm cực trị (nếu có) của f (x ) = x , f (x ) = x .

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

• Nếu M = max f (x ) và m = min f (x ) thì:
x ∈X

x ∈X

m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X .

b) Phương pháp tìm max – min
Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ].
Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước sau:
x ∈[a ;b ]

x ∈[a ;b ]

• Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n
nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngoài [a; b ]).
• Bước 2. Tính f (a ), f (x 1 ),..., f (x n ), f (b).
• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã
tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm.

Tốn cao c p A1 Cao đ ng

x ∈X

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f (x ) trên X nếu:

∃x 0 ∈ X : f (x 0 ) = m và f (x ) ≥ m, ∀x ∈ X .
Ký hiệu là: m = min f (x ).
Chú ý
• Hàm số có thể khơng đạt max hoặc min trên X ⊂ D .

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
f (x ) = x 4 − x 2 − x + 3 trên đoạn [0; 2].
2
Chú ý
• Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b ] thì ta phải tìm MXĐ
của hàm số trước khi làm bước 1.
• Có thể đổi biến số t = t (x ) và viết y = f (x ) = g(t (x )).
Gọi T là miền giá trị của hàm t (x ) thì:
max f (x ) = max g(t ), min f (x ) = min g(t ).
x ∈X

t ∈T

x ∈X

t ∈T

VD 7. Tìm max, min của f (x ) = −x 2 + 5x + 6 .
sin x + 1
VD 8. Tìm max, min của y =
.

2
sin x + sin x + 1

9


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)
Cho hàm y = f (x ) liên tục trên (a; b) (a, b có thể là ∞ ).

2) Nếu min{f (x 1 ),..., f (x n )} < min{L1, L2 } thì
min f = min{f (x 1 ),..., f (x n )} .

Để tìm max f (x ) và min f (x ), ta thực hiện các bước:

3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số khơng đạt
max (hoặc min).

x ∈(a ;b )

x ∈(a ;b )

• Bước 1. Giải phương trình f ′(x ) = 0 . Giả sử có n
nghiệm x 1,..., x n ∈ [a; b ] (loại các nghiệm ngồi [a; b ]).
• Bước 2. Tính f (x 1 ),..., f (x n ) và hai giới hạn
L1 = lim f (x ), L2 = lim f (x ).
+
−
x →a

x →b

• Bước 3. Kết luận:
1) Nếu max{f (x 1 ),..., f (x n )} > max{L1, L2 } thì
max f = max{f (x 1 ),..., f (x n )}.
x ∈(a ;b )

x ∈(a ;b )

VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
x3
f (x ) = 2
trên khoảng (1; +∞).
x −1
Chú ý
Ta có thể lập bảng biến thiên của f (x ) thay cho bước 3.
x
VD 10. Tìm max, min của f (x ) =
.
2

x + 2 −1
……………………………………………………………………

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

4.1. Công thức khai triển Taylor
a) Khai triển Taylor với phần dư Peano
• Cho hàm f (x ) liên tục trên [a ; b ] có đạo hàm đến cấp

n + 1 trên (a ; b ) với x , x 0 ∈ (a ; b) ta có:
f (k )(x 0 )

k =0

f (x ) =

n

k!

∑

n

b) Khai triển Maclaurin
• Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x 0 = 0 được
gọi là khai triển Maclaurin.

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s

Phé

4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ
1
= 1 + x + x 2 + ... + x n + 0(x n ).
1)
1−x
x
x2
xn
2) e x = 1 + +
+ ... +
+ 0(x n ).
1! 2!
n!
x x2 x3 x4
3) ln(1 + x ) = −
+
−
+ ... + 0(x n ).
1
2
3
4
x2 x4 x6
+
−
+ ... + 0(x n ).
2! 4 ! 6!
x x3 x5 x7

5) sin x = −
+
−
+ ... + 0(x n ).
1! 3! 5! 7 !
4) cos x = 1 −

Toán cao c p A1 Cao đ ng

f (k )(0) k
x + O(x n ).
k!
k =0
n

f (x ) = ∑

• Khai triển Maclaurin được viết lại:

(x − x 0 ) + O((x − x 0 ) ).
k

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

Vậy:

§4. CƠNG THỨC TAYLOR

f (x ) = f (0) +

f / (0)
f // (0) 2
x+
x + ...
1!
2!
(n )
f (0) n
... +
x + O(x n ).
n!

VD 1. Khai triển Maclaurin của f (x ) = tan x đến x 3 .

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

Chú ý
• Nếu u(x ) là VCB khi x → 0 thì ta thay x trong các
công thức trên bởi u(x ).

VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số y =

1
1 + 3x

2

đến x 6 .

VD 3. Khai triển Maclaurin của y = ln(1 − 2x 2 ) đến x 6 .
VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số y = 2x đến x 4 .
VD 5. Cho hàm số f (x ) = x cos 2x . Tính f (7)(0).

10


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

§5. QUY TẮC L’HOSPITAL
Định lý (quy tắc L’Hospital)
Cho hai hàm số f (x ), g(x ) khả vi trong lân cận của điểm
x 0 và g ′(x ) ≠ 0 trong lân cận của x 0 (có thể g ′(x 0 ) = 0 ).

Nếu lim

x →x 0

f (x )
0
∞
có dạng hoặc
thì:

0
∞
g(x )
f (x )
f ′(x )
lim
= lim
.
x →x 0 g (x )
x →x 0 g ′(x )

VD 2. Tìm giới hạn L = lim

Đ1. TCH PHN BT NH
1.1. nh ngha
ã Hm số F (x ) được gọi là một nguyên hàm của f (x ) trên
khoảng (a; b ) nếu F ′(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a ; b ).

∫ f (x )dx (đọc là tích phân).

Nhận xét
• Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) + C cũng là
nguyên hàm của f (x ).

