Bài giảng toán rời rạc chương 4 lý thuyết đồ thị

Chương
Chương
4:
4:
LÝ THUY
LÝ THUY
Ế
Ế
T Đ
T Đ
Ồ
Ồ
TH
TH
Ị
Ị
Chương
Chương
4
4
4.3
ĐỒ THỊ EULER
4.4
ĐỒ THỊ HAMILTON
CÂY
4.6
BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI
NGẮN NHẤT
4.5
MỞ ĐẦU
4.1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4.2
4.I MỞ ĐẦU
Bài toán về những cây cầu ở Konigsber
Năm 1736 Euler, cha đẻ của lý thuyết đồ thị, đã giải
được bài toán hóc búa nổi tiếng thời đó về những cây
cầu ở Konigberg.
Thành phố Konigberg có hai hòn đảo nối với nhau và
với 2 bờ sông bằng 7 chiếc cầu như hình vẽ.
Tìm đường đi qua tất cả 7 cây cầu, mỗi cây cầu chỉ
được đi qua một lần, sau đó quay về nơi xuất phát
4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4.2.1 Đồ thị, đỉnh, cạnh, cung:

Đ
Đ
ồ
ồ
th
th
ị
ị
vô
vô
hư
hư
ớ
ớ
ng
ng G = (V, E) gồm tập V các

đ
đ
ỉ
ỉ
nh
nh
và tập E các
c
c
ạ
ạ
nh
nh.
v
e
w
V
V
í
í
d
d
ụ
ụ
:
:
4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Đ
Đ

ồ
ồ
th
th
ị
ị
c
c
ó
ó
hư
hư
ớ
ớ
ng
ng G = (V, E) gồm tập V các
đ
đ
ỉ
ỉ
nh
nh
và tập E các
c
c
ạ
ạ
nh
nh
c

c
ó
ó
hư
hư
ớ
ớ
ng
ng
g
g
ọ
ọ
i
i
l
l
à
à
cung
cung.
v
e
w
Mỗi cạnh e được liên kết với một cặp đỉnh (v, w)
có thứ tự
V
V
í
í

d
d
ụ
ụ
:
:
 Cho đồ thị G = (V, E). Cạnh e  E liên kết đỉnh v
và w, ta nói e
liên
liên
thu
thu
ộ
ộ
c
c đỉnh v, w; đỉnh v và w gọi
là kề nhau.
 Cạnh song song:
 Khuyên:
 Đỉnh cô lập:
4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
 Đồ thị hữu hạn: là đồ thị có số cạnh (cung) hữu hạn.
 Đồ thị đơn: là đồ thị không có khuyên và không có
cạnh song song.
 Đồ thị đầy đủ: là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau.
 Bậc của đỉnh vV là tổng số cạnh liên thuộc với nó,
kí hiệu d(v). Mỗi khuyên được tính cho 2 bậc.
d(v) := Số cạnh + 2* Số khuyên
 Đỉnh treo: là đỉnh có bậc bằng 1.

Nửa bậc: Cho đồ thị có hướng G = (V, E).
+ Nửa bậc ra của đỉnh vV, kí hiệu d
r
(v) là
số cung đi ra từ đỉnh v.
+ Nửa bậc vào của đỉnh vV, kí hiệu d
v
(v)
là số cung đi vào đỉnh v
4.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Đỉnh cô lập có bậc bằng 0
Cho đồ thị G = (V, E). Khi đó:
i. Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và
d(v) = 2|E|
ii. Nếu G là đồ thị có hướng thì:
d
v
(v) = d
r
(v) = |E|
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
* Tính chất 1:
* Tính chất 2:
Cho đồ thị G(V, E). Khi đó số đỉnh bậc lẻ là số chẵn
* Tính chất 3:
Cho đồ thị đơn G = (V, E) có n đỉnh (n  2) có
ít nhất hai đỉnh cùng bậc.
* Tính chất 4:
Cho đồ thị đơn G = (V, E) có n đỉnh (n > 2) có
đúng 2 đỉnh cùng bậc thì 2 đỉnh này không thể

đồng thời có bậc bằng 0 hoặc bằng n – 1.
4.2.2 Đường đi, chu trình, tính liên thông
 Đường đi  từ đỉnh v đến đỉnh w là dãy các cạnh nối
tiếp nhau bắt đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w.
Số cạnh trên đường đi  là độ dài của đường đi .
Đường đi  có độ dài n từ đỉnh v đến đỉnh w được biểu
diễn như sau:
 = (v, e
1
, v
1
, e
2
, v
2
, …, v
n-1
, e
n
, w)
Trong đó: v
i
(i = 1, …, n-1) là các đỉnh trên đường đi
và e
i
(i = 1, …, n) là các cạnh trên đường đi liên
thuộc các cạnh kề trước và sau nó.
 Chu trình đơn là chu trình không đi qua một cạnh
quá một lần.
 Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh

quá một lần.
 Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh
quá một lần.
 Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối
trùng nhau.
 Đường đi đơn là đường đi không đi qua một cạnh
quá một lần.
 Đường đi có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các
cung nối tiếp nhau (e
1
, e
2
, …, e
n
) thỏa mãn đỉnh cuối của
cung e
i
là đỉnh đầu của cung e
i+1
, i = 1, …, n-1.
 Đường đi đơn (chu trình đơn) có hướng là đường đi
(chu trình) có hướng không đi qua một cung quá một
lần.
 Đường đi (chu trình) có hướng sơ cấp là đường đi
(chu trình) có hướng không đi qua một đỉnh quá một
lần.
 Chu trình có hướng là đường đi có hướng có đỉnh đầu
và đỉnh cuối trùng nhau.
c
b

a
d
e
Ví dụ
v
6
v
5
v
4
v
3
v
2
v
1
e
8
e
7
e
6
e
5
e
4
e
3
e
2

e
1
e
9
 Đồ thị liên thông là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của
nó đều có đường đi nối chúng với nhau.
 Đồ thị con:
Cho đồ thị G = (V, E). Đồ thị G’ = (G’, E’) là
đồ thị con của G nếu:
(i) V’ V và E’ E và
(ii) e = (v,w)  E: e  E’  v, w  V’
 Thành phần liên thông:
Là đồ thị con liên thông tối đại của G.
4.2.3 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ TRÊN MÁY
a. Ma trận kề
 Đồ thị vô hướng
Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) có n đỉnh theo thứ
tự v
1
, v
2
, …, v
n
.
Ma trận kề của đồ thị G là ma trận vuông A = (a
ij
)
n
,
trong đó a

ij
là số cạnh nối v
i
với v
j
.
Lưu ý mỗi khuyên được tính là 2 cạnh.
Ma trận kề của đồ thị vô hướng luôn đối xứng qua
đường chéo chính.
v
4
v
5
v
3
v
2
v
1
Có ma trận kề là:
01000v
5
10111v
4
01210v
3
01101v
2
01010v
1

v
5
v
4
v
3
v
2
v
1
Vv,aa)v(d
i
n
1j
ji
n
1j
iji



Ví dụ:
Tổng bậc
của v
1
 Đồ thị có hướng
Cho đồ thị có hướng G = (V, E) có n đỉnh theo thứ
tự v
1
, v

2
, …, v
n
.
Ma trận kề của đồ thị G là ma trận vuông A = (a
ij
)
n
,
trong đó a
ij
là số cung đi từ đỉnh v
i
đến v
j
.
Ví dụ:
v
6
v
5
v
4
v
3
v
2
v
1
e

4
e
3
e
2
e
1
e
5
e
8
e
7
e
6
000000v
6
100000v
5
110000v
4
001000v
3
001100v
2
000110v
1
v
6
v

5
v
4
v
3
v
2
v
1
tổng bậc ra
của v
1
tổng bậc
vào của v
1
Mệnh đề:
Cho đồ thị có hướng G = (V, E) với ma trận kề (a
ij
)
n
.
Khi đó:



n
1j
ijiv
a)v(d
và

Vv,a)v(d
i
n
1j
jiir



số bậc vào của
đỉnh v
i
= tổng
các số trên cột v
i
số bậc ra của đỉnh v
i
=
tổng các số trên hàng v
i
b. Ma trận liên thuộc
 Đồ thị vô hướng
Cho đồ thị G = (V, E) có n đỉnh, V = {v
1
, v
2
, …, v
n
}
và m cạnh E = {e
1

, e
2
, …, e
m
}.
Ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trận A = (a
ij
)
nm
thỏa mãn:




0
1
a
ij
nếu đỉnh v
i
liên thuộc cạnh e
j
nếu đỉnh v
i
không liên thuộc cạnh e
j
Ví dụ:
v
4
v

5
v
3
v
2
v
1
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
e
6
e
7
0100000v
5
0110110v
4
1011000v
3
0001101v
2
0000011v

1
e
7
e
6
e
5
e
4
e
3
e
2
e
1
Ma trận liên thuộc:
Tổng bậc
của v
1
Vv,a)v(d
i
n
1j
iji



Mệnh đề:
Cho đồ thị đơn G = (V, E) với ma trận liên thuộc
(a

ij
)
nm
. Khi đó:
Số bậc của đỉnh v
i
= tổng
các số trên hàng v
i
 Đồ thị có hướng
Cho đồ thị có hướng G = (V, E) có n đỉnh, V = {v
1
,
v
2
, …, v
n
}, m cạnh E = {e
1
, e
2
, …, e
m
} và không có
khuyên.
Ma trận liên thuộc của đồ thị G là ma trận
A = (a
ij
)
nm

thỏa mãn:






0
1
1
a
ij
nếu đỉnh v
i
là đỉnh đầu của cung e
j
nếu đỉnh v
i
không kề cung e
j
nếu đỉnh v
i
là đỉnh cuối của cung e
j