A. L = 0 ;

3)

∫

4)

∫ e dx = e + C ;
7) ∫ cos xdx = sin x + C ;
x

5)

9)

∫

11)
12)

cos2 x
dx

x

6)

= tan x + C ; 10)

1

= 2 x +C

x

∫

dx
sin2 x

x →1

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

Tính chất
1) ∫ k .f (x )dx = k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ
2)

∫

dx
a2 − x 2

= arcsin

= − cot x + C

x
+C, a > 0
a

Toán cao c p A1 Cao đ ng

∫ f ′(x )dx = f (x ) + C

d
f (x )dx = f (x )
dx ∫
4) ∫ [ f (x ) + g(x )]dx = ∫ f (x )dx + ∫ g(x )dx .
3)

MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
1) ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ℝ
2)

∫

x αdx =

x α+1
+ C , α ≠ −1
α +1

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

dx

1
x −a
ln
+C
2a x + a

13)

∫ x 2 −a2

14)

∫

dx
x
= ln tan + C
sin x
2

15)

∫

x π
dx
= ln tan  +  + C


2 4

cos x



16)

∫

x

∫ x 2 + a 2 = a arctan a + C

)

1

ax

∫ a dx = ln a + C
8) ∫ sin xdx = − cos x + C

x

dx

∫

(

VD 4. Tìm giới hạn L = lim x x −1 (dạng 1∞ ).

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

dx

.
x 2 .arctan2 x
1
1
B. L = ∞ ;
C. L = ; D. L = .
2
3
x →0

x → 0+

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Ứng dụng của tích phân xác định
§4. Tích phân suy rộng
…………………………

dx
= ln x + C ;
x

x 2 − sin2 x

VD 3. Tìm giới hạn L = lim x 3 ln x (dạng 0 × ∞ ).

Chú ý

Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.
e x + e −x − 2
VD 1. Tìm giới hạn L = lim
.
x →0
x2

Ký hiệu

Chương 2. Phép tính vi phân hàm m t bi n s
Phé

dx
2

x +a

=

= ln x + x 2 + a + C

11


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s

Phé

VD 1. Tính I =

dx

∫

4 − x2
1 2+x
A. I = ln
+C ;
4
2−x
1 x −2
C. I = ln
+C ;
2 x +2

.
B. I =

1
2−x
ln
+C ;
4 2+x

D. I =

1 x +2
ln
+C .
2 x −2

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

1.2. Phương pháp đổi biến
a) Định lý
Nếu ∫ f (x )dx = F (x ) + C với ϕ(t ) khả vi thì:

∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C .

VD 2. Tính I =

∫

x2 − x − 6

∫

VD 4. Tính I =

dx

VD 3. Tính I =

∫

VD 5. Tính I =

∫

.

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

1.3. Phương pháp từng phần
a) Công thức
∫ u(x )v ′(x )dx = u(x )v(x ) − ∫ u ′(x )v(x )dx
hay

∫ udv = uv − ∫ vdu.

VD 6. Tính I =

∫

x
x

x 3 − ln 2 x
dx
.
x (x 3 + 3)

.

b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp
• Đối với dạng tích phân

∫ P(x )e

αx

dx , ta đặt:

u = P (x ), dv = e αx dx .

ã i vi dng tớch phõn

dx .

2

Đ2. TCH PHN XC ĐỊNH
2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f (x ) xác định trên [a; b ].

Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
x 0 = a < x1 < ... < xn −1 < xn = b .
Lấy điểm ξk ∈ [x k −1; x k ] tùy ý (k = 1, n ).
k =1

lim

max(x k −x k −1 )→ 0
k

b

∫ f (x )dx .
a

Toán cao c p A1 Cao đ ng

x dx , ta đặt:

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
b

1)

b

∫ k .f (x )dx

= k ∫ f (x )dx , k ∈ ℝ

a
b

2)

∫

a
b

[ f (x ) ± g (x )]dx =

a
a

3)

∫

4)

∫
a

∫

b

f (x )dx ±

a

∫

a

a

∫

g (x )dx

f (x )dx = − ∫ f (x )dx

c

f (x )dx =

∫
a

b

f (x )dx = 0;

a
b

σ được gọi

là tích phân xác định của f (x ) trên đoạn [a ; b ].

α

Tính chất

n

Lập tổng tích phân: σ = ∑ f (ξk )(x k − x k −1 ).

∫ P(x )ln

u = lnα x , dv = P (x )dx .

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

Giới hạn hữu hạn (nếu có) I =

.

VD 8. Tính I = ∫ cos3 x esin xdx .

Chú ý
Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước
khi lấy từng phần.

Ký hiệu là I =

x ln x + 1
dx

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

∫ x ln xdx .

VD 7. Tính I =

dx

b
b

f (x )dx +

a

5) f (x ) ≥ 0, ∀ x ∈ [a ; b ] ⇒

∫

f (x )dx , c ∈ [a ; b ]

c
b

∫

f (x )dx ≥ 0

a

12


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
b

6) f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a ; b ] ⇒

b

∫ f (x )dx ≤ ∫ g(x )dx
a

b

∫

7) a < b ⇒

a

b

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

2.2. Cơng thức Newton – Leibnitz
• Nếu f (x ) liên tục trên [a ; b ] và F (x ) là một nguyên hàm
tùy ý của f (x ) thì:

f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dx

a

b

b

∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b) − F (a ).

a

8) m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a; b ]

a

b

⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a )
a

9) Nếu f (x ) liên tục trên đoạn [a; b ] thì

Nhận xét
1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1.
2) Hàm số f (x ) liên tục và lẻ trên [−α; α ] thì
α

∫

b

∃c ∈ [a; b ] : ∫ f (x )dx = f (c )(b − a ).
a

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

3) Hàm số f (x ) liên tục và chẵn trên [−α; α ] thì:
α

α

∫

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
3

VD 1. Tính I =

f (x )dx = 2 ∫ f (x )dx .

−α

∫

0

f (x ) dx ta dùng bảng xét dấu của f (x ) để

a

π

VD 2. Tính I =

Đặc biệt

∫

1

b

∫

f (x ) dx =

a

f (x )dx nếu f (x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a;b).

VD 3. Tính I =

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

• Cơng thức Walliss

∫ sin

π
2

n

xdx =

0

∫
0

 (n − 1)!!


, n leû

 n !!
n
cos xdx = 

 π (n − 1)!!
 .
, n chaün

2
n !!




VD 4.

∫ sin

8

x dx =

0

VD 5. Tính I =

π
2

x 2 + 1.sin3 x dx .

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
3.1. Tính diện tích S của hình phẳng
a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng qt

Trong đó:
0 !! = 1 !! = 1 ; 2 !! = 2; 3 !! = 3; 4 !! = 2 .4 ;
5 !! = 1 .3 .5; 6 !! = 2 .4 .6; 7 !! = 1 .3 .5 .7; ...
π

2

∫

−1

a

π
2

∫ x cos x dx .
0

tách f (x ) ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ.
b

dx

∫ x 2 − 2x + 5 .
1

b

4) Để tính

f (x )dx = 0 .

−α

S

S

7 !! π 105π
. =
.
8!! 2
768

∫ (cos

b

3

2

x − 1)cos x dx .

0

Toán cao c p A1 Cao đ ng

S = ∫  f2 (x ) − f1 (x ) dx
a

d

S = ∫ g 2 (y ) − g1 (y ) dy

c

13


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường y = x 2 và y = x 4 .
1
2
A. S = ; B. S =
15
15
4
8
C. S = ; D. S = .
15
15

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi

các đường x = y 2 và y = x − 2 .

VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường y = e x − 1, y = e 2x − 3 và x = 0 .
1
ln 4 − 1
1 − ln 2
1
A. ln 4 − ; B.
; C.
; D. ln 2 −
2
2
2
2

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số
Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình
x = x (t ), y = y(t ) với t ∈ [α; β] thì:

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

3.2. Tính độ dài l của đường cong
a) Đường cong có phương trình tổng qt
Cho cung AB có phương trình y = f (x ), x ∈ [a ; b ] thì:

β

b

S = ∫ y(t ).x ′(t ) dt .

l

α

VD 4. Tính diện tích hình elip S :

x2
a2

+

y2
b2

≤ 1.

Cho cung AB có phương trình tham số
x = x (t )


, t ∈ [α; β] thì:

y = y(t )



β

= ∫ [x ′(t )]2 + [y ′(t )]2 dt .
α

VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình:

x = t 2 + 1






, t ∈ 0; 1 .
y = ln t + t 2 + 1 









Toán cao c p A1 Cao đ ng

1 + [ f ′(x )]2 dx .

VD 5. Tính độ dài cung parabol y =

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

AB

=∫
a

b) Đường cong có phương trình tham số

l

AB


O(0; 0) đến điểm M 1;





1
.

2


x2

từ gốc tọa độ
2

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

3.3. Tính thể tích vật thể trịn xoay
a) Vật thể quay quanh Ox
Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
y = f (x ), y = 0 , x = a , x = b quay quanh Ox là:
b

V = π∫ [ f (x )]2 dx .
a

VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi
y = ln x , y = 0 , x = 1, x = e quay xung quanh Ox.
VD 8. Tính V do (E ) :

x2
a2

+

y2
b2

= 1 quay quanh Ox.

14

ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

b) Vật thể quay quanh Oy
Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
x = g(y ), x = 0 , y = c và y = d quay quanh Oy là:
d

V = π ∫ [g(y )]2dy.
c

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

Giải. Phương trình parabol y = 2x − x 2 được viết lại:
y = 2x − x 2 ⇔ (x − 1)2 = 1 − y
x = 1 + 1 − y , x ≥ 1

.
⇔
x = 1 − 1 − y , x < 1

1 

Vậy V = π∫  1 + 1 − y

0 

(

VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng
S giới hạn bởi y = 2x − x 2 , y = 0

) − (1 −
2

1

quay xung quanh Oy.

= 4π∫

1 − y dy = −

0

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

Chú ý
Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi
y = f (x ), y = 0 , x = a và x = b quay xung quanh Oy
cịn được tính theo cơng thức:
b

V = 2π ∫ xf (x )dx (*).
a

2
1 − y  dy



)

1
8π
8π
(1 − y )3 =
.
3
3
0

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
4.1. Tích phân suy rộng loại 1
4.1.1. Định nghĩa
• Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; +∞), khả tích trên
mọi đoạn [a ; b ] (a < b ).
b

Giới hạn (nếu có) của

∫ f (x )dx khi b → +∞ được gọi
a

VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9.

là tích phân suy rộng loại 1 của f (x ) trên [a ; +∞).
Ký hiệu:
+∞

∫

b

f (x )dx = lim

b →+∞

a

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
b

∫

∫

−∞

a

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
+∞

• Định nghĩa tương tự:

−∞
+∞

∫ f (x )dx .

VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =

b

f (x )dx = lim

a →−∞

f (x )dx = lim

∫

f (x )dx ;

a
b

∫

b →+∞
a →−∞ a

b

f (x )dx .

b →+∞

∫
1

• Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là khảo
sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó).

Tốn cao c p A1 Cao đ ng

dx
xα

.

b

dx



= lim ln x  = +∞ (phân kỳ).
1

b →+∞ 
x

• Trường hợp α khác 1:
b

1
lim x 1−α 



1
1 − α b →+∞ 


1

 1

1
, α >1
=
lim b1−α − 1 =  − 1
α
 + ∞, α < 1.
1 − α b →+∞




b

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.

1

Giải • Trường hợp α = 1:
I = lim

∫

dx

∫ xα
b →+∞

I = lim

=

(

)

15

ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

Chú ý
• Nếu tồn tại lim F (x ) = F (+∞), ta dùng công thức:

Vậy
1
(hội tụ).
α −1
Với α ≤ 1: I = +∞ (phân kỳ).

x →+∞
+∞

Với α > 1 : I =

∫

f (x )dx = F (x )

+∞

a

.

a

• Nếu tồn tại lim F (x ) = F (−∞), ta dùng cơng thức:
0

VD 2. Tính tích phân I =

x →−∞
b

dx

∫

2

−∞ (1 − x )

∫

.

f (x )dx = F (x )

−∞

b
−∞

.

• Tương tự:
+∞

VD 3. Tính tích phân I =

∫

+∞

dx

−∞ 1 + x

2

∫

.

−∞

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

∫

a

∫

.

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
+∞

• Nếu

∫

+∞

f (x ) dx hội tụ thì

a

+∞

g(x )dx hội tụ thì

+∞
−∞

b) Tiêu chuẩn 2

4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ

a) Tiêu chuẩn 1
• Nếu 0 ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a; +∞) và
+∞

f (x )dx = F (x )

f (x )dx hội tụ.

∫

f (x )dx hội tụ (ngược lại

a

khơng đúng).
• Các trường hợp khác tương tự.

a

• Các trường hợp khác tương tự.

+∞
+∞

VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân I =

∫

VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân I =

∫

e −x cos 3x dx .

1

10

e −x dx .

1

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

c) Tiêu chuẩn 3
• Cho f (x ), g(x ) liên tục, luôn dương trên [a ; +∞)
f (x )
= k . Khi đó:
và lim
x →+∞ g(x )

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

k = +∞



Nếu +∞

thì

 ∫ g(x )dx phân kỳ

a



+∞

∫

f (x )dx phân kỳ.

a

• Các trường hợp khác tương tự.
+∞

Nếu 0 < k < +∞ thì:
+∞

∫

VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân I =

+∞

f (x )dx và

a

∫

g(x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ.

Nếu k = 0 và

∫

+∞

g(x )dx hội tụ thì

a

∫
a

1

f (x )dx hội tụ.

+∞

∫
a

Tốn cao c p A1 Cao đ ng

dx
1 + x 2 + 2x 3

.

Chú ý
• Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → +∞) thì

a
+∞

∫

+∞

f (x )dx và

∫

g(x )dx có cùng tính chất.

a

16


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
+∞

∫

VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân I =

1

tại b , khả tích trên mọi đoạn [a ; b − ε] (ε > 0).

+∞

∫

VD 8. Điều kiện của α để I =

3
B. α > ;
2

dx
x . ln x + 1

Giới hạn (nếu có) của

1
D. α > .

2

C. α > 2 ;

b −ε

hội tụ là:

α

3

1

A. α > 3 ;

dx
.
1 + sin x + x

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

4.2. Tích phân suy rộng loại 2
4.2.1. Định nghĩa
• Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; b ) và không xác định

∫

f (x )dx khi ε → 0 được gọi là

a

tích phân suy rộng loại 2 của f (x ) trên [a ; b ).
Ký hiệu:

+∞

VD 9. Điều kiện của α để I =

∫
1

(x 2 + 1)dx
2x α + x 4 − 3

∫

hội tụ?

f (x )dx = lim

ε→ 0

∫

∫

f (x )dx (suy rộng tại a );

a+ε
b −ε

a
b

f (x )dx = lim

ε→ 0

a

∫

b

I = lim ∫
ε→ 0

b

ε→ 0

∫
ε

∫x

, b > 0.
α

Với α < 1: I =

∫
1
6

3dx

.

1 − 9x 2

e

∫
1
2

VD 13. Tính tích phân I =

∫
1

)

b1−α
(hội tụ).
1−α

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
• Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1.
Chú ý
b

π
π
π
A. I = − ; B. I = ; C. I = ; D. I = +∞ .
3
3
6

VD 12. Tính tích phân I =

ε

Với α ≥ 1 : I = +∞ (phân kỳ).

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

VD 11. Tính tích phân I =

ε→ 0

b


1
lim x 1−α 



ε
1 − α ε→0 



Vậy

b

dx
= lim ln x  = ln b − lim ln ε = +∞ .

+
ε

x
ε→0 
ε→0+

1
3

xα

b

= lim ∫ x −αdx =

(

0

Giải. • Trường hợp α = 1:
+

dx

ε

dx

 b1−α


1
, α <1
1−α
1−α
=
−ε
= 1 − α
lim b



ε→0
1−α
 + ∞, α > 1.



f (x )dx (suy rộng tại a , b ).

a+ε

VD 10. Khảo sát sự hội tụ của I =
b

f (x )dx .

a

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân
hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.

I = lim

ε→0

• Trường hợp α khác 1:

b

∫

∫

f (x )dx = lim

a

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

• Định nghĩa tương tự:
b

b−ε

b

dx
3

x . ln 2 x
dx
x2 − x

Tốn cao c p A1 Cao đ ng

.

.

• Nếu f (x ) ∼ g(x ) (x → b ) thì

b

∫

f (x )dx và

a

∫ g(x )dx
a

có cùng tính chất (với b là cận suy rộng).
1

VD 14. Tích phân suy rộng I =

∫
0

x αdx
x (x + 1)(2 − x )

hội tụ khi và chỉ khi:
1
1
A. α < −1; B. α < − ; C. α > − ;

2
2

D. α ∈ ℝ .

17


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé
1

VD 15. Tích phân suy rộng I =

∫
0

Chương 3. Phép tính tích phân hàm m t bi n s
Phé

α

x +1
(x 2 + 1)sin x

phân kỳ khi và chỉ khi:
1
1
A. α ≤ −1; B. α ≤ − ; C. α ≥ − ;
2
2

dx

D. α ∈ ℝ .

Chú ý
• Cho I = I 1 + I 2 với I , I 1 , I 2 là các tích phân suy rộng
ta có:
1) I 1 và I 2 hội tụ ⇒ I hội tụ.

I → −∞ ( phân kỳ )
I


2)  1
hoặc  1


I 2 ≤ 0
I 2





thì I phân kỳ.

I
I → −∞ ( phân kỳ )

3)  1
hoặc  1


I 2 > 0
I 2




thì chưa thể kết luận I phân kỳ.
1

VD 16. I =

xα + 1

∫

x 2 sin x

0

→ +∞ ( phân kỳ )
≥0

→ +∞ ( phân kỳ )
<0

dx phân kỳ khi và chỉ khi:

1
1
1
A. α ≤ ; B. α ≤ − ; C. α ≤ − ; D. α ∈ ℝ .
4
4
2

Chương 4. Lý thuy t chu i

Chương 4. Lý thuy t chu i

§1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số
§2. Chuỗi số dng
Đ3. Chui s cú du tựy ý


ã Tng n s hạng đầu tiên Sn = u1 + u2 + ... + un được
gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi s.

Đ1. KHI NIM C BN V CHUI S

1.1. nh ngha
ã Cho dãy số có vơ hạn các số hạng u1, u2 ,..., un ,...
Biểu thức

∞

u1 + u2 + ... + un + ... = ∑ un
n =1

được gọi là chuỗi số.
• Các số u1, u2 ,..., un ,... là các số hạng và un được gọi là
số hạng tổng quát của chuỗi số.

• Nếu dãy {Sn }

n ∈ℕ

a
⇒ chuỗi hội tụ.
1 −q
Với q > 1 thì Sn → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ.
∞

Vậy

∑ aq

n −1

hội tụ ⇔ q < 1 .

n =1

VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∞

chuỗi số hội tụ và có tổng là S , ta ghi là
∞

VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân

∞

1

n =1

• q ≠ 1: Sn = u1 .

1 − qn
1 − qn
= a.
1−q
1 −q

Chương 4. Lý thuy t chu i

1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
∞

• Nếu chuỗi

∑ un

n =1

hội tụ thì lim un = 0 ,
n →∞

n →∞

∞

∑ un phân kỳ.

n =1

n =1


1
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ ln 1 + .




n


n =1
∞

∞

VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∑

n =1

Toán cao c p A1 Cao đ ng

1
n

.

∑ aq n−1 với a ≠ 0 .

Giải
• q = 1: Sn = na → +∞ ⇒ chuỗi phân kỳ.

ngược lại nếu lim un ≠ 0 thì

∑ n(n + 1) .

∑ un = S .

n =1

Ngược lại, ta nói chuỗi số phân kỳ.

Chương 4. Lý thuy t chu i

Với q < 1 thì Sn →

hội tụ đến số S hữu hạn thì ta nói

∞

VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số

n4

∑ 3n 4 + n + 2 .

n =1
∞

VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số

n5

∑ n4 + 1 .

n =1

18


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 4. Lý thuy t chu i

Chương 4. Lý thuy t chu i

§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG
2.1. Định nghĩa

1.3. Tính chất
∞

∑un ,

• Nếu

n =1

∞

∞

∑ vn hội tụ thì:

n =1
∞

•

∞

n =1

∞

• Nếu

n =1

∞

Khi un > 0, ∀n thì chuỗi số là dương thực sự.
2.2. Các định lý so sánh

n =1
∞

∞

n =1

n =1

∞

• Nếu

∞

∑ vn

hội tụ thì

∑ un

phân kỳ thì

n =1
∞

• Nếu

∑ un

Chương 4. Lý thuy t chu i

∑ vn

phân kỳ.

n =1

Chương 4. Lý thuy t chu i

Định lý 2

1

∑ n.2n .

VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số

hội tụ.

n =1
∞

n =1

∞

n =1

0 ≤ u n ≤ vn , ∀ n ≥ n 0 .

n =1

• Tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số không đổi
nếu ta thêm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng.

∞

∑ u n , ∑ vn thỏa:

Định lý 1. Cho hai chuỗi số dương

∑un hội tụ thì: ∑ αun = α∑un .

n =1

∞

Cho hai chuỗi số

∞

n =1

n =1

n =1

∑ un , ∑ vn

thỏa:

un > 0 và vn > 0 với n đủ lớn và lim

n →∞

∞

VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hòa
∞

so sánh với



1

∑n



∑ ln 1 + n .






• Nếu k = 0 thì

∞

∞

∑ un

n =1

∞

n =1

VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số
∞

so sánh với

 2 n

 
∑ 3
 
 


2n (n + 1)
n.3n +1

∑

bằng cách

n =1

1

∑ nα

n =1

∑ un , ∑ vn cùng tính chất.

∑ un

n =1

hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1.

và lim

un +1

n →∞

• Nếu D < 1 thì chuỗi hội tụ.
• Nếu D > 1 thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu D = 1 thì chưa thể kết luận.

un

= D.

VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
∞

∑

n =1

Toán cao c p A1 Cao đ ng

∞

∞

n =1

VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∞

2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ
2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert
Cho chuỗi số dương

.

Chú ý
∞

phân kỳ.

Chương 4. Lý thuy t chu i

n =1

Chuỗi

= k.

hội tụ ⇒ ∑ vn hội tụ.

n =1

• Nếu 0 < k < +∞ thì

Chương 4. Lý thuy t chu i

vn

n =1
∞

∑ un phân kỳ ⇒ ∑ vn

• Nếu k = +∞ thì

n =1

un

∞

n =1

bằng cách

n =1

1

∀n .

n =1

∑(un + vn ) = ∑ un + ∑vn .

∞

∑ un được gọi là chuỗi số dương nếu un ≥ 0,

n +1
2n 5 + 3

n
1 
1 + 1  .


∑ n  n


n =1 3 

VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số

5n (n !)2
.
n =1 (2n )!

∞

.

∞

∑

19


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 4. Lý thuy t chu i

Chương 4. Lý thuy t chu i

2.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy
∞

Cho chuỗi số dương

∑ un và nlim n un
→∞

=C .

n =1

2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy
Cho hàm số f (x ) liên tục, không âm và giảm trên nửa
khoảng [k ; +∞), k ∈ ℕ . Khi đó:

∞

∫

f (x )dx hội tụ.

n2

1 
VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑   .
 
 

n =1  2 
∞

k

∑ f (n ) hội tụ ⇔

∞

VD 8. Xét sự hội tụ của chuỗi số

+∞

n =k

• Nếu C < 1 thì chuỗi hội tụ.
• Nếu C > 1 thì chuỗi phân kỳ.

• Nếu C = 1 thì chưa thể kết luận.

nn

∑ 3n

∞

∑3

VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số

n =1

VD 10. Xét sự hội tụ của chuỗi số

Chương 4. Lý thuy t chu i

3.1. Chuỗi đan dấu

1

∑ n ln3 n .

Chương 4. Lý thuy t chu i
∞

VD 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số

(−1)n

.
n
n =1

VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∑ (−1)n

∑

∞

được gọi là

n =1

chuỗi số đan dấu nếu un > 0, ∀n .
∞

(−1)n ∞
2n + 1
VD 1. ∑
, ∑ (−1)n +1
là các chuỗi đan dấu.
2n +1
n =1 n
n =1

b) Định lý Leibnitz
Nếu dãy {un }n ∈ℕ giảm nghiêm ngặt và un → 0 thì chuỗi

∞

∑ (−1)n un

.

n =2

§3. CHUỖI SỐ CĨ DẤU TÙY Ý

∑ (−1)n un

n2

∞

.

n =1

a) Định nghĩa. Chuỗi số

1

∞

2n + 1

n =1

2n +1

∞

VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số

∑

n =2

hội tụ. Khi đó, ta gọi là chuỗi Leibnitz.

(−1)n
n + (−1)n

.

.

n =1

Chương 4. Lý thuy t chu i

3.2. Chuỗi có dấu tùy ý
a) Định nghĩa

∞

∞

• Chuỗi
∞

•

∑ un , un ∈ ℝ được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.

n =1

Nếu

∑ un

∞

hội tụ thì chuỗi có dấu tùy ý

n =1

n =1

∑ un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∑ un hội tụ.

∑ un được gọi là bán hội tụ nếu

n =1

∞

∞

n =1

∑ un hội tụ và

∞

(−1)n
là bán hội tụ.
n
n =1

∑

Toán cao c p A1 Cao đ ng

∞

cos(n n )

n =1

VD 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số

n2

∑

.

n =1

∑ un phân kỳ.

n =1

VD 5. Chuỗi số

∑ un hội tụ.

∞

n =1
∞

•

Chương 4. Lý thuy t chu i

b) Định lý

∞

(−1)n + (−2)n +1

n =1

VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số

3n

∑

.

………………………………………………………

20


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 5. Đ i s tuy n tính

§1.
§2.
§3.
§4.

Chương 5. Đ i s tuy n tính

a
 11 a12

a
a22



A =  21
 ... ...


a
 m 1 am 2


Ma trận
Định thức
Hệ phương trình tuyến tính
Khơng gian vector
…………………………………………………

§1. MA TRẬN
1.1. Các định nghĩa

... a1n 



... a2n 
.


... ... 




... amn 


• Các số aij được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i
và cột thứ j .

a) Định nghĩa ma trận
• Ma trận A cấp m × n trên ℝ là 1 hệ thống gồm
m × n số aij ∈ ℝ (i = 1, m; j = 1, n ) và được sắp
thành bảng gồm m dòng và n cột:

Chương 5. Đ i s tuy n tính

• Cặp số (m, n ) được gọi là kích thước của A.

• Khi m = 1, ta gọi:
A = (a11 a12 ... a1n ) là ma trận dịng.

Chương 5. Đ i s tuy n tính

a 
 11 
 
 
• Khi n = 1, ta gọi A =  ...  là ma trận cột.
 
 
a 
 m1 
 


• Khi m = n = 1, ta gọi:
A = (a11 ) là ma trận gồm 1 phần tử.

• Ma trận vng

Khi m = n , ta gọi A là ma trận vuông cấp n .
Ký hiệu là A = (aij )n .

• Ma trận O = (0ij )m×n có tất cả các phần tử đều bằng 0
được gọi là ma trận khơng.
• Tập hợp các ma trận A được ký hiệu là M m ,n (ℝ), để

Đường chéo chứa các phần
tử a11, a22 ,..., ann được gọi
là đường chéo chính của
A = (aij )n ,
đường chéo còn lại được gọi
là đường chéo phụ.

1


5


7




3




2 3 4


6 7 8



6 5 4


2 1 0



cho gọn ta viết là A = (aij )m×n .

Chương 5. Đ i s tuy n tính

Chương 5. Đ i s tuy n tính

• Các ma trận vng đặc biệt

Ma trận vng có tất cả các
phần tử nằm ngồi đường
chéo chính đều bằng 0 được

gọi là ma trận chéo.

−1 0 0




 0 5 0









 0 0 0



Ma trận chéo cấp n gồm tất
1

cả các phần tử trên đường


chéo chính đều bằng 1 được I 3 = 0



gọi là ma trận đơn vị cấp n .
0


Ký hiệu là I n .

Toán cao c p A1 Cao đ ng


0 0


1 0



0 1



Ma trận ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử
nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng
0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).
 3 0 0
1 0 −2












B =  4 1 0
A = 0 −1 1 










−1 5 2
0 0

0









Ma trận vng cấp n có tất cả
các cặp phần tử đối xứng
nhau qua đường chéo chính
bằng nhau (aij = a ji ) được
gọi là ma trận đối xứng.

 3 4 −1




4 1 0






−1 0 2 






21


ĐH Công nghi p Tp.HCM

dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 5. Đ i s tuy n tính

b) Ma trận bằng nhau
Hai ma trận A = (aij ) và B = (bij ) được gọi là bằng
nhau, ký hiệu A = B , khi và chỉ khi chúng cùng
kích thước và aij = bij , ∀i, j .

1 x y 
1 0 −1






VD 1. Cho A = 
z 2 t  và B = 2 u 3 .










Ta có:
A = B ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 .

Chương 5. Đ i s tuy n tính

b) Phép nhân vơ hướng
Cho ma trận A = (aij )m×n và λ ∈ ℝ , ta có:

λA = (λaij )m×n .

VD 3.

−1

−3 
−2


2


−4




1 0  3
=


 
0 −4 6
 

1
6 4
 = 2


0 8



−2


−3 0 
;

0 12


3 2
.
0 4



Chú ý
• Phép nhân vơ hướng có tính phân phối đối với phép

cộng ma trận.
• Ma trận −1.A = −A được gọi là ma trận đối của A.

Chương 5. Đ i s tuy n tính


0

 1 1 −1  2




  1 −1.

VD 6. Tính 

−2 0 3  




 −1 3 







Tính chất
1) (AB)C = A(BC);

2) A(B + C) = AB + AC;

3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);
5) AI n = A = I m A , với A ∈ M m,n (ℝ).

Toán cao c p A1 Cao đ ng

Chương 5. Đ i s tuy n tính

1.2. Các phép tốn trên ma trận
a) Phép cộng và trừ hai ma trận
Cho hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bij )m×n , ta có:

A ± B = (aij ± bij )m×n .

−1 0 2  2 0 2 1 0 4 
 
 





VD 2. 
 2 3 −4 + 5 −3 1 = 7 0 −3;
 
 




 

 


−1 0 2  2 0 2 −3 0 0 
 
 






 2 3 −4 − 5 −3 1 = −3 6 −5 .
 
 





 
 

Nhận xét
Phép cộng ma trận có tính giao hốn và kết hợp.

Chương 5. Đ i s tuy n tính

c) Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bjk )n×p , ta có:

AB = (cik )m×p .
n

Trong đó, cik = ∑ aijbjk
j =1

(i = 1, m; k = 1, p).

−1
 
 

VD 4. Thực hiện phép nhân 1 2 3  2 .
 
 
 
−5
 
 
 1 −1 0



VD 5. Thực hiện phép nhân 1 2 

−1 0 3.





(
(

)

)

Chương 5. Đ i s tuy n tính

1 0 −1
−1 −2 1












VD 7. Cho A = 2 −2 0  và B =  0 −3 1.











 2 −1 0



3 0 −3





Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA.
VD 8. Thực hiện phép nhân:
 1 −1 2 0

 
1
3  2 −1 2 −1





 



 

A =  2 −3 0−1 −2 1  1 0 −2 1 .


 



 



−1 1 4 2 −1 −3 3 1


0 −2


 




 

Chú ý
• Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn.

22


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Chương 5. Đ i s tuy n tính

• Đặc biệt, khi A = (aij )n và p ∈ ℕ* , ta có:
p
In = In

và A0 = I n , Ap = (Ap−1 )A = A(Ap−1 )
(lũy thừa ma trận).
1 −1

2010


VD 9. Cho ma trận A = 
0 1 , giá trị của A là:



−1 −2010 
1 −2010



;
;


A. 
B. 

0
0

1 
1 






1 −2010
−1 −2010


;
.


C. 
D. 
0

0

−1 
−1 








Friday, November 26, 2010

Chương 5. Đ i s tuy n tính

2 0

2009


VD 10. Cho B = 
1 0, giá trị của (I 2 − B ) là:




−1 0
−1 0 
−1 0

1

0











A. 
−1 1; B. −1 −1; C.  1 1; D. −1 −1.




















VD 11. Cho A = (aij ) là ma trận vng cấp 100 có
các phần tử ở dịng thứ i là (−1)i .
Tìm phần tử b36 của ma trận B = A2 .

VD 12. Cho A = (aij ) là ma trận vng cấp 40 có các
phần tử aij = (−1)i + j . Phần tử a25 của A2 là:
A. a25 = 0 ; B. a25 = −40 ; C. a25 = 40 ; D. a25 = −1.

Chương 5. Đ i s tuy n tính

Chương 5. Đ i s tuy n tính

d) Phép chuyển vị

Tính chất

Cho ma trận A = (aij )m×n .

1) (A + B)T = AT + BT;
2) (λA)T = λAT;
T T
3) (A ) = A;
4) (AB)T = BTAT;
5) AT = A ⇔ A đối xứng.

Khi đó, AT = (a ji )n×m được gọi là ma trận chuyển vị
của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).

1 4 


1 2 3





 ⇒ AT = 2 5.

VD 13. Cho A = 

4 5 6










3 6 



Chương 5. Đ i s tuy n tính

1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận
(Gauss – Jordan)
Cho ma trận A = (aij )m×n (m ≥ 2). Các phép biến đổi
sơ cấp (PBĐSC) dòng e trên A là:
di ↔dk
1) (e1 ) : Hốn vị hai dịng cho nhau A   → A′ .
di →λdi
2) (e2 ) : Nhân 1 dòng với số λ ≠ 0 , A    A′′ .
→

3) (e3 ) : Thay 1 dịng bởi tổng của dịng đó với λ lần
di →di +λdk
dòng khác, A     A′′′ .
→
Chú ý
di →µdi +λdk
1) Trong thực hành ta thường làm A      B .
→
2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên
cột của ma trận.

Toán cao c p A1 Cao đ ng



 1 −1
 0 1 −2









VD 14. Cho A =  0
2 , B = 
−1 0 −3.








−3 −2




a) Tính (AB )T .
b) Tính BT AT và so sánh kết quả với (AB )T .

Chương 5. Đ i s tuy n tính

VD 15. Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận

2 1 −1
1 −2
3 










A = 1 −2 3  về B = 0 1 −7 / 5.











 3 −1 2 
0 0


0 








Giải. Ta có:
 1 −2 3 
1 −2 3 





 d →d −2d


d1 ↔d2

2 1 −1    0 5 −7
2
2
1

A  → 
 d3 →d3 −3d1 → 









3 −1 2 
0 5 − 7 









 1 −2

3 




d3 →d3 −d2
   → 0 1 −7 / 5 = B.


1



d2 → d2


5


0 

0 0


23


ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Friday, November 26, 2010

Chương 5. Đ i s tuy n tính

1.4. Ma trận bậc thang
• Một dịng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng
0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng khơng).
• Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòng
trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dịng đó.

• Ma trận bậc thang là ma trận khác khơng cấp m × n
(m, n ≥ 2) thỏa hai điều kiện:

1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dịng
khác 0;
2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải
phần tử cơ sở của dịng ở phía trên dịng đó.

Chương 5. Đ i s tuy n tính

1.5. Ma trận khả nghịch
a) Định nghĩa
• Ma trận A ∈ M n (ℝ) được gọi là khả nghịch nếu tồn
tại ma trận B ∈ M n (ℝ) sao cho:
AB = BA = I n .

• Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.
Ký hiệu B = A−1 . Khi đó:
A−1A = AA−1 = I n ; (A−1 )−1 = A.
Chú ý
Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất
và A cũng là ma trận nghịch đảo của B .

Chương 5. Đ i s tuy n tính

VD 16. Các ma trận bậc thang:

 1 0 ... 0 


0 1 2 3





 0 1 ... 0 




.
0 0 4 5 , I = 



 n 


... ... ... ...




0 0 0 1







 0 0 ... 1 






 1 0 2




0 0 3,






0 0 0






Các ma trận không phải là bậc thang:
0 0 0
0 2 7 
1 3 5












3 1 4, 0 3 4, 0 0 4.





























0 0 5
0 0 5
2 1 3







Chương 5. Đ i s tuy n tính

2 5

 3 −5

 và B = 
 là hai ma trận


VD 17. A = 



1 3
−1 2 






nghịch đảo của nhau vì AB = BA = I 2 .
Chú ý
1) Nếu ma trận A có 1 dịng (hay cột) bằng 0 thì
khơng khả nghịch.
2) (AB )−1 = B −1A−1 .
3) Nếu ac − bd ≠ 0 thì:
−1

c −
VD 18. Cho hai ma trận: a b
b


 = 1 .


2 5
2 1 

−d a .




 d c

ac −bd 
, B = 
. 




A=
1 3
3 2








Thực hiện phép tính: a) (AB )−1 ;

Chương 5. Đ i s tuy n tính

b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi
sơ cấp trên dòng (tham khảo)
Cho A ∈ M n (ℝ) khả nghịch, ta tìm A−1 như sau:
Bước 1. Lập ma trận A I n (ma trận chia khối) bằng

(

)

cách ghép ma trận I n vào bên phải của A.
Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa
A I n về dạng I n B . 

1 −1 0 1
−1


Khi đó: A = B .
0 −1 1 0


.


VD 19. Tìm nghịch đảo của A = 
0 0 1 1





0 0 0 1






(

)

(

)

Toán cao c p A1 Cao đ ng

b) B −1A−1 .

Chương 5. Đ i s tuy n tính

(

Giải. Ta có: A I 4

)

1 −1



0 −1

=
0 0



0 0



1


0

d3 →d3 −d4
  d  
 →
d2 →d3 − 2
0
d1 →d1 +d2 −d 4


0



0 1 1 0 0 0



1 0 0 1 0 0




1 1 0 0 1 0




0 1 0 0 0 1


0 0 0 1 −1 1 −2



1 0 0 0 −1 1 −1

.

0 1 0 0 0 1 −1




0 0 10 0 0 1

I4
A−1

24

ĐH Công nghi p Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

Chương 5. Đ i s tuy n tính

§2. ĐỊNH THỨC
2.1. Định nghĩa
a) Ma trận con cấp k

Cho A = (aij ) ∈ M n (ℝ).
n

• Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm
trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma
trận con cấp k của A.

• Ma trận M ij có cấp n − 1 thu được từ A bằng cách
bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con
của A ứng với phần tử aij .

Friday, November 26, 2010

Chương 5. Đ i s tuy n tính

1



VD 1. Ma trận A = 4




7

5 6



M 11 = 
8 9, M 12




2 3



M 21 = 
8 9, M 22




2 3



M 31 = 
5 6, M 32






Chương 5. Đ i s tuy n tính

b) Định thức (Determinant)
Định thức của ma trận vuông A ∈ M n (ℝ), ký hiệu

det A hay A , là 1 số thực được định nghĩa:
Nếu A = (a11 ) thì det A = a11 .
a

a 

Nếu A =  11 12  thì detA = a11a 22 − a12a21 .

a
 21 a 22 


Nếu A = (aij )n (cấp n ≥ 3 ) thì:

det A = a11A11 + a12A12 + ... + a1n A1n
trong đó, Aij = (−1)i + j det M ij và số thực Aij được
gọi là phần bù đại số của phần tử aij .

VD 3. Tính định thức của ma trận:
0 0 3 −1





4 1 2 −1



A=
3 1 0 2 .







2 3 3 5 





Toán cao c p A1 Cao đ ng

4 6
4

, M 13 = 



=

7 9
7





1 3
1

, M 23 = 


=

7 9
7





 1 3
1

, M = 



=

33
 4 6
4







5
,

8


2
,

8

2

.


5

Chương 5. Đ i s tuy n tính

Chú ý
1) det I n = 1, detOn = 0 .

a11 a12 a13
2) Tính a 21 a 22 a23 .
a 31 a 32 a 33

a11 a12

a13 a11 a12

a21 a22 a23 a 21 a 22

ho c

a11 a12 a13
a 21 a22 a23
a 31 a 32 a 33

a 31 a 32 a 33 a 31 a 32

(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ
đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt).

Chương 5. Đ i s tuy n tính

VD 2. Tính định thức của các ma trận sau:

1 2 −1


3 −2






 , B =  3 −2 1  .

A=





1 4 



2 1

1






2 3


5 6 có các ma trận con ứng




8 9 với các phần tử a là:

ij

Chương 5. Đ i s tuy n tính

2.2. Các tính chất cơ bản của định thức

Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có các
n

tính chất cơ bản sau:

a) Tính chất 1

( )

det AT = det A.
1
3 2
1 2 −1
VD 4. 2 −2 1 = 3 −2 1 = −12 .

−1 1 1
2 1
1

